রৈখিক বীজগণিত/রৈখিক চিত্রায়ন গণনা

আগের পরিচ্ছেদে আমরা বিস্তারিতভাবে দেখেছি যে, একটি রৈখিক চিত্রায়ন বা লিনিয়ার ম্যাপ আসলে কীভাবে কাজ করবে, তা পুরোপুরি নির্ভর করে এর ভিত্তির ওপর। নিচের সমীকরণটি স্পষ্টভাবে এই বিষয়টিই তুলে ধরে:

$h({\vec {v}})=h(c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n})=c_{1}\cdot h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {\beta }}_{n})$

এই গাণিতিক সম্পর্ক থেকে বোঝা যায় যে, যদি আমরা একটি ভিত্তির ভেক্টরগুলোর ওপর ওই চিত্রায়নটি কীভাবে কাজ করে বা কী ফল দেয় তা জানি, তবে ডোমেইনের যেকোনো ভেক্টর ${\vec {v}}$-এর জন্য ওই চিত্রায়নের মান নিখুঁতভাবে বের করতে পারব। এই প্রক্রিয়ার সফল প্রয়োগের জন্য আমাদের কেবল সেই স্কেলার সহগ বা $c$ মানগুলো খুঁজে বের করতে হবে, যার মাধ্যমে ভেক্টর ${\vec {v}}$-কে ওই নির্দিষ্ট ভিত্তির সাপেক্ষে একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে যথাযথভাবে প্রকাশ করা সম্ভব হয়।

বর্তমান পরিচ্ছেদটিতে এমন একটি সুশৃঙ্খল গাণিতিক কৌশল বা পদ্ধতি আলোচনা করা হয়েছে যা ডোমেইনের কোনো ভেক্টরের উপস্থাপনা ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ থেকে কো-ডোমেইনে ওই ভেক্টরটির প্রতিচ্ছবি বা ইমেজের উপস্থাপনা ${\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {v}}))$ বের করতে সাহায্য করে। এই হিসাবের ক্ষেত্রে আমরা $h({\vec {\beta }}_{1})$, ..., $h({\vec {\beta }}_{n})$-এর উপস্থাপনাগুলোকে মূল তথ্য হিসেবে ব্যবহার করি, যা রৈখিক রূপান্তরের গাণিতিক কাঠামোকে আরও সহজ করে তোলে।