রৈখিক বীজগণিত/যোগফল ও স্কেলার গুণজ

স্মরণ করা যাক যে, একই ডোমেইন এবং কোডোমেইন বিশিষ্ট দুটি ম্যাপ $f$ এবং $g$ ক্ষেত্রে, ম্যাপের যোগফল $f+g$ সংজ্ঞা হলো:

$\overrightarrow{v}\stackrel{f+g}{⟼}f(\overrightarrow{v})+g(\overrightarrow{v})$

ম্যাপগুলোর রিপ্রেজেন্টেশন বা উপস্থাপনা কীভাবে যুক্ত হয়ে ম্যাপের যোগফলকে উপস্থাপন করে, তা বোঝার সহজ উপায় হলো একটি উদাহরণ দেখা।

উদাহরণ ১.১

ধরা যাক $f,g:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$ ম্যাপ দুটিকে $B$ এবং $D$ বেসিসের সাপেক্ষে এই ম্যাট্রিক্সগুলো দ্বারা উপস্থাপন করা হয়েছে:

$F={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,D}(f)={\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)}_{B,D}G={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,D}(g)={\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& -2\\ 2& 4\end{array}\right)}_{B,D}$

এখন, $B$ বেসিসের সাপেক্ষে উপস্থাপিত যেকোনো $\overrightarrow{v}\in V$ জন্য, $f(\overrightarrow{v})+g(\overrightarrow{v})$ উপস্থাপনা গণনা করলে পাওয়া যায়:

$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& -2\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1v_1+3v_2\\ 2v_1+0v_2\\ 1v_1+0v_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0v_1+0v_2\\ -1v_1-2v_2\\ 2v_1+4v_2\end{array}\right)$

যা $f+g(\overrightarrow{v})$ এই উপস্থাপনাটি প্রদান করে:

$\left(\begin{array}{c}(1+0)v_1+(3+0)v_2\\ (2-1)v_1+(0-2)v_2\\ (1+2)v_1+(0+4)v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1v_1+3v_2\\ 1v_1-2v_2\\ 3v_1+4v_2\end{array}\right)$

অতএব, $f+g$ ক্রিয়া এই ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণফলের মাধ্যমে বর্ণনা করা যায়:

${\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)}_{B,D}{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}_B={\left(\begin{array}{c}1v_1+3v_2\\ 1v_1-2v_2\\ 3v_1+4v_2\end{array}\right)}_D$

এই ম্যাট্রিক্সটি হলো মূল ম্যাট্রিক্সগুলোর প্রতিটি ভুক্তির যোগফল। যেমন: ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,D}(f+g)$ $1,1$ ভুক্তিটি হলো $F$ $1,1$ ভুক্তি এবং $G$ $1,1$ ভুক্তির যোগফল।

কোনো ম্যাপের স্কেলার গুণিতক উপস্থাপন করার পদ্ধতিটিও একই রকম।

উদাহরণ ১.২

যদি $t$ একটি রূপান্তর হয় যাকে নিচের ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা হয়:

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,D}(t)={\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)}_{B,D}\text{যেন}\overrightarrow{v}={\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}_B\mapsto {\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_1+v_2\end{array}\right)}_D=t(\overrightarrow{v})$

তবে স্কেলার গুণিতক ম্যাপ $5t$ এভাবে কাজ করে:

$\overrightarrow{v}={\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}_B⟼{\left(\begin{array}{c}5v_1\\ 5v_1+5v_2\end{array}\right)}_D=5\cdot t(\overrightarrow{v})$

অতএব, $5t$-কে উপস্থাপনকারী ম্যাট্রিক্সটি হলো:

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,D}(5t)={\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 5& 5\end{array}\right)}_{B,D}$

সংজ্ঞা ১.৩

একই আকারের দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল হলো তাদের প্রতিটি ভুক্তির যোগফল। একটি ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণিতক হলো প্রতিটি ভুক্তিকে ওই স্কেলার দ্বারা গুণ করার ফল।

মন্তব্য ১.৪

এগুলো প্রথম অধ্যায়ে সংজ্ঞায়িত ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ারই একটি সম্প্রসারিত রূপ।

উপপাদ্য ১.৫

ধরি, $h,g:V\to W$ হলো দুটি লিনিয়ার ম্যাপ যা $B,D$ বেসিসের সাপেক্ষে $H$ এবং $G$ ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপিত, এবং ধরি $r$ একটি স্কেলার। তাহলে $B,D$ বেসিসের সাপেক্ষে $h+g:V\to W$ ম্যাপটি $H+G$ দ্বারা এবং $r\cdot h:V\to W$ ম্যাপটি $rH$ দ্বারা উপস্থাপিত হবে।

প্রমাণ

সমস্যা ২; উপরের উদাহরণগুলোকে সাধারণীকরণ করে এটি পাওয়া যায়।

স্কেলার গুণনের একটি উল্লেখযোগ্য বিশেষ ক্ষেত্র হলো শূন্য দ্বারা গুণ করা। যেকোনো ম্যাপ $h$ জন্য $0\cdot h$ হলো একটি জিরো হোমোমরফিজম এবং যেকোনো ম্যাট্রিক্স $H$ জন্য $0\cdot H$ হলো একটি জিরো ম্যাট্রিক্স।

উদাহরণ ১.৬

যেকোনো ত্রিমাত্রিক জগত থেকে যেকোনো দ্বিমাত্রিক জগতে জিরো ম্যাপকে $2\times 3$ জিরো ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা হয়:

$Z=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

এক্ষেত্রে ডোমেইন এবং কোডোমেইনের জন্য যেকোনো বেসিস ব্যবহার করা হোক না কেন, ফলাফল একই থাকবে।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

নিচের অপারেশনগুলো সম্পন্ন করো (যদি সংজ্ঞায়িত থাকে)।

1. $\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 6& 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 30& 5\end{array}\right)$
2. $6\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$
4. $4\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)+5\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -2& 1\end{array}\right)$
5. $3\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 0\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 3& 0& 5\end{array}\right)$

সমস্যা ২

উপপাদ্য ১.৫ প্রমাণ করো।

1. প্রমাণ করো যে, ম্যাট্রিক্সের যোগফল লিনিয়ার ম্যাপের যোগফলকে উপস্থাপন করে।
2. প্রমাণ করো যে, ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণন লিনিয়ার ম্যাপের স্কেলার গুণনকে উপস্থাপন করে।

সমস্যা ৩

নিচের প্রতিটি সম্পর্ক প্রমাণ করো (যেখানে অপারেশনগুলো সংজ্ঞায়িত), যেখানে $G$, $H$, এবং $J$ হলো ম্যাট্রিক্স, $Z$ হলো জিরো ম্যাট্রিক্স এবং $r$ ও $s$ হলো স্কেলার।

1. ম্যাট্রিক্স যোগফল বিনিময়যোগ্য $G+H=H+G$।
2. ম্যাট্রিক্স যোগফল সংযোগযোগ্য $G+(H+J)=(G+H)+J$।
3. জিরো ম্যাট্রিক্স হলো যোগজ অভেদক $G+Z=G$।
4. $0\cdot G=Z$
5. $(r+s)G=rG+sG$
6. ম্যাট্রিক্সের যোগজ বিপরীতক বিদ্যমান $G+(-1)\cdot G=Z$।
7. $r(G+H)=rG+rH$
8. $(rs)G=r(sG)$

সমস্যা ৪

ডোমেইন এবং কোডোমেইন স্পেস স্থির করো। সাধারণভাবে, একটি ম্যাট্রিক্স ভিন্ন ভিন্ন বেসিসের সাপেক্ষে অনেকগুলো ভিন্ন ম্যাপকে উপস্থাপন করতে পারে। তবে, প্রমাণ করো যে একটি জিরো ম্যাট্রিক্স কেবলমাত্র একটি জিরো ম্যাপকেই উপস্থাপন করে। এমন আর কোনো ম্যাট্রিক্স কি আছে?

সমস্যা ৫

ধরি, $V$ এবং $W$ হলো যথাক্রমে $n$ এবং $m$ মাত্রার দুটি ভেক্টর স্পেস। দেখাও যে, $V$ থেকে $W$-এ সকল লিনিয়ার ম্যাপের স্পেস $ℒ(V,W)$, ${ℳ}_{m\times n}$ আইসোমরফিক।

সমস্যা ৬

পূর্ববর্তী প্রশ্নগুলো থেকে দেখাও যে, যেকোনো ছয়টি রূপান্তর $t_1,\dots ,t_6:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ জন্য এমন কিছু স্কেলার $c_1,\dots ,c_6\in ℝ$ বিদ্যমান থাকবে যেন $c_1{t}_1+\dots +c_6{t}_6$ একটি জিরো ম্যাপ হয়। (ইঙ্গিত: এটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর প্রশ্ন।)

সমস্যা ৭

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হলো এর প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর যোগফল (অর্থাৎ $1,1$ ভুক্তি যোগ $2,2$ ভুক্তি, ইত্যাদি; আমরা পঞ্চম অধ্যায়ে ট্রেসের গুরুত্ব সম্পর্কে জানব)। দেখাও যে, $\text{trace}(H+G)=\text{trace}(H)+\text{trace}(G)$। স্কেলার গুণনের ক্ষেত্রেও কি একই ধরনের ফলাফল পাওয়া যায়?

সমস্যা ৮

স্মরণ করা যাক যে, একটি ম্যাট্রিক্স $M$ ট্রান্সপোজ হলো অন্য একটি ম্যাট্রিক্স, যার $i,j$ ভুক্তি হলো $M$ $j,i$ ভুক্তি। নিচের অভেদগুলো যাচাই করো:

1. ${(G+H)}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}=G^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}+H^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$
2. ${(r\cdot H)}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}=r\cdot H^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$

সমস্যা ৯

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে প্রতিসম বলা হয় যদি এর প্রতিটি $i,j$ ভুক্তি তার $j,i$ ভুক্তির সমান হয়, অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্সটি তার ট্রান্সপোজের সমান হয়।

1. যেকোনো ম্যাট্রিক্স $H$ জন্য প্রমাণ করো যে, $H+H^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স। প্রতিটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সই কি এই আকারের হয়?
2. প্রমাণ করো যে, সকল $n\times n$ প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সেটটি ${ℳ}_{n\times n}$ একটি সাবস্পেস।

সমস্যা ১০

1. ম্যাট্রিক্স র‍্যাঙ্ক স্কেলার গুণনের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত—একটি র‍্যাঙ্ক $n$ ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণফলের র‍্যাঙ্ক কি $n$ চেয়ে কম হতে পারে? বেশি হতে পারে?
2. ম্যাট্রিক্স র‍্যাঙ্ক ম্যাট্রিক্স যোগের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত—র‍্যাঙ্ক $n$ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সসমূহের যোগফলের র‍্যাঙ্ক কি $n$ চেয়ে কম হতে পারে? বেশি হতে পারে?

সমাধান