রৈখিক বীজগণিত/রৈখিক অনির্ভরশীলতা

আগের বিভাগে দেখানো হয়েছে যে, একটি ভেক্টর স্পেসকে এর কিছু উপাদানের অবাধ রৈখিক সমাবেশ বা স্প্যান হিসেবে ধরা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক বহুপদী সমূহের স্পেস $\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ সেটটি $\{1,x\}$ দ্বারা স্প্যান করা যায়। আগের বিভাগে এটিও দেখানো হয়েছে যে, একটি স্পেসের অনেকগুলো স্প্যানিং সেট থাকতে পারে। রৈখিক বহুপদীর এই স্পেসটি $\{1,2x\}$ এবং $\{1,x,2x\}$ সেট দুটি দ্বারাও স্প্যান করা সম্ভব।

ওই বিভাগের শেষে আমরা কিছু স্প্যানিং সেটকে "ন্যূনতম" হিসেবে বর্ণনা করেছিলাম, কিন্তু আমরা কখনোই এই শব্দটিকে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করিনি। "ন্যূনতম" বলতে আমরা দুটি জিনিসের একটিকে বোঝাতে পারি। প্রথমত, আমরা বলতে পারি একটি স্প্যানিং সেট ন্যূনতম হবে যদি এতে একই স্প্যান বিশিষ্ট অন্য যেকোনো সেটের তুলনায় সদস্য সংখ্যা সবচেয়ে কম থাকে। এই অর্থ অনুযায়ী, $\{1,x,2x\}$ সেটটি ন্যূনতম নয় কারণ অন্য দুটি সেটের তুলনায় এতে একটি সদস্য বেশি আছে। অথবা আমরা তখন বলতে পারি একটি স্প্যানিং সেট ন্যূনতম হবে যখন এর থেকে কোনো উপাদান অপসারণ করলে স্প্যানটি পরিবর্তিত হয়ে যায়। এই অর্থ অনুযায়ীও $\{1,x,2x\}$ ন্যূনতম নয় কারণ এখান থেকে $2x$ অপসারণ করে $\{1,x\}$ নিলেও স্প্যানটি অপরিবর্তিত থাকে।

ন্যূনতম হওয়ার প্রথম ধারণাটি একটি বৈশ্বিক শর্ত বলে মনে হয় কারণ কোনো স্প্যানিং সেট ন্যূনতম কি না তা যাচাই করতে আমাদের ওই সাবস্পেসের সমস্ত সম্ভাব্য স্প্যানিং সেটগুলো দেখতে হবে এবং সবচেয়ে কম উপাদান বিশিষ্টটি খুঁজে বের করতে হবে। অন্যদিকে, দ্বিতীয় ধারণাটি স্থানীয় যেখানে আমাদের শুধু সংশ্লিষ্ট সেটটি নিয়ে কাজ করতে হয় এবং বিভিন্ন উপাদান রাখা বা না রাখার ফলে স্প্যানের কী পরিবর্তন হচ্ছে তা বিবেচনা করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিতীয় ধারণাটি ব্যবহার করে আমরা $\{1,x,2x\}$ এর স্প্যানের সাথে $\{1,x\}$ এর স্প্যানের তুলনা করতে পারি এবং লক্ষ্য করতে পারি যে এখানে $2x$ একটি "পুনরাবৃত্তি" কারণ এটি অপসারণ করলে স্প্যানটি সংকুচিত হয় না।

কারিগরি সুবিধার কারণে এই বিভাগে আমরা "ন্যূনতম স্প্যানিং সেট" এর দ্বিতীয় ধারণাটি ব্যবহার করব। তবে, এই বইয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলটি হলো এর উভয় ধারণাই মূলত অভিন্ন; আমরা এর পরের বিভাগে সেটি প্রমাণ করব।