রৈখিক বীজগণিত/ম্যাট্রিক্স গুণন/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর গুণফল গণনা করুন, অথবা যদি গুণফলটি সংজ্ঞায়িত না হয় তবে "সংজ্ঞায়িত নয়" (not defined) কথাটি উল্লেখ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\0&0.5\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1&-1\\4&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\3&1&1\\3&1&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&-7\\7&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&5\\-1&1&1\\3&8&4\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&2\\3&-5\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. ${\begin{pmatrix}0&15.5\\0&-19\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&-1&-1\\17&-1&-1\end{pmatrix}}$
3. প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান না হওয়ায় এটি সংজ্ঞায়িত নয়।
4. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২

যেখানে ম্যাট্রিক্সগুলো হলো:

$A={\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\\\end{pmatrix}}\quad B={\begin{pmatrix}5&2\\4&4\\\end{pmatrix}}\quad C={\begin{pmatrix}-2&3\\-4&1\\\end{pmatrix}}$

নিচের রাশিগুলো গণনা করুন অথবা "সংজ্ঞায়িত নয়" উল্লেখ করুন।

1. $AB$
2. $(AB)C$
3. $BC$
4. $A(BC)$

উত্তর

1. ${\begin{pmatrix}1&-2\\10&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&-2\\10&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&3\\-4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&1\\-36&34\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-18&17\\-24&16\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-18&17\\-24&16\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&1\\-36&34\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

নিচের কোন গুণফলগুলো গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত?

1. একটি $3\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $2\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্সের গুণ।
2. একটি $2\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $3\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের গুণ।
3. একটি $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $3\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্সের গুণ।
4. একটি $3\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের গুণ।

উত্তর

1. হ্যাঁ, এটি সংজ্ঞায়িত।
2. হ্যাঁ, এটি সংজ্ঞায়িত।
3. না, এটি সংজ্ঞায়িত নয়।
4. না, এটি সংজ্ঞায়িত নয়।

সমস্যা ৪

নিচের গুণফলগুলোর আকার (size) প্রদান করুন অথবা যদি গুণফলটি সম্ভব না হয় তবে "সংজ্ঞায়িত নয়" লিখুন।

1. একটি $2\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স এবং একটি $3\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল।
2. একটি $1\!\times \!12$ ম্যাট্রিক্স এবং একটি $12\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল।
3. একটি $2\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স এবং একটি $2\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল।
4. একটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স এবং একটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল।

উত্তর

1. গুণফলটির আকার হবে $2\!\times \!1$।
2. গুণফলটির আকার হবে $1\!\times \!1$।
3. এটি সংজ্ঞায়িত নয় কারণ প্রথমটির কলাম সংখ্যা ও দ্বিতীয়টির সারি সংখ্যা সমান নয়।
4. গুণফলটির আকার হবে $2\!\times \!2$।

সমস্যা ৫

নিচে প্রদত্ত সমীকরণ ব্যবস্থা থেকে শুরু করে চলক পরিবর্তনের (substitution) মাধ্যমে প্রাপ্ত নতুন সমীকরণ ব্যবস্থাটি নির্ণয় করুন।

${\begin{array}{*{3}{rc}r}h_{1,1}x_{1}&+&h_{1,2}x_{2}&+&h_{1,3}x_{3}&=&d_{1}\\h_{2,1}x_{1}&+&h_{2,2}x_{2}&+&h_{2,3}x_{3}&=&d_{2}\end{array}}$

এবং চলক পরিবর্তনের নিয়মটি হলো নিম্নরূপ:

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&=&g_{1,1}y_{1}&+&g_{1,2}y_{2}\\x_{2}&=&g_{2,1}y_{1}&+&g_{2,2}y_{2}\\x_{3}&=&g_{3,1}y_{1}&+&g_{3,2}y_{2}\end{array}}$

উত্তর

আমাদের কাছে আছে:

${\begin{array}{*{3}{rc}r}h_{1,1}\cdot (g_{1,1}y_{1}+g_{1,2}y_{2})&+&h_{1,2}\cdot (g_{2,1}y_{1}+g_{2,2}y_{2})&+&h_{1,3}\cdot (g_{3,1}y_{1}+g_{3,2}y_{2})&=&d_{1}\\h_{2,1}\cdot (g_{1,1}y_{1}+g_{1,2}y_{2})&+&h_{2,2}\cdot (g_{2,1}y_{1}+g_{2,2}y_{2})&+&h_{2,3}\cdot (g_{3,1}y_{1}+g_{3,2}y_{2})&=&d_{2}\end{array}}$

যাকে বিস্তৃত করার পর এবং $y$ চলকগুলোর সাপেক্ষে পুনরায় সাজানোর পর আমরা নিচের সমীকরণ ব্যবস্থাটি পাই।

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(h_{1,1}g_{1,1}+h_{1,2}g_{2,1}+h_{1,3}g_{3,1})y_{1}&+&(h_{1,1}g_{1,2}+h_{1,2}g_{2,2}+h_{1,3}g_{3,2})y_{2}&=&d_{1}\\(h_{2,1}g_{1,1}+h_{2,2}g_{2,1}+h_{2,3}g_{3,1})y_{1}&+&(h_{2,1}g_{1,2}+h_{2,2}g_{2,2}+h_{2,3}g_{3,2})y_{2}&=&d_{2}\end{array}}$

প্রাথমিক সমীকরণ ব্যবস্থা এবং প্রতিস্থাপনের জন্য ব্যবহৃত ব্যবস্থাটিকে ম্যাট্রিক্সের ভাষায় প্রকাশ করা যেতে পারে।

${\begin{pmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=H{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}\\g_{2,1}&g_{2,2}\\g_{3,1}&g_{3,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=G{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

এর মাধ্যমে প্রতিস্থাপনটি দাঁড়ায় ${\vec {d}}=H{\vec {x}}=H(G{\vec {y}})=(HG){\vec {y}}$।

সমস্যা ৬

যেহেতু সংজ্ঞা ২.৩ নির্দেশ করে যে, ম্যাট্রিক্স গুণন প্রক্রিয়াটি ডট প্রোডাক্ট বা বিন্দু গুণনের একটি সাধারণ রূপ। একটি $1\!\times \!n$ সারি ভেক্টর (row vector) এবং একটি $n\!\times \!1$ কলাম ভেক্টরের (column vector) ডট প্রোডাক্ট কি তাদের ম্যাট্রিক্স গুণফলের সমান?

উত্তর

কারিগরিভাবে বলতে গেলে, উত্তরটি হলো না। ডট প্রোডাক্টের ফলাফল একটি স্কেলার রাশি প্রদান করে, যেখানে ম্যাট্রিক্স গুণনের ফলাফল একটি $1\!\times \!1$ আকারের ম্যাট্রিক্স প্রদান করে। তবে ব্যবহারিক ক্ষেত্রে আমরা সাধারণত এই পার্থক্যটিকে উপেক্ষা করি।

সমস্যা ৭

${\mathcal {P}}_{n}$ এর ওপর অন্তরীকরণ চিত্রণকে (derivative map) $B,B$ এর সাপেক্ষে উপস্থাপন করুন, যেখানে $B$ হলো স্বাভাবিক ভিত্তি (natural basis) $\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$। দেখান যে এই ম্যাট্রিক্সটির নিজের সাথে গুণফল সংজ্ঞায়িত; এই চিত্রণটি আসলে কী নির্দেশ করে?

উত্তর

$B$ এর ওপর $d/dx$ এর ক্রিয়া হলো $1\mapsto 0$, $x\mapsto 1$, $x^{2}\mapsto 2x$, ... এবং এভাবেই চলতে থাকে। সুতরাং এর $(n+1)\!\times \!(n+1)$ আকারের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনাটি হবে নিম্নরূপ:

${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&&0\\0&0&2&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&n\\0&0&0&&0\end{pmatrix}}$

এই ম্যাট্রিক্সটির নিজের সাথে গুণফল সংজ্ঞায়িত কারণ এটি একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স।

${\begin{pmatrix}0&1&0&&0\\0&0&2&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&n\\0&0&0&&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&0&&0\\0&0&0&6&&0\\&&&&\ddots &\\0&0&0&&&n(n-1)\\0&0&0&&&0\\0&0&0&&&0\end{pmatrix}}$

এইভাবে উপস্থাপিত চিত্রণটি হলো একটি সংযোজিত ফাংশন বা কম্পোজিশন:

$p\;{\stackrel {\frac {d}{dx}}{\longmapsto }}\;{\frac {d\,p}{dx}}\;{\stackrel {\frac {d}{dx}}{\longmapsto }}\;{\frac {d^{2}\,p}{dx^{2}}}$

যা মূলত দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরীকরণ (second derivative) প্রক্রিয়াকে নির্দেশ করে।

সমস্যা ৮

প্রমাণ করুন যে $\mathbb {R} ^{1}$ এর ওপর রৈখিক রূপান্তরসমূহের সংযোজন (composition) বিনিময়যোগ্য (commutative)। এটি কি যেকোনো একমাত্রিক জগতের (one-dimensional space) জন্য সত্য?

উত্তর

হ্যাঁ, এটি সমস্ত একমাত্রিক জগতের জন্যই সত্য। ধরা যাক $f$ এবং $g$ হলো একটি একমাত্রিক জগতের দুটি রূপান্তর। আমাদের দেখাতে হবে যে সমস্ত ভেক্টরের জন্য $g\circ f\,({\vec {v}})=f\circ g\,({\vec {v}})$ সত্য। উক্ত জগতের জন্য একটি ভিত্তি $B$ নির্দিষ্ট করি, তাহলে রূপান্তরগুলোকে $1\!\times \!1$ আকারের ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা যায়।

$F={\rm {Rep}}_{B,B}(f)={\begin{pmatrix}f_{1,1}\end{pmatrix}}\qquad G={\rm {Rep}}_{B,B}(g)={\begin{pmatrix}g_{1,1}\end{pmatrix}}$

অতএব, সংযোজনগুলোকে $GF$ এবং $FG$ হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

$GF={\rm {Rep}}_{B,B}(g\circ f)={\begin{pmatrix}g_{1,1}f_{1,1}\end{pmatrix}}\qquad FG={\rm {Rep}}_{B,B}(f\circ g)={\begin{pmatrix}f_{1,1}g_{1,1}\end{pmatrix}}$

এই দুটি ম্যাট্রিক্স সমান এবং তাই সংযোজনগুলো জগতের প্রতিটি ভেক্টরের ওপর একই প্রভাব ফেলে।

সমস্যা ৯

ম্যাট্রিক্স গুণনকে কেন উপাদান-ভিত্তিক (entry-wise) গুণন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না? সেটি তো অনেক সহজ হতো এবং বিনিময়যোগ্যও হতো।

উত্তর

যদি উপাদান-ভিত্তিক গুণন করা হতো, তবে এটি রৈখিক চিত্রণের সংযোজনকে (linear map composition) উপস্থাপন করতে পারতো না; ফলে উপপাদ্য ২.৬ ব্যর্থ হতো।

সমস্যা ১০

1. প্রমাণ করুন যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $p,q$ এর জন্য $H^{p}H^{q}=H^{p+q}$ এবং $(H^{p})^{q}=H^{pq}$ সত্য।
2. যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $p$ এবং স্কেলার $r\in \mathbb {R}$ এর জন্য প্রমাণ করুন যে $(rH)^{p}=r^{p}\cdot H^{p}$।

উত্তর

প্রতিটি প্রমাণই সংশ্লিষ্ট চিত্রণের বৈশিষ্ট্য থেকে সহজেই পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, রূপান্তর $h$ কে $q$ বার প্রয়োগ করার পর পুনরায় $p$ বার প্রয়োগ করা মানে হলো মোট $p+q$ বার প্রয়োগ করা।

সমস্যা ১১

1. ম্যাট্রিক্স গুণন স্কেলার গুণনের সাথে কীভাবে কাজ করে: $r(GH)=(rG)H$ কি সত্য? $G(rH)=r(GH)$ কি সত্য?
2. ম্যাট্রিক্স গুণন রৈখিক সমাবেশের (linear combinations) সাথে কীভাবে কাজ করে: $F(rG+sH)=r(FG)+s(FH)$ কি সত্য? $(rF+sG)H=rFH+sGH$ কি সত্য?

উত্তর

যদিও এগুলো সূচক বা ইনডেক্স ব্যবহারের মাধ্যমে প্রমাণ করা সম্ভব, তবে উপস্থাপিত চিত্রণগুলোর মাধ্যমে এগুলো সবচেয়ে ভালো বোঝা যায়। অর্থাৎ, এমন জগত এবং ভিত্তি নির্দিষ্ট করুন যাতে ম্যাট্রিক্সগুলো রৈখিক চিত্রণ $f,g,h$ কে উপস্থাপন করে।

1. হ্যাঁ; আমাদের কাছে উভয়ই আছে: $r\cdot (g\circ h)\,({\vec {v}})=r\cdot g(\,h({\vec {v}})\,)=(r\cdot g)\circ h\,({\vec {v}})$ এবং $g\circ (r\cdot h)\,({\vec {v}})=g(\,r\cdot h({\vec {v}})\,)=r\cdot g(h({\vec {v}}))=r\cdot (g\circ h)\,({\vec {v}})$ (দ্বিতীয় সমতাটি $g$ এর রৈখিকতার কারণে সত্য)।
2. উভয় প্রশ্নের উত্তরই হলো হ্যাঁ। প্রথমত, $f\circ (rg+sh)$ এবং $r\cdot (f\circ g)+s\cdot (f\circ h)$ উভয়ই ${\vec {v}}$ কে $r\cdot f(g({\vec {v}}))+s\cdot f(h({\vec {v}}))$ এ পাঠায়; এই গণনাটি আগের আইটেমের মতোই (প্রথমটির ক্ষেত্রে $f$ এর রৈখিকতা ব্যবহার করে)। অন্যটির ক্ষেত্রে, $(rf+sg)\circ h$ এবং $r\cdot (f\circ h)+s\cdot (g\circ h)$ উভয়ই ${\vec {v}}$ কে $r\cdot f(h({\vec {v}}))+s\cdot g(h({\vec {v}}))$ এ পাঠায়।

সমস্যা ১২

ম্যাট্রিক্স গুণন প্রক্রিয়া ট্রান্সপোজ বা বিম্ব প্রক্রিয়ার সাথে কীভাবে কাজ করে তা আমরা পরীক্ষা করতে পারি।

1. দেখান যে ${{(GH)}^{\rm {trans}}}={{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$।
2. একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সকে প্রতিসম (symmetric) বলা হয় যদি এর প্রতিটি $i,j$ উপাদান এর $j,i$ উপাদানের সমান হয়, অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্সটি তার নিজের ট্রান্সপোজের সমান হয়। দেখান যে $H{{H}^{\rm {trans}}}$ এবং ${{H}^{\rm {trans}}}H$ ম্যাট্রিক্স দুটি প্রতিসম।

উত্তর

যেহেতু আমরা ট্রান্সপোজ প্রক্রিয়ার কোনো চিত্রণভিত্তিক ব্যাখ্যা দেখিনি, তাই আমরা উপাদানগুলো বিবেচনা করে এগুলো যাচাই করব।

1. ${{GH}^{\rm {trans}}}$ এর $i,j$ উপাদান হলো $GH$ এর $j,i$ উপাদান, যা $G$ এর $j$-তম সারি এবং $H$ এর $i$-তম কলামের ডট প্রোডাক্ট। আবার ${{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$ এর $i,j$ উপাদান হলো ${{H}^{\rm {trans}}}$ এর $i$-তম সারি এবং ${{G}^{\rm {trans}}}$ এর $j$-তম কলামের ডট প্রোডাক্ট, যা মূলত $H$ এর $i$-তম কলাম এবং $G$ এর $j$-তম সারির ডট প্রোডাক্ট। যেহেতু ডট প্রোডাক্ট বিনিময়যোগ্য, তাই এই দুটি সমান।
2. আগের আইটেম অনুযায়ী প্রতিটিই তার ট্রান্সপোজের সমান, যেমন: ${{(H{{H}^{\rm {trans}}})}^{\rm {trans}}}={{{H}^{\rm {trans}}}^{\rm {trans}}}{{H}^{\rm {trans}}}=H{{H}^{\rm {trans}}}$।

সমস্যা ১৩

একটি অক্ষের সাপেক্ষে $\mathbb {R} ^{3}$ এ ভেক্টরসমূহের ঘূর্ণন একটি রৈখিক চিত্রণ। জ্যামিতিকভাবে দেখান যে ঘূর্ণনসমূহ বিনিময়যোগ্য নয়, এবং এর মাধ্যমে প্রমাণ করুন যে রৈখিক চিত্রণসমূহ সাধারণত বিনিময়যোগ্য হয় না।

উত্তর

ধরা যাক $r_{x},r_{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ হলো দুটি রূপান্তর যা সমস্ত ভেক্টরকে $x$ এবং $y$ অক্ষের সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\pi /2$ রেডিয়ান কোণে ঘোরায় (এখানে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিক বলতে বোঝানো হয়েছে যে, একজন ব্যক্তি যার মাথা ${\vec {e}}_{1}$ বা ${\vec {e}}_{2}$ তে এবং পা মূলবিন্দুতে আছে, সে মূলবিন্দুর দিকে তাকালে ঘূর্ণনটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে দেখবে)।

প্রথমে $r_{x}$ এবং তারপর $r_{y}$ ঘূর্ণন প্রয়োগ করা আর প্রথমে $r_{y}$ এবং তারপর $r_{x}$ প্রয়োগ করা এক নয়। বিশেষ করে, $r_{x}({\vec {e}}_{3})=-{\vec {e}}_{2}$ তাই $r_{y}\circ r_{x}({\vec {e}}_{3})=-{\vec {e}}_{2}$, যেখানে $r_{y}({\vec {e}}_{3})={\vec {e}}_{1}$ হওয়ায় $r_{x}\circ r_{y}({\vec {e}}_{3})={\vec {e}}_{1}$ হয়, এবং ফলস্বরূপ চিত্রণগুলো বিনিময়যোগ্য নয়।

সমস্যা ১৪

উপপাদ্য ২.১২ এর প্রমাণে কিছু চিত্রণ ব্যবহার করা হয়েছে। সেগুলোর ডোমেইন (domain) এবং কোডোমেইন (codomain) কী?

উত্তর

এটি আসলে খুব একটা গুরুত্বপূর্ণ নয় (যতক্ষণ পর্যন্ত জগতগুলোর মাত্রা সঠিক থাকে)।

সংযোজনযোগ্যতার (associativity) জন্য, ধরা যাক $F$ হলো $m\!\times \!r$, $G$ হলো $r\!\times \!n$, এবং $H$ হলো $n\!\times \!k$ আকারের ম্যাট্রিক্স। আমরা যেকোনো $r$ মাত্রিক জগত, যেকোনো $m$ মাত্রিক জগত, যেকোনো $n$ মাত্রিক জগত, এবং যেকোনো $k$ মাত্রিক জগত নিতে পারি— উদাহরণস্বরূপ, $\mathbb {R} ^{r}$, $\mathbb {R} ^{m}$, $\mathbb {R} ^{n}$, এবং $\mathbb {R} ^{k}$ কাজ করবে। আমরা সেই জগতগুলোর জন্য যেকোনো ভিত্তি $A$, $B$, $C$, এবং $D$ নিতে পারি। তখন, $C,D$ এর সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স $H$ একটি রৈখিক চিত্রণ $h$ কে উপস্থাপন করে, $B,C$ এর সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স $G$ একটি $g$ কে উপস্থাপন করে, এবং $A,B$ এর সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স $F$ একটি $f$ কে উপস্থাপন করে। আমরা প্রমাণে এই চিত্রণগুলো ব্যবহার করতে পারি।

দ্বিতীয় অংশটিও একইভাবে করা হয়, তবে সেখানে $G$ এবং $H$ যোগ করা হয়েছে তাই আমাদের এমন চিত্রণ নিতে হবে যাদের ডোমেইন এবং কোডোমেইন একই।

সমস্যা ১৫

ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক (rank) ম্যাট্রিক্স গুণনের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত?

1. র‍্যাঙ্ক $n$ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সসমূহের গুণফলের র‍্যাঙ্ক কি $n$ এর চেয়ে কম হতে পারে? বেশি হতে পারে?
2. দেখান যে দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের র‍্যাঙ্ক প্রতিটি ফ্যাক্টরের র‍্যাঙ্কের ন্যূনতম মানের চেয়ে কম বা সমান।

উত্তর

1. র‍্যাঙ্ক $n$ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সসমূহের গুণফলের র‍্যাঙ্ক $n$ এর চেয়ে কম বা সমান হতে পারে কিন্তু $n$ এর চেয়ে বেশি হতে পারে না। র‍্যাঙ্ক কমে যেতে পারে তা দেখার জন্য, $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ চিত্রণ দুটি বিবেচনা করুন যা অক্ষগুলোর ওপর প্রক্ষেপণ (projection) করে। প্রতিটির র‍্যাঙ্ক এক, কিন্তু তাদের সংযোজন $\pi _{x}\circ \pi _{y}$, যা একটি শূন্য চিত্রণ (zero map), তার র‍্যাঙ্ক শূন্য। ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে এটি এভাবে দেখানো যায়:

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{x})\cdot {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{y})={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   র‍্যাঙ্ক $n$ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সের গুণফলের র‍্যাঙ্ক $n$ এর বেশি হতে পারে না তা প্রমাণ করতে আমরা এই চিত্রণ বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করতে পারি যে, একটি রৈখিক নির্ভরশীল সেটের চিত্রও রৈখিক নির্ভরশীল হয়। অর্থাৎ, যদি $h:V\to W$ এবং $g:W\to X$ উভয়ের র‍্যাঙ্ক $n$ হয়, তবে রেঞ্জ ${\mathcal {R}}(g\circ h)$ এর মধ্যে $n$ এর চেয়ে বড় আকারের যেকোনো সেট হলো $W$ এর $n$ এর চেয়ে বড় আকারের একটি সেটের $g$ এর অধীনে প্রতিচ্ছবি, এবং তাই এটি রৈখিক নির্ভরশীল (যেহেতু $h$ এর র‍্যাঙ্ক $n$)। এখন, রৈখিক নির্ভরশীল সেটের প্রতিচ্ছবিও নির্ভরশীল, তাই রেঞ্জের মধ্যে $n$ এর চেয়ে বড় যেকোনো সেট নির্ভরশীল হবে। (প্রসঙ্গক্রমে লক্ষ্য করুন যে, এখানে $g$ এর র‍্যাঙ্কের কথা উল্লেখ করা হয়নি। পরবর্তী অংশটি দেখুন।)
2. জগত এবং ভিত্তি নির্দিষ্ট করুন এবং সংশ্লিষ্ট রৈখিক চিত্রণ $f$ এবং $g$ বিবেচনা করুন। মনে রাখবেন যে একটি চিত্রণের প্রতিচ্ছবির মাত্রা (চিত্রণের র‍্যাঙ্ক) তার ডোমেইনের মাত্রার চেয়ে কম বা সমান হয়। নিচের অ্যারো ডায়াগ্রামটি লক্ষ্য করুন:

   ${\begin{matrix}V&{\stackrel {f}{\longmapsto }}&{\mathcal {R}}(f)&{\stackrel {g}{\longmapsto }}&{\mathcal {R}}(g\circ f)\end{matrix}}$

   প্রথমত, ${\mathcal {R}}(f)$ এর প্রতিচ্ছবির মাত্রা অবশ্যই ${\mathcal {R}}(f)$ এর মাত্রার চেয়ে কম বা সমান হতে হবে। অন্যদিকে, ${\mathcal {R}}(f)$ হলো $g$ এর ডোমেইনের একটি উপসেট, এবং এইভাবে এর প্রতিচ্ছবির মাত্রা $g$ এর ডোমেইনের মাত্রার চেয়ে কম বা সমান। এই দুটিকে একত্রিত করলে দেখা যায়, একটি সংযোজিত চিত্রণের র‍্যাঙ্ক চিত্রণ দুটির র‍্যাঙ্কের ন্যূনতম মানের চেয়ে কম বা সমান। ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও এই সত্যটি সরাসরি প্রযোজ্য।

সমস্যা ১৬

$n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সসমূহের মধ্যে "বিনিময়যোগ্য হওয়া" (commutes with) কি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক (equivalence relation)?

উত্তর

"বিনিময়যোগ্য হওয়া" সম্পর্কটি স্বসম (reflexive) এবং প্রতিসম (symmetric)। তবে এটি সংক্রামক (transitive) নয়: উদাহরণস্বরূপ, নিচের ম্যাট্রিক্সগুলো লক্ষ্য করুন:

$G={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\quad J={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}$

এখানে $G$, $H$ এর সাথে বিনিময়যোগ্য এবং $H$, $J$ এর সাথে বিনিময়যোগ্য, কিন্তু $G$, $J$ এর সাথে বিনিময়যোগ্য নয়।

সমস্যা ১৭

(এটি ম্যাট্রিক্স ইনভার্স বা বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অনুশীলনীতে ব্যবহৃত হবে।) এখানে ম্যাট্রিক্স গুণনের আরেকটি বৈশিষ্ট্য দেওয়া হলো যা প্রথম দেখায় অদ্ভুত মনে হতে পারে।

1. প্রমাণ করুন যে $x$ এবং $y$ অক্ষের ওপর প্রক্ষেপণ $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ এর সংযোজন একটি শূন্য চিত্রণ, যদিও তাদের কোনটিই নিজে শূন্য চিত্রণ নয়।
2. প্রমাণ করুন যে $d^{2}/dx^{2},\,d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$ অন্তরীকরণ দুটির সংযোজন একটি শূন্য চিত্রণ, যদিও তাদের কোনটিই শূন্য নয়।
3. প্রথম ঘটনার প্রতিনিধিত্বকারী একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিন।
4. দ্বিতীয় ঘটনার প্রতিনিধিত্বকারী একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিন।

যখন দুটি জিনিসের গুণফল শূন্য হয় অথচ তাদের কোনটিই শূন্য নয়, তখন তাদের প্রত্যেককে একটি শূন্য ভাজক (zero divisor) বলা হয়।

উত্তর

1. এর যেকোনো একটি:

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{x}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{y}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{y}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{x}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

2. এই সংযোজনটি হলো চতুর্থ ঘাতের বহুপদী জগতের ওপর পঞ্চম ক্রমের অন্তরীকরণ চিত্রণ $d^{5}/dx^{5}$, যা স্বাভাবিকভাবেই শূন্য হবে।
3. স্বাভাবিক ভিত্তির সাপেক্ষে,

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(\pi _{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(\pi _{y})={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   এবং তাদের গুণফল (যেকোনো ক্রমে) একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।
4. যেখানে $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\rangle$,

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d^{2}}{dx^{2}}})={\begin{pmatrix}0&0&2&0&0\\0&0&0&6&0\\0&0&0&0&12\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d^{3}}{dx^{3}}})={\begin{pmatrix}0&0&0&6&0\\0&0&0&0&24\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   এবং তাদের গুণফল (যেকোনো ক্রমে) একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।

সমস্যা ১৮

দেখান যে, বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে $(S+T)(S-T)$ এবং $S^{2}-T^{2}$ সমান নাও হতে পারে।

উত্তর

লক্ষ্য করুন যে $(S+T)(S-T)=S^{2}-ST+TS-T^{2}$, তাই এমন ম্যাট্রিক্স খোঁজা বুদ্ধিমানের কাজ হবে যারা বিনিময়যোগ্য নয় যাতে $-ST$ এবং $TS$ একে অপরকে বাতিল না করে। নিচের ম্যাট্রিক্স দুটি লক্ষ্য করুন:

$S={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}$

এখানে আমরা কাঙ্ক্ষিত অসমতাটি পাই।

$(S+T)(S-T)={\begin{pmatrix}-56&-56\\-88&-88\end{pmatrix}}\qquad S^{2}-T^{2}={\begin{pmatrix}-60&-68\\-76&-84\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১৯

যেকোনো ভিত্তি $B$ এর সাপেক্ষে অভেদ রূপান্তর (identity transformation) ${\mbox{id}}:V\to V$ কে উপস্থাপন করুন। এটিই হলো অভেদ ম্যাট্রিক্স (identity matrix) $I$। দেখান যে এই ম্যাট্রিক্সটি ম্যাট্রিক্স গুণনের ক্ষেত্রে সেই ভূমিকা পালন করে যা বাস্তব সংখ্যার গুণনের ক্ষেত্রে সংখ্যা $1$ পালন করে: অর্থাৎ $HI=IH=H$ (সেই সমস্ত ম্যাট্রিক্স $H$ এর জন্য যাদের গুণফল সংজ্ঞায়িত)।

উত্তর

যেহেতু অভেদ চিত্রণ ভিত্তি $B$ এর ওপর এভাবে কাজ করে: ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{1}$, ..., ${\vec {\beta }}_{n}\mapsto {\vec {\beta }}_{n}$, তাই এর উপস্থাপনাটি হবে নিম্নরূপ:

${\begin{pmatrix}1&0&0&&0\\0&1&0&&0\\0&0&1&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&1\end{pmatrix}}$

প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশটি উপপাদ্য ২.৬ থেকে সরাসরি স্পষ্ট।

সমস্যা ২০

বাস্তব সংখ্যার বীজগণিতে দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ দুটি সমাধান থাকে। ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের ক্ষেত্রে এটি সত্য নয়। দেখান যে $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স সমীকরণ $T^{2}=I$ এর দুইয়ের অধিক সমাধান রয়েছে, যেখানে $I$ হলো অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর

এখানে চারটি সমাধান দেওয়া হলো:

$T={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২১

1. প্রমাণ করুন যে যেকোনো $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স $T$ এর জন্য এমন কিছু স্কেলার $c_{0},\dots ,c_{4}$ আছে (যারা সবাই শূন্য নয়) যাতে $c_{4}T^{4}+c_{3}T^{3}+c_{2}T^{2}+c_{1}T+c_{0}I$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়।
2. ধরা যাক $p(x)$ একটি বহুপদী $p(x)=c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$। যদি $T$ একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয় তবে আমরা $p(T)$ কে $c_{n}T^{n}+\dots +c_{1}T+c_{0}I$ ম্যাট্রিক্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি। প্রমাণ করুন যে যেকোনো বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য এমন একটি বহুপদী আছে যাতে $p(T)$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়।
3. একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের ন্যূনতম বহুপদী (minimal polynomial) $m(x)$ হলো সেই সর্বনিম্ন ঘাতের বহুপদী, যার মুখ্য সহগ (leading coefficient) $1$, যাতে $m(T)$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়। নিচের ম্যাট্রিক্সটির ন্যূনতম বহুপদী নির্ণয় করুন।

   ${\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}$

   (এটি হলো আদর্শ ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ এর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\pi /6$ রেডিয়ান কোণে ঘূর্ণনের উপস্থাপনা।)

উত্তর

1. ভেক্টর স্পেস ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ এর মাত্রা হলো চার। সেট $\{T^{4},\dots ,T,I\}$ এ পাঁচটি উপাদান রয়েছে এবং তাই এটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
2. যেখানে $T$ হলো $n\!\times \!n$, আগের আইটেমের যুক্তিকে সাধারণীকরণ করলে দেখা যায় যে $n^{2}$ বা তার কম ঘাতের এমন একটি বহুপদী বিদ্যমান, যেহেতু $\{T^{n^{2}},\dots ,T,I\}$ হলো $n^{2}$-মাত্রিক জগত ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ এর একটি $n^{2}+1$ সদস্য বিশিষ্ট উপসেট।
3. প্রথমে ঘাতগুলো গণনা করি:

   $T^{2}={\begin{pmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\end{pmatrix}}\qquad T^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad T^{4}={\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}$

   (লক্ষ্য করুন যে $\pi /6$ কোণে তিনবার ঘোরানোর ফলে $\pi /2$ কোণে ঘূর্ণন ঘটে, যা মূলত $T^{3}$ উপস্থাপন করে)। এখন $c_{4}T^{4}+c_{3}T^{3}+c_{2}T^{2}+c_{1}T+c_{0}I$ কে শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান ধরি:

   ${\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}c_{4}+{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}c_{3}+{\begin{pmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\end{pmatrix}}c_{2}+{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}c_{1}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}c_{0}$

   $={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   এখান থেকে নিচের রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থাটি পাওয়া যায়:

   ${\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-({\sqrt {3}}/2)c_{4}&-&c_{3}&-&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&-&(1/2)c_{1}&&&=&0\\({\sqrt {3}}/2)c_{4}&+&c_{3}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&+&(1/2)c_{1}&&&=&0\\-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\end{array}}$

   গাউসীয় অপনয়ন (Gaussian reduction) প্রয়োগ করি:

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{4}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-({\sqrt {3}}/2)c_{4}&-&c_{3}&-&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&-&(1/2)c_{1}&&&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\end{array}}\\&\;{\xrightarrow[{}]{-{\sqrt {3}}\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\&-&c_{3}&-&{\sqrt {3}}c_{2}&-&2c_{1}&-&{\sqrt {3}}c_{0}&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

   যদি $c_{4}$, $c_{3}$, এবং $c_{2}$ কে শূন্য ধরা হয়, তবে $c_{1}$ এবং $c_{0}$ ও শূন্য হয়ে যায়, তাই এক বা শূন্য ঘাতের কোনো বহুপদী কাজ করবে না। এখন $c_{4}$ এবং $c_{3}$ কে শূন্য ধরে (এবং $c_{2}$ কে এক ধরে) আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা পাই:

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}(1/2)&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-{\sqrt {3}}&-&2c_{1}&-&{\sqrt {3}}c_{0}&=&0\end{array}}$

   যা সমাধান করলে $c_{1}=-{\sqrt {3}}$ এবং $c_{0}=1$ পাওয়া যায়। উপসংহার: বহুপদী $m(x)=x^{2}-{\sqrt {3}}x+1$ হলো ম্যাট্রিক্স $T$ এর জন্য ন্যূনতম বহুপদী।

সমস্যা ২২

সমস্ত সসীম ঘাতের বহুপদী সম্বলিত অসীম-মাত্রিক জগত ${\mathcal {P}}$ রৈখিক চিত্রণের অবিনিময়যোগ্যতার (non-commutativity) একটি স্মরণীয় উদাহরণ প্রদান করে। ধরা যাক $d/dx:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ হলো সাধারণ অন্তরীকরণ এবং $s:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ হলো শিফট (shift) চিত্রণ।

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\;{\stackrel {s}{\longmapsto }}\;0+a_{0}x+a_{1}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n+1}$

দেখান যে এই চিত্রণ দুটি বিনিময়যোগ্য নয় $d/dx\circ s\neq s\circ d/dx$; প্রকৃতপক্ষে, $(d/dx\circ s)-(s\circ d/dx)$ শুধুমাত্র একটি অ-শূন্য চিত্রণই নয়, এটি আসলে অভেদ চিত্রণ (identity map)।

উত্তর

যাচাইকরণটি অত্যন্ত সহজ:

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}{\stackrel {s}{\longmapsto }}a_{0}x+a_{1}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n+1}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{0}+2a_{1}x+\dots +(n+1)a_{n}x^{n}$

যেখানে,

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{1}+\dots +na_{n}x^{n-1}{\stackrel {s}{\longmapsto }}a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$

ফলে $(d/dx\circ s)-(s\circ d/dx)$ চিত্রণের অধীনে আমরা পাই: $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$।

সমস্যা ২৩

সংখ্যার অনুক্রম $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ এর সমষ্টির জন্য ব্যবহৃত চিহ্নটি স্মরণ করুন।

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}$

এই সংকেত ব্যবহার করে, $G$ এবং $H$ এর গুণফলের $i,j$ উপাদানটি হবে নিম্নরূপ:

$p_{i,j}=\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}h_{k,j}$

এই সংকেত ব্যবহার করে:

1. পুনরায় প্রমাণ করুন যে ম্যাট্রিক্স গুণন সংযোজনযোগ্য (associative);
2. উপপাদ্য ২.৬ পুনরায় প্রমাণ করুন।

উত্তর

1. উপবিভাগের শেষের মন্তব্যটি অনুসরণ করলে দেখা যায় যে $(FG)H$ এর $i,j$ উপাদান হলো: $\sum _{t=1}^{s}{\bigl (}\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}g_{k,t}{\bigr )}h_{t,j}=\sum _{t=1}^{s}\sum _{k=1}^{r}(f_{i,k}g_{k,t})h_{t,j}=\sum _{t=1}^{s}\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}(g_{k,t}h_{t,j})$

   $=\sum _{k=1}^{r}\sum _{t=1}^{s}f_{i,k}(g_{k,t}h_{t,j})=\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}{\bigl (}\sum _{t=1}^{s}g_{k,t}h_{t,j}{\bigr )}$

   (প্রথম সমতাটি বন্টন বিধি ব্যবহার করে $h$ গুণ করার মাধ্যমে এসেছে, দ্বিতীয় সমতাটি বাস্তব সংখ্যার সংযোজন বিধি, তৃতীয়টি বাস্তব সংখ্যার বিনিময় বিধি, এবং চতুর্থ সমতাটি বন্টন বিধি ব্যবহার করে $f$ কে কমন নেওয়ার মাধ্যমে এসেছে), যা মূলত $F(GH)$ এর $i,j$ উপাদান।
2. $h({\vec {v}})$ এর $k$-তম উপাদান হলো:

   $\sum _{j=1}^{n}h_{k,j}v_{j}$

   এবং তাই $g\circ h\,({\vec {v}})$ এর $i$-তম উপাদানটি দাঁড়ায়:

   $\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}{\bigl (}\sum _{j=1}^{n}h_{k,j}v_{j}{\bigr )}=\sum _{k=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}g_{i,k}h_{k,j}v_{j}=\sum _{k=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}(g_{i,k}h_{k,j})v_{j}$

   $=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{r}(g_{i,k}h_{k,j})v_{j}=\sum _{j=1}^{n}(\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}h_{k,j})\,v_{j}$

   (প্রথম সমতাটি বন্টন বিধি ব্যবহার করে $g$ গুণ করার মাধ্যমে, দ্বিতীয়টি বাস্তব সংখ্যার সংযোজন বিধি, তৃতীয়টি বাস্তব সংখ্যার বিনিময় বিধি এবং চতুর্থটি বন্টন বিধি ব্যবহার করে $v$ কে কমন নেওয়ার মাধ্যমে এসেছে)।