রৈখিক বীজগণিত/যোগ, গুণ ও ট্রান্সপোজ

যোগ এবং বিয়োগ

দুইটি ম্যাট্রিক্স তখনি যোগ বা বিয়োগ করা যায় যখন এদের আকার একই হয়ে থাকে। ম্যাট্রিক্সের যোগ এবং বিয়োগ উপাদান ভিত্তিক করা হয়, অর্থাৎ A+B এর প্রতিটি উপাদান A এবং B এর অনুরূপ উপাদান সমূহের যোগফল অথবা বিয়োগফলের সমান।

$A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}$

এখানে ম্যাট্রিক্স যোগের একটি উদাহরণ দেয়া হল

$A+B={\begin{bmatrix}7+1&&5+1&&3+1\\4-1&&0+3&&5+2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&6&&4\\3&&3&&7\end{bmatrix}}$

এবং ম্যাট্রিক্স বিয়োগের একটি উদাহরণ

$A-B={\begin{bmatrix}7-1&&5-1&&3-1\\4+1&&0-3&&5-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&&4&&2\\5&&-3&&3\end{bmatrix}}$

এটি মনে রাখতে হবে যে দুটি ভিন্ন আকারের ম্যাট্রিক্স যোগ অথবা বিয়োগ করা সম্ভব নয়।

নিচের নিয়মগুলি ম্যাট্রিক্স সমূহের যোগ এবং স্কেলার গুণনের জন্য প্রযোজ্য।
ধরি $A,B,C$ একই আকারের ম্যাট্রিক্স এবং $r,s$ হলো স্কেলার সংখ্যা। তাহলে,

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$
• $A+0=A$
• $r(A+B)=rA+rB$
• $(r+s)A=rA+sA$
• $r(sA)=(rs)A$

গুণ

ম্যাট্রিক্স গুণন কি? দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণন তখনি সম্ভব যদি, এবং কেবল যদি, প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যার সমান হয়।

নতুবা, দুইটি ম্যাট্রিক্স গুণ করা সম্ভব হবে না । ম্যাট্রিক্সের গুণফলের মাত্রা হল নিম্নরূপ,

$\to ({\text{rows of first matrix}})\times ({\text{columns of the second matrix}})$

উপরোক্ত গুণনে, ম্যাট্রিক্সসমূহ গুণ করা যাচ্ছে না কারণ ১ম ম্যাট্রিক্স $A$ এর কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স $B$ এর সারি সংখ্যার সমান নয়। ম্যাট্রিক্সের মাত্রার গুণফল, ১ম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা × ২য় ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা

ঘাত

যদি $A$ একটি $n\times n$ ম্যাট্রিক্স এবং $k$ একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে $A^{k}$ বোঝায় $A$ এর $k$ সংখ্যক অনুলিপির ধারাবাহিক গুণফল।

$A^{k}={\begin{matrix}\underbrace {A\cdots A} \\k\end{matrix}}$

যদি $A$ অশূন্য হয় এবং ${\rm {x}}$ ∈ $\mathbb {R} ^{n}$ হয়, তবে $A^{k}{\rm {x}}$ বলতে বোঝায় ${\rm {x}}$ কে $A$ দ্বারা বাম দিক থেকে ধারাবাহিকভাবে $k$ বার গুণ করা। যদি $k=0$ হয়, তবে $A^{0}{\rm {x}}$ হবে ${\rm {x}}$ নিজেই। সুতরাং $A^{0}$ কে একক ম্যাট্রিক্স হিসেবে ধরা হয়।

ট্রান্সপোজ

$m\times n$ ম্যাট্রিক্স $A$ দেয়া থাকলে, $A$ এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স হবে $n\times m$ , যা $A^{T}$ দ্বারা প্রকাশিত হয়, যার প্রতিটা কলাম গঠিত হয় ম্যাট্রিক্স $A$ এর অনুরূপ সারি থেকে।

উদাহরণ সমূহ

$A={\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}3&&5\\2&&7\\6&&9\\1&&0\\5&&2\end{bmatrix}}$

$A^{T}={\begin{bmatrix}a&&c\\b&&d\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}3&&2&&6&&1&&5\\5&&7&&9&&0&&2\end{bmatrix}}$

ট্রান্সপোজ করার সময় নিচের নিয়মগুলি অনুসরণ করা হয়

1. $(A^{T})^{T}=A$
2. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
3. যেকোনো স্কেলার $r$ এর জন্য, $(rA)^{T}=rA^{T}$
4. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

৪র্থ নিয়মটি দুইয়ের অধিক ম্যাট্রিক্সের গুণের ক্ষেত্রেও সাধারণীকরণ করা যায় এভাবে, "ম্যাট্রিক্সসমূহের গুণফলের ট্রান্সপোজ, বিপরিতক্রমে ঐ ম্যাট্রিক্সসমূহের ট্রান্সপোজের গুণফলের সমান।"

$(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})^{T}=a_{n}^{T},\dots ,a_{3}^{T},a_{2}^{T},a_{1}^{T}$