রৈখিক বীজগণিত/রৈখিক নির্ভরশীলতা

এই অধ্যায়ে আমরা কলামের রৈখিক নির্ভরতা সম্পর্কে সংক্ষেপে আলোচনা করব। পরবর্তীতে ভেক্টরের অংশে আমরা দেখব যে সাধারণভাবে রৈখিক নির্ভরতা বলতে কী বোঝায়। আপাতত, নির্ণায়কের ক্ষেত্রে এর প্রাসঙ্গিকতা আমরা বিবেচনা করব।

সংজ্ঞা

একটি ফিল্ড F এর অন্তর্গত n-সংখ্যক সংখ্যা বিশিষ্ট m টি কলাম বিবেচনা করি:

$C_{1}={\begin{Vmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{Vmatrix}},C_{2}={\begin{Vmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{Vmatrix}},..,C_{m}={\begin{Vmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{Vmatrix}}$

আমরা দুটি কলামের যোগফলকে এমন একটি কলাম হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি যার সংশ্লিষ্ট ভুক্তিগুলো যোগ করা হয়েছে। এছাড়া, ফিল্ড F এর কোনো সংখ্যা এবং একটি কলামের স্কেলার গুণফলকে এমন একটি কলাম হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার প্রতিটি ভুক্তিকে ওই সংখ্যাটি দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

আমরা নিচের যোগফলটিকে বলি—

$\alpha _{1}{\begin{Vmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{Vmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{Vmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{Vmatrix}}+..+\alpha _{m}{\begin{Vmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{Vmatrix}}$

যেকোনো ফিল্ড উপাদান $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$-এর জন্য একে $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ কলামগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ বলা হয়।

এখন ধরা যাক, এই কলামগুলো n-তম ক্রমের একটি নির্ণায়ক গঠন করে। তবে আমরা নিচের ফলাফলটি পাই:

উপপাদ্য :
যদি কলামগুলোর মধ্যে একটি অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ হয় তবে নির্ণায়কটির মান ০ হবে।

প্রমাণ :
আগে প্রমাণিত একটি উপপাদ্য অনুসারে, কোনো নির্ণায়কের একটি কলাম (বা সারি) যদি অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ হয় তবে ওই নির্ণায়কটি ০ হয়। যেহেতু একটি কলাম যা অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ তা নির্ণায়কের মধ্যেও অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবেই থাকে, তাই নির্ণায়কটির মান ০ হয়।

এই উপপাদ্যটির বিপরীতটিও সত্য, যা আমরা এই পৃষ্ঠায় পরবর্তীতে প্রমাণ করব।