রৈখিক বীজগণিত/রৈখিক অনির্ভরশীলতার সংজ্ঞা ও উদাহরণ

বিস্তৃতি সেট এবং রৈখিক স্বাধীনতা

রৈখিক বীজগণিতের এই ধাপে আমরা প্রথমেই গাণিতিকভাবে এটি বোঝার চেষ্টা করব যে—ঠিক কোন অবস্থায় একটি সেট থেকে কোনো ভেক্টরকে সরিয়ে নিলেও সেই সেটের বিস্তৃতি বা 'স্প্যান' (span) একদম একই থাকে।

লেমা ১.১

ধরা যাক, $S$ হলো একটি ভেক্টর স্পেস $V$-এর একটি উপসেট। যেকোনো ভেক্টর ${\vec {v}}\in V$-এর জন্য,

$[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]\quad {\text{যদি এবং কেবল যদি}}\quad {\vec {v}}\in [S]$

শর্তটি সত্য হবে।

প্রমাণ

বাম দিক থেকে ডান দিকের প্রতিপাদনটি অত্যন্ত সহজবোধ্য এবং গাণিতিকভাবে সরাসরি অনুমেয়। যদি $[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]$ হয়, তবে যেহেতু স্বাভাবিকভাবেই ${\vec {v}}\in [S\cup \{{\vec {v}}\}]$, তাই এই দুটি সেটের সমতা থেকে এটি স্পষ্ট প্রতীয়মান হয় যে ${\vec {v}}\in [S]$ হবে।

ডান দিক থেকে বাম দিকের প্রতিপাদনের ক্ষেত্রে, আমরা প্রাথমিকভাবে ধরে নিই যে ${\vec {v}}\in [S]$। এখন আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]$। এটি প্রমাণের জন্য আমরা পারস্পরিক অন্তর্ভুক্তির (mutual inclusion) পদ্ধতিটি ব্যবহার করব। প্রথমত, $[S]\subseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ এই অন্তর্ভুক্তিটি অত্যন্ত স্বতঃসিদ্ধ বা স্পষ্ট। দ্বিতীয় অন্তর্ভুক্তির ক্ষেত্রে, অর্থাৎ $[S]\supseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ প্রমাণের জন্য, আমরা $[S\cup \{{\vec {v}}\}]$-এর যেকোনো একটি উপাদানকে $d_{0}{\vec {v}}+d_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {s}}_{m}$ আকারে লিখি। এরপর ${\vec {v}}$-এর পরিবর্তে একই সেটের অন্যান্য উপাদানের রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশন হিসেবে এর বিস্তৃতি $d_{0}(c_{0}{\vec {t}}_{0}+\dots +c_{k}{\vec {t}}_{k})+d_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {s}}_{m}$ প্রতিস্থাপন করি। এটি মূলত রৈখিক সমাবেশেরই একটি রৈখিক সমাবেশ, এবং $d_{0}$ বণ্টন করার পর আমরা শেষ পর্যন্ত $S$ সেটের ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ পাই। ফলশ্রুতিতে, $[S\cup \{{\vec {v}}\}]$-এর প্রতিটি সদস্যই $[S]$-এরও সদস্য হিসেবে গণ্য হয়।

উদাহরণ ১.২

ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্পেস বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর ক্ষেত্রে, যেখানে ভেক্টরগুলো হলো:

${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$

এখানে $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}]$ এবং $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3}\}]$ এই দুটি বিস্তৃতি বা স্প্যান পরস্পর সমান। এর কারণ হলো ${\vec {v}}_{3}$ ভেক্টরটি ইতিমধ্যেই $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}]$ বিস্তৃতির অন্তর্ভুক্ত একটি উপাদান।

উপরে বর্ণিত লেমাটি আমাদের এই শিক্ষা দেয় যে, যদি আমাদের কাছে একটি বিস্তৃতি সেট বা স্প্যানিং সেট থাকে, তবে আমরা সেখান থেকে একটি ভেক্টর ${\vec {v}}$ সরিয়ে নিয়ে একটি নতুন সেট $S$ গঠন করতে পারি যার বিস্তৃতি অপরিবর্তিত থাকবে। এটি কেবল তখনই সম্ভব যদি এবং কেবল যদি ${\vec {v}}$ ভেক্টরটি $S$ সেটের ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হয়। সুতরাং, উপরে বর্ণিত দ্বিতীয় ধারণা অনুযায়ী, একটি বিস্তৃতি সেটকে তখনই 'ন্যূনতম' (minimal) বলা যাবে যদি এবং কেবল যদি এতে এমন কোনো ভেক্টর না থাকে যা ওই সেটেরই অন্যান্য ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। গাণিতিক পরিভাষায় এই অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যটির একটি নির্দিষ্ট নাম রয়েছে।

সংজ্ঞা ১.৩

একটি ভেক্টর স্পেসের কোনো উপসেটকে তখনই রৈখিক স্বাধীন (linearly independent) বলা হয় যখন এর কোনো উপাদানই ওই সেটের অন্যান্য উপাদানের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। অন্যথায়, সেই সেটটিকে রৈখিক নির্ভরশীল হিসেবে অভিহিত করা হয়।

এই প্রসঙ্গে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ নিচে তুলে ধরা হলো:

${\vec {s}}_{0}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$

যদিও একটি ভেক্টরকে অন্য ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ (combination) হিসেবে প্রকাশ করার এই পদ্ধতিটি দৃশ্যত ${\vec {s}}_{0}$-কে অন্যান্য ভেক্টর থেকে আলাদা করে উপস্থাপন করে, তবে বীজগণিতীয় বা গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে ওই সমীকরণে ${\vec {s}}_{0}$-এর বিশেষ কোনো অনন্য বৈশিষ্ট্য নেই। প্রকৃতপক্ষে, যদি কোনো ভেক্টর ${\vec {s}}_{i}$-এর সহগ $c_{i}$ অশূন্য (nonzero) হয়, তবে আমরা সেই গাণিতিক সম্পর্কটিকে এমনভাবে আবার সাজিয়ে লিখতে পারি যাতে ${\vec {s}}_{i}$ ভেক্টরটি সমীকরণের একপাশে এককভাবে অবস্থান করে এবং বাকি ভেক্টরগুলো অন্যপাশে চলে যায়।

${\vec {s}}_{i}=(1/c_{i}){\vec {s}}_{0}+(-c_{1}/c_{i}){\vec {s}}_{1}+\dots +(-c_{n}/c_{i}){\vec {s}}_{n}$

যখন আমরা সমীকরণের একপাশে কোনো নির্দিষ্ট ভেক্টরকে আলাদাভাবে না লিখে বরং সবগুলোকে একত্রে বিবেচনা করতে চাই, তখন আমরা বলি যে ${\vec {s}}_{0},{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}$ ভেক্টরগুলো একটি রৈখিক সম্পর্ক বা লিনিয়ার রিলেশনশিপ (linear relationship)-এর মধ্যে রয়েছে। এক্ষেত্রে আমরা সমীকরণের একই পাশে সমস্ত ভেক্টরকে বিন্যস্ত করে সম্পর্কটি প্রকাশ করি। পরবর্তী ফলাফলটি রৈখিক অনির্ভরশীলতার (linear independence) সংজ্ঞাকে এই বিশেষ শৈলীতে নতুনভাবে ব্যাখ্যা করে। কোনো একটি সসীম সেট (finite set) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল নাকি অনির্ভরশীল, তা গাণিতিকভাবে নির্ণয় করার জন্য এটিই সাধারণত সবচেয়ে সহজ ও কার্যকর পদ্ধতি হিসেবে বিবেচিত হয়।

লেমা ১.৪

একটি ভেক্টর জগতের কোনো উপসেট $S$ রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল হবে যদি এবং কেবল যদি $S$-এর যেকোনো ভিন্ন ভিন্ন ভেক্টর ${\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\in S$-এর জন্য তাদের মধ্যকার একমাত্র রৈখিক সম্পর্কটি—

$c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}\qquad c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R}$

—একটি তুচ্ছ (trivial) সম্পর্ক হয়; অর্থাৎ: $c_{1}=0,\dots ,\,c_{n}=0$ হতে হবে।

প্রমাণ

এই লেমাটি মূলত উপরে বর্ণিত পর্যবেক্ষণের একটি সরাসরি যৌক্তিক ফলাফল।

যদি সেট $S$ রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল হয়, তবে সংজ্ঞানুযায়ী কোনো ভেক্টর ${\vec {s}}_{i}$-কেই $S$-এর অন্যান্য ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। ফলশ্রুতিতে, সেখানে এমন কোনো রৈখিক সম্পর্ক থাকা সম্ভব নয় যেখানে কোনো ${\vec {s}}\,$-এর সহগ অশূন্য হবে। অন্যদিকে, যদি $S$ রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল না হয় (অর্থাৎ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়), তবে কোনো একটি ভেক্টর ${\vec {s}}_{i}$ অবশ্যই অন্য ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশিত হবে, যেমন: ${\vec {s}}_{i}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{i-1}{\vec {s}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {s}}_{i+1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$। এখন, এই সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে ${\vec {s}}_{i}$ বিয়োগ করলে আমরা একটি রৈখিক সম্পর্ক পাই যেখানে অন্তত একটি অশূন্য সহগ বিদ্যমান, আর সেটি হলো ${\vec {s}}_{i}$-এর সামনে থাকা $-1$।

উদাহরণ ১.৫

দুই-সারিবিশিষ্ট সারি ভেক্টরগুলোর (two-wide row vectors) ভেক্টর জগতে, $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-50&25\end{pmatrix}}\}$ এই দুই-উপাদান বিশিষ্ট সেটটি রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল। এটি গাণিতিকভাবে যাচাই করার জন্য আমরা নিচের সমীকরণটি গঠন করি:

$c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}-50&25\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}$

এবং এই সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটটি সমাধান করলে আমরা পাই:

${\begin{array}{*{2}{rc}r}40c_{1}&-&50c_{2}&=&0\\15c_{1}&+&25c_{2}&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(15/40)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}40c_{1}&-&50c_{2}&=&0\\&&(175/4)c_{2}&=&0\end{array}}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, $c_{1}$ এবং $c_{2}$ উভয় ধ্রুবকের মানই শূন্য। এর ফলশ্রুতিতে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, প্রদত্ত সারি ভেক্টর (row vectors) দুটির মধ্যে বিদ্যমান একমাত্র রৈখিক সম্পর্কটি হলো তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল সম্পর্ক (trivial relationship)।

একই ভেক্টর জগতের (vector space) প্রেক্ষাপটে বিবেচনা করলে দেখা যায় যে, $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল । এর কারণ হলো, আমরা নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ করতে সক্ষম হই:

$c_{1}{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}$

এখানে $c_{1}=1$ এবং $c_{2}=-2$ মানগুলো গ্রহণ করলে সমীকরণটি সঠিকভাবে মিলে যায়, যা প্রমাণ করে যে ভেক্টরগুলো একে অপরের ওপর নির্ভরশীল। }}

মন্তব্য ১.৬

এই পাঠ্যপুস্তকের শুরুতে আলোচিত স্থিতিবিদ্যার (Statics) উদাহরণটির কথা আবার মনে করা যাক। সেখানে আমরা প্রথমে অজানা ভরের বস্তুগুলোকে $40$ সেমি এবং $15$ সেমি দূরত্বে স্থাপন করে একটি ভারসাম্য অবস্থা অর্জন করেছিলাম। পরবর্তীতে, বস্তুগুলোকে $-50$ সেমি এবং $25$ সেমি দূরত্বে স্থাপন করে আবার ভারসাম্য লাভ করি। তথ্যের এই দুটি ভিন্ন উৎস ব্যবহার করে আমরা অজানা ভরগুলোর মান নিখুঁতভাবে গণনা করতে সক্ষম হয়েছিলাম। কিন্তু এর পরিবর্তে যদি আমরা প্রথমে বস্তুগুলোকে $40$ সেমি ও $15$ সেমি দূরত্বে এবং দ্বিতীয়বার $20$ সেমি ও $7.5$ সেমি দূরত্বে স্থাপন করতাম, তবে আমরা কোনোভাবেই অজানা ভরগুলোর মান নির্ণয় করতে পারতাম না (পাঠক চাইলে এটি নিজে চেষ্টা করে দেখতে পারেন)। সহজভাবে বা স্বজ্ঞাতভাবে বলতে গেলে, এখানে মূল সমস্যাটি হলো ${\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}$ সংক্রান্ত তথ্যটি আসলে ${\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}$ তথ্যেরই একটি পুনরাবৃত্তি মাত্র। গাণিতিক ভাষায়, ${\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}$ ভেক্টরটি $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}\}$ সেটের স্প্যান (span)-এর মধ্যেই অবস্থান করছে। ফলস্বরূপ, আমরা মূলত একটি মাত্র কার্যকর তথ্য ব্যবহার করে দুটি অজানা রাশির মান বের করার চেষ্টা করছিলাম, যা গাণিতিকভাবে অসম্ভব।

উদাহরণ ১.৭

বাস্তব সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী সমূহের জগত বা স্পেস ${\mathcal {P}}_{2}$-এ $\{1+x,1-x\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent)। এর কারণ বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে:

$0+0x+0x^{2}=c_{1}(1+x)+c_{2}(1-x)=(c_{1}+c_{2})+(c_{1}-c_{2})x+0x^{2}$

এই সমীকরণটি থেকে আমরা সহগগুলোর সমতা বিধানের মাধ্যমে একটি সমীকরণ জোট পাই:

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&0\\c_{1}&-&c_{2}&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&0\\&&2c_{2}&=&0\end{array}}\end{array}}$

যেহেতু দুটি বহুপদী তখনই সমান হয় যখন তাদের সংশ্লিষ্ট সহগগুলো পরস্পর সমান হয়, তাই উপরের সমীকরণ জোটটি সমাধান করলে দেখা যায় যে, ${\mathcal {P}}_{2}$-এর এই দুটি সদস্যের মধ্যে একমাত্র রৈখিক সম্পর্কটি হলো তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল সম্পর্ক, যেখানে সহগগুলোর মান অবশ্যই শূন্য হতে হবে।

উদাহরণ ১.৮

ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগত $\mathbb {R} ^{3}$-এর ক্ষেত্রে, যেখানে ভেক্টরগুলো নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত:

${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\9\\2\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}4\\18\\4\end{pmatrix}}$

এখানে $S=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এর কারণ হলো, এদের মধ্যে এমন একটি গাণিতিক সম্পর্ক বিদ্যমান:

$0\cdot {\vec {v}}_{1}+2\cdot {\vec {v}}_{2}-1\cdot {\vec {v}}_{3}={\vec {0}}$

যেখানে সকল স্কেলারের মান শূন্য নয়। এখানে লক্ষ্যণীয় যে, অন্তত একটি স্কেলারের মান অশূন্য হলেই সেটটি নির্ভরশীল হিসেবে গণ্য হয়; কিছু স্কেলারের মান শূন্য হওয়া এখানে কোনো প্রতিবন্ধকতা সৃষ্টি করে না।

মন্তব্য ১.৯

এই উদাহরণটি স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করে যে, কেন সংজ্ঞা ১.৩ রৈখিক অনির্ভরশীলতা (linear independence) আসলে কী, সে সম্পর্কে একটি স্বচ্ছ ধারণা প্রদান করা সত্ত্বেও গাণিতিক হিসাব-নিকাশ বা গণনার ক্ষেত্রে লেমা ১.৪ অধিকতর কার্যকর ও উপযোগী। যদি কেউ সরাসরি সংজ্ঞার ওপর ভিত্তি করে কোনো সেট $S$ রৈখিক অনির্ভরশীল কি না তা যাচাই করতে চান, তবে তাকে প্রতিটি ভেক্টরকে অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করার চেষ্টা করার মাধ্যমে কাজ শুরু করতে হবে। যেমন, তিনি ${\vec {v}}_{1}=c_{2}{\vec {v}}_{2}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$ সমীকরণটি গঠন করে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারেন যে, এমন কোনো $c_{2}$ এবং $c_{3}$ এর অস্তিত্ব নেই যা এই সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। তবে শুধুমাত্র প্রথম ভেক্টরটি অন্য দুটির ওপর নির্ভরশীল নয়—এটুকু জানাই যথেষ্ট নয়। ওই ব্যক্তিকে আবার ${\vec {v}}_{2}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$ সমীকরণটি পরীক্ষা করে দেখতে হবে, যার ফলে তিনি $c_{1}=0$ এবং $c_{3}=1/2$ এর মতো একটি নির্ভরশীলতা খুঁজে পেতে পারেন। এর বিপরীতে, লেমা ১.৪ প্রয়োগ করলে মাত্র একটি একক গণনার মাধ্যমেই একই সিদ্ধান্তে পৌঁছানো সম্ভব হয়।

উদাহরণ ১.১০

কোনো ভেক্টর জগতের (vector space) একটি শূন্য উপসেট (empty subset) সর্বদা রৈখিক অনির্ভরশীল হিসেবে গণ্য হয়। যেহেতু এই সেটের কোনো সদস্য বা উপাদান নেই, তাই এর সদস্যদের মধ্যে কোনো প্রকার অ-তুচ্ছ রৈখিক সম্পর্ক (nontrivial linear relationship) বিদ্যমান থাকার কোনো অবকাশ নেই।

উদাহরণ ১.১১

যেকোনো ভেক্টর জগতের ক্ষেত্রে, যদি কোনো উপসেটে শূন্য ভেক্টর (zero vector) অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে সেই উপসেটটি অবশ্যই রৈখিক নির্ভরশীল হবে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত বহুপদী রাশির জগত ${\mathcal {P}}_{2}$-এর কথা বিবেচনা করা যাক। এখানে $\{1+x,x+x^{2},0\}$ উপসেটটি লক্ষ্য করুন।

এই উপসেটটি যে রৈখিক নির্ভরশীল, তা বোঝার একটি উপায় হলো লেমা ১.৪ ব্যবহার করা: আমরা দেখতে পাই যে, $0\cdot {\vec {v}}_{1}+0\cdot {\vec {v}}_{2}+1\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ সমীকরণটি সত্য। এখানে সহগগুলোর সবকটি শূন্য নয় (যেহেতু ১ একটি অশূন্য সহগ), তাই এটি একটি অ-তুচ্ছ বা অশূন্য সম্পর্ক নির্দেশ করে। এই উপসেটটির নির্ভরশীলতা প্রমাণের আরেকটি পদ্ধতি হলো সরাসরি সংজ্ঞা ১.৩ অনুসরণ করা: আমরা এই সেটের তৃতীয় সদস্যটিকে প্রথম দুটি সদস্যের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করতে পারি। অর্থাৎ, $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ সমীকরণটি $c_{1}=0$ এবং $c_{2}=0$ মান গ্রহণের মাধ্যমে সিদ্ধ হয় (লেমার বিপরীতে, সংজ্ঞার ক্ষেত্রে সকল সহগ শূন্য হওয়ার অনুমতি রয়েছে)।

(এই উপসেটটি যে নির্ভরশীল তা বোঝার আরও একটি সূক্ষ্মতর উপায় রয়েছে। শূন্য ভেক্টর মূলত একটি তুচ্ছ সমষ্টির (trivial sum) সমান, অর্থাৎ এটি কোনো ভেক্টর না থাকার সমষ্টির সমান। সুতরাং, যে সেটে শূন্য ভেক্টর বিদ্যমান, সেখানে এমন একটি উপাদান থাকে যাকে ওই সেটের অন্যান্য ভেক্টরের সংগ্রহ থেকে তৈরি একটি সমাবেশ হিসেবে লেখা সম্ভব। নির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, শূন্য ভেক্টরকে একটি খালি সংগ্রহের সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়।)

উপরের উদাহরণগুলো, বিশেষ করে উদাহরণ ১.৫, এই পরিচ্ছেদের শুরুতে করা আলোচনাগুলোকে আরও জোরালোভাবে প্রতিষ্ঠিত করে। পরবর্তী ফলাফলটি আমাদের জানায় যে, কোনো সসীম সেট দেওয়া থাকলে, মন্তব্য ১.৬-এ উল্লিখিত তথাকথিত "পুনরাবৃত্তি" (repeats) বা অতিরিক্ত উপাদানগুলো বর্জন করার মাধ্যমে আমরা একটি রৈখিক অনির্ভরশীল উপসেট তৈরি করতে পারি।

উপপাদ্য ১.১২

যেকোনো ভেক্টর জগতের (vector space) ক্ষেত্রে, এর প্রতিটি সসীম উপসেটের (finite subset) এমন একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট (linearly independent subset) বিদ্যমান থাকে, যার স্প্যান বা বিস্তার মূল উপসেটটির স্প্যানের সমান।

প্রমাণ

ধরা যাক,$S=\{{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\}$ একটি সেট। যদি এই $S$ সেটটি নিজেই রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে উপপাদ্যের শর্তটি ইতিমধ্যেই পূরণ হয়ে গেছে এবং$S$ নিজেই সেই কাঙ্ক্ষিত উপসেট। সুতরাং, প্রমাণের সুবিধার্থে আমরা ধরে নিচ্ছি যে, এই সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল ।

রৈখিক নির্ভরশীলতার সংজ্ঞা অনুযায়ী, এই সেটের মধ্যে অন্তত এমন একটি ভেক্টর${\vec {s}}_{i}$ বিদ্যমান থাকবে যাকে সেটের অন্যান্য ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। আমরা এই নির্দিষ্ট ভেক্টরটিকে${\vec {v}}_{1}$ হিসেবে অভিহিত করি। এখন এই ভেক্টরটিকে বর্জন করা যাক— এবং একটি নতুন সেট$S_{1}=S-\{{\vec {v}}_{1}\}$ সংজ্ঞায়িত করি। লেমা ১.১ অনুযায়ী, কোনো সেট থেকে এমন একটি ভেক্টর সরিয়ে নিলে যা অন্য ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ, তবে সেই সেটের স্প্যান বা বিস্তৃতির কোনো সংকোচন ঘটে না, অর্থাৎ$[S_{1}]=[S]$।

এখন, যদি নবগঠিত$S_{1}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে আমাদের প্রমাণ এখানেই সমাপ্ত। অন্যথায়, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের প্রক্রিয়াটি আবার অনুসরণ করতে হবে: অর্থাৎ$S_{1}$ সেটের অন্যান্য সদস্যদের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায় এমন একটি ভেক্টর${\vec {v}}_{2}$ গ্রহণ করি এবং সেটিকে বর্জন করে$S_{2}=S_{1}-\{{\vec {v}}_{2}\}$ সেটটি গঠন করি, যাতে করে$[S_{2}]=[S_{1}]$ বজায় থাকে। এই প্রক্রিয়াটি ততক্ষণ পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করতে হবে যতক্ষণ না একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট$S_{j}$ আবির্ভূত হয়; যেহেতু মূল সেট$S$ সসীম এবং একটি ফাঁকা সেট (empty set) গাণিতিকভাবে রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই এমন একটি সেট অবশ্যই একসময় পাওয়া যাবে। (আনুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, এই যুক্তিতে প্রারম্ভিক সেটের উপাদান সংখ্যা$n$-এর ওপর গাণিতিক আরোহী পদ্ধতি বা ইনডাকশন ব্যবহার করা হয়েছে। সমস্যা ২০ তে এই প্রমাণের বিস্তারিত বিবরণ চাওয়া হয়েছে।)

উদাহরণ ১.১৩

নিচের এই সেটটি$\mathbb {R} ^{3}$ জগতকে স্প্যান বা বিস্তৃত করে।

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}\}$

এদের মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক অনুসন্ধান করলে দেখা যায়:

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

উপরোক্ত সমীকরণটি থেকে তিনটি সমীকরণ এবং পাঁচটি অজানা রাশি সংবলিত একটি রৈখিক সমীকরণ জোট পাওয়া যায়, যার সমাধান সেটকে নিচের পদ্ধতিতে পরামিতিকরণ (parametrized) করা সম্ভব।

$\{{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\\c_{5}\end{pmatrix}}=c_{3}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}-3\\-3/2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{3},c_{5}\in \mathbb {R} \}$

সুতরাং এটি প্রমাণিত হয় যে,$S$ সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এখানে$c_{3}=0$ এবং$c_{5}=1$ স্থাপন করলে দেখা যায় যে, সেটের পঞ্চম ভেক্টরটি আসলে প্রথম দুটি ভেক্টরের একটি রৈখিক সমাবেশ। ফলশ্রুতিতে, লেমা ১.১ অনুযায়ী বলা যায় যে, এই পঞ্চম ভেক্টরটিকে বর্জন করলে...

$S_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}\}$

এই প্রক্রিয়াটি স্প্যান বা ব্যাপ্তিকে অপরিবর্তিত রাখে, অর্থাৎ গাণিতিকভাবে $[S_{1}]=[S]$। এখন লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, $S_{1}$ সেটের তৃতীয় ভেক্টরটি আসলে প্রথম দুটি ভেক্টরের একটি রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে বিদ্যমান, এবং এর ফলে আমরা পাই:

$S_{2}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}\}$

এই নতুন সেটটির স্প্যান বা ব্যাপ্তি $S_{1}$-এর মতোই রয়ে গেছে, এবং ফলস্বরূপ এটি মূল সেট $S$-এর স্প্যানের সাথেও অভিন্ন। তবে এখানে একটি মৌলিক পার্থক্য বিদ্যমান। $S_{2}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন বা লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট (এটি খুব সহজেই যাচাই করা সম্ভব), এবং এর ফলে এই সেটের যেকোনো একটি উপাদানকে বর্জন বা বাদ দিলে এর স্প্যান বা ব্যাপ্তি সংকুচিত হয়ে যাবে। }}

রৈখিক স্বাধীনতা এবং উপসেট সম্পর্ক

উপপাদ্য ১.১২-তে মূলত উপসেট গ্রহণের মাধ্যমে বা সেটকে সংকুচিত করার মাধ্যমে কীভাবে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট তৈরি করা যায়, তার গাণিতিক বর্ণনা প্রদান করা হয়েছে। আমরা এই উপ-অনুচ্ছেদটি শেষ করব রৈখিক স্বাধীনতা এবং রৈখিক নির্ভরশীলতা—যা মূলত সেট বা সংকলনের বিশেষ বৈশিষ্ট্য—সেগুলোর সাথে সেটের উপসেট সম্পর্কের পারস্পরিক ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়া পর্যালোচনার মাধ্যমে।

সহায়ক উপপাদ্য ১.১৪ (Lemma 1.14)

যেকোনো রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের যেকোনো উপসেটও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। একইভাবে, যেকোনো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেটের যেকোনো সুপারসেট বা অধি-সেটও রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে।

প্রমাণ

বিষয়টি অত্যন্ত স্পষ্ট এবং গাণিতিকভাবে স্বতঃসিদ্ধ।

অন্যভাবে পুনরুল্লেখ করলে বলা যায় যে, উপসেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক স্বাধীনতা সংরক্ষিত থাকে এবং সুপারসেট বা অধি-সেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক নির্ভরশীলতা সংরক্ষিত হয়।

আমরা যে চারটি সম্ভাব্য পারস্পরিক সম্পর্কের কথা বিবেচনা করতে পারি, তার মধ্যে এগুলো হলো দুটি ক্ষেত্র। তৃতীয় ক্ষেত্রটি হলো—উপসেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক নির্ভরশীলতা সংরক্ষিত হয় কি না। এই বিষয়টি মূলত উদাহরণ ১.১৩-তে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে, যেখানে একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট $S$-এর এমন একটি উপসেট $S_{1}$ দেখানো হয়েছে যা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল, আবার অন্য একটি উপসেট $S_{2}$ দেখানো হয়েছে যা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

এর ফলে আর একটি মাত্র ক্ষেত্র বাকি থাকে, তা হলো—সুপারসেট বা অধি-সেট প্রক্রিয়ার মাধ্যমে রৈখিক স্বাধীনতা সংরক্ষিত হয় কি না। পরবর্তী উদাহরণটি এই বিশেষ ক্ষেত্রে কী ঘটতে পারে তা স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করে।

{{TextBox|1=

উদাহরণ ১.১৫

নিচের তিনটি অনুচ্ছেদের প্রতিটিতেই উপসেট $S$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে বিবেচিত হয়েছে।

নিম্নোক্ত সেটটির ক্ষেত্রে:

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\}$

এর স্প্যান বা ব্যাপ্তি $[S]$ হলো ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার $x$ অক্ষ। এখানে $S$-এর দুটি সুপারসেট বা অধি-সেট দেখানো হলো, যার একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং অন্যটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

নির্ভরশীল (dependent): $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}}\}$      স্বাধীন (independent): $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}$

এই সেটগুলোর নির্ভরশীলতা বা স্বাধীনতা যাচাই করা অত্যন্ত সহজসাধ্য কাজ।

আবার, নিচের সেটটির ক্ষেত্রে:

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}$

এখানে স্প্যান বা বিস্তার $[S]$ হলো মূলত $xy$ সমতল। নিচে এর দুটি সুপারসেট বা অধি-সেট (superset) উদাহরণ হিসেবে উপস্থাপন করা হলো।

নির্ভরশীল (dependent): $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}}\}$      স্বাধীন (independent): $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

ধরা যাক, যদি সেটটি এমন হয় যে:

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

তবে এই ক্ষেত্রে সেটটির স্প্যান হবে সমগ্র ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জগত বা $[S]=\mathbb {R} ^{3}$। এই সেটের একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সুপারসেট নিচে দেখানো হলো:

নির্ভরশীল (dependent): $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}\}$

কিন্তু লক্ষ্যণীয় বিষয় হলো, $S$-এর এমন কোনো সুপারসেট বা অধি-সেট নেই যা রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে পারে। এর গাণিতিক কারণটি হলো, একটি সুপারসেট তৈরি করার জন্য আমরা যে ভেক্টরটিই যোগ করি না কেন, রৈখিক নির্ভরশীলতার সমীকরণটি নিম্নরূপ হবে:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

এই সমীকরণটির সর্বদা একটি সুনির্দিষ্ট সমাধান থাকবে যেখানে $c_{1}=x$, $c_{2}=y$, এবং $c_{3}=z$। অর্থাৎ, নতুন ভেক্টরটি সর্বদা পূর্ববর্তী ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশিত হবে।

সুতরাং, সাধারণভাবে বলা যায় যে, একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের এমন একটি সুপারসেট থাকতে পারে যা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। আবার, ক্ষেত্রবিশেষে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের এমন সুপারসেটও থাকতে পারে যা নিজেও রৈখিকভাবে স্বাধীন। একটি সুপারসেট কখন স্বাধীন হবে আর কখন নির্ভরশীল হবে, সেই বৈশিষ্ট্যকে আমরা গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি।

লেমা ১.১৬

ধরা যাক, $S$ হলো একটি ভেক্টর জগত $V$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট। এমতাবস্থায়,

$S\cup \{{\vec {v}}\}{\text{ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে}}\quad {\text{যদি এবং কেবল যদি}}\quad {\vec {v}}\in [S]$

যেখানে ${\vec {v}}\in V$ এমন একটি ভেক্টর যা ${\vec {v}}\not \in S$ শর্তটি পূরণ করে।

প্রমাণ

এই উপপাদ্যের একটি দিক অত্যন্ত স্পষ্ট: যদি ${\vec {v}}\in [S]$ হয়, তবে সংজ্ঞানুযায়ী ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ হবে, যেখানে প্রতিটি ${\vec {s}}_{i}\in S$ এবং $c_{i}\in \mathbb {R}$। ফলশ্রুতিতে, আমরা সমীকরণটিকে এভাবে লিখতে পারি: ${\vec {0}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+(-1){\vec {v}}$। এটি $S\cup \{{\vec {v}}\}$-এর উপাদানগুলোর মধ্যে একটি অশূন্য বা নন-ট্রিভিয়াল (nontrivial) রৈখিক সম্পর্ক প্রদর্শন করে, যা প্রমাণ করে যে সেটটি নির্ভরশীল।

প্রমাণের অন্য দিকটির জন্য আমাদের এই অনুমানটি প্রয়োজন যে $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। যদি $S\cup \{{\vec {v}}\}$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে সেখানে একটি অশূন্য রৈখিক সম্পর্ক বিদ্যমান থাকবে, যা হলো $c_{0}{\vec {v}}+c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}$। যেহেতু $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই এটি নির্দেশ করে যে $c_{0}\neq 0$ হতে হবে; কারণ যদি $c_{0}=0$ হতো, তবে সেটি $S$-এর সদস্যদের মধ্যে একটি অশূন্য রৈখিক সম্পর্ক তৈরি করত, যা $S$-এর স্বাধীনতার পরিপন্থী। এখন এই সমীকরণটিকে আবার সাজিয়ে লিখলে আমরা পাই ${\vec {v}}=-(c_{1}/c_{0}){\vec {s}}_{1}-\dots -(c_{n}/c_{0}){\vec {s}}_{n}$, যা স্পষ্টভাবে প্রমাণ করে যে ${\vec {v}}\in [S]$।

(এই ফলাফলটিকে লেমা ১.১-এর সাথে তুলনা করা যেতে পারে। স্থূলভাবে বলতে গেলে, উভয় ক্ষেত্রেই এটি নির্দেশ করা হয়েছে যে, যদি ${\vec {v}}$ ভেক্টরটি $S$ সেটের স্প্যানের (span) অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে সেটিকে একটি "পুনরাবৃত্তি" (repeat) হিসেবে গণ্য করা হয়। তবে এখানে একটি বিশেষ বিষয় লক্ষণীয় যে, বর্তমান আলোচনায় রৈখিক স্বাধীনতার (linear independence) একটি অতিরিক্ত শর্ত বা অনুমিতি যুক্ত করা হয়েছে।)

অনুসিদ্ধান্ত ১.১৭

একটি ভেক্টর জগতের কোনো উপসেট $S=\{{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\}$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে যদি এবং কেবল যদি সেটের অন্তর্ভুক্ত কোনো একটি ভেক্টর ${\vec {s_{i}}}$, তার ঠিক আগে তালিকাভুক্ত ভেক্টরসমূহ ${\vec {s}}_{1}$, ..., ${\vec {s}}_{i-1}$-এর একটি রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব হয়।

প্রমাণ

প্রমাণের খাতিরে আমরা পর্যায়ক্রমে $S_{0}=\{\}$, $S_{1}=\{{\vec {s_{1}}}\}$, $S_{2}=\{{\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\}$ ইত্যাদি সেটগুলো বিবেচনা করি। এখানে এমন একটি সূচক বা ইনডেক্স $i\geq 1$ অবশ্যই বিদ্যমান থাকবে যা প্রথমবার $S_{i-1}\cup \{{\vec {s}}_{i}\}$ সেটটিকে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল করে তুলবে। এমতাবস্থায়, গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী ${\vec {s}}_{i}\in [S_{i-1}]$ হবে, অর্থাৎ ${\vec {s}}_{i}$ ভেক্টরটি তার পূর্ববর্তী ভেক্টরগুলোর স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত হবে।

লেমা ১.১৬-কে রৈখিক নির্ভরশীলতার পরিবর্তে রৈখিক স্বাধীনতার প্রেক্ষাপটে নতুনভাবে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। যদি $S$ একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট হয় এবং ${\vec {v}}\not \in S$ হয়, তবে বর্ধিত সেট $S\cup \{{\vec {v}}\}$ তখনই রৈখিকভাবে স্বাধীন থাকবে যদি এবং কেবল যদি ${\vec {v}}$ ভেক্টরটি $S$-এর স্প্যান বা $[S]$-এর অন্তর্ভুক্ত না হয়। আবার লেমা ১.১ প্রয়োগ করে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, যদি $S$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় এবং ${\vec {v}}\not \in S$ হয়, তবে $S\cup \{{\vec {v}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়ার জন্য অপরিহার্য শর্ত হলো $[S\cup \{{\vec {v}}\}]\neq [S]$ হওয়া। সংক্ষেপে বলতে গেলে, যখন আমরা কোনো সেট $S$ থেকে তার একটি সুপারসেট (superset) $S_{1}$-এ উন্নীত হই, তখন রৈখিক স্বাধীনতা বজায় রাখার জন্য আমাদের অবশ্যই ভেক্টরগুলোর স্প্যানকে প্রসারিত করতে হবে, অর্থাৎ $[S_{1}]\supset [S]$ হতে হবে।

উদাহরণ ১.১৫ থেকে এটি স্পষ্ট হয় যে, কিছু রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট 'ম্যাক্সিমাল' (maximal) বা সর্বোচ্চ পর্যায়ের হয়ে থাকে। এর অর্থ হলো, ওই সেটগুলোতে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ সংখ্যক উপাদান বিদ্যমান এবং এমন কোনো সুপারসেট গঠন করা সম্ভব নয় যা একইসাথে রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের যুক্তি অনুযায়ী, একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট তখনই ম্যাক্সিমাল হবে যদি এবং কেবল যদি সেটি সমগ্র ভেক্টর জগতকে স্প্যান করতে সক্ষম হয়। কারণ সেক্ষেত্রে এমন কোনো ভেক্টর অবশিষ্ট থাকে না যা ইতিমধ্যে ওই স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত নয়।

নিচের এই সারণিটি রৈখিক স্বাধীনতা ও নির্ভরশীলতার বৈশিষ্ট্যের সাথে উপসেট (subset) এবং সুপারসেটের (superset) পারস্পরিক সম্পর্কের একটি সংক্ষিপ্ত সারসংক্ষেপ উপস্থাপন করছে।

	$S_{1}\subset S$	$S_{1}\supset S$
$S$ অনির্ভরশীল	$S_{1}$ অবশ্যই অনির্ভরশীল হবে $S_{1}$ যেকোনোটি হতে পারে $S_{1}$ যেকোনোটি হতে পারে $S_{1}$ অবশ্যই নির্ভরশীল হবে
$S$ নির্ভরশীল

এই সারণিটি প্রস্তুত করার মাধ্যমে আমরা রৈখিক অনির্ভরশীলতা (linear independence) এবং স্প্যান (span)-এর মধ্যে বিদ্যমান একটি অত্যন্ত নিবিড় ও গভীর সম্পর্ক উন্মোচন করতে সক্ষম হয়েছি। একটি স্প্যানিং সেট বা বিস্তারকারী সেট তখনই ন্যূনতম (minimal) হিসেবে গণ্য হয় যদি এবং কেবল যদি সেটি রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল হয়—এই প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক সত্যটির পরিপূরক হিসেবে আমরা এখানে দেখতে পাই যে, একটি রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল সেট তখনই সর্বোচ্চ বা গরিষ্ঠ (maximal) হয় যদি এবং কেবল যদি সেটি সংশ্লিষ্ট ভেক্টর জগতকে (space) স্প্যান বা বিস্তার করে। মূলত এই দুটি ধারণা একে অপরের সাথে ওতপ্রোতভাবে জড়িত।

সারসংক্ষেপ হিসেবে বলা যায় যে, একটি স্প্যানিং সেটের ন্যূনতম হওয়ার গাণিতিক ধারণাটিকে একটি সুনির্দিষ্ট ও আনুষ্ঠানিক রূপ দেওয়ার উদ্দেশ্যেই আমরা রৈখিক অনির্ভরশীলতার সংজ্ঞাটি এখানে বিস্তারিতভাবে উপস্থাপন করেছি। এই মৌলিক ধারণার ওপর ভিত্তি করে আমরা রৈখিক বীজগণিতের বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক বৈশিষ্ট্য ও ধর্মাবলি বিশ্লেষণ করেছি। এগুলোর মধ্যে সবচেয়ে তাৎপর্যপূর্ণ ও উল্লেখযোগ্য হলো লেমা ১.১৬ (Lemma 1.16); এই লেমাটি আমাদের স্পষ্টভাবে এই শিক্ষা প্রদান করে যে, একটি রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল সেট তখনই গরিষ্ঠতা বা পূর্ণতা লাভ করে যখন এটি সমগ্র জগতটিকে স্প্যান করতে বা বিস্তার করতে সক্ষম হয়।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ১

নিচে প্রদত্ত $\mathbb {R} ^{3}$ ভেক্টর জগতের প্রতিটি উপসেট রৈখিকভাবে নির্ভরশীল নাকি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent), তা গাণিতিক যুক্তিসহ নির্ধারণ করুন।

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}\}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}9\\9\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}12\\12\\-1\end{pmatrix}}\}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ২

তৃতীয় মাত্রার বহুপদী সমূহের ভেক্টর জগত ${\mathcal {P}}_{3}$-এর নিচের উপসেটগুলোর মধ্যে কোনগুলো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং কোনগুলো রৈখিকভাবে স্বাধীন তা চিহ্নিত করুন।

1. $\{3-x+9x^{2},5-6x+3x^{2},1+1x-5x^{2}\}$
2. $\{-x^{2},1+4x^{2}\}$
3. $\{2+x+7x^{2},3-x+2x^{2},4-3x^{2}\}$
4. $\{8+3x+3x^{2},x+2x^{2},2+2x+2x^{2},8-2x+5x^{2}\}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ৩

প্রমাণ করুন যে, ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা $\mathbb {R} ^{+}$ থেকে বাস্তব সংখ্যা $\mathbb {R}$-এ সংজ্ঞায়িত সকল ফাংশনের ভেক্টর জগতে নিচের প্রতিটি $\{f,g\}$ সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন।

1. $f(x)=x$ এবং $g(x)=1/x$
2. $f(x)=\cos(x)$ এবং $g(x)=\sin(x)$
3. $f(x)=e^{x}$ এবং $g(x)=\ln(x)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ৪

একটি বাস্তব চলকের বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশনসমূহের জগতের নিচের উপসেটগুলোর মধ্যে কোনটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং কোনটি রৈখিকভাবে স্বাধীন? (লক্ষ্য করুন যে, এখানে কিছু ধ্রুবক ফাংশনকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করা হয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, প্রথম আইটেমে "$2$" বলতে ধ্রুবক ফাংশন $f(x)=2$-কে বোঝানো হয়েছে।)

1. $\{2,4\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
2. $\{1,\sin(x),\sin(2x)\}$
3. $\{x,\cos(x)\}$
4. $\{(1+x)^{2},x^{2}+2x,3\}$
5. $\{\cos(2x),\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
6. $\{0,x,x^{2}\}$

সমস্যা ৫

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ $\sin ^{2}(x)/\cos ^{2}(x)=\tan ^{2}(x)$ কি এটি প্রমাণ করে যে, $\{\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x),\tan ^{2}(x)\}$ ফাংশন সেটটি $-\pi /2$ এবং $\pi /2$-এর মধ্যবর্তী বাস্তব সংখ্যার ব্যবধি $(-\pi /2..\pi /2)$-এ সংজ্ঞায়িত সকল বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশনসমূহের একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল উপসেট? আপনার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিন।

সমস্যা ৬

কেন লেমা ১.৪-এ "distinct" বা "স্বতন্ত্র" শব্দটি ব্যবহার করা হয়েছে? এর গাণিতিক গুরুত্ব ব্যাখ্যা করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ৭

প্রমাণ করে দেখান যে, একটি ইশেলন আকারের (echelon form) ম্যাট্রিক্সের শূন্য নয় এমন সারিগুলো (nonzero rows) সর্বদা একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ৮

1. দেখান যে, যদি $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে $\{{\vec {u}},{\vec {u}}+{\vec {v}},{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}\}$ সেটটিও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।
2. $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ সেটের রৈখিক স্বাধীনতা বা নির্ভরশীলতার সাথে $\{{\vec {u}}-{\vec {v}},{\vec {v}}-{\vec {w}},{\vec {w}}-{\vec {u}}\}$ সেটের স্বাধীনতা বা নির্ভরশীলতার মধ্যকার সম্পর্কটি কী? বিস্তারিত আলোচনা করুন।

সমস্যা ৯

উদাহরণ ১.১০ থেকে আমরা জানতে পারি যে ফাঁকা সেট (empty set) রৈখিকভাবে স্বাধীন।

1. একটি মাত্র উপাদান বিশিষ্ট সেট কখন রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়?
2. দুটি উপাদান বিশিষ্ট সেটের ক্ষেত্রে রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়ার শর্তগুলো কী কী?

সমস্যা ১০

যেকোনো ভেক্টর জগত $V$-এর ক্ষেত্রে ফাঁকা সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে গণ্য হয়। কিন্তু সমগ্র ভেক্টর জগত $V$ সম্পর্কে কী বলা যায়? এটি কি সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে?

সমস্যা ১১

প্রমাণ করুন যে, যদি $\{{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে এর সকল প্রকৃত উপসেট: $\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}$, $\{{\vec {x}},{\vec {z}}\}$, $\{{\vec {y}},{\vec {z}}\}$, $\{{\vec {x}}\}$, $\{{\vec {y}}\}$, $\{{\vec {z}}\}$, এবং $\{\}$ সেটগুলোও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। এই উক্তিটির বিপরীত বা "যদি এবং কেবল যদি" (only if) অংশটিও কি সত্য? ব্যাখ্যা করুন।

সমস্যা ১২

1. দেখান যে এটি_ গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যায় যে,

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}\}$

   সেটটি ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগত বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) উপসেট হিসেবে গণ্য হয়।
2. গাণিতিক প্রমাণের মাধ্যমে এটি প্রদর্শন করুন যে,

   ${\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$

   ভেক্টরটি উক্ত $S$ সেটের স্প্যান (span)-এর অন্তর্ভুক্ত। এই বিষয়টি নিশ্চিত করার লক্ষ্যে আমাদের এমন দুটি নির্দিষ্ট স্কেলার রাশি $c_{1}$ এবং $c_{2}$ খুঁজে বের করতে হবে, যা একটি সুনির্দিষ্ট রৈখিক সম্পর্ক বা লিনিয়ার রিলেশনশিপ স্থাপন করতে সক্ষম হয়:

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$

   এর পাশাপাশি, আমাদের এটিও প্রমাণ করতে হবে যে স্কেলারের এই $c_{1},c_{2}$ জোড়াটি সম্পূর্ণ অনন্য (unique), অর্থাৎ এই নির্দিষ্ট ভেক্টরটির জন্য অন্য কোনো বিকল্প সমাধান পাওয়া সম্ভব নয়।
3. ধরে নিন যে, $S$ হলো একটি ভেক্টর জগতের (vector space) একটি উপসেট এবং ${\vec {v}}$ ভেক্টরটি $[S]$-এর অন্তর্ভুক্ত। এর অর্থ হলো, ${\vec {v}}$ ভেক্টরটিকে $S$ সেটের ভেক্টরসমূহের একটি রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। এখন প্রমাণ করুন যে, যদি $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) হয়, তবে ${\vec {v}}$ ভেক্টরটি গঠনকারী $S$-এর ভেক্টরসমূহের রৈখিক সমাবেশটি হবে অনন্য বা ইউনিক (অর্থাৎ, পদগুলোর পুনর্বিন্যাস এবং $0\cdot {\vec {s}}$ আকারের পদগুলো যোগ বা বিয়োগ করা বাদ দিলে এই সমাবেশটি কেবল একভাবেই সম্ভব)। এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে, একটি স্প্যানিং সেট বা বিস্তারকারী সেট হিসেবে $S$ এই কঠোর অর্থে ন্যূনতম (minimal): অর্থাৎ $[S]$-এর প্রতিটি ভেক্টর ন্যূনতম সংখ্যক বার—কেবল একবারই—"আঘাত" প্রাপ্ত বা গঠিত হয়।
4. প্রমাণ করুন যে, যখন $S$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন নয়, তখন এমন ঘটনা ঘটতে পারে যেখানে ভিন্ন ভিন্ন রৈখিক সমাবেশ থেকে একই ভেক্টর উৎপন্ন হচ্ছে।

সমস্যা ১৩

প্রমাণ করুন যে, একটি বহুপদী বা পলিনোমিয়াল তখনই একটি শূন্য ফাংশন (zero function) তৈরি করে, যদি এবং কেবল যদি বহুপদীটি নিজেই একটি শূন্য বহুপদী (zero polynomial) হয়। (মন্তব্য: এই প্রশ্নটি সরাসরি রৈখিক বীজগণিতের কোনো বিষয় নয়, তবে আমরা প্রায়শই এই ফলাফলটি ব্যবহার করে থাকি। একটি বহুপদী থেকে অত্যন্ত স্বাভাবিকভাবেই একটি ফাংশন উদ্ভূত হয়: $x\mapsto c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$।)

সমস্যা ১৪

পূর্ববর্তী ১.২ পরিচ্ছেদে ফিরে যান এবং বিন্দু (point), রেখা (line), সমতল (plane) ও অন্যান্য রৈখিক তলসমূহের (linear surfaces) সংজ্ঞা এমনভাবে আবার প্রদান করুন যাতে কোনো ধরনের অস্বাভাবিক বা বিচ্যুত ক্ষেত্র (degenerate cases) এড়ানো সম্ভব হয়।

সমস্যা ১৫

1. দেখান যে, $\mathbb {R} ^{2}$ জগতের যেকোনো চারটি ভেক্টরের সেট সর্বদা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে।
2. এই বৈশিষ্ট্যটি কি যেকোনো পাঁচটি ভেক্টরের সেটের জন্য সত্য? তিনটি ভেক্টরের সেটের জন্য কি এটি প্রযোজ্য?
3. $\mathbb {R} ^{2}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেটে সর্বোচ্চ কতটি উপাদান বা ভেক্টর থাকতে পারে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ১৬

$\mathbb {R} ^{3}$ জগতে কি এমন চারটি ভেক্টরের কোনো সেট থাকা সম্ভব, যার মধ্য থেকে যেকোনো তিনটি ভেক্টর গ্রহণ করলে তারা একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করবে?

সমস্যা ১৭

প্রতিটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেটের কি অবশ্যই এমন একটি উপসেট থাকতে হবে যা নির্ভরশীল এবং অন্য একটি উপসেট থাকতে হবে যা স্বাধীন?

সমস্যা ১৮

$\mathbb {R} ^{4}$ জগতের ক্ষেত্রে, আপনি খুঁজে পেতে পারেন এমন বৃহত্তম রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটটি কী? এবং ক্ষুদ্রতমটিই বা কী? একইভাবে, বৃহত্তম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট এবং ক্ষুদ্রতম রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেটটি চিহ্নিত করুন। (এখানে "বৃহত্তম" এবং "ক্ষুদ্রতম" বলতে বোঝানো হয়েছে যে, একই বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন অন্য কোনো সুপারসেট বা সাবসেট বিদ্যমান নেই।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ১৯

রৈখিক স্বাধীনতা এবং রৈখিক নির্ভরশীলতা হলো সেটের বিশেষ কিছু বৈশিষ্ট্য। ফলস্বরূপ, আমরা স্বাভাবিকভাবেই প্রশ্ন তুলতে পারি যে, সেটের পরিচিত মৌলিক সম্পর্ক এবং প্রক্রিয়াগুলোর ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যগুলো কীভাবে কাজ করে। এই উপ-পরিচ্ছেদের মূল অংশে আমরা উপসেট (subset) এবং সুপারসেট (superset) সম্পর্কগুলো আলোচনা করেছি। এখন আমরা ছেদ (intersection), পরিপূরক (complementation) এবং সংযোগ (union) প্রক্রিয়াগুলো বিবেচনা করতে পারি।

1. রৈখিক স্বাধীনতা কীভাবে ছেদ প্রক্রিয়ার সাথে সম্পর্কিত: রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটসমূহের ছেদ সেট কি স্বাধীন হতে পারে? এটি কি সর্বদা স্বাধীন হতে হবে?
2. রৈখিক স্বাধীনতা কীভাবে পরিপূরক প্রক্রিয়ার সাথে সম্পর্কিত?
3. দেখান যে, দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের সংযোগ (union) সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন নাও হতে পারে।
4. প্রতিটি সেটের স্প্যান বা বিস্তৃতির ছেদবিন্দুর সাপেক্ষে, কখন দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের সংযোগ একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট হবে, তার বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ২০

উপপাদ্য ১.১২-এর জন্য,

1. প্রমাণের জন্য আরোহী পদ্ধতি বা ইনডাকশন (induction) প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করুন;
2. একটি বিকল্প প্রমাণ উপস্থাপন করুন যা একটি ফাঁকা সেট (empty set) থেকে শুরু হয় এবং প্রদত্ত সসীম সেটের রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেটগুলোর একটি অনুক্রম তৈরি করে, যতক্ষণ না প্রদত্ত সেটের সমান স্প্যান (span) বিশিষ্ট একটি সেট আবির্ভূত হয়।

সমস্যা ২১

সামান্য কিছু গণনার মাধ্যমে আমরা এমন কিছু গাণিতিক সূত্র বা ফর্মুলা পেতে পারি যা নির্ধারণ করবে যে কোনো একটি ভেক্টর সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন কি না।

1. দেখান যে, $\mathbb {R} ^{2}$-এর এই উপসেটটি—

   $\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$

   এই ভেক্টর সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) হবে যদি এবং কেবল যদি $ad-bc\neq 0$ শর্তটি সত্য হয়।
2. দেখান যে, ত্রিমাত্রিক বাস্তব জগৎ বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর এই উপসেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$

   রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$ হয়। মূলত এটি একটি ৩x৩ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের (determinant) মানের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত।
3. $\mathbb {R} ^{3}$-এর অন্তর্গত এই নির্দিষ্ট উপসেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\}$

   ঠিক কখন বা কোন গাণিতিক শর্তাধীনে রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে গণ্য হবে?
4. এটি একটি মতামতধর্মী প্রশ্ন: $\mathbb {R} ^{4}$ থেকে সংগৃহীত চারটি ভেক্টরের একটি সেটের ক্ষেত্রে, এই ভেক্টরগুলোর মোট ষোলটি উপাদানের সমন্বয়ে কি এমন কোনো নির্দিষ্ট গাণিতিক সূত্র থাকা সম্ভব যা সেটটির স্বাধীনতা বা নির্ভরশীলতা নির্ধারণ করতে পারে? (আপনাকে এই সূত্রটি তৈরি করে দেখাতে হবে না, কেবল এমন কোনো সূত্রের অস্তিত্ব থাকা সম্ভব কি না সে বিষয়ে আপনার সিদ্ধান্ত প্রদান করুন।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত।

সমস্যা ২২

1. প্রমাণ করুন যে, যখন $n>1$ হয়, তখন $\mathbb {R} ^{n}$ থেকে নেওয়া দুটি পরস্পর লম্ব (perpendicular) এবং শূন্য নয় এমন ভেক্টরের সেট সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।
2. যদি $n=1$ কিংবা $n=0$ হয়, তবে সেক্ষেত্রে ফলাফল কী দাঁড়াবে বা পরিস্থিতির কী পরিবর্তন ঘটবে?
3. এই ধারণাটিকে দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ (generalize) করার চেষ্টা করুন।

সমস্যা ২৩

খোলা ব্যবধি (open interval) $(-1..1)$ থেকে বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R}$-এ সংজ্ঞায়িত ফাংশনসমূহের সেটটি বিবেচনা করুন।

1. দেখান যে, সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে এই ফাংশন সেটটি একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগত গঠন করে।
2. একটি অসীম গুণোত্তর ধারার (infinite geometric series) সমষ্টির সূত্রটি মনে করুন: $x\in (-1..1)$ সীমার মধ্যে সকল $x$-এর জন্য $1+x+x^{2}+\cdots =1/(1-x)$। কেন এই সমীকরণটি আমাদের আলোচিত ভেক্টর স্পেসের অন্তর্গত সেট $\{g(x)=1/(1-x),f_{0}(x)=1,f_{1}(x)=x,f_{2}(x)=x^{2},\ldots \}$-এর মধ্যে কোনো রৈখিক নির্ভরশীলতা (dependence) প্রকাশ করে না? (ইঙ্গিত: রৈখিক সমাবেশের বা linear combination-এর মূল সংজ্ঞাটি আবার গুরুত্বের সাথে পর্যালোচনা করুন।)
3. গাণিতিকভাবে প্রদর্শন করুন যে, পূর্ববর্তী আইটেমে উল্লিখিত সেটটি প্রকৃতপক্ষে রৈখিকভাবে স্বাধীন।

এর মাধ্যমে এটি প্রমাণিত হয় যে, এমন কিছু ভেক্টর স্পেসের অস্তিত্ব রয়েছে যেখানে রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেটগুলো অসীম (infinite) হতে পারে।

সমস্যা ২৪

ধরা যাক $S$ হলো $V$-এর একটি সাবস্পেস বা উপজগত। এখন দেখান যে, যদি $S$-এর একটি উপসেট $T$, $S$-এর মধ্যে রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে $T$ অবশ্যই মূল ভেক্টর স্পেস $V$-এর মধ্যেও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। এই উক্তিটি কি "যদি এবং কেবল যদি" (only if) শর্ত হিসেবেও একইভাবে প্রযোজ্য?

Solutions