রৈখিক বীজগণিত/রৈখিক অনির্ভরশীলতার সংজ্ঞা ও উদাহরণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১

নিচে প্রদত্ত $\mathbb {R} ^{3}$ ভেক্টর জগতের প্রতিটি উপসেট রৈখিকভাবে নির্ভরশীল নাকি রৈখিকভাবে স্বাধীন, তা নির্ধারণ করুন।

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}\}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}9\\9\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}12\\12\\-1\end{pmatrix}}\}$

উত্তর

এখানে প্রতিটি সমস্যার ক্ষেত্রে, যদি কোনো উপসেট রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় তবে তা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করতে হবে। অন্যদিকে, যদি উপসেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে সেক্ষেত্রে নির্ভরশীলতার একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ প্রদান করা আবশ্যক।

1. এই উপসেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। নিচের সমীকরণটি থেকে আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ জোট পাই:

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

   যা থেকে আমরা এই রৈখিক সমীকরণ জোটটি পাই:

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&+&2c_{2}&+&4c_{3}&=&0\\-3c_{1}&+&2c_{2}&-&4c_{3}&=&0\\5c_{1}&+&4c_{2}&+&14c_{3}&=&0\end{array}}$

   গাউসের অপনয়ন পদ্ধতি প্রয়োগ করলে দেখা যায়:

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&4&0\\-3&2&-4&0\\5&4&14&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{-5\rho _{1}+\rho _{3}}]{3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(3/4)\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&4&0\\0&8&8&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

   এই প্রক্রিয়াটি একটি মুক্ত চলক প্রদান করে, যার ফলে এই সমীকরণ জোটের অসংখ্য সমাধান পাওয়া সম্ভব। নির্ভরশীলতার একটি বিশেষ উদাহরণ তৈরির জন্য আমরা $c_{3}$ এর মান ধরি $1$। এর ফলে আমরা পাই $c_{2}=-1$ এবং $c_{1}=-2$।
2. এই উপসেটটিও রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এখানে যে রৈখিক সমীকরণ জোটটি তৈরি হয়, তা নিম্নরূপ:

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&3&0\\7&7&7&0\\7&7&7&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-7\rho _{1}+\rho _{3}}]{-7\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&3&0\\0&-7&-14&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

   এই সমীকরণ জোটটিরও অসংখ্য সমাধান বিদ্যমান। আমরা $c_{3}$ এর মান $1$ ধরে একটি নির্দিষ্ট সমাধান পেতে পারি। এরপর প্রাপ্ত মানগুলো সমীকরণে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আমরা $c_{2}$ এবং $c_{1}$ এর মান নির্ণয় করতে সক্ষম হব।
3. এই উপসেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। এই ক্ষেত্রে সমীকরণ জোটটি সমাধান করলে দেখা যায়:

   $\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}0&1&0\\0&0&0\\-1&4&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&4&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right)$

   এই সমীকরণ ব্যবস্থার একমাত্র সমাধান হলো $c_{1}=0$ এবং $c_{2}=0$। (প্রকৃতপক্ষে, আমরা কেবল পর্যবেক্ষণের মাধ্যমেই এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারতাম— কারণ এটি অত্যন্ত স্পষ্ট যে দ্বিতীয় ভেক্টরটি প্রথমটির কোনো গুণিতক নয় এবং একইভাবে প্রথম ভেক্টরটিও দ্বিতীয়টির গুণিতক নয়।)
4. এটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এখানে সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থাটি হলো:

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}9&2&3&12&0\\9&0&5&12&0\\0&1&-4&-1&0\end{array}}\right)$

   এই ব্যবস্থায় সমীকরণের সংখ্যার তুলনায় অজ্ঞাত রাশির সংখ্যা বেশি। ফলে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করলে অন্তত একটি চলক অবশ্যই মুক্ত বা স্বাধীন হিসেবে থেকে যাবে। যেহেতু এটি একটি সমজাতীয় বা হোমোজেনিয়াস সিস্টেম, তাই এখানে কোনো স্ববিরোধী সমীকরণ থাকার সম্ভাবনা নেই। এর মানে হলো, সবগুলোর মান শূন্য ধরে অন্তত একটা সমাধান অবশ্যই পাওয়া যাবে। অবশ্যই বিদ্যমান থাকবে। একটি নির্দিষ্ট রৈখিক সমাবেশ প্রদর্শনের জন্য আমরা নিচের রিডাকশন বা সংক্ষেপণ প্রক্রিয়াটি সম্পাদন করতে পারি:

   ${\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}9&2&3&12&0\\0&-2&2&0&0\\0&0&-3&-1&0\end{array}}\right)$

   এবং ধরা যাক, $c_{4}=1$। সেক্ষেত্রে আমরা পাই যে $c_{3}=-1/3$, $c_{2}=-1/3$, এবং $c_{1}=-31/27$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

${\mathcal {P}}_{3}$-এর এই উপসেটগুলোর মধ্যে কোনগুলো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং কোনগুলো রৈখিকভাবে স্বাধীন তা নির্ণয় করুন।

1. $\{3-x+9x^{2},5-6x+3x^{2},1+1x-5x^{2}\}$
2. $\{-x^{2},1+4x^{2}\}$
3. $\{2+x+7x^{2},3-x+2x^{2},4-3x^{2}\}$
4. $\{8+3x+3x^{2},x+2x^{2},2+2x+2x^{2},8-2x+5x^{2}\}$

উত্তর

রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়ার ক্ষেত্রে সেটি অবশ্যই গাণিতিকভাবে প্রমাণ করতে হবে। অন্যথায়, রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হলে একটি নির্দিষ্ট নির্ভরশীলতার সম্পর্ক প্রদর্শন করতে হবে। (অবশ্যই এখানে প্রদর্শিত নির্ভরশীলতা ছাড়াও অন্য কোনো নির্ভরশীলতার সম্পর্ক থাকা সম্ভব।)

1. এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। যদি আমরা $c_{1}(3-x+9x^{2})+c_{2}(5-6x+3x^{2})+c_{3}(1+1x-5x^{2})=0+0x+0x^{2}$ এই সম্পর্কটি স্থাপন করি, তবে আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা পাই:

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&5&1&0\\-1&-6&1&0\\9&3&-5&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{(1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(12/13)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&5&1&0\\0&-13&4&0\\0&0&-128/13&0\end{array}}\right)$

   এই সমীকরণ ব্যবস্থার কেবল একটিই অনন্য সমাধান রয়েছে: $c_{1}=0$, $c_{2}=0$, এবং $c_{3}=0$।
2. এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। রৈখিক স্বাধীনতার সংজ্ঞা থেকে সরাসরি পর্যবেক্ষণের মাধ্যমেই আমরা এটি বুঝতে পারি। এখানে স্পষ্টভাবে দেখা যাচ্ছে যে, একটি পদ অন্যটির গুণিতক নয়।
3. এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থাটিকে নিচের পদ্ধতিতে সংক্ষেপিত করা হয়েছে:

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&3&4&0\\1&-1&0&0\\7&2&-3&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-(7/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(17/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&3&4&0\\0&-5/2&-2&0\\0&0&-51/5&0\end{array}}\right)$

   যা প্রমাণ করে যে এখানে কেবল $c_{1}=0$, $c_{2}=0$, এবং $c_{3}=0$ সমাধানটিই বিদ্যমান।
4. এই সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থাটি হলো:

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}8&0&2&8&0\\3&1&2&-2&0\\3&2&2&5&0\end{array}}\right)$

   রিডাকশনের পর, সমীকরণগুলোতে অবশ্যই অন্তত একটি স্বাধীন চলক বা ফ্রি ভ্যারিয়েবল থেকে যাবে। এর মূল কারণ হলো, এখানে সমীকরণের চেয়ে চলকের সংখ্যা বেশি। এর মূল কারণ হলো, এখানে সমীকরণের সংখ্যার তুলনায় চলকের সংখ্যা অধিক এবং যেহেতু এটি একটি হোমোজেনিয়াস সমীকরণ ব্যবস্থা, তাই এখানে কোনো অসামঞ্জস্যপূর্ণ সমীকরণ তৈরি হওয়ার কোনো অবকাশ নেই। আমরা এই স্বাধীন চলকগুলোকে সমাধান বের করার জন্য প্যারামিটার হিসেবে ধরে নিতে পারি। এরপর, এই প্যারামিটারগুলোর মান শূন্য বাদে অন্য যেকোনো সংখ্যা বসিয়ে আমরা একটি অশূন্য বা নন-ট্রিভিয়াল রৈখিক সম্পর্ক পেতে পারি।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৩

প্রমাণ করুন যে, $\mathbb {R} ^{+}$থেকে $\mathbb {R}$-এ সংজ্ঞায়িত সকল ফাংশনের ভেক্টর স্পেসে নিচের প্রতিটি সেট $\{f,g\}$রৈখিকভাবে স্বাধীন।

1. $f(x)=x$ এবং $g(x)=1/x$
2. $f(x)=\cos(x)$ and $g(x)=\sin(x)$
3. $f(x)=e^{x}$ and $g(x)=\ln(x)$

উত্তর

ধরা যাক, $Z$ হলো একটি শূন্য ফাংশন যেখানে $Z(x)=0$; যা আলোচ্য ভেক্টর স্পেসের যোগজ অভেদ হিসেবে কাজ করে।

1. এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। এটি প্রমাণের জন্য আমরা $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ এই সমীকরণটি বিবেচনা করি। এখন সমীকরণটির সত্যতা যাচাই করার জন্য আমরা $x$-এর নির্দিষ্ট মান হিসেবে $1$ এবং $2$ গ্রহণ করে নিচের রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থাটি পাই:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot 1&+&c_{2}\cdot 1&=&0\\c_{1}\cdot 2&+&c_{2}\cdot (1/2)&=&0\end{array}}$

   এই সমীকরণ ব্যবস্থাটি সমাধান করলে আমরা অনন্য সমাধান হিসেবে $c_{1}=0$ এবং $c_{2}=0$ পাই।
2. এই সেটটিও রৈখিকভাবে স্বাধীন। এক্ষেত্রে $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ বিবেচনা করি এবং $x$-এর মান হিসেবে $x=0$ ও $x=\pi /2$ প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot 1&+&c_{2}\cdot 0&=&0\\c_{1}\cdot 0&+&c_{2}\cdot 1&=&0\end{array}}$

   যা থেকে অত্যন্ত স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, $c_{1}=0$ এবং $c_{2}=0$।
3. এই সেটটিও একইভাবে রৈখিকভাবে স্বাধীন। $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ সমীকরণে $x$-এর মান হিসেবে $x=1$ এবং $x=e$ বসিয়ে আমরা পাই:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot e&+&c_{2}\cdot 0&=&0\\c_{1}\cdot e^{e}&+&c_{2}\cdot 1&=&0\end{array}}$

   এখান থেকেও গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হয় যে, $c_{1}=0$ এবং $c_{2}=0$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

একক বাস্তব চলকবিশিষ্ট বাস্তব-মান ফাংশনের স্পেসের নিচের উপসেটগুলোর মধ্যে কোনটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং কোনটি রৈখিকভাবে স্বাধীন? (উল্লেখ্য যে, এখানে কিছু ধ্রুবক ফাংশনকে সংক্ষেপে উপস্থাপন করা হয়েছে; যেমন প্রথম উদাহরণে "$2$" বলতে ধ্রুবক ফাংশন $f(x)=2$-কে নির্দেশ করা হয়েছে।)

1. $\{2,4\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
2. $\{1,\sin(x),\sin(2x)\}$
3. $\{x,\cos(x)\}$
4. $\{(1+x)^{2},x^{2}+2x,3\}$
5. $\{\cos(2x),\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
6. $\{0,x,x^{2}\}$

উত্তর

প্রতিটি ক্ষেত্রে, যদি কোনো সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় তবে তা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করতে হবে, এবং যদি সেটটি নির্ভরশীল হয় তবে একটি সুনির্দিষ্ট নির্ভরশীলতার সম্পর্ক প্রদর্শনের মাধ্যমে তা ব্যাখ্যা করতে হবে।

1. এই সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। আমরা ত্রিকোণমিতির অত্যন্ত পরিচিত সম্পর্ক $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$ থেকে জানি যে, $2=c_{1}\cdot (4\sin ^{2}(x))+c_{2}\cdot (\cos ^{2}(x))$ সমীকরণটি তখনই সিদ্ধ হবে যখন আমরা সহগ হিসেবে $c_{1}=1/2$ এবং $c_{2}=2$ গ্রহণ করব।
2. এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। এটি যাচাই করার জন্য আমরা $c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot \sin(x)+c_{3}\cdot \sin(2x)=0$ সম্পর্কটি বিবেচনা করি (এখানে "$0$" বলতে শূন্য ফাংশনকে বোঝানো হয়েছে)। এখন $x$-এর মান হিসেবে যথাক্রমে $x=0$, $x=\pi /2$ এবং $x=\pi /4$ গ্রহণ করলে আমরা নিচের সমীকরণ জোটটি পাই:

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&&&&&=&0\\c_{1}&+&c_{2}&&&=&0\\c_{1}&+&({\sqrt {2}}/2)c_{2}&+&c_{3}&=&0\end{array}}$

   এই সমীকরণ জোটটির একমাত্র সমাধান হলো $c_{1}=0$, $c_{2}=0$, এবং $c_{3}=0$, যা প্রমাণ করে যে সেটটি স্বাধীন।
3. নিবিড়ভাবে পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে, এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। এখানে $\cos(x)=c\cdot x$ আকারের কোনো নির্ভরশীলতা থাকা সম্ভব নয়, কারণ কোসাইন ফাংশনটি কখনোই আইডেন্টিটি ফাংশনের গুণিতক হতে পারে না (এখানে আমরা অনুসিদ্ধান্ত ১.১৭ প্রয়োগ করছি)।
4. সাধারণ পর্যবেক্ষণের মাধ্যমেই আমরা বুঝতে পারি যে এখানে একটি নির্ভরশীলতা বিদ্যমান। যেহেতু বীজগাণিতিক সূত্রানুসারে $(1+x)^{2}=x^{2}+2x+1$, সেহেতু আমরা দেখতে পাই যে $c_{1}\cdot (1+x)^{2}+c_{2}\cdot (x^{2}+2x)=3$ সমীকরণটি $c_{1}=3$ এবং $c_{2}=-3$ মানের জন্য পুরোপুরি সত্য প্রমাণিত হয়।
5. এই সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এটি বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো ত্রিকোণমিতিক অভেদ $\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=\cos(2x)$ মনে করা। (মন্তব্য: যদি কেউ এই সূত্রটি মনে করতে না পারেন এবং $x$-এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পরীক্ষা করার চেষ্টা করেন, তবে তিনি কখনোই এমন কোনো সমীকরণ জোট পাবেন না যা একটি অনন্য সমাধান প্রদান করে। ফলে তিনি সেটটি স্বাধীন—এমন সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারবেন না। অবশ্য, সেই ব্যক্তি ভাবতে পারেন যে তিনি হয়তো সঠিক $x$ মানগুলো ব্যবহার করেননি, তবে কয়েকবার চেষ্টার পর অধিকাংশ মানুষই বুঝতে পারবেন যে এখানে আসলে একটি নির্ভরশীলতার সম্পর্ক বিদ্যমান।)
6. এই সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, কারণ এতে ভেক্টর স্পেসের শূন্য উপাদান বা জিরো অবজেক্ট (এক্ষেত্রে শূন্য বহুপদী) অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

সমস্যা ৫

সমীকরণ $\sin ^{2}(x)/\cos ^{2}(x)=\tan ^{2}(x)$ কি এটি প্রমাণ করে যে $\{\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x),\tan ^{2}(x)\}$ ফাংশন সেটটি বাস্তব সংখ্যার ব্যবধি $(-\pi /2..\pi /2)$-এর মধ্যে সংজ্ঞায়িত সকল বাস্তব-মানসম্পন্ন ফাংশনের সেটের একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল উপসেট?

উত্তর

না, উল্লিখিত সমীকরণটি কোনো রৈখিক সম্পর্ক নয়। প্রকৃতপক্ষে, এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। $x$-এর মান হিসেবে যথাক্রমে $0$, $\pi /6$ এবং $\pi /4$ গ্রহণ করলে যে সমীকরণ জোটটি তৈরি হয়, তা বিশ্লেষণ করলেই এই স্বাধীনতার প্রমাণ পাওয়া যায়।

সমস্যা ৬

কেন লেমা ১.৪-এ "স্বতন্ত্র" শব্দটি ব্যবহার করা হয়েছে?

উত্তর

এই সমীকরণটি $1\cdot {\vec {s}}+(-1)\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}$ মূলত একটি গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ বোঝানোর জন্য ব্যবহার করা হয়েছে। আর তা হলো, এই সমীকরণের কারণে ওই সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়ে যায় না।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৭

প্রমাণ করুন যে, একটি এশেলন আকারের ম্যাট্রিক্সে যে সারিগুলোর মান শূন্য নয়, সেগুলো পরস্পরের ওপর নির্ভরশীল নয় (অর্থাৎ তারা রৈখিকভাবে স্বাধীন)।

উত্তর

আমরা আগেই এটি গাণিতিকভাবে প্রমাণ করেছি। লিনিয়ার কম্বিনেশন লেমা বা রৈখিক সমাবেশ উপপাদ্য থেকে পরিষ্কার বোঝা যায় যে, এশেলন আকারের ম্যাট্রিক্সে শূন্য ছাড়া অন্য কোনো সারিকে বাকি সারিগুলোর যোগ-বিয়োগ বা গুণফল হিসেবে তৈরি করা যায় না। মূলত এই গঠনের কারণেই সারিগুলো একটির ওপর আরেকটি নির্ভর করে না, বরং স্বাধীন থাকে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৮

1. দেখান যে, যদি $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে $\{{\vec {u}},{\vec {u}}+{\vec {v}},{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}\}$ সেটটিও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।
2. $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ সেটের রৈখিক স্বাধীনতা বা নির্ভরশীলতার সাথে $\{{\vec {u}}-{\vec {v}},{\vec {v}}-{\vec {w}},{\vec {w}}-{\vec {u}}\}$ সেটের স্বাধীনতা বা নির্ভরশীলতার পারস্পরিক সম্পর্কটি কী?

উত্তর

1. ধরা যাক, $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। এর অর্থ হলো, যেকোনো গাণিতিক সম্পর্ক $d_{0}{\vec {u}}+d_{1}{\vec {v}}+d_{2}{\vec {w}}={\vec {0}}$ থেকে আমরা অনিবার্যভাবে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে $d_{0}=0$, $d_{1}=0$, এবং $d_{2}=0$। এখন, নতুন সেটটির জন্য সম্পর্কটি বিবেচনা করা যাক: $c_{1}({\vec {u}})+c_{2}({\vec {u}}+{\vec {v}})+c_{3}({\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}})={\vec {0}}$। এই সমীকরণটিকে বীজগাণিতিক নিয়মে পুনর্গঠন করলে আমরা পাই $(c_{1}+c_{2}+c_{3}){\vec {u}}+(c_{2}+c_{3}){\vec {v}}+(c_{3}){\vec {w}}={\vec {0}}$। এখানে যদি আমরা $d_{0}$ কে $c_{1}+c_{2}+c_{3}$, $d_{1}$ কে $c_{2}+c_{3}$, এবং $d_{2}$ কে $c_{3}$ হিসেবে বিবেচনা করি, তবে আমরা নিচের সমীকরণ ব্যবস্থাটি লাভ করি:

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&+&c_{3}&=&0\\&&c_{2}&+&c_{3}&=&0\\&&&&c_{3}&=&0\end{array}}$

   উপসংহার: এই সমীকরণ ব্যবস্থাটি সমাধান করলে দেখা যায় যে $c$ এর সকল মান অবশ্যই শূন্য হতে হবে। সুতরাং, সংজ্ঞানুসারে এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।
2. দ্বিতীয় সেটটি প্রকৃতপক্ষে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। কারণ নিচের সম্পর্কটি লক্ষ্য করুন:

   $1\cdot ({\vec {u}}-{\vec {v}})+1\cdot ({\vec {v}}-{\vec {w}})+1\cdot ({\vec {w}}-{\vec {u}})={\vec {0}}$

   এখানে ভেক্টরগুলোর সহগ (coefficients) শূন্য না হওয়া সত্ত্বেও তাদের সমষ্টি শূন্য হচ্ছে। ফলে, প্রথম সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হোক বা না হোক, এই দ্বিতীয় সেটটি সর্বদা নির্ভরশীল হিসেবেই গণ্য হবে।

সমস্যা ৯

উদাহরণ ১.১০-এ এটি প্রদর্শিত হয়েছে যে, একটি ফাঁকা সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন।

1. একটি মাত্র উপাদান বিশিষ্ট সেট কখন রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়?
2. দুটি উপাদান বিশিষ্ট সেটের ক্ষেত্রে রৈখিক স্বাধীনতার শর্তটি কী হবে?

উত্তর

1. একটি মাত্র উপাদান বিশিষ্ট সেট বা সিঙ্গেলটন সেট $\{{\vec {v}}\}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ হয়। যদি আমরা "যদি" (if) দিকটি বিবেচনা করি, যেখানে ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$, তবে আমরা লেমা ১.৪ প্রয়োগ করতে পারি। এক্ষেত্রে $c\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ সম্পর্কটি বিবেচনা করলে দেখা যায় যে, এর একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান হলো স্বাভাবিক বা ট্রিভিয়াল সমাধান, অর্থাৎ: $c=0$। আবার "কেবল যদি" দিকটির ক্ষেত্রে আমরা জানি, উদাহরণ ১.১১ স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করে যে শূন্য ভেক্টর সম্বলিত সেট $\{{\vec {0}}\}$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। ফলশ্রুতিতে, যদি $\{{\vec {v}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে হয়, তবে অবশ্যই ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ হতে হবে। (মন্তব্য: এই গাণিতিক সত্যটিকে অন্যভাবেও ব্যাখ্যা করা যায়। এটি মূলত লেমা ১.১৬-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচিত হতে পারে, যেখানে $S=\varnothing$ বা একটি ফাঁকা সেট হিসেবে ধরা হয়েছে।)
2. দুইটি উপাদান বিশিষ্ট একটি সেট তখনই রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের কোনো সদস্যই অন্যটির গুণিতক না হয়। এখানে বিশেষভাবে উল্লেখ্য যে, যদি সেটের কোনো একটি উপাদান শূন্য ভেক্টর হয়, তবে সেটি অন্যটির গুণিতক হিসেবে গণ্য হবে, ফলে এই বিশেষ ক্ষেত্রটিও এই সাধারণ নিয়মের আওতাভুক্ত। এই বক্তব্যটিকে সমতুল্যভাবে এভাবেও প্রকাশ করা যায়: একটি সেট রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে যদি এবং কেবল যদি এর একটি উপাদান অন্যটির গুণিতক হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব হয়। এই গাণিতিক প্রতিজ্ঞাটির প্রমাণ অত্যন্ত সহজ। একটি সেট $\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে যদি এবং কেবল যদি সেখানে এমন একটি রৈখিক সম্পর্ক $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ বিদ্যমান থাকে যেখানে $c_{1}\neq 0$ অথবা $c_{2}\neq 0$ (অথবা উভয়ই)। এই শর্তটি তখনই কার্যকর হয় যদি এবং কেবল যদি ${\vec {v}}_{1}=(-c_{2}/c_{1}){\vec {v}}_{2}$ অথবা ${\vec {v}}_{2}=(-c_{1}/c_{2}){\vec {v}}_{1}$ (অথবা উভয়ই) আকারে লেখা যায়।

সমস্যা ১০

যেকোনো ভেক্টর স্পেস $V$-এর ক্ষেত্রে, ফাঁকা সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে গণ্য হয়। কিন্তু সম্পূর্ণ ভেক্টর স্পেস $V$-এর সকল উপাদানের সেটের ক্ষেত্রে বিষয়টি কেমন হবে?

উত্তর

এই সেটটি একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট, কারণ এতে অবশ্যই শূন্য ভেক্টর অন্তর্ভুক্ত থাকে। সংজ্ঞানুসারে, যেকোনো সেটে শূন্য ভেক্টর থাকলে তা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়ে পড়ে।

সমস্যা ১১

প্রমাণ করুন যে, যদি $\{{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে এর সকল প্রকৃত উপসেটও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। অর্থাৎ: $\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}$, $\{{\vec {x}},{\vec {z}}\}$, $\{{\vec {y}},{\vec {z}}\}$, $\{{\vec {x}}\}$, $\{{\vec {y}}\}$, $\{{\vec {z}}\}$, এবং $\{\}$ প্রত্যেকেই রৈখিকভাবে স্বাধীন। এই ধারণাটি কি বিপরীতভাবেও সত্য (অর্থাৎ এটি কি একটি "কেবল যদি" শর্ত)?

উত্তর

এই প্রতিজ্ঞার প্রথম অংশ বা "যদি" অংশটি লেমা ১.১৪-এর মাধ্যমে সরাসরি প্রদান করা হয়েছে। তবে এর বিপরীত বক্তব্যটি (অর্থাৎ "কেবল যদি" অংশটি) গাণিতিকভাবে সত্য নয়। এর একটি উপযুক্ত উদাহরণ হিসেবে আমরা বাস্তব দ্বিমাত্রিক ভেক্টর স্পেস $\mathbb {R} ^{2}$ এবং নিচের ভেক্টরগুলো বিবেচনা করতে পারি:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {z}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১২

1. দেখান যে এটি

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}\}$

   উপরিউক্ত সেটটি হলো ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট।
2. এটি প্রদর্শন করুন যে, ${\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$ ভেক্টরটি $S$ সেটের স্প্যান-এর অন্তর্ভুক্ত। এটি প্রমাণ করার জন্য আমাদের এমন দুটি স্কেলার রাশি $c_{1}$ এবং $c_{2}$ খুঁজে বের করতে হবে যা একটি রৈখিক সম্পর্ক বা লিনিয়ার রিলেশনশিপ তৈরি করে।

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$

   এর পাশাপাশি আমাদের আরও প্রমাণ করতে হবে যে, $c_{1},c_{2}$-এর এই জোড়াটি অনন্য বা ইউনিক, অর্থাৎ এই নির্দিষ্ট মানগুলো ব্যতীত অন্য কোনো মান দ্বারা এই সমীকরণটি সিদ্ধ করা সম্ভব নয়।
3. মনে করি, $S$ হলো কোনো একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগতের একটি উপসেট এবং ${\vec {v}}$ ভেক্টরটি $[S]$ বা $S$-এর স্প্যানের মধ্যে অবস্থিত। এর অর্থ দাঁড়ায় এই যে, ${\vec {v}}$-কে $S$ সেটের অন্তর্ভুক্ত ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশন হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। এখন প্রমাণ করুন যে, যদি $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে $S$-এর ভেক্টরগুলোর যে রৈখিক সমাবেশের মাধ্যমে ${\vec {v}}$ গঠিত হয়, তা হবে সম্পূর্ণ অনন্য। এখানে অনন্যতা বলতে বোঝানো হয়েছে যে, ভেক্টরগুলোর ক্রম পরিবর্তন করা অথবা $0\cdot {\vec {s}}$ জাতীয় পদ যোগ বা বিয়োগ করা ছাড়া অন্য কোনোভাবে এই সমাবেশকে ভিন্নরূপে উপস্থাপন করা সম্ভব নয়। ফলশ্রুতিতে, একটি স্প্যানিং সেট হিসেবে $S$-কে এই বিশেষ অর্থে 'ন্যূনতম' বা মিনিমাল বলা যেতে পারে: $[S]$-এর প্রতিটি ভেক্টরকে ঠিক একবারই "স্পর্শ" করা বা গঠন করা সম্ভব—অর্থাৎ এর কোনো বিকল্প সমাবেশ নেই।
4. এটিও প্রমাণ করুন যে, যখন $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন থাকে না, তখন একাধিক ভিন্ন ভিন্ন রৈখিক সমাবেশের যোগফল একই ভেক্টর হিসেবে আত্মপ্রকাশ করতে পারে।

উত্তর

1. নিম্নোক্ত সমীকরণ থেকে উদ্ভূত রৈখিক ব্যবস্থা বা লিনিয়ার সিস্টেমটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে:

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

   এই সিস্টেমটির একমাত্র বা অনন্য সমাধান হলো $c_{1}=0$ এবং $c_{2}=0$।
2. একইভাবে, নিচের সমীকরণটি থেকে প্রাপ্ত রৈখিক ব্যবস্থাটি বিবেচনা করি:

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$

   এই ক্ষেত্রে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে আমরা দেখতে পাই যে, এর অনন্য সমাধানগুলো হলো $c_{1}=8/3$ এবং $c_{2}=-1/3$।
3. ধরি, $S$ একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট। এখন তর্কের খাতিরে ধরে নিই যে, ${\vec {v}}$ ভেক্টরটিকে দুটি ভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা যায়, যথা: ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ এবং ${\vec {v}}=d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$ (যেখানে ব্যবহৃত সকল ভেক্টরই $S$ সেটের সদস্য)। এমতাবস্থায়,

   $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {v}}=d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$

   সমীকরণটিকে বীজগাণিতিক রূপান্তরের মাধ্যমে নিম্নোক্তভাবে আবার সাজিয়ে লেখা সম্ভব:

   $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\dots -d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$

   গাণিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে এমন সম্ভাবনা থাকতেই পারে যে, ${\vec {s}}\,$ সেটের কিছু ভেক্টর এবং ${\vec {t}}\,$ সেটের কিছু ভেক্টর পরস্পর সমান; এমতাবস্থায় আমরা সংশ্লিষ্ট সহগগুলোকে একত্রিত করতে পারি (অর্থাৎ, যদি ${\vec {s}}_{i}={\vec {t}}_{j}$ হয়, তবে সমীকরণের অংশ $\cdots +c_{i}{\vec {s}}_{i}+\dots -d_{j}{\vec {t}}_{j}-\cdots$-কে আমরা নতুনভাবে $\cdots +(c_{i}-d_{j}){\vec {s}}_{i}+\cdots$ আকারে লিখতে পারি)। এই নতুন সমীকরণটি আসলে $S$ সেটের পৃথক বা স্বতন্ত্র সদস্যদের (সহগগুলো একত্রিত করার পরবর্তী অবস্থা) মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক বা লিনিয়ার রিলেশনশিপ নির্দেশ করে। আমাদের প্রাথমিক অনুমান অনুযায়ী, $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন বা লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট। আর রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের গাণিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, এই সম্পর্কের সকল সহগ অবশ্যই শূন্য হতে হবে। যদি $i$ এমন একটি সূচক হয় যার জন্য ${\vec {s}}_{i}$ ভেক্টরটি ${\vec {t}}_{j}$-এর কোনো ভেক্টরের সমান নয়, তবে স্বাভাবিকভাবেই $c_{i}$-এর মান শূন্য হবে। একইভাবে, যদি $j$ এমন হয় যে ${\vec {t}}_{j}$ ভেক্টরটি ${\vec {s}}_{i}$-এর কোনো ভেক্টরের সাথে মিলে না যায়, তবে $d_{j}$-এর মানও শূন্য হবে। সবশেষে, যে ক্ষেত্রগুলোতে ভেক্টরগুলো সমান, সেখানে আমরা পাই $c_{i}-d_{j}=0$ এবং ফলশ্রুতিতে $c_{i}=d_{j}$। অতএব, এটি প্রমাণিত হয় যে মূল যোগফল দুটি আসলে অভিন্ন, কেবল কিছু $0\cdot {\vec {s}}_{i}$ অথবা $0\cdot {\vec {t}}_{j}$ জাতীয় পদ থাকতে পারে যেগুলোকে আমরা নগণ্য হিসেবে বিবেচনা করে বর্জন করতে পারি।
4. নিচের এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন নয়:

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}\subset \mathbb {R} ^{2}$

   এবং লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে, নিচের এই দুটি রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশন একই ফলাফল প্রদান করছে:

   ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}=4\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

   সুতরাং, একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেটের ক্ষেত্রে অস্পষ্ট বা অভিন্ন নয় এমন যোগফল থাকতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, এক্ষেত্রে আরও একটি জোরালো বক্তব্য প্রদান করা সম্ভব: যদি কোনো সেট রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে অবশ্যই এমন বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান থাকবে যেখানে দুটি ভিন্ন রৈখিক সমাবেশ একই ভেক্টর প্রদান করবে। সংক্ষেপে বলতে গেলে, যেখানে $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}$ হয়, সেখানে এই সম্পর্কের উভয় পক্ষকে দুই দ্বারা গুণ করলে আমরা আরেকটি নতুন সম্পর্ক লাভ করি। যদি প্রথম সম্পর্কটি নগণ্য বা অশূন্য বা নন-ট্রিভিয়াল হয়, তবে দ্বিতীয় সম্পর্কটিও একইভাবে নগণ্য বা অশূন্য হবে।

সমস্যা ১৩

প্রমাণ করুন যে, একটি বহুপদী বা পলিনোমিয়াল তখনই একটি শূন্য ফাংশন তৈরি করে, যদি এবং কেবল যদি সেটি একটি শূন্য বহুপদী হয়। (মন্তব্য: এই প্রশ্নটি সরাসরি রৈখিক বীজগণিতের বিষয়বস্তু না হলেও, আমরা প্রায়শই এই ফলাফলটি ব্যবহার করে থাকি। একটি বহুপদী অত্যন্ত স্বাভাবিক নিয়মেই একটি ফাংশন তৈরি করে: $x\mapsto c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$।)

উত্তর

এই "যদি এবং কেবল যদি" উক্তিটির ক্ষেত্রে, "যদি" অংশটি অত্যন্ত সুস্পষ্ট— যদি কোনো বহুপদী বা পলিনোমিয়াল একটি শূন্য বহুপদী হয়, তবে সেই বহুপদীর ক্রিয়ার ফলে উদ্ভূত ফাংশনটি অবশ্যই একটি শূন্য ফাংশন $x\mapsto 0$ হবে। অর্থাৎ, ইনপুট হিসেবে যাই প্রদান করা হোক না কেন, আউটপুট সর্বদা শূন্যই আসবে। অন্যদিকে, "কেবল যদি" অংশটি প্রমাণের জন্য আমরা বহুপদীটিকে $p(x)=c_{n}x^{n}+\dots +c_{0}$ আকারে লিখতে পারি। এখন, এই সমীকরণে চলক হিসেবে শূন্য বসিয়ে অর্থাৎ $p(0)=0$ থেকে আমরা পাই যে ধ্রুবক পদ $c_{0}=0$। এরপর বহুপদীটির অন্তরজ বা ডেরিভেটিভ গ্রহণ করে সেখানে শূন্য বসালে, অর্থাৎ $p^{\prime }(0)=0$ থেকে দেখা যায় যে $c_{1}=0$। একইভাবে পর্যায়ক্রমে গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রতিটি সহগ $c_{i}$ শূন্য হিসেবে প্রমাণিত হয়, যার ফলে এটি নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে $p$ প্রকৃতপক্ষে একটি শূন্য বহুপদী।

সমস্যা ১৪

আবার ১.২ পরিচ্ছেদে ফিরে যান। বিন্দু, রেখা, সমতল ও অন্যান্য রৈখিক তলগুলোর সংজ্ঞা এমনভাবে নতুন করে লিখুন, যাতে কোনো ব্যতিক্রমী বা বিচ্যুত অবস্থা তৈরি না হয়।

উত্তর

এই পরিচ্ছেদের বিস্তারিত আলোচনা থেকে পরিষ্কার বোঝা যায় যে, একটি n-মাত্রিক সাধারণ (অ-বিচ্যুত) রৈখিক তলের সংজ্ঞা দেওয়া উচিত n সংখ্যক স্বাধীন ভেক্টরের বিস্তৃতি বা স্প্যান দিয়ে। অর্থাৎ, ভেক্টরগুলো যেন একটি আরেকটির ওপর নির্ভর না করে স্বাধীনভাবে পুরো তলটি তৈরি করতে পারে।

সমস্যা ১৫

1. দেখান যে, $\mathbb {R} ^{2}$ জগতের যেকোনো চারটি ভেক্টরের সেট সর্বদা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়।
2. এই ধারণাটি কি যেকোনো পাঁচটি ভেক্টরের সেটের জন্য সত্য? তিনটি ভেক্টরের যেকোনো সেটের জন্য কি এটি প্রযোজ্য?
3. $\mathbb {R} ^{2}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেটে সর্বোচ্চ কতটি উপাদান থাকতে পারে?

উত্তর

1. যেকোনো $a_{1,1}$, ..., $a_{2,4}$ মানের জন্য,

   $c_{1}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}a_{1,3}\\a_{2,3}\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}a_{1,4}\\a_{2,4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা প্রদান করে:

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}c_{1}&+&a_{1,2}c_{2}&+&a_{1,3}c_{3}&+&a_{1,4}c_{4}&=&0\\a_{2,1}c_{1}&+&a_{2,2}c_{2}&+&a_{2,3}c_{3}&+&a_{2,4}c_{4}&=&0\end{array}}$

   এই সমীকরণ ব্যবস্থাটির অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে (গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করলে এখানে অন্তত দুটি চলক স্বাধীন বা মুক্ত হিসেবে থেকে যায়)। ফলশ্রুতিতে, $\mathbb {R} ^{2}$-এর প্রদত্ত সদস্যগুলোর মধ্যে নগণ্য বা অশূন্য রৈখিক সম্পর্ক বিদ্যমান থাকে, যা তাদের রৈখিকভাবে নির্ভরশীলতা প্রমাণ করে।
2. যেকোনো পাঁচটি ভেক্টরের সেট হলো চারটি ভেক্টরের একটি সুপারসেট বা অধি-সেট, এবং যেহেতু যেকোনো চারটি ভেক্টরই নির্ভরশীল, তাই পাঁচটি ভেক্টরের সেটটিও অবশ্যই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে। আবার, $\mathbb {R} ^{2}$ থেকে তিনটি ভেক্টর গ্রহণ করলে পূর্ববর্তী পয়েন্টের যুক্তিটিই কার্যকর হয়; এক্ষেত্রে সামান্য পরিবর্তন হলো এই যে, গাউসের পদ্ধতিতে এখন অন্তত একটি চলক মুক্ত বা ফ্রি থাকে (যা তবুও অসীম সংখ্যক সমাধানের নিশ্চয়তা প্রদান করে)।
3. পূর্ববর্তী পয়েন্টটি থেকে এটি স্পষ্টভাবে প্রমাণিত হয় যে, $\mathbb {R} ^{2}$-এর কোনো তিন-উপাদান বিশিষ্ট উপসেট রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে পারে না। তবে আমরা জানি যে $\mathbb {R} ^{2}$-এ এমন দুই-উপাদান বিশিষ্ট উপসেট বিদ্যমান রয়েছে যা রৈখিকভাবে স্বাধীন— যার একটি আদর্শ উদাহরণ হলো:

   $\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}$

   এবং এই কারণে সঠিক উত্তরটি হলো দুই।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৬

$\mathbb {R} ^{3}$ জগতে কি এমন চারটি ভেক্টরের সেট থাকা সম্ভব, যার যেকোনো তিনটি ভেক্টর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করে?

উত্তর

হ্যাঁ, অবশ্যই সম্ভব; নিচে এমন একটি সেটের উদাহরণ প্রদান করা হলো।

$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\}$

সমস্যা ১৭

প্রতিটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেটের কি এমন কোনো উপসেট থাকা আবশ্যক যা নিজে নির্ভরশীল এবং অন্য একটি উপসেট যা রৈখিকভাবে স্বাধীন?

উত্তর

হ্যাঁ, এটি সত্য। এক্ষেত্রে দুটি অপ্রকৃত উপসেট, অর্থাৎ সম্পূর্ণ সেটটি নিজে এবং একটি ফাঁকা সেট, এর যথাযথ উদাহরণ হিসেবে কাজ করে। বস্তুত, যেকোনো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট নিজেই নিজের একটি নির্ভরশীল উপসেট এবং একটি ফাঁকা সেট সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে গণ্য হয়।

সমস্যা ১৮

চতুর্মাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগত $\mathbb {R} ^{4}$-এর ক্ষেত্রে, আপনি খুঁজে পেতে পারেন এমন বৃহত্তম রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটটি কী? এবং ক্ষুদ্রতমটিই বা কী? একইভাবে, বৃহত্তম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট এবং ক্ষুদ্রতম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট কোনগুলো? (এখানে "বৃহত্তম" এবং "ক্ষুদ্রতম" বলতে বোঝানো হয়েছে যে, একই বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন অন্য কোনো সুপারসেট বা উপসেট বিদ্যমান নেই।)

উত্তর

$\mathbb {R} ^{4}$ জগতে বৃহত্তম রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটে সর্বোচ্চ চারটি ভেক্টর থাকতে পারে। এই ধরনের সেটের অসংখ্য উদাহরণ থাকলেও নিচে একটি আদর্শ উদাহরণ প্রদান করা হলো:

$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

পাঁচটি বা তার বেশি ভেক্টর বিশিষ্ট কোনো সেট কেন রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে পারে না, তা গাণিতিকভাবে বোঝার জন্য আমরা নিচের সমীকরণটি সাজাতে পারি:

$c_{1}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\a_{3,1}\\a_{4,1}\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\\a_{3,2}\\a_{4,2}\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}a_{1,3}\\a_{2,3}\\a_{3,3}\\a_{4,3}\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}a_{1,4}\\a_{2,4}\\a_{3,4}\\a_{4,4}\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}a_{1,5}\\a_{2,5}\\a_{3,5}\\a_{4,5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

এবং লক্ষ্য করুন যে, এর ফলে প্রাপ্ত রৈখিক সমীকরণ জোটটিতে:

${\begin{array}{*{5}{rc}r}a_{1,1}c_{1}&+&a_{1,2}c_{2}&+&a_{1,3}c_{3}&+&a_{1,4}c_{4}&+&a_{1,5}c_{5}&=&0\\a_{2,1}c_{1}&+&a_{2,2}c_{2}&+&a_{2,3}c_{3}&+&a_{2,4}c_{4}&+&a_{2,5}c_{5}&=&0\\a_{3,1}c_{1}&+&a_{3,2}c_{2}&+&a_{3,3}c_{3}&+&a_{3,4}c_{4}&+&a_{3,5}c_{5}&=&0\\a_{4,1}c_{1}&+&a_{4,2}c_{2}&+&a_{4,3}c_{3}&+&a_{4,4}c_{4}&+&a_{4,5}c_{5}&=&0\end{array}}$

মোট চারটি সমীকরণ এবং পাঁচটি অজানা চলক রয়েছে। সমীকরণ সংখ্যার চেয়ে চলক সংখ্যা বেশি হওয়ায়, গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করলে দেখা যাবে যে অন্তত একটি $c$ চলক অবশ্যই মুক্ত চলক হিসেবে থেকে যাবে। এর অর্থ হলো, এই সমীকরণ জোটের অসংখ্য সমাধান বিদ্যমান। ফলশ্রুতিতে, চার-সারি বিশিষ্ট এই ভেক্টরগুলোর মধ্যে রৈখিক সম্পর্কের ক্ষেত্রে কেবল স্বাভাবিক বা ট্রিভিয়াল সমাধান ছাড়াও আরও অনেক সমাধান পাওয়া সম্ভব, যা প্রমাণ করে যে সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

অন্যদিকে, ক্ষুদ্রতম রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটটি হলো একটি ফাঁকা সেট।

ভেক্টর জগতের প্রেক্ষাপটে বিবেচনা করলে, রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেটগুলোর মধ্যে বৃহত্তম সেটটি হলো $\mathbb {R} ^{4}$। অন্যদিকে, এই ধরনের সেটগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সেট হিসেবে গণ্য করা হয় শূন্য ভেক্টর সংবলিত সেট $\{{\vec {0}}\}$-কে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৯

রৈখিক স্বাধীনতা এবং রৈখিক নির্ভরশীলতা মূলত সেটের বিশেষ গাণিতিক বৈশিষ্ট্য। স্বাভাবিকভাবেই আমাদের মনে এই প্রশ্ন জাগতে পারে যে, সেটের পরিচিত প্রাথমিক সম্পর্ক এবং প্রক্রিয়াগুলোর ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যগুলো কীভাবে কাজ করে। এই উপ-অনুচ্ছেদের মূল অংশে আমরা ইতিমধ্যে উপসেট এবং সুপারসেট সংক্রান্ত সম্পর্কগুলো বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এখন আমরা সেটের ছেদ, পূরক এবং সংযোগ প্রক্রিয়ার প্রভাবগুলোও গভীরভাবে খতিয়ে দেখতে পারি।

1. রৈখিক স্বাধীনতার সাথে সেটের ছেদ প্রক্রিয়ার সম্পর্ক কী? দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের ছেদ সেট কি স্বাধীন হতে পারে? এটি কি সর্বদা স্বাধীন হওয়া বাধ্যতামূলক?
2. রৈখিক স্বাধীনতার সাথে সেটের পূরক প্রক্রিয়ার সম্পর্কটি ব্যাখ্যা করো।
3. উদাহরণসহ দেখাও যে, দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের সংযোগ সেট সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন নাও হতে পারে।
4. প্রতিটি সেটের স্প্যান বা বিস্তৃতির ছেদবিন্দুর সাপেক্ষে, কখন দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের সংযোগ সেটটিও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে, তার গাণিতিক বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করো।

উত্তর

1. দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট $S\cap T$-এর ছেদ সেটটি অবশ্যই রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। এর কারণ হলো, এই ছেদ সেটটি মূল স্বাধীন সেট $S$-এর একটি উপসেট (এবং একইভাবে এটি স্বাধীন সেট $T$-এরও একটি উপসেট)। গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, কোনো স্বাধীন সেটের যেকোনো উপসেট সর্বদা স্বাধীন হয়।
2. একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের পূরক সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়। এর প্রধান কারণ হলো, এই পূরক সেটের মধ্যে সাধারণত শূন্য ভেক্টর অন্তর্ভুক্ত থাকে, যা যেকোনো সেটকে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল করে তোলে।
3. এই বিষয়টি প্রমাণের জন্য আমাদের একটি উপযুক্ত উদাহরণ উপস্থাপন করতে হবে। $\mathbb {R} ^{2}$ ভেক্টর জগতের ক্ষেত্রে একটি উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো:

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\}\quad {\text{এবং}}\quad T=\{{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}$

   এখানে $S\cup T$ সেটের রৈখিক নির্ভরশীলতা খুব সহজেই লক্ষ্য করা যায়, কারণ এখানে একটি ভেক্টর অন্যটির স্কেলার গুণিতক হিসেবে বিদ্যমান।
4. দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট $S\cup T$-এর সংযোগ সেট তখনই রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের স্প্যান বা বিস্তৃতির ছেদ সেটটি একটি ট্রিভিয়াল বা শূন্য বা নগণ্য সেট হয়, অর্থাৎ $[S]\cap [T]=\{{\vec {0}}\}$। এটি প্রমাণ করার জন্য, ধরা যাক $S$ এবং $T$ কোনো একটি ভেক্টর জগতের দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট। প্রমাণের "যদি" (if) অংশের জন্য ধরে নেওয়া যাক যে, স্প্যান দুটির ছেদ সেটটি শূন্য বা নগণ্য, অর্থাৎ $[S]\cap [T]=\{{\vec {0}}\}$। এখন $S\cup T$ সেটটি বিবেচনা করি। এই সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে যেকোনো রৈখিক সম্পর্ক $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$ থেকে আমরা লিখতে পারি $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}=-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\dots -d_{m}{\vec {t}}_{m}$। এই সমীকরণের বাম দিকের অংশটি $[S]$ স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত একটি ভেক্টর নির্দেশ করে এবং ডান দিকের অংশটি $[T]$ স্প্যানের একটি ভেক্টরকে নির্দেশ করে। যেহেতু স্প্যান দুটির ছেদ সেটটি শূন্য বা নগণ্য বা ট্রিভিয়াল, তাই সমীকরণের উভয় পক্ষই অবশ্যই শূন্য ভেক্টরের সমান হতে হবে। যেহেতু $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই সমস্ত $c$ সহগগুলোর মান শূন্য হতে বাধ্য। একইভাবে, $T$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়ায় সমস্ত $d$ সহগগুলোর মানও শূন্য হবে। ফলস্বরূপ, $S\cup T$-এর সদস্যদের মধ্যে মূল রৈখিক সম্পর্কটি কেবল তখনই বজায় থাকে যখন সমস্ত সহগ শূন্য হয়। এটিই অকাট্যভাবে প্রমাণ করে যে $S\cup T$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

প্রমাণের "যদি" অংশের ক্ষেত্রে আমরা বিপরীতভাবে একই যুক্তি প্রদান করতে পারি। যদি সংযোগ সেট $S\cup T$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, অর্থাৎ, যদি $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\cdots +d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$ সমীকরণের একমাত্র সমাধান হয় স্বাভাবিক বা ট্রিভিয়াল সমাধান $c_{1}=0$, ..., $d_{m}=0$, তবে স্প্যানসমূহের ছেদ সেটে অবস্থিত যেকোনো ভেক্টর ${\vec {v}}$, যাকে ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}=-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\cdots =d_{m}{\vec {t}}_{m}$ হিসেবে প্রকাশ করা যায়, তাকে অবশ্যই শূন্য ভেক্টর হতে হবে। এর কারণ হলো, রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়ার শর্তানুসারে প্রতিটি স্কেলারের মান শূন্য।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২০

উপপাদ্য ১.১২-এর জন্য,

1. প্রমাণের জন্য গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি বা ইন্ডাকশন (induction) অংশটি সম্পন্ন করুন;
2. একটি বিকল্প প্রমাণ উপস্থাপন করুন যা একটি ফাঁকা সেট থেকে শুরু হয় এবং প্রদত্ত সসীম সেটের রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেটগুলোর একটি অনুক্রম তৈরি করে, যতক্ষণ না এমন একটি উপসেট পাওয়া যায় যার স্প্যান প্রদত্ত সেটের স্প্যানের সমান হয়।

উত্তর

1. আমরা সসীম সেট $S$-এ বিদ্যমান ভেক্টরের সংখ্যার ওপর ভিত্তি করে গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি (induction) পরিচালনা করি। ভিত্তি ধাপ (base case) হিসেবে আমরা বিবেচনা করি যে $S$ সেটে কোনো উপাদান নেই। এই বিশেষ ক্ষেত্রে $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং এখানে নতুন করে যাচাই করার কিছু নেই— কারণ $S$-এর এমন একটি উপসেট যার স্প্যান $S$-এর সমান, তা মূলত $S$ সেট নিজেই। আরোহী ধাপের জন্য, আমরা ধরে নিই যে উপপাদ্যটি $n=0$, $n=1$, ..., $n=k$ আকারের সকল সেটের জন্য সত্য। এই অনুমানের ওপর ভিত্তি করে আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, যখন $S$ সেটে $n=k+1$ সংখ্যক উপাদান থাকে, তখনও এই উপপাদ্যটি কার্যকর থাকে। যদি $k+1$ সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট সেট $S=\{{\vec {s}}_{0},\dots ,{\vec {s}}_{k}\}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে উপপাদ্যটি অত্যন্ত সহজ বা শূন্য বা নগণ্য হিসেবে প্রমাণিত হয়। সুতরাং, আমরা ধরে নিই যে সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। অনুসিদ্ধান্ত ১.১৭ অনুযায়ী, সেখানে এমন একটি ভেক্টর ${\vec {s}}_{i}$ বিদ্যমান থাকবে যা $S$ সেটের অন্যান্য ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। এখন আমরা $S_{1}=S-\{{\vec {s}}_{i}\}$ হিসেবে একটি নতুন সেট সংজ্ঞায়িত করি এবং লেমা ১.১ অনুসারে লক্ষ্য করি যে, $S_{1}$ সেটের স্প্যান এবং মূল সেট $S$-এর স্প্যান একই। যেহেতু $S_{1}$ সেটে $k$ সংখ্যক উপাদান রয়েছে, তাই আরোহী অনুমান এখানে প্রয়োগ করা যায়, যা নির্দেশ করে যে $S_{1}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট রয়েছে যার স্প্যান $S_{1}$-এর সমান। $S_{1}$-এর সেই নির্দিষ্ট উপসেটটিই হবে $S$-এর কাঙ্ক্ষিত উপসেট।
2. নিচে যুক্তির একটি সংক্ষিপ্ত রূপরেখা প্রদান করা হলো। গাণিতিক আরোহ পদ্ধতির বিস্তারিত বিবরণ এখানে বাদ দেওয়া হয়েছে। যদি সসীম সেট $S$ ফাঁকা বা শূন্য হয়, তবে এখানে প্রমাণ করার মতো কিছু নেই। যদি $S=\{{\vec {0}}\}$ হয়, তবে একটি ফাঁকা উপসেটই এই উদ্দেশ্য পূরণের জন্য যথেষ্ট হবে। অন্যথায়, আমরা $S$ সেট থেকে একটি অশূন্য ভেক্টর ${\vec {s}}_{1}\in S$ গ্রহণ করি এবং $S_{1}=\{{\vec {s}}_{1}\}$ হিসেবে একটি নতুন সেট সংজ্ঞায়িত করি। যদি দেখা যায় যে $[S_{1}]=[S]$ শর্তটি পূরণ হচ্ছে, তবে এই প্রমাণটি এখানেই সমাপ্ত হবে; কারণ একটি মাত্র অশূন্য ভেক্টর বিশিষ্ট সেট $S_{1}$ সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে গণ্য হয়। আর যদি তা না হয়, তবে অবশ্যই $S-[S_{1}]$ সেটের মধ্যে এমন একটি অশূন্য ভেক্টর ${\vec {s}}_{2}$ বিদ্যমান থাকবে যা $[S_{1}]$-এর অন্তর্ভুক্ত নয় (উল্লেখ্য যে, যদি $S$ সেটের প্রতিটি ভেক্টর ${\vec {s}}$ ই $[S_{1}]$-এর অন্তর্ভুক্ত হতো, তবে $[S_{1}]=[S]$ হতো)। এখন আমরা $S_{2}=S_{1}\cup \{{\vec {s}}_{2}\}$ হিসেবে একটি বর্ধিত সেট সংজ্ঞায়িত করি। যদি এই ক্ষেত্রে $[S_{2}]=[S]$ হয়, তবে উপপাদ্য ১.১৭-এর সাহায্য নিয়ে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে $S_{2}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং এর মাধ্যমেই আমাদের প্রমাণটি সম্পন্ন হবে। যতক্ষণ না পর্যন্ত পর্যাপ্ত স্প্যান বিশিষ্ট একটি সেট পাওয়া যাচ্ছে, ততক্ষণ পর্যন্ত উপরের অনুচ্ছেদে বর্ণিত প্রক্রিয়াটির পুনরাবৃত্তি করতে হবে। যেহেতু $S$ একটি সসীম (finite) সেট, তাই এই প্রক্রিয়াটি অবশ্যই একসময় সমাপ্ত হবে। খুব বেশি হলে $S$ সেটের প্রতিটি ভেক্টর ব্যবহার করার পর অবশ্যই $[S]$-এ পৌঁছানো সম্ভব হবে।

সমস্যা ২১

সামান্য কিছু গাণিতিক গণনার মাধ্যমে আমরা এমন কিছু সূত্র বা ফর্মুলা তৈরি করতে পারি, যার সাহায্যে একগুচ্ছ ভেক্টর রৈখিকভাবে স্বাধীন কি না তা সহজেই নির্ধারণ করা সম্ভব।

1. দেখাও যে, $\mathbb {R} ^{2}$-এর এই উপসেটটি

   $\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$

   তখনই রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি $ad-bc\neq 0$ হয়।
2. দেখাও যে, $\mathbb {R} ^{3}$-এর এই উপসেটটি

   $\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$

   রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$ শর্তটি সত্য হয়।
3. $\mathbb {R} ^{3}$-এর এই উপসেটটি ঠিক কোন পরিস্থিতিতে রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে?

   $\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\}$

4. এটি একটি মতামতধর্মী প্রশ্ন: $\mathbb {R} ^{4}$ থেকে নেওয়া চারটি ভেক্টরের একটি সেটের ক্ষেত্রে, তাদের ষোলোটি উপাদানের সমন্বয়ে কি এমন কোনো সূত্র থাকা সম্ভব যা সেটটির স্বাধীনতা নির্ধারণ করবে? (তোমাকে এই সূত্রটি তৈরি করতে হবে না, শুধু এটি বিদ্যমান কি না সে বিষয়ে সিদ্ধান্ত দাও।)

উত্তর

1. প্রথমে আমরা ধরে নিই যে $a\neq 0$,

   $x{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   যা থেকে আমরা পাই

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&0\\cx&+&dy&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&0\\&&(-(c/a)b+d)y&=&0\end{array}}$

   উক্ত সমীকরণ জোটটির একটি সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি $0\neq -(c/a)b+d=(-cb+ad)/d$ হয় (যেহেতু আমরা এই ক্ষেত্রে $a\neq 0$ ধরে নিয়েছি, তাই ব্যাক-সাবস্টিটিউশন বা পশ্চাৎ-প্রতিস্থাপন পদ্ধতির মাধ্যমে একটি অনন্য সমাধান পাওয়া সম্ভব)। অন্যদিকে, $a=0$ হওয়ার ক্ষেত্রটিও খুব একটা জটিল নয়— এক্ষেত্রে বিষয়টিকে $c\neq 0$ এবং $c=0$ এই দুটি উপ-ক্ষেত্রে বিভক্ত করে বিশ্লেষণ করা যায়। লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে, এই উভয় ক্ষেত্রেই $ad-bc=0\cdot d-bc$ সম্পর্কটি কার্যকর থাকে। মন্তব্য। ইতিপূর্বে সম্পন্ন একটি গাণিতিক অনুশীলনীতে এটি স্পষ্টভাবে প্রদর্শিত হয়েছে যে, দুটি ভেক্টরের একটি সেট তখনই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে, যদি এবং কেবল যদি একটি ভেক্টর অন্যটির স্কেলার গুণিতক হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব হয়। গাণিতিক হিসাব-নিকাশ সম্পন্ন করার ক্ষেত্রে এই বিশেষ বৈশিষ্ট্যটিকে একটি অত্যন্ত কার্যকর হাতিয়ার হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে।
2. নিচে প্রদত্ত সমীকরণটি একটি সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেম বা 'হোমোজেনিয়াস লিনিয়ার সিস্টেম' তৈরি করে:

   $c_{1}{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

   আমরা এই সমীকরণটিকে প্রথমে একটি ম্যাট্রিক্স আকারে বিন্যস্ত করব এবং পরবর্তীতে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করে এর সমাধান প্রক্রিয়ায় অগ্রসর হব। প্রাথমিক পদক্ষেপ হিসেবে আমরা ম্যাট্রিক্সটিকে একটি ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজাকার বা 'আপার-ট্রায়াঙ্গুলার' রূপে রূপান্তর করব। এই প্রক্রিয়ার সুবিধার্থে আমরা শুরুতেই ধরে নিচ্ছি যে, $a\neq 0$।

   ${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{}]{(1/a)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\d&e&f&0\\g&h&i&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-g\rho _{1}+\rho _{3}}]{-d\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&(ae-bd)/a&(af-cd)/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(a/(ae-bd))\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   (এখানে সারি হ্রাসকরণ বা 'রো রিডাকশন' ধাপটি যথাযথভাবে সম্পন্ন করার উদ্দেশ্যে আমরা সাময়িকভাবে ধরে নিয়েছি যে, $ae-bd\neq 0$)। অতঃপর, গৃহীত এই অনুমান বা শর্তাবলির অধীনে আমরা নিম্নোক্ত ফলাফলটি প্রাপ্ত হই।

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{((ah-bg)/a)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&{\frac {b}{a}}&{\frac {c}{a}}&0\\0&1&{\frac {af-cd}{ae-bd}}&0\\0&0&{\frac {aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec}{ae-bd}}&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   উপরিউক্ত হিসাবটি এটিই নির্দেশ করে যে, মূল সিস্টেমটি তখনই নন-সিঙ্গুলার বা অনন্য সমাধানযোগ্য হবে, যদি এবং কেবল যদি ম্যাট্রিক্সের $3,3$ অবস্থানের ভুক্তিটি বা এন্ট্রিটি শূন্য না হয়। যেহেতু আমরা $ae-bd\neq 0$ শর্তটি আগেই ধরে নিয়েছি, তাই এই ভগ্নাংশটি গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত থাকে; এবং এই ভগ্নাংশটির মান তখনই শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি এর লব শূন্যের সমান হয়। পরবর্তী ধাপে আমরা আমাদের গৃহীত প্রাথমিক অনুমান বা শর্তাবলি নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব। প্রথমত, যদি এমন হয় যে $a\neq 0$ কিন্তু $ae-bd=0$, তবে সেক্ষেত্রে আমাদের সারি বিনিময়ের (swap) প্রয়োজন হবে:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&0&(af-cd)/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\\0&0&(af-cd)/a&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   এবং এর মাধ্যমে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, সিস্টেমটি তখনই নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি $ah-bg=0$ অথবা $af-cd=0$ এর মধ্যে যেকোনো একটি শর্ত পূরণ হয়। গাণিতিকভাবে এটি তাদের গুণফল শূন্য হওয়ার সমতুল্য, যা নিচে দেখানো হলো:

   ${\begin{array}{rl}ahaf-ahcd-bgaf+bgcd&=0\\ahaf-ahcd-bgaf+aegc&=0\\a(haf-hcd-bgf+egc)&=0\end{array}}$

   (প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারিতে যাওয়ার প্রক্রিয়ায় আমরা এই বিশেষ ক্ষেত্রটি বিবেচনা করেছি যেখানে $ae-bd=0$। এক্ষেত্রে আমরা গাণিতিক সমীকরণে $bd$-এর পরিবর্তে $ae$ প্রতিস্থাপন করে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি)। যেহেতু আমাদের প্রাথমিক অনুমান অনুযায়ী $a\neq 0$, তাই গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে আমরা পাই যে $haf-hcd-bgf+egc=0$ হবে। এখন $ae-bd=0$ শর্তটি ব্যবহার করে আমরা সমীকরণটিকে আমাদের কাঙ্ক্ষিত আকারে আবার লিখতে পারি: অর্থাৎ, যখন $a\neq 0$ এবং $ae-bd=0$ হয়, তখন প্রদত্ত সমীকরণ ব্যবস্থাটি তখনই নন-সিঙ্গুলার বা অবিচিত্র হবে যখন $haf-hcd-bgf+egc-i(ae-bd)=0$ শর্তটি পূরণ হয়, যা আমাদের প্রমাণের মূল উদ্দেশ্য ছিল। অবশিষ্ট ক্ষেত্রগুলোর গাণিতিক প্রকৃতিও অনেকটা একই রকম। যখন $a=0$ কিন্তু $d\neq 0$ হয়, অথবা যখন $a=0$ এবং $d=0$ হওয়া সত্ত্বেও $g\neq 0$ হয়, তখন প্রথমে সারিগুলো অদলবদল (swapping) করে নিতে হবে এবং এরপর উপরের বর্ণিত পদ্ধতি অনুসরণ করলেই কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া যাবে। আবার $a=0$, $d=0$, এবং $g=0$ হওয়ার ক্ষেত্রটি অত্যন্ত সহজ ও স্পষ্ট— কারণ কোনো সেটে যদি একটি শূন্য ভেক্টর বিদ্যমান থাকে, তবে সেই সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয় এবং গাণিতিক সূত্রটির মানও শূন্য হিসেবেই বেরিয়ে আসে।
3. এটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে যদি এবং কেবল যদি একটি ভেক্টর অন্যটির গুণিতক হয়। অন্যভাবে বলা যায়, এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন নয় যদি এবং কেবল যদি

   ${\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=s\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}$

   (অথবা উভয়ই) সত্য হয়, যেখানে $r$ এবং $s$ হলো নির্দিষ্ট কিছু স্কেলার রাশি। এখন এই শর্তটিকে শুধুমাত্র প্রদত্ত অক্ষর $a$, $b$, $d$, $e$, $g$, $h$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করার জন্য $r$ এবং $s$-কে অপনয়ন করলে আমরা দেখতে পাই যে, এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন নয়—অর্থাৎ এটি নির্ভরশীল—যদি এবং কেবল যদি $ae-bd=ah-gb=dh-ge$ হয়।
4. রৈখিক নির্ভরশীলতা বা স্বাধীনতা মূলত সূচক বা ইনডেক্সগুলোর একটি ফাংশন। তাই প্রকৃতপক্ষে এর জন্য একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক সূত্র বিদ্যমান রয়েছে (যদিও প্রথম দর্শনে কারো মনে হতে পারে যে এই সূত্রে বিভিন্ন শর্ত বা কেস থাকতে পারে: যেমন "যদি প্রথম ভেক্টরের প্রথম উপাদানটি শূন্য হয় তবে...", কিন্তু এই ধারণাটি শেষ পর্যন্ত সঠিক নয় বলে প্রমাণিত হয়েছে)।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২২

1. প্রমাণ করুন যে, $n>1$ হলে $\mathbb {R} ^{n}$ থেকে নেওয়া দুটি লম্ব এবং অশূন্য ভেক্টরের সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।
2. যদি $n=1$ অথবা $n=0$ হয়, তবে ফলাফল কী হবে?
3. দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে এই ধারণাটিকে সাধারণীকরণ করুন।

উত্তর

আমরা জানি, $\mathbb {R} ^{n}$-এর দুটি ভেক্টর তখনই লম্ব হয় যখন তাদের ডট গুণফলের মান শূন্য হয়।

1. ধরা যাক, $n>1$ মাত্রার ক্ষেত্রে ${\vec {v}}$ এবং ${\vec {w}}$ হলো দুটি লম্ব এবং অশূন্য ভেক্টর। এখন রৈখিক সম্পর্ক $c{\vec {v}}+d{\vec {w}}={\vec {0}}$ বিবেচনা করে এর উভয় পাশে ${\vec {v}}$ প্রয়োগ করলে আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে, $c\cdot |{\vec {v}}|^{2}+d\cdot 0=0$। যেহেতু ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$, তাই স্বাভাবিকভাবেই $c=0$ হবে। একইভাবে সমীকরণের উভয় পাশে ${\vec {w}}$ প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে $d=0$।
2. $\mathbb {R} ^{1}$ জগতের দুটি ভেক্টর তখনই লম্ব হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি ভেক্টর শূন্য হয়। আমরা $\mathbb {R} ^{0}$-কে একটি ট্রিভিয়াল বা শূন্য বা নগণ্য ভেক্টর স্পেস হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি। এই বিশেষ গাণিতিক কাঠামোতে ${\vec {v}}$ এবং ${\vec {w}}$ উভয়ই মূলত শূন্য ভেক্টর হিসেবে বিবেচিত হয়।
3. এই ধারণার সঠিক সাধারণীকরণ করতে হলে আমাদের $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ ভেক্টর সেটের দিকে দৃষ্টিপাত করতে হবে, যারা পরস্পর মিউচুয়ালি অর্থোগোনাল (যাকে জোড়ায় জোড়ায় লম্ব বা pairwise perpendicular-ও বলা হয়)। এর গাণিতিক অর্থ হলো, যদি $i\neq j$ হয়, তবে ${\vec {v}}_{i}$ ভেক্টরটি ${\vec {v}}_{j}$ ভেক্টরের ওপর লম্ব হবে। উপরে বর্ণিত প্রথম দফার প্রমাণের পদ্ধতিটি অনুসরণ করলে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, এই ধরনের অশূন্য ভেক্টরগুলোর সেট সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন বা লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট হিসেবে গণ্য হয়।

সমস্যা ২৩

মুক্ত ব্যবধি বা ওপেন ইন্টারভ্যাল $(-1..1)$ থেকে বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R}$-এ সংজ্ঞায়িত সকল ফাংশনের সেটটি বিবেচনা করুন।

1. প্রমাণ করুন যে, সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে এই ফাংশন সেটটি একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে।
2. অসীম গুণোত্তর প্রগতি বা ইনফিনিট জিওমেট্রিক সিরিজের সমষ্টির সূত্রটি মনে করুন: সকল $x\in (-1..1)$-এর জন্য $1+x+x^{2}+\cdots =1/(1-x)$। আমাদের আলোচিত ভেক্টর স্পেসের অন্তর্ভুক্ত সেট $\{g(x)=1/(1-x),f_{0}(x)=1,f_{1}(x)=x,f_{2}(x)=x^{2},\ldots \}$-এর মধ্যে এই সূত্রটি কেন কোনো রৈখিক নির্ভরশীলতা (dependence) প্রকাশ করে না? (ইঙ্গিত: রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের সংজ্ঞাটি আবার পর্যালোচনা করুন।)
3. দেখান যে, পূর্ববর্তী দফায় উল্লিখিত সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে, এমন কিছু ভেক্টর স্পেসের অস্তিত্ব রয়েছে যেখানে রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেটগুলো অসীম হতে পারে।

উত্তর

1. এই যাচাইকরণ প্রক্রিয়াটি অত্যন্ত সাধারণ এবং গাণিতিক নিয়মানুসারেই রুটিনমাফিক সম্পন্ন করা যায়।
2. এখানে সমষ্টিটি অসীম, অর্থাৎ এতে অসীম সংখ্যক পদ রয়েছে। অন্যদিকে, রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের গাণিতিক সংজ্ঞায় শুধুমাত্র সসীম সংখ্যক পদের সমষ্টিকে বিবেচনা করা হয়।
3. $\{g,f_{0},f_{1},\ldots \}$ সেটের সদস্যদের কোনো নগণ্য বা অশূন্য সসীম সমষ্টিই শূন্য অবজেক্ট বা শূন্য ফাংশন তৈরি করতে পারে না। ধরা যাক:

   $c_{0}\cdot (1/(1-x))+c_{1}\cdot 1+\dots +c_{n}\cdot x^{n}=0$

   (যেকোনো সসীম সমষ্টির ক্ষেত্রে একটি সর্বোচ্চ ঘাত থাকে, এখানে যা $n$)। এখন সমীকরণের উভয় পক্ষকে $1-x$ দ্বারা গুণ করলে এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে প্রতিটি সহগ অবশ্যই শূন্য হবে। কারণ একটি বহুপদী বা পলিনোমিয়াল তখনই শূন্য ফাংশন নির্দেশ করে যখন সেটি একটি শূন্য বহুপদী হয়।

সমস্যা ২৪

যদি $S$ কোনো ভেক্টর স্পেস $V$-এর একটি সাবস্পেস হয়, তবে দেখান যে $S$-এর একটি উপসেট $T$ যদি $S$-এ রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে $T$ অবশ্যই $V$-তেও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। এটি কি "কেবল যদি" শর্তটিও পূরণ করে?

উত্তর

এটি "যদি" এবং "কেবল যদি" উভয় শর্তই পূরণ করে।

ধরা যাক, $T$ হলো $V$ ভেক্টর স্পেসের সাবস্পেস $S$-এর একটি উপসেট। $T$-এর সদস্যদের মধ্যে যেকোনো রৈখিক সম্পর্ক $c_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {t}}_{n}={\vec {0}}$ অবশ্যই একটি শূন্য বা নগণ্য সম্পর্ক (অর্থাৎ $c_{1}=0$, ..., $c_{n}=0$) হতে হবে—এই দাবিটি $S$-এর ক্ষেত্রে তখনই সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি এটি $V$-এর ক্ষেত্রেও সত্য হয়। এর কারণ হলো, সাবস্পেস $S$ তার ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণনের গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো সরাসরি মূল ভেক্টর স্পেস $V$ থেকেই উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত হয়।