রৈখিক বীজগণিত/ম্যাট্রিক্স গুণনের কৌশল/সমাধান

সমাধান

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ১

প্রাথমিক রিডাকশন ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিটি গুণের ফলাফল অনুমান করো এবং তারপর গুণ করে তা যাচাই করো।

1. ${\begin{pmatrix}3&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিকে $3$ দিয়ে এবং দ্বিতীয় সারিকে $0$ দিয়ে গুণ করা হয়েছে।

   ${\begin{pmatrix}3&6\\0&0\end{pmatrix}}$

2. দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিকে $4$ দিয়ে এবং দ্বিতীয় সারিকে $2$ দিয়ে গুণ করা হয়েছে।

   ${\begin{pmatrix}4&8\\6&8\end{pmatrix}}$

3. দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটিতে পিভট অপারেশন করা হয়েছে, যেখানে দ্বিতীয় সারির সাথে প্রথম সারির $-2$ গুণফল যোগ করে দ্বিতীয় সারিটি প্রতিস্থাপন করা হয়েছে।

   ${\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}}$

4. প্রথম ম্যাট্রিক্সটিতে কলাম অপারেশন করা হয়েছে: দ্বিতীয় কলামটিকে প্রথম কলামের $-1$ গুণফল এবং দ্বিতীয় কলামের যোগফল দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়েছে।

   ${\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}}$

5. প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলামগুলো অদলবদল করা হয়েছে।

   ${\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ২

সংখ্যার টেবিলে সারি এবং কলামের রৈখিক সমন্বয় নেওয়ার প্রয়োজনীয়তা বাস্তবে প্রায়ই দেখা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, নিচে ভার্মন্ট এবং নিউ ইয়র্কের একটি অংশের মানচিত্র দেওয়া হলো।

শামপ্লেইন হ্রদের কারণে, কিছু শহরের জোড়ার মধ্যে সরাসরি সংযোগকারী কোনো রাস্তা নেই। উদাহরণস্বরূপ, কলচেস্টারের মধ্য দিয়ে না গিয়ে উইনুস্কি থেকে গ্র্যান্ড আইল যাওয়ার কোনো উপায় নেই। (অবশ্যই, গ্রাফটিকে সরল করার জন্য অনেক অন্যান্য রাস্তা এবং শহর বাদ দেওয়া হয়েছে। এই মানচিত্রের ওপর থেকে নিচ পর্যন্ত প্রায় চল্লিশ মাইল।)

1. একটি মানচিত্রের ইনসিডেন্স ম্যাট্রিক্স হলো সেই বর্গ ম্যাট্রিক্স, যার $i,j$ ভুক্তি হলো শহর $i$ থেকে শহর $j$-এ যাওয়ার রাস্তার সংখ্যা। এই মানচিত্রের ইনসিডেন্স ম্যাট্রিক্স তৈরি করো (শহরগুলোকে বর্ণানুক্রমিকভাবে সাজাও)।
2. কোনো ম্যাট্রিক্স তার ট্রান্সপোজের সমান হলে তাকে প্রতিসম বলা হয়। দেখাও যে, একটি ইনসিডেন্স ম্যাট্রিক্স প্রতিসম। (এগুলো সব দ্বি-মুখী রাস্তা। ভার্মন্টে খুব একটা একমুখী রাস্তা নেই।)
3. ইনসিডেন্স ম্যাট্রিক্সের বর্গের তাৎপর্য কী? ঘনফলের তাৎপর্য কী?

উত্তর

1. ইনসিডেন্স ম্যাট্রিক্সটি নিচে দেওয়া হলো (যেমন, প্রথম সারিটি নির্দেশ করে যে বার্লিংটনকে অন্তর্ভুক্ত করে মাত্র একটি সংযোগ রয়েছে, যা উইনুস্কির রাস্তা)।

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&1&1&1\\0&1&0&1&0\\0&1&1&0&0\\1&1&0&0&0\end{pmatrix}}$

2. যেহেতু এগুলো দ্বি-মুখী রাস্তা, তাই শহর $i$ থেকে শহর $j$-কে সংযোগকারী যেকোনো রাস্তা শহর $j$ এবং শহর $i$-এর মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে।
3. ইনসিডেন্স ম্যাট্রিক্সের বর্গ নির্দেশ করে যে দুটি রাস্তার মাধ্যমে শহরগুলো কীভাবে সংযুক্ত।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ৩

এই টেবিলে প্রতিটি কর্মীর কাজের ধরণ এবং তার জন্য নির্ধারিত বেতন হার দেওয়া হয়েছে। বকেয়া বেতন গণনা করতে ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করো।

রেগুলার   ওভারটাইম অ্যালান     40   12 বেটি     35   6 ক্যাথরিন     40   18 ডোনাল্ড     28   0

বেতন রেগুলার     $25.00 ওভারটাইম     $45.00

(মন্তব্য। এটি পূর্বের সমস্যার মতোই প্রদর্শন করে যে, বাস্তবে আমরা প্রায়শই এমন প্রেক্ষাপটে সারি এবং কলামের রৈখিক সমন্বয় গণনা করতে চাই যেখানে সংশ্লিষ্ট রৈখিক ম্যাপ নিয়ে আমাদের তেমন আগ্রহ নেই।)

উত্তর

প্রতিটি ব্যক্তির প্রাপ্য বেতন দুটি অ্যারের ম্যাট্রিক্স গুণফলের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

প্রশ্ন ৪

এই ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজের গুণফল নির্ণয় করো।

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

উত্তর

গুণফলটি হলো আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (মনে রাখবে যে $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$)। এর ব্যাখ্যা হলো, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি আদর্শ বেসিসের সাপেক্ষে $\mathbb {R} ^{2}$-এ $\theta$ রেডিয়ানের একটি ঘূর্ণন নির্দেশ করে, যেখানে ট্রান্সপোজটি $-\theta$ রেডিয়ানের একটি ঘূর্ণন নির্দেশ করে। দুটি একে অপরকে বাতিল করে দেয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ৫

প্রমাণ করো যে ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সগুলো ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$-এর একটি সাবস্পেস গঠন করে। এর ডাইমেনশন কত?

উত্তর

ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের সেটটি শূন্য সেট নয় কারণ জিরো ম্যাট্রিক্স নিজেই একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স। এটি স্কেলার গুণিতক এবং যোগফলের অধীনে বদ্ধ। সুতরাং এটি একটি সাবস্পেস। এর ডাইমেনশন হলো $n$; এখানে একটি বেসিস দেওয়া হলো:

$\{{\begin{pmatrix}1&0&\ldots \\0&0\\&&\ddots \\0&0&&0\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}0&0&\ldots \\0&0\\&&\ddots \\0&0&&1\end{pmatrix}}\}$

প্রশ্ন ৬

বেসিসগুলো অসমান হলে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স কি আইডেন্টিটি ম্যাপকে নির্দেশ করে?

উত্তর

না। ${\mathcal {P}}_{1}$-এ, অসমান বেসিস $B=\langle 1,x\rangle$ এবং $D=\langle 1+x,1-x\rangle$-এর সাপেক্ষে, আইডেন্টিটি ট্রান্সফরমেশনটি এই ম্যাট্রিক্স দ্বারা নির্দেশিত হয়।

${\rm {Rep}}_{B,D}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}_{B,D}$

প্রশ্ন ৭

দেখাও যে আইডেন্টিটির প্রতিটি গুণিতক প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে কমিউট করে। অন্য কোনো ম্যাট্রিক্স কি আছে যা সব বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে কমিউট করে?

উত্তর

যেকোনো স্কেলার $r$ এবং বর্গ ম্যাট্রিক্স $H$-এর জন্য আমরা পাই $(rI)H=r(IH)=rH=r(HI)=(Hr)I=H(rI)$।

এই জাতীয় আর কোনো ম্যাট্রিক্স নেই; এখানে $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি যুক্তি দেওয়া হলো যা সহজেই $n\!\times \!n$-এ বিস্তৃত করা যায়। যদি কোনো ম্যাট্রিক্স অন্য সব ম্যাট্রিক্সের সাথে কমিউট করে, তবে তা এই ইউনিট ম্যাট্রিক্সের সাথেও কমিউট করে।

${\begin{pmatrix}0&a\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c&d\\0&0\end{pmatrix}}$

এ থেকে আমরা প্রথমে সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে ওপরের বাম ভুক্তি $a$ অবশ্যই নিচের ডান ভুক্তি $d$-এর সমান হতে হবে। আমরা আরও সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে নিচের বাম ভুক্তি $c$ হলো শূন্য। ওপরের ডান ভুক্তি $b$-এর ক্ষেত্রেও যুক্তিটি একই।

প্রশ্ন ৮

প্রমাণ বা অপ্রমাণ করো: নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সগুলো কমিউট করে।

উত্তর

এটি মিথ্যা; এই দুটি ম্যাট্রিক্স কমিউট করে না।

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ৯

দেখাও যে একটি পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজের গুণফল একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স।

উত্তর

একটি পারমুটেশন ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি এবং কলামে একটি মাত্র '১' থাকে এবং বাকি সব ভুক্তি শূন্য। এমন একটি ম্যাট্রিক্স নির্দিষ্ট করো। ধরো, $i$-তম সারির '১' টি $j$-তম কলামে আছে। তাহলে অন্য কোনো সারির '১' $j$-তম কলামে নেই; প্রতিটি অন্য সারিতে $j$-তম কলামে একটি শূন্য আছে। সুতরাং $i$-তম সারি এবং অন্য যেকোনো সারির ডট গুণফল হলো শূন্য।

গুণফলের $i$-তম সারিটি গঠিত হয় ম্যাট্রিক্সের $i$-তম সারি এবং ট্রান্সপোজের কলামগুলোর ডট গুণফল দ্বারা। গত অনুচ্ছেদ অনুযায়ী, এই ধরনের সব ডট গুণফল শূন্য, শুধুমাত্র $i$-তমটি বাদে, যা হলো এক।

প্রশ্ন ১০

দেখাও যে, যদি $G$-এর প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি সমান হয়, তবে $GH$-এর প্রথম এবং দ্বিতীয় সারিও সমান হবে। সাধারণীকরণ করো।

উত্তর

সাধারণীকরণটি হলো প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি থেকে $i_{1}$-তম এবং $i_{2}$-তম সারিতে যাওয়া। $GH$-এর সারি $i$ গঠিত হয় $G$-এর সারি $i$ এবং $H$-এর কলামগুলোর ডট গুণফল দ্বারা। সুতরাং, যদি $G$-এর সারি $i_{1}$ এবং $i_{2}$ সমান হয়, তবে $GH$-এর সারি $i_{1}$ এবং $i_{2}$ ও সমান হবে।

প্রশ্ন ১১

দুটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের গুণফল বর্ণনা করো।

উত্তর

যদি দুটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের গুণফল সংজ্ঞায়িত থাকে—যদি উভয়ই $n\!\times \!n$ হয়—তবে ডায়াগোনালগুলোর গুণফল হলো গুণফলগুলোর ডায়াগোনাল: যেখানে $G,H$ সমান মাপের ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স, $GH$-এর সব ভুক্তি শূন্য শুধুমাত্র $i,i$ ভুক্তিগুলো ছাড়া, যা হলো $g_{i,i}h_{i,i}$।

প্রশ্ন ১২

লেখো

${\begin{pmatrix}1&0\\-3&3\end{pmatrix}}$

কে দুটি প্রাথমিক রিডাকশন ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসেবে।

উত্তর

আইডেন্টিটি থেকে এই ম্যাট্রিক্সটি তৈরি করার একটি উপায় হলো কলাম অপারেশন ব্যবহার করা: প্রথমে দ্বিতীয় কলামকে তিন দিয়ে গুণ করা, এবং তারপর প্রাপ্ত দ্বিতীয় কলামের ঋণাত্মক মান প্রথম কলামের সাথে যোগ করা।

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\;{\xrightarrow[{}]{}}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}\;{\xrightarrow[{}]{}}\;{\begin{pmatrix}1&0\\-3&3\end{pmatrix}}$

কলাম অপারেশনগুলো (সারি অপারেশনের বিপরীতে) বাম থেকে ডানে লেখা হয়, তাই ওপরের দুটি অপারেশন করার বিষয়টি এই ম্যাট্রিক্স গুণফল দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

${\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}$

মন্তব্য। বিকল্পভাবে, আমরা সারি অপারেশন ব্যবহার করেও প্রয়োজনীয় ম্যাট্রিক্সটি পেতে পারি। আইডেন্টিটি থেকে শুরু করে, প্রথমে প্রথম সারির ঋণাত্মক মান দ্বিতীয় সারির সাথে যোগ করা এবং তারপর দ্বিতীয় সারিকে তিন দিয়ে গুণ করা কাজ করবে। যেহেতু ধারাবাহিক সারি অপারেশনগুলো ডান থেকে বামে ম্যাট্রিক্স গুণফল হিসেবে লেখা হয়, তাই এই দুটি সারি অপারেশন করাকে একই ম্যাট্রিক্স গুণফল দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ১৩

দেখাও যে, যদি $G$-এর একটি সারি শূন্য হয়, তবে $GH$ (যদি সংজ্ঞায়িত থাকে)-এর একটি সারি শূন্য হবে। এটি কি কলামের জন্য কাজ করে?

উত্তর

$GH$-এর $i$-তম সারিটি গঠিত হয় $G$-এর $i$-তম সারির সাথে $H$-এর কলামগুলোর ডট গুণফল দ্বারা। একটি শূন্য সারির সাথে একটি কলামের ডট গুণফল শূন্য হয়।

এটি কলামের জন্য কাজ করে যদি সঠিকভাবে বলা হয়: যদি $H$-এর একটি কলাম শূন্য হয়, তবে $GH$ (যদি সংজ্ঞায়িত থাকে)-এর একটি কলাম শূন্য হবে। প্রমাণটি সহজ।

প্রশ্ন ১৪

দেখাও যে ইউনিট ম্যাট্রিক্সের সেটটি ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$-এর একটি বেসিস গঠন করে।

উত্তর

সম্ভবত সবচেয়ে সহজ উপায় হলো দেখানো যে প্রতিটি $n\!\times \!m$ ম্যাট্রিক্স ইউনিট ম্যাট্রিক্সের একটি রৈখিক সমন্বয় মাত্র একভাবে হতে পারে:

$c_{1}{\begin{pmatrix}1&0&\ldots \\0&0\\\vdots \end{pmatrix}}+\dots +c_{n,m}{\begin{pmatrix}0&0&\ldots \\\vdots \\0&\ldots &&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots \\\vdots \\a_{n,1}&\ldots &&a_{n,m}\end{pmatrix}}$

এর অনন্য সমাধান $c_{1}=a_{1,1}$, $c_{2}=a_{1,2}$ ইত্যাদি।

প্রশ্ন ১৫

এই ম্যাট্রিক্সের $n$-তম পাওয়ারের সূত্রটি খুঁজে বের করো।

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$

উত্তর

ম্যাট্রিক্সটিকে $F$ ধরি। আমরা পাই

$F^{2}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}\quad F^{3}={\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}}\quad F^{4}={\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}}$

সাধারণভাবে,

$F^{n}={\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_{n}\\f_{n}&f_{n-1}\end{pmatrix}}$

যেখানে $f_{i}$ হলো $i$-তম ফিবোনাচি সংখ্যা $f_{i}=f_{i-1}+f_{i-2}$ এবং $f_{0}=0$, $f_{1}=1$, যা এই সমীকরণের ওপর ভিত্তি করে গাণিতিক আরোহী পদ্ধতি দ্বারা যাচাই করা হয়।

${\begin{pmatrix}f_{i-1}&f_{i-2}\\f_{i-2}&f_{i-3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{i}&f_{i-1}\\f_{i-1}&f_{i-2}\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ১৬

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হলো এর ডায়াগোনাল ভুক্তিগুলোর যোগফল (এর তাৎপর্য পঞ্চম অধ্যায়ে প্রকাশ পাবে)। দেখাও যে ${\text{trace}}\,(GH)={\text{trace}}\,(HG)$।

উত্তর

পঞ্চম অধ্যায় একটি কম কম্পিউটেশনাল কারণ দেয়—একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেস তার বৈশিষ্ট্যমূলক বহুপদীর দ্বিতীয় সহগ—কিন্তু এখন আমরা ইনডেক্স ব্যবহার করতে পারি। আমরা পাই:

${\begin{array}{rl}{\text{trace}}\,(GH)&=(g_{1,1}h_{1,1}+g_{1,2}h_{2,1}+\dots +g_{1,n}h_{n,1})\\&\quad +(g_{2,1}h_{1,2}+g_{2,2}h_{2,2}+\dots +g_{2,n}h_{n,2})\\&\quad +\cdots +(g_{n,1}h_{1,n}+g_{n,2}h_{2,n}+\dots +g_{n,n}h_{n,n})\end{array}}$

যেখানে

${\begin{array}{rl}{\text{trace}}\,(HG)&=(h_{1,1}g_{1,1}+h_{1,2}g_{2,1}+\dots +h_{1,n}g_{n,1})\\&\quad +(h_{2,1}g_{1,2}+h_{2,2}g_{2,2}+\dots +h_{2,n}g_{n,2})\\&\quad +\cdots +(h_{n,1}g_{1,n}+h_{n,2}g_{2,n}+\dots +h_{n,n}g_{n,n})\end{array}}$

এবং উভয় সমান।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

প্রশ্ন ১৭

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে আপার ট্রায়াঙ্গুলার বলা হয় যদি এর একমাত্র অশূন্য ভুক্তিগুলো ডায়াগোরালের ওপরে বা ডায়াগোনালে থাকে। দেখাও যে দুটি আপার ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের গুণফল আপার ট্রায়াঙ্গুলার হয়। এটি কি লোয়ার ট্রায়াঙ্গুলারের ক্ষেত্রেও খাটে?

উত্তর

একটি ম্যাট্রিক্স আপার ট্রায়াঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি এর $i,j$ ভুক্তি শূন্য হয় যখনই $i>j$। সুতরাং, যদি $G,H$ আপার ট্রায়াঙ্গুলার হয়, তবে $h_{i,j}$ এবং $g_{i,j}$ শূন্য হবে যখন $i>j$। গুণফলের একটি ভুক্তি $p_{i,j}=g_{i,1}h_{1,j}+\dots +g_{i,n}h_{n,j}$ শূন্য হবে যদি না অন্তত কিছু পদের মান অশূন্য হয়, অর্থাৎ, যদি না অন্তত কিছু যোগফলের জন্য $g_{i,r}h_{r,j}$-এর ক্ষেত্রে $i\leq r$ এবং $r\leq j$ উভয়ই হয়। অবশ্যই, যদি $i>j$ হয় তবে এটি ঘটতে পারে না এবং তাই দুটি আপার ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের গুণফল আপার ট্রায়াঙ্গুলার হয়। (একই যুক্তি লোয়ার ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও কাজ করে।)

প্রশ্ন ১৮

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে মারকভ ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি প্রতিটি ভুক্তি শূন্য থেকে একের মধ্যে থাকে এবং প্রতিটি সারির যোগফল এক হয়। প্রমাণ করো যে মারকভ ম্যাট্রিক্সের গুণফল মারকভ হয়।

উত্তর

গুণফলের $i$-তম সারির যোগফল হলো এটি:

${\begin{array}{rl}p_{i,1}+\cdots +p_{i,n}&=(h_{i,1}g_{1,1}+h_{i,2}g_{2,1}+\dots +h_{i,n}g_{n,1})\\&\quad +(h_{i,1}g_{1,2}+h_{i,2}g_{2,2}+\dots +h_{i,n}g_{n,2})\\&\quad +\dots +(h_{i,1}g_{1,n}+h_{i,2}g_{2,n}+\dots +h_{i,n}g_{n,n})\\&=h_{i,1}(g_{1,1}+g_{1,2}+\dots +g_{1,n})\\&\quad +h_{i,2}(g_{2,1}+g_{2,2}+\dots +g_{2,n})\\&\quad +\dots +h_{i,n}(g_{n,1}+g_{n,2}+\dots +g_{n,n})\\&=h_{i,1}\cdot 1+\dots +h_{i,n}\cdot 1\\&=1\end{array}}$

প্রশ্ন ১৯

একই র‍্যাঙ্কের দুটি ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দাও যাদের বর্গের র‍্যাঙ্ক ভিন্ন।

উত্তর

ম্যাট্রিক্স যা নির্দেশ করে (যেমন, ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$-এর সাপেক্ষে) সেই ম্যাপগুলো যা পাঠায়:

${\vec {\beta }}_{1}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\vec {\beta }}_{1}\quad {\vec {\beta }}_{2}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\vec {0}}$

এবং

${\vec {\beta }}_{1}{\stackrel {g}{\longmapsto }}{\vec {\beta }}_{2}\quad {\vec {\beta }}_{2}{\stackrel {g}{\longmapsto }}{\vec {0}}$

সেগুলো কাজ করবে।

প্রশ্ন ২০

আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের দুটি সাধারণীকরণ একত্রিত করো: একটি যা ভুক্তিগুলোকে একের চেয়ে অন্য কিছু হওয়ার অনুমতি দেয়, এবং অন্যটি যা প্রতিটি সারি এবং কলামের একমাত্র '১'-টিকে ডায়াগোনালের বাইরে থাকার অনুমতি দেয়। এই ধরণের ম্যাট্রিক্সের কাজ কী?

উত্তর

একত্রিত করার অর্থ হলো ম্যাট্রিক্সের সব ভুক্তি শূন্য হবে, শুধুমাত্র প্রতিটি সারি এবং কলামে একটি (সম্ভবত) অশূন্য ভুক্তি ছাড়া। এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে একটি পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স এবং একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসেবে লেখা যায়, যেমন:

${\begin{pmatrix}0&4&0\\2&0&0\\0&0&-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&0&0\\0&2&0\\0&0&-5\end{pmatrix}}$

এবং এর কাজ হলো সারিগুলোকে পুনরায় স্কেল করা এবং অদলবদল করা।

প্রশ্ন ২১

কম্পিউটারে গুণফলের চেয়ে যোগফল কম ব্যয়বহুল, তাই ম্যাট্রিক্স গুণফল গণনায় গুণের সংখ্যা কমানোর দিকে মানুষ আগ্রহী।

1. একটি $m\!\times \!r$ ম্যাট্রিক্স এবং একটি $r\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের গুণফলের জন্য দেওয়া সূত্রে কতগুলো বাস্তব সংখ্যার গুণ প্রয়োজন?
2. ম্যাট্রিক্স গুণফল অ্যাসোসিয়েটিভ, তাই সব অ্যাসোসিয়েশন একই ফলাফল দেয়। তবে গুণফলের সংখ্যার খরচ পরিবর্তিত হয়। একটি $5\!\times \!10$, একটি $10\!\times \!20$, একটি $20\!\times \!5$, এবং একটি $5\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল গণনা করার জন্য সবচেয়ে কম বাস্তব গুণফলের অ্যাসোসিয়েশনটি খুঁজে বের করো।
3. (খুব কঠিন।) একটি সহজ পদ্ধতির প্রস্তাবিত আটটি গুণের পরিবর্তে মাত্র সাতটি গুণ ব্যবহার করে দুটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স গুণ করার একটি উপায় খুঁজে বের করো।

উত্তর

1. প্রতিটি ভুক্তি $p_{i,j}=g_{i,1}h_{1,j}+\dots +g_{1,r}h_{r,1}$-এর জন্য $r$ টি গুণ প্রয়োজন এবং মোট $m\cdot n$ টি ভুক্তি আছে। সুতরাং মোট $m\cdot n\cdot r$ টি গুণ প্রয়োজন।
2. ধরি $H_{1}$ হলো $5\!\times \!10$, $H_{2}$ হলো $10\!\times \!20$, $H_{3}$ হলো $20\!\times \!5$, $H_{4}$ হলো $5\!\times \!1$। তাহলে, পূর্বের অংশের সূত্র ব্যবহার করে,

   পার্স করতে ব্যর্থ ('\begin{array}' অজানা ফাংশন): {\displaystyle \begin{array}{l|l} \textit{এই\ অ্যাসোসিয়েশন} &\textit{এই\ পরিমাণ\ গুণ\ ব্যবহার\ করে}\\ \hline ((H_1H_2)H_3)H_4 & 1000+500+25=1525 \\ (H_1(H_2H_3))H_4 & 1000+250+25=1275 \\ (H_1H_2)(H_3H_4) & 1000+100+100=1200 \\ H_1(H_2(H_3H_4)) & 100+200+50=350 \\ H_1((H_2H_3)H_4) & 1000+50+50=1100 \end{array} }

   দেখায় কোনটি সবচেয়ে সাশ্রয়ী।

3. নথিবদ্ধ সূত্র অনুযায়ী, এটি ভি. স্ট্র্যাসেনের সূত্রের ওপর এস. উইনোগ্রাডের একটি উন্নয়ন: যেখানে $w=aA-(a-c-d)(A-C+D)$,

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

   $={\begin{pmatrix}aA+bB&w+(c+d)(C-A)+(a+b-c-d)D\\w+(a-c)(D-C)-d(A-B-C+D)&w+(a-c)(D-C)+(c+d)(C-A)\end{pmatrix}}$

   এটিতে সাতটি গুণ এবং পনেরোটি যোগ প্রয়োজন (মাঝামাঝি ফলাফলগুলো সংরক্ষণ করো)।

? প্রশ্ন ২২

যদি $A$ এবং $B$ একই আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় যে $ABAB=0$, তবে কি এটি অনুসরণ করে যে $BABA=0$? (পুটনাম পরীক্ষা ১৯৯০)

উত্তর

উদ্ধৃত উৎসে এভাবেই উত্তর দেওয়া হয়েছিল।

না, এটি অনুসরণ করে না। ধরি $A$ এবং $B$ আদর্শ বেসিসের সাপেক্ষে $\mathbb {R} ^{3}$-এর এই রূপান্তরগুলো নির্দেশ করে।

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {a}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {a}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\x\\y\end{pmatrix}}$

লক্ষ করো যে

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {abab}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{কিন্তু}}\quad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {baba}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\x\end{pmatrix}}.$

প্রশ্ন ২৩

কলাম র‍্যাঙ্ক যে রো র‍্যাঙ্কের সমান তার একটি বিকল্প প্রমাণের জন্য এই চারটি দাবি প্রদর্শন করো।

1. ${\vec {y}}\cdot {\vec {y}}={\vec {0}}$ যদি এবং কেবল যদি ${\vec {y}}={\vec {0}}$ হয়।
2. $A{\vec {x}}={\vec {0}}$ যদি এবং কেবল যদি ${{A}^{\rm {trans}}}A{\vec {x}}={\vec {0}}$ হয়।
3. $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}({{A}^{\rm {trans}}}A))$।
4. ${\text{col rank}}(A)={\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}})={\text{row rank}}(A)$।

উত্তর

উদ্ধৃত উৎসে এভাবেই উত্তর দেওয়া হয়েছিল।

1. স্বতঃসিদ্ধ।
2. যদি ${{A}^{\rm {trans}}}A{\vec {x}}={\vec {0}}$ হয়, তবে ${\vec {y}}\cdot {\vec {y}}=0$ হয়, যেখানে ${\vec {y}}=A{\vec {x}}$। অতএব, (ক) অনুযায়ী ${\vec {y}}={\vec {0}}$। বিপরীতটিও স্বতঃসিদ্ধ।
3. (খ) দ্বারা, $A{\vec {x}}_{1}$, ... ,$A{\vec {x}}_{n}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন যদি এবং কেবল যদি ${{A}^{\rm {trans}}}A{\vec {x}}_{1}$, ... ,${{A}^{\rm {trans}}}A{\vec {v}}_{n}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়।
4. আমরা পাই ${\text{col rank}}(A)={\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}}A)=\dim\{{{A}^{\rm {trans}}}(A{\vec {x}})\,{\big |}\,{\text{all }}{\vec {x}}\}\leq \dim\{{{A}^{\rm {trans}}}{\vec {y}}\,{\big |}\,{\text{all }}{\vec {y}}\}={\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}})$। সুতরাং, ${\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}})\leq {\text{col rank}}({{{A}^{\rm {trans}}}^{\rm {trans}}})$ এবং তাই আমরা পাই ${\text{col rank}}(A)={\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}})={\text{row rank}}(A)$।

প্রশ্ন ২৪

প্রমাণ করো (যেখানে $A$ একটি $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্স এবং তাই $B,B$ বেসিসের সাপেক্ষে $n$-ডাইমেনশনাল স্পেস $V$-এর একটি রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করে) যে $\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$। সিদ্ধান্তে পৌঁছাও:

1. ${\mathcal {N}}(A)\subset {\mathcal {R}}(A)$ যদি এবং কেবল যদি $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$;
2. ${\mathcal {R}}(A)\subseteq {\mathcal {N}}(A)$ যদি এবং কেবল যদি $A^{2}=0$;
3. ${\mathcal {R}}(A)={\mathcal {N}}(A)$ যদি এবং কেবল যদি $A^{2}=0$ এবং $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))$ ;
4. $\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=0$ যদি এবং কেবল যদি $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$ ;
5. (ডাইরেক্ট সাম সাবসেকশন প্রয়োজন, যা ঐচ্ছিক।) $V={\mathcal {R}}(A)\oplus {\mathcal {N}}(A)$ যদি এবং কেবল যদি $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$।

উত্তর

উদ্ধৃত উৎসে এভাবেই উত্তর দেওয়া হয়েছিল।

ধরি $\langle {\vec {z}}_{1},\dots ,{\vec {z}}_{k}\rangle$ হলো ${\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A)$-এর একটি বেসিস ($k$ শূন্যও হতে পারে)। ধরি ${\vec {x}}_{1},\dots ,{\vec {x}}_{k}\in V$ এমন যে $A{\vec {x}}_{i}={\vec {z}}_{i}$। লক্ষ করো $\{A{\vec {x}}_{1},\dots ,A{\vec {x}}_{k}\}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং একে ${\mathcal {R}}(A)$-এর বেসিসে বিস্তৃত করো: $A{\vec {x}}_{1},\ldots ,A{\vec {x}}_{k},A{\vec {x}}_{k+1},\dots ,A{\vec {x}}_{r_{1}}$ যেখানে $r_{1}=\dim({\mathcal {R}}(A))$।

এখন ${\vec {x}}\in V$ নাও। লেখো:

$A{\vec {x}}=a_{1}(A{\vec {x}}_{1})+\dots +a_{r_{1}}(A{\vec {x}}_{r_{1}})$

এবং তাই

$A^{2}{\vec {x}}=a_{1}(A^{2}{\vec {x}}_{1})+\dots +a_{r_{1}}(A^{2}{\vec {x}}_{r_{1}}).$

কিন্তু $A{\vec {x}}_{1},\dots ,A{\vec {x}}_{k}\in {\mathcal {N}}(A)$, তাই $A^{2}{\vec {x}}_{1}={\vec {0}},\dots ,A^{2}{\vec {x}}_{k}={\vec {0}}$ এবং আমরা এখন জানি

$A^{2}{\vec {x}}_{k+1},\dots ,A^{2}{\vec {x}}_{r_{1}}$

${\mathcal {R}}(A^{2})$-কে স্প্যান করে।

$\{A^{2}{\vec {x}}_{k+1},\dots ,A^{2}{\vec {x}}_{r_{1}}\}$ যে রৈখিকভাবে স্বাধীন তা দেখতে, লেখো:

${\begin{array}{rl}b_{k+1}A^{2}{\vec {x}}_{k+1}+\dots +b_{r_{1}}A^{2}{\vec {x}}_{r_{1}}&={\vec {0}}\\A[b_{k+1}A{\vec {x}}_{k+1}+\dots +b_{r_{1}}A{\vec {x}}_{r_{1}}]&={\vec {0}}\end{array}}$

এবং, যেহেতু $b_{k+1}A{\vec {x}}_{k+1}+\dots +b_{r_{1}}A{\vec {x}}_{r_{1}}\in {\mathcal {N}}(A)$, আমরা একটি বৈপরীত্য পাই যদি না এটি ${\vec {0}}$ হয় (স্পষ্টতই এটি ${\mathcal {R}}(A)$-তে আছে, কিন্তু $A{\vec {x}}_{1},\ldots ,A{\vec {x}}_{k}$ হলো ${\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A)$-এর বেসিস)।

অতএব $\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))=r_{1}-k=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))$।

তথ্যসূত্র

• Ackerson, R. H. (১৯৫৫), "A Note on Vector Spaces", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (10): 721  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• Liebeck, Hans. (১৯৬৬), "A Proof of the Equality of Column Rank and Row Rank of a Matrix", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 73 (10): 1114  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• উইলিয়াম লোয়েল পুটনাম গাণিতিক প্রতিযোগিতা, সমস্যা এ-৫, ১৯৯০।