রৈখিক বীজগণিত/রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা

রৈখিক সমীকরণ জোট

রৈখিক বীজগণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা হলো একটি ফিল্ড $F$-এ $n$ সংখ্যক চলক বিশিষ্ট $m$ সংখ্যক রৈখিক সমীকরণের জোট সমাধান করা:

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\mathrm{...}+a_{1n}{x}_n=b_1$
$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\mathrm{...}+a_{2n}{x}_n=b_2$
...
$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\mathrm{...}+a_{mn}{x}_n=b_m$।

যেখানে সকল $a_{ij}$ একটি ফিল্ডের উপাদান।

রৈখিক সমীকরণ জোটের একটি উদাহরণ হলো: রৈখিক জোট (২):

$2x_1-x_2+1.5x_3=8$

$x_1-4x_3=-7$

এই সমীকরণ জোটের একটি সমাধান হলো সংখ্যাসমূহের একটি তালিকা $(s_1,s_2,\mathrm{...},s_n)$, যা প্রতিটি সমীকরণকে সত্য প্রমাণ করে যখন যথাক্রমে $x_1,\mathrm{...},x_n$-এর পরিবর্তে $s_1,s_2,\mathrm{...}{s}_n$ মানগুলো প্রতিস্থাপন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $(5,6.5,3)$ হলো জোট (২)-এর একটি সমাধান, কারণ যখন যথাক্রমে $x_1,x_2,x_3$-এর পরিবর্তে এই মানগুলো (২)-এ বসানো হয়, তখন সমীকরণগুলো সরলীকৃত হয়ে $8=8$ এবং $-7=-7$ হয়।

সকল সম্ভাব্য সমাধানের সেটকে রৈখিক জোটের সমাধান সেট বলা হয়। দুটি রৈখিক সমীকরণ জোটকে সমতুল্য বলা হয় যদি তাদের সমাধান সেট একই হয়। অর্থাৎ, প্রথম জোটের প্রতিটি সমাধান দ্বিতীয় জোটেরই একটি সমাধান এবং এর বিপরীতটিও সত্য।

দুই চলক বিশিষ্ট দুটি রৈখিক সমীকরণের জোটের সমাধান সেট খুঁজে বের করা সহজ, কারণ এটি দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু খুঁজে বের করার মতোই। একটি সাধারণ সমস্যা হলো

$x_1-3x_2=-1$

$-x_1+4x_2=3$

এই রেখাগুলোর লেখচিত্রকে আমরা $l_1$ এবং $l_2$ দ্বারা নির্দেশ করি। এক জোড়া সংখ্যা $(x_1,x_2)$ সমীকরণ জোটের উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করবে যদি এবং কেবল যদি $(x_1,x_2)$ বিন্দুটি $l_1$ এবং $l_2$ উভয়ের উপর অবস্থিত হয়। উপরের সমীকরণ জোটে, সমাধানটি হলো একটি একক বিন্দু $(5,2)$, যা তোমরা চিত্র ১-এ সহজেই দেখতে পাচ্ছ।

চিত্র ১: ঠিক একটি সমাধান

অবশ্যই, দুটি সরলরেখাকে যে একটিমাত্র বিন্দুতেই ছেদ করতে হবে এমন কোনো কথা নেই; তারা সমান্তরাল হতে পারে, অথবা তারা একে অপরের ওপর আপতিত হতে পারে এবং লাইনের প্রতিটি বিন্দুতে "ছেদ" করতে পারে। এটি দৃশ্যমান করার জন্য চিত্র ২ এবং চিত্র ৩-এ লেখচিত্র দেখানো হলো।

চিত্র ২: কোনো সমাধান নেই

চিত্র ৩: অসীম সংখ্যক সমাধান

একটি রৈখিক সমীকরণ জোটের যদি একটি সমাধান বা অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে, তবে তাকে সংগতিপূর্ণ বলা হয়, আর যদি কোনো সমাধান না থাকে, তবে জোটটিকে অসংগতিপূর্ণ বলা হয়।

রৈখিক বীজগণিতে আমরা মূলত তিনটি সমস্যা নিয়ে কাজ করি:

1. একটি রৈখিক সমীকরণ জোট সংগতিপূর্ণ নাকি অসঙ্গতিপূর্ণ?
2. যদি সংগতিপূর্ণ হয়, তবে সমাধান সেটে কতগুলো উপাদান রয়েছে?
3. সমাধান সেটটি কী?

পটভূমি

বিজ্ঞান এবং গণিতে রৈখিক সমীকরণ জোটের ব্যবহার অত্যন্ত সাধারণ। হাই স্কুল বিজ্ঞানের এই দুটি উদাহরণ থেকে বোঝা যাবে কীভাবে এগুলোর উৎপত্তি হয়।

প্রথম উদাহরণটি পদার্থবিজ্ঞান থেকে নেওয়া। ধরা যাক, আমাদের তিনটি বস্তু দেওয়া হলো, যার একটির ভর জানা আছে ২ কেজি, এবং আমাদের অজানা ভরগুলো খুঁজে বের করতে বলা হলো। আরও ধরা যাক যে, একটি মিটার স্কেলের সাহায্যে পরীক্ষা করে নিচের দুটি সাম্যাবস্থা পাওয়া গেল।

যেহেতু প্রতিটি সাম্যাবস্থার বাম দিকের মোমেন্টের সমষ্টি ডান দিকের মোমেন্টের সমষ্টির সমান (একটি বস্তুর মোমেন্ট হলো তার ভর এবং সাম্যাবস্থা বিন্দু থেকে তার দূরত্বের গুণফল), তাই এই দুটি সাম্যাবস্থা থেকে দুটি সমীকরণের এই জোটটি পাওয়া যায়:

$40h+15c=100$

$25c=50+50h$

রৈখিক জোটের দ্বিতীয় উদাহরণটি রসায়ন থেকে নেওয়া। নিয়ন্ত্রিত পরিস্থিতিতে আমরা টলুইন C₇H₈ এবং নাইট্রিক অ্যাসিড HNO₃ মিশ্রিত করে ট্রাইনাইট্রোটলুইন C₇H₅O₆N₃ এবং এর সাথে উপজাত হিসেবে পানি তৈরি করতে পারি (অবশ্যই পরিস্থিতি খুব ভালোভাবে নিয়ন্ত্রণ করতে হবে— কারণ ট্রাইনাইট্রোটলুইন মূলত টিএনটি নামে বেশি পরিচিত)। এই উপাদানগুলো কী অনুপাতে মিশ্রিত করা উচিত? রাসায়নিক বিক্রিয়ার পূর্বে উপস্থিত প্রতিটি উপাদানের পরমাণুর সংখ্যা

$x{\mathrm{C}}_7{\mathrm{H}}_8+y\mathrm{H}\mathrm{N}{\mathrm{O}}_3⟶z{\mathrm{C}}_7{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}_6{\mathrm{N}}_3+w{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$

বিক্রিয়ার পরে উপস্থিত পরমাণুর সংখ্যার সমান হতে হবে। এই নীতিটি পর্যায়ক্রমে C, H, N এবং O মৌলগুলোর ওপর প্রয়োগ করলে এই সমীকরণ জোটটি পাওয়া যায়:

$\begin{array}{c}7x=7z\\ 8x+1y=5z+2w\\ 1y=3z\\ 3y=6z+1w\end{array}$

এই উদাহরণগুলোর প্রত্যেকটি সম্পন্ন করার জন্য সমীকরণ জোটটি সমাধান করা প্রয়োজন। প্রতিটিতেই সমীকরণগুলো কেবল চলকগুলোর প্রথম ঘাত যুক্ত। এই অধ্যায়ে রৈখিক সমীকরণ জোটের একটি প্রাথমিক পরিচিতি দেওয়া হয়েছে। আমরা এগুলো পরে সমাধান করব।

ম্যাট্রিক্স রূপ

একটি রৈখিক জোটের মূল তথ্যগুলোকে একটি আয়তকার বিন্যাসে বর্ণনা করা যেতে পারে যাকে ম্যাট্রিক্স বলা হয়। ধরা যাক সমীকরণ জোটটি হলো:

$3x_1+5x_2+2x_3=0$

$x_1-8x_2=10$

$-2x_2+x_3=-8$

প্রতিটি চলকের সহগগুলোকে কলাম অনুসারে সাজিয়ে আমরা একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি যাকে এই জোটের সহগ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। সহগ ম্যাট্রিক্সটি দেখতে এইরকম:

$\left[\begin{array}{ccccc}3& & 5& & 2\\ 1& & -8& & 0\\ 0& & -2& & 1\end{array}\right]$

যদি তোমরা রৈখিক সমীকরণের সংজ্ঞা (১) লক্ষ্য করো তবে এটি বুঝতে সুবিধা হবে। দ্বিতীয় সারিতে একটি শূন্য রয়েছে কারণ দ্বিতীয় সমীকরণটিকে $x_1-8x_2+0x_3=10$ হিসেবে লেখা যেতে পারে।

আমাদের আরেকটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে যাকে অনুবর্ধিত ম্যাট্রিক্স বলা হয়, যা একই সমীকরণ জোটের জন্য দেখতে এইরকম:

$\left[\begin{array}{ccccccc}3& & 5& & 2& & 0\\ 1& & -8& & 0& & 10\\ 0& & -2& & 1& & -8\end{array}\right]$

একটি সমীকরণ জোটের অনুবর্ধিত ম্যাট্রিক্সটি গঠিত হয় সহগ ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি অতিরিক্ত কলাম যুক্ত করে, যে কলামটিতে সমীকরণের ডান পাশের ধ্রুবকগুলো থাকে। যদি এটি বুঝতে সমস্যা হয় তবে আবারও রৈখিক সমীকরণের সংজ্ঞা (১) লক্ষ্য করো।

একটি ম্যাট্রিক্সের আকার আমাদের জানায় যে এতে কতগুলো সারি ও কলাম রয়েছে। উপরের অনুবর্ধিত ম্যাট্রিক্সটিতে ৩টি সারি এবং ৪টি কলাম রয়েছে, তাই একে একটি ৩x৪ (পড়া হয় "৩ বাই ৪") ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যদি m এবং n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে একটি m x n ম্যাট্রিক্স হলো m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম বিশিষ্ট সংখ্যার একটি আয়তকার বিন্যাস। ম্যাট্রিক্স নোটেশন একটি রৈখিক সমীকরণ জোটের হিসাবনিকাশকে অনেক সহজ করে দেবে।

প্রাথমিক সারি অপারেশনসমূহ

তিনটি প্রাথমিক সারি অপারেশন রয়েছে:

1. প্রতিস্থাপন
2. স্থান বিনিময়
3. স্কেলিং বা গুণন

নিচে এই তিনটি ভিন্ন অপারেশনের ব্যাখ্যা ও উদাহরণ দেওয়া হলো। রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা অধ্যায়ে আমরা স্কেলিং ছাড়া বাকি সব অপারেশন ব্যবহার করেছি।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় মনে রাখা প্রয়োজন যে, সমস্ত অপারেশন যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ওপর প্রয়োগ করা যেতে পারে, কেবল রৈখিক সমীকরণ জোট থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের ওপরই নয়।

প্রতিস্থাপন

একটি সারিকে সেই সারি এবং অন্য একটি সারির গুণিতকের সমষ্টি দ্বারা প্রতিস্থাপন করা। সারি প্রতিস্থাপনের আরও একটি সাধারণ রূপ হলো "একটি সারির সাথে অন্য একটি সারির গুণিতক যোগ করা।"

একটি উদাহরণ লক্ষ্য করা যাক, আমাদের একটি রৈখিক সমীকরণ জোট দেওয়া আছে:

$x_1+4x_2=3$

$2x_1+2x_2=4$

যাকে ম্যাট্রিক্স নোটেশনে অনুবর্ধিত ম্যাট্রিক্স হিসেবে এভাবে লেখা যেতে পারে:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& & 4& & 3\\ 2& & 2& & 4\end{array}\right]$

এখন আমরা সমীকরণ ২ থেকে $x_1$ পদটি অপসারণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি, সমীকরণ ১-কে -২ দ্বারা গুণ করে সমীকরণ ২-এর সাথে যোগ করার মাধ্যমে এটি করা যেতে পারে:

$\begin{array}{cc}-2\ast [equation1]:& -2x_1-8x_2=-6\\ \underset{\_}{+[equation2]:}& \underset{\_}{2x_1+2x_2=4}\\ \left[newequation2\right]:& -6x_2=-2\end{array}$

যা আমাদের এই ম্যাট্রিক্সটি প্রদান করে:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& & 4& & 3\\ 0& & -6& & -2\end{array}\right]$

স্থান বিনিময়

দুটি সারির মধ্যে স্থান বিনিময় করা।

একটি উদাহরণ দেখা যাক, আমাদের এই ম্যাট্রিক্সটি দেওয়া আছে:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& & 2& & 3\\ 2& & 3& & 1\end{array}\right]$

এখানে আমরা দুটি সারির ওপর একটি স্থান বিনিময় অপারেশন সম্পাদন করেছি:

$\left[\begin{array}{ccccc}2& & 3& & 1\\ 1& & 2& & 3\end{array}\right]$

যখন তোমরা একটি রৈখিক সমীকরণ জোট সমাধান করার চেষ্টা করছ এবং দেখতে পাচ্ছ যে দুটি সারির স্থান বিনিময় করলে সমাধান করা সহজ হবে, তখন এটি একটি দরকারী অপারেশন। এটি একটি বহুল ব্যবহৃত অপারেশন, যদিও এটিকে কিছুটা অদ্ভুত এবং খুব একটা কার্যকর মনে নাও হতে পারে।

স্কেলিং

একটিসারির সমস্ত ভুক্তিকে একটি অশূন্য ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা।

একটি উদাহরণ দেখা যাক, আমাদের এই ম্যাট্রিক্সটি দেওয়া আছে:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& & 2& & 3\\ 2& & 3& & 1\end{array}\right]$

এখন প্রথম সারির ওপর একটি স্কেলিং অপারেশন সম্পাদন করা হয়েছে, একে -২ দ্বারা গুণ করার মাধ্যমে:

$\left[\begin{array}{ccccc}-2& & -4& & -6\\ 2& & 3& & 1\end{array}\right]$

রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধান

একটি রৈখিক সমীকরণ জোট সমাধানের মূল কৌশল হলো একটি সমীকরণ জোটকে অন্য একটি সমতুল্য জোট (অর্থাৎ একই সমাধান সেট বিশিষ্ট অন্য একটি জোট) দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যা সমাধান করা সহজ। এটি করার জন্য প্রথম সমীকরণের $x_1$ পদটি ব্যবহার করে অন্যান্য সমীকরণের $x_1$ পদগুলোকে অপসারণ করা হয়, দ্বিতীয় সমীকরণের $x_2$ পদটি ব্যবহার করে অন্যান্য সমীকরণের $x_2$ পদগুলোকে অপসারণ করা হয় এবং এইভাবে চলতে থাকে যতক্ষণ না একটি অত্যন্ত সহজ সমতুল্য সমীকরণ জোট পাওয়া যায়। একটি সমীকরণ জোটকে সরল করার জন্য তিনটি অপারেশন ব্যবহার করা হয়। তোমরা একটি সমীকরণকে সেই সমীকরণ এবং অন্য একটি সমীকরণের গুণিতকের সমষ্টি দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারো, আমরা দুটি সমীকরণের স্থান বিনিময় করতে পারি এবং একটি সমীকরণের সমস্ত পদকে একটি অশূন্য ধ্রুবক দ্বারা গুণ করতে পারি। এই উদাহরণের মাধ্যমে আমরা দেখতে পাবো কেন এই অপারেশনগুলো একটি জোটের সমাধান সেটকে পরিবর্তন করে না।

উদাহরণ ১: এই রৈখিক সমীকরণ জোটটি সমাধান করো

$x_1-2x_2+x_3=0$

$2x_2-8x_3=8$

$-4x_1+5x_2+9x_3=-9$

এই জোটের অনুবর্ধিত ম্যাট্রিক্সটি হলো:

$\left[\begin{array}{ccccccc}1& & -2& & 1& & 0\\ 0& & 2& & -8& & 8\\ -4& & 5& & 9& & -9\end{array}\right]$

প্রথম যে কাজটি আমরা করতে চাই তা হলো প্রথম সমীকরণে $x_1$-কে রাখা এবং অন্য সমীকরণগুলো থেকে এটিকে অপসারিত করা।

এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণ ১-এর ৪ গুণ সমীকরণ ৩-এর সাথে যোগ করি।

$\begin{array}{cc}4\ast [equation1]:& 4x_1-8x_2+4x_3=0\\ \underset{\_}{+[equation3]:}& \underset{\_}{-4x_1+5x_2+9x_3=-9}\\ \left[newequation3\right]:& -3x_2+13x_3=-9\end{array}$

এই হিসাবের ফলাফলটি মূল সমীকরণ ৩-এর স্থানে লেখা হয়:

$\begin{array}{c}{x}_1-2x_2+x_3=0\\ 2x_2-8x_3=8\\ -3x_2+13x_3=-9\end{array}\left[\begin{array}{ccccccc}1& & -2& & 1& & 0\\ 0& & 2& & -8& & 8\\ 0& & -3& & 13& & -9\end{array}\right]$

পরবর্তী যে কাজটি আমরা করতে চাই তা হলো সমীকরণ ২-কে $\frac{1}{2}$ দ্বারা গুণ করা যাতে $x_2$-এর সহগ হিসেবে ১ পাওয়া যায়, যা পরবর্তী ধাপের গণনাকে সহজ করবে:

$\begin{array}{c}{x}_1-2x_2+x_3=0\\ x_2-4x_3=4\\ -3x_2+13x_3=-9\end{array}\left[\begin{array}{ccccccc}1& & -2& & 1& & 0\\ 0& & 1& & -4& & 4\\ 0& & -3& & 13& & -9\end{array}\right]$

এখন, আমরা সমীকরণ ৩-এর $-3x_2$ পদটি অপসারণ করতে সমীকরণ ২-এর $x_2$ পদটি ব্যবহার করি:

$\begin{array}{cc}3\ast [equation2]:& 3x_2-12x_3=12\\ \underset{\_}{+[equation3]:}& \underset{\_}{-3x_2+13x_3=-9}\\ \left[newequation3\right]:& x_3=3\end{array}$

নতুন রৈখিক সমীকরণ জোটটির একটি ত্রিভুজাকার রূপ রয়েছে, যাকে ইচেলন রূপ বলা হয় এবং এটি দেখতে এইরকম:

$\begin{array}{c}{x}_1-2x_2+x_3=0\\ x_2-4x_3=4\\ x_3=3\end{array}\left[\begin{array}{ccccccc}1& & -2& & 1& & 0\\ 0& & 1& & -4& & 4\\ 0& & 0& & 1& & 3\end{array}\right]$

পরবর্তী ধাপ হলো সমীকরণ ১ এবং ২ থেকে যথাক্রমে :$\begin{array}{cc}-1\ast [equation3]:& -x_3=-3\\ \underset{\_}{+[equation1]:}& \underset{\_}{x_1-2x_2+x_3=0}\\ \left[newequation1\right]:& x_1-2x_2=-3\end{array}\begin{array}{cc}4\ast [equation3]:& 4x_3=12\\ \underset{\_}{+[equation2]:}& \underset{\_}{x_2-4x_3=4}\\ \left[newequation2\right]:& x_2=16\end{array}$

জোটটি এখন দেখতে এইরকম:

$\begin{array}{c}{x}_1-2x_2=-3\\ x_2=16\\ x_3=3\end{array}\left[\begin{array}{ccccccc}1& & -2& & 0& & -3\\ 0& & 1& & 0& & 16\\ 0& & 0& & 1& & 3\end{array}\right]$

এখন আমরা রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধান পাওয়ার থেকে মাত্র এক ধাপ দূরে রয়েছি। শেষ ধাপটি হলো সমীকরণ ২-এর ২ গুণ সমীকরণ ১-এর সাথে যোগ করা। এটি করার মাধ্যমে আমরা রৈখিক সমীকরণ জোটটি পাবো, যা একটি লঘুকৃত ইচেলন রূপে রয়েছে:

$\begin{array}{c}{x}_1=29\\ x_2=16\\ x_3=3\end{array}\left[\begin{array}{ccccccc}1& & 0& & 0& & 29\\ 0& & 1& & 0& & 16\\ 0& & 0& & 1& & 3\end{array}\right]$

এখন যেহেতু রৈখিক সমীকরণ জোটটি সমাধান করা হয়েছে, এটি দেখাচ্ছে যে মূল জোটের একমাত্র সমাধান হলো $(29,16,3)$। তবে অনেক বেশি হিসাবনিকাশ জড়িত থাকার কারণে, নিজের কাজ পরীক্ষা করে নেওয়া একটি ভালো অভ্যাস। মূল সমীকরণ জোটে সমাধানটি প্রতিস্থাপন করার মাধ্যমে এটি করা হয়:

$(29)-2(16)+(3)=29-32+3=0$

$2(16)-8(3)=32-24=8$

$-4(29)+5(16)+9(3)=-116+80+27=-9$

এটি আমাদের দেখায় যে আমরা যে সমাধানটি পেয়েছি তা সঠিক, এবং অতএব এটিই মূল রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধান।