রৈখিক বীজগণিত/লঘুকৃত ইচেলন আকার

গাউস মেথডের মেকানিক্স ডেভলপ করার পর, আমরা লক্ষ্য করেছি যে এটি একাধিক উপায়ে করা সম্ভব। একটি উদাহরণ হলো, আমাদের মাঝে মাঝে রো সোয়াপ করতে হয় এবং সেক্ষেত্রে চয়ন করার জন্য একাধিক রো থাকতে পারে। অন্য একটি উদাহরণ হলো, নিচের এই ম্যাট্রিক্সটি থেকে:

${\begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}}$

গাউস মেথডের মাধ্যমে নিচের যেকোনো ইচেলন আকার ম্যাট্রিক্স পাওয়া যেতে পারে।

${\begin{pmatrix}2&2\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

প্রথমটি পাওয়া যায় $-2\rho _{1}+\rho _{2}$ থেকে। দ্বিতীয়টি পাওয়া যায় $(1/2)\rho _{1}$-এর পর $-4\rho _{1}+\rho _{2}$ অ্যাপ্লাই করলে। তৃতীয়টি আসে $-2\rho _{1}+\rho _{2}$-এর পর $2\rho _{2}+\rho _{1}$ অনুসরণ করলে (প্রথম পিভট-এর পর ম্যাট্রিক্সটি অলরেডি ইচেলন আকারে চলে আসে, তাই দ্বিতীয় অপারেশনটি বাড়তি কাজ মনে হলেও এটি একটি লিগ্যাল রো অপারেশন)।

গাউস মেথড-এর আউটকাম হিসেবে ইচেলন আকার ইউনিক না হওয়ায় কিছু প্রশ্ন থেকে যায়। একটি সিস্টেম এর যেকোনো দুটি ইচেলন আকার ভার্সনে কি সেম সংখ্যক ফ্রি ভ্যারিয়েবল থাকবে? তাদের কি প্রকৃতপক্ষে ঠিক একই ভ্যারিয়েবলগুলো ফ্রি থাকবে? এই সেকশনে আমরা এই দুটি প্রশ্নের উত্তরই দেব "হ্যাঁ"। আমরা কেবল প্রশ্নের উত্তরই দেব না, বরং একটি লিনিয়ার সিস্টেমকে রো অপারেশন-এর মাধ্যমে অন্য একটি সিস্টেম থেকে ডিরাইভ করা সম্ভব কি না, তা ডিসাইড করার একটি উপায়ও দেখাব। এই বৃহত্তর রেজাল্ট থেকেই ওপরের প্রশ্ন দুটির উত্তর পাওয়া যাবে।