রৈখিক বীজগণিত/ম্যাট্রিক্স গুণনের কৌশল

এই উপবিভাগে আমরা ম্যাট্রিক্স গুণকে একটি যান্ত্রিক প্রক্রিয়া হিসেবে বিবেচনা করব, এবং অন্তর্নিহিত ম্যাপগুলোর তাৎপর্য আপাতত সরিয়ে রাখব। পূর্বে যেমন বর্ণনা করা হয়েছে, ম্যাট্রিক্স গুণের একটি লক্ষণীয় বিষয় হলো এর সারি এবং কলামগুলোর যুক্ত হওয়ার ধরন। ম্যাট্রিক্স গুণফলের $i,j$-তম ভুক্তিটি হলো বামদিকের ম্যাট্রিক্সের $i$-তম সারি এবং ডানদিকের ম্যাট্রিক্সের $j$-তম কলামের ডট গুণফল। উদাহরণস্বরূপ, এখানে দ্বিতীয় সারি এবং তৃতীয় কলাম যুক্ত হয়ে একটি $2,3$ ভুক্তি তৈরি করছে।

${\begin{pmatrix}1&1\\{\color {red}0}&{\color {red}1}\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&6&{\color {red}8}&2\\5&7&{\color {red}9}&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&13&17&5\\5&7&{\color {red}9}&3\\4&6&8&2\end{pmatrix}}$

আমরা এটিকে এভাবে দেখতে পারি যে, বামদিকের ম্যাট্রিক্সটি তার সারিগুলোকে একে একে ডানদিকের ম্যাট্রিক্সের কলামগুলোর সাথে গুণ করে কাজ করছে। অবশ্যই, অন্য দৃষ্টিকোণ থেকে বলা যায় যে, ডানদিকের ম্যাট্রিক্সটি তার কলামগুলোকে ব্যবহার করে বামদিকের ম্যাট্রিক্সের সারিগুলোর ওপর কাজ করে। নিচে আমরা কিছু সাধারণ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে বাম এবং ডানদিক থেকে এই কাজগুলো পরীক্ষা করে দেখব।

প্রথম ক্ষেত্রটি, অর্থাৎ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের কাজ খুবই সহজ।

উদাহরণ ৩.১

একটি সঠিক আকারের শূন্য ম্যাট্রিক্স দিয়ে বাম বা ডানদিক থেকে গুণ করলে

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3&2\\-1&1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

ফলাফল হিসেবে একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সই পাওয়া যায়।

শূন্য ম্যাট্রিক্সের পর, যেসব ম্যাট্রিক্সের কাজ বোঝা সবচেয়ে সহজ, তা হলো এমন ম্যাট্রিক্স যেখানে কেবল একটি অশূন্য ভুক্তি থাকে।

সংজ্ঞা ৩.২

এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার $i,j$-তম ভুক্তিতে একটি ১ (one) আছে এবং বাকি সব ভুক্তি শূন্য, তাকে একটি $i,j$ একক ম্যাট্রিক্স বলে।

উদাহরণ ৩.৩

এটি হলো তিনটি সারি ও দুটি কলামবিশিষ্ট একটি $1,2\,$ একক ম্যাট্রিক্স, যা বামদিক থেকে গুণ করা হচ্ছে।

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

বামদিক থেকে কাজ করার সময়, একটি $i,j$ একক ম্যাট্রিক্স গুণ্যর $j$-তম সারিটিকে গুণফলের $i$-তম সারিতে কপি করে। ডানদিক থেকে কাজ করার সময় একটি $i,j$ একক ম্যাট্রিক্স গুণ্যর $i$-তম কলামটিকে গুণফলের $j$-তম কলামে কপি করে।

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&4\\0&7\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৩.৪

এই ম্যাট্রিক্সগুলোর স্কেল পরিবর্তন করলে তা কেবল ফলাফলেরও স্কেল পরিবর্তন করে। এটি হলো পূর্ববর্তী উদাহরণের ম্যাট্রিক্সটির দ্বিগুণ একটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে বামদিক থেকে করা কাজ।

${\begin{pmatrix}0&2\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14&16\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

এবং এটি হলো পূর্ববর্তী উদাহরণের ম্যাট্রিক্সটির ঋণাত্মক তিনগুণ একটি ম্যাট্রিক্সের কাজ।

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-3\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-3\\0&-12\\0&-21\end{pmatrix}}$

জটিলতার দিক থেকে এর পরেই রয়েছে দুটি অশূন্য ভুক্তির ম্যাট্রিক্স। এর দুটি ক্ষেত্র রয়েছে। যদি বাম-গুণকের ভুক্তিগুলো ভিন্ন ভিন্ন সারিতে থাকে, তবে তাদের কাজগুলো একে অপরের ওপর প্রভাব ফেলে না।

উদাহরণ ৩.৫

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}&=({\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\14&16&18\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\14&16&18\\0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

কিন্তু যদি বাম-গুণকের অশূন্য ভুক্তিগুলো একই সারিতে থাকে, তবে গুণফলের সেই সারিটি একটি সমাবেশ হয়।

উদাহরণ ৩.৬

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}&=({\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}14&16&18\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}15&18&21\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

ডান-গুণকও কলামের সাথে ঠিক একইভাবে কাজ করে।

প্রায় সব ভুক্তি শূন্য এমন ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে করা এই পর্যবেক্ষণগুলো যেকোনো ইচ্ছামতো ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

লেমা ৩.৭

$G$ এবং $H$ নামের দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ক্ষেত্রে, $GH$ এর কলামগুলো গঠিত হয় $G$-এর সাথে $H$-এর কলামগুলোকে গুণ করার মাধ্যমে

$G\cdot \left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\vec {h}}_{1}&\cdots &{\vec {h}}_{n}\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\G\cdot {\vec {h}}_{1}&\cdots &G\cdot {\vec {h}}_{n}\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)$

এবং $GH$ এর সারিগুলো গঠিত হয় $G$-এর সারিগুলোর সাথে $H$-কে গুণ করার মাধ্যমে

$\left({\begin{array}{c}\cdots \;{\vec {g}}_{1}\;\cdots \\\hline \vdots \\\hline \cdots \;{\vec {g}}_{r}\;\cdots \end{array}}\right)\cdot H=\left({\begin{array}{c}\cdots \;{\vec {g}}_{1}\cdot H\;\cdots \\\hline \vdots \\\hline \cdots \;{\vec {g}}_{r}\cdot H\;\cdots \end{array}}\right)$

(অতিরিক্ত বন্ধনীগুলো উপেক্ষা করে)।

প্রমাণ

আমরা $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রটি দেখাব এবং সাধারণ ক্ষেত্রটি অনুশীলনী হিসেবে রেখে দেব।

$GH={\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}\\g_{2,1}&g_{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,1}+g_{1,2}h_{2,1}&g_{1,1}h_{1,2}+g_{1,2}h_{2,2}\\g_{2,1}h_{1,1}+g_{2,2}h_{2,1}&g_{2,1}h_{1,2}+g_{2,2}h_{2,2}\end{pmatrix}}$

ফলাফলের প্রথম সমীকরণের ডানপাশটি

$\left({\begin{array}{c|c}G{\begin{pmatrix}h_{1,1}\\h_{2,1}\end{pmatrix}}&G{\begin{pmatrix}h_{1,2}\\h_{2,2}\end{pmatrix}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c}{\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,1}+g_{1,2}h_{2,1}\\g_{2,1}h_{1,1}+g_{2,2}h_{2,1}\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,2}+g_{1,2}h_{2,2}\\g_{2,1}h_{1,2}+g_{2,2}h_{2,2}\end{pmatrix}}\end{array}}\right)$

প্রকৃতপক্ষে GH এর ডানপাশের মতোই, কেবল অতিরিক্ত বন্ধনীগুলো ছাড়া (যেগুলো কলামগুলোকে কলাম ভেক্টর হিসেবে চিহ্নিত করে)। অন্য সমীকরণটিও একইভাবে সহজেই চেনা যায়।

এই পর্যবেক্ষণগুলোর একটি প্রয়োগ হলো, এমন একটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে যা কেবল সারি এবং কলামগুলোকে হুবহু কপি করে।

সংজ্ঞা ৩.৮

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ (বা মুখ্য কর্ণ বা কর্ণ) উপরের বাম কোণ থেকে নিচের ডান কোণ পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে।

সংজ্ঞা ৩.৯

একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, যার প্রধান কর্ণে কেবল ১ থাকে এবং বাকি সব ভুক্তি শূন্য হয়।

$I_{n\!\times \!n}={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &1\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৩.১০

$3\!\times \!3$ অভেদক ম্যাট্রিক্সটি তার গুণ্যকে অপরিবর্তিত রাখে, বামদিক থেকে

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}$

এবং ডানদিক থেকেও।

${\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৩.১১

$2\!\times \!2$ অভেদক ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে।

${\begin{pmatrix}1&-2\\0&-2\\1&-1\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\0&-2\\1&-1\\4&3\end{pmatrix}}$

সংক্ষেপে, ম্যাট্রিক্স গুণন অপারেশনের সাপেক্ষে একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স হলো $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের সেটের অভেদক উপাদান।

এরপর আমরা অভেদক ম্যাট্রিক্সকে সাধারণীকরণের দুটি উপায় দেখব।

প্রথমটি হলো, যদি ১-গুলোর পরিবর্তে ইচ্ছামতো বাস্তব সংখ্যা বসানো হয়, তবে উৎপন্ন ম্যাট্রিক্সটি পুরো সারি বা কলামের স্কেল পরিবর্তন করবে।

সংজ্ঞা ৩.১২

একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণ বাদে বাকি সব ভুক্তি শূন্য।

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&0&\ldots &0\\0&a_{2,2}&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৩.১৩

বামদিক থেকে, একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণের কাজ হলো সারিগুলোর স্কেল পরিবর্তন করা।

${\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1&4&-1\\-1&3&4&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&2&8&-2\\1&-3&-4&-4\end{pmatrix}}$

ডানদিক থেকে এই ধরনের ম্যাট্রিক্স কলামগুলোর স্কেল পরিবর্তন করে।

${\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4&-2\\6&4&-4\end{pmatrix}}$

অভেদক ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সাধারণীকরণটি হলো, আমরা কর্ণে বসানোর বদলে প্রতিটি সারি ও কলামে কেবল একটি করে ১ অন্য উপায়েও বসাতে পারি।

সংজ্ঞা ৩.১৪

একটি বিন্যাস ম্যাট্রিক্স হলো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, যার প্রতিটি সারি ও কলামে কেবল একটি ১ থাকে এবং বাকি সব ভুক্তি শূন্য হয়।

উদাহরণ ৩.১৫

বামদিক থেকে গুণ করলে এই ম্যাট্রিক্সগুলো সারিগুলোকে বিন্যস্ত করে।

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$

ডানদিক থেকে গুণ করলে এরা কলামগুলোকে বিন্যস্ত করে।

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&1\\5&6&4\\8&9&7\end{pmatrix}}$

গাউসের পদ্ধতি এবং গাউস-জর্ডান লঘুকরণ সম্পন্নকারী ম্যাট্রিক্সগুলো পাওয়ার জন্য এই পর্যবেক্ষণগুলো প্রয়োগ করার মাধ্যমে আমরা এই উপবিভাগটি শেষ করব।

উদাহরণ ৩.১৬

আমরা দেখেছি কীভাবে এমন একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যায় যা সারিগুলোর স্কেল পরিবর্তন করবে। এই কর্ণ ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করলে অন্য ম্যাট্রিক্সটির দ্বিতীয় সারির ভুক্তিগুলো তিনগুণ স্কেল লাভ করে।

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1/3&1&-1\\1&0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1&3&-3\\1&0&2&0\end{pmatrix}}$

আমরা দেখেছি কীভাবে সারি অদলবদল করার ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে হয়। এই বিন্যাস ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করলে প্রথম এবং তৃতীয় সারি অদলবদল হয়ে যায়।

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1&3&-3\\1&0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&2&1&1\end{pmatrix}}$

কীভাবে পিভট করতে হয় তা দেখার জন্য, আমরা সেই দুটি উদাহরণ থেকে কিছু বিষয় পর্যবেক্ষণ করি। যে ম্যাট্রিক্সটি দ্বিতীয় সারিকে তিনগুণ করে, তা অভেদক ম্যাট্রিক্স থেকে এভাবে উদ্ভূত হয়।

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

একইভাবে, যে ম্যাট্রিক্সটি প্রথম এবং তৃতীয় সারিকে অদলবদল করে, তা এভাবে উদ্ভূত হয়।

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৩.১৭

যে $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সটি এভাবে উদ্ভূত হয়

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}}$

সেটি বামদিক থেকে কাজ করার সময় $-2\rho _{2}+\rho _{3}$ পিভট অপারেশনটি সম্পন্ন করবে।

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&0&-5&7\end{pmatrix}}$

সংজ্ঞা ৩.১৮

একটি গাউসিয়ান অপারেশনের মাধ্যমে অভেদক ম্যাট্রিক্স থেকে মৌলিক লঘুকরণ ম্যাট্রিক্সগুলো পাওয়া যায়। আমরা এগুলোকে এভাবে প্রকাশ করি:

1. $I{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}M_{i}(k)$, যেখানে $k\neq 0$;
2. $I{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}P_{i,j}$, যেখানে $i\neq j$;
3. $I{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}C_{i,j}(k)$, যেখানে $i\neq j$।

লেমা ৩.১৯

ম্যাট্রিক্স গুণের মাধ্যমে গাউসিয়ান লঘুকরণ করা যেতে পারে।

1. যদি $H{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}G$ হয় তবে $M_{i}(k)H=G$।
2. যদি $H{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}G$ হয় তবে $P_{i,j}H=G$।
3. যদি $H{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}G$ হয় তবে $C_{i,j}(k)H=G$।

প্রমাণ

স্পষ্ট (Clear)।

উদাহরণ ৩.২০

এটি হলো প্রথম অধ্যায় থেকে নেওয়া সেই প্রথম সিস্টেম, যার ওপর আমরা গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করেছিলাম।

${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&&&3x_{3}&=&9\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\(1/3)x_{1}&+&2x_{2}&&&=&3\end{array}}$

এটি ম্যাট্রিক্স গুণের মাধ্যমে লঘুকৃত করা যেতে পারে। প্রথম এবং তৃতীয় সারি অদলবদল করি,

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}0&0&3&9\\1&5&-2&2\\1/3&2&0&3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1/3&2&0&3\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

প্রথম সারিকে তিনগুণ করি,

${\begin{pmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1/3&2&0&3\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

এবং তারপর প্রথম সারির $-1$ গুণ দ্বিতীয় সারির সাথে যোগ করি।

${\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&-1&-2&-7\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

এখন ব্যাক-সাবস্টিটিউশন করলে সমাধান পাওয়া যাবে।

উদাহরণ ৩.২১

গাউস-জর্ডান লঘুকরণও একই উপায়ে কাজ করে। পূর্ববর্তী উদাহরণের শেষ ম্যাট্রিক্সটির জন্য, প্রথমে লিডিং ভুক্তিগুলো সামঞ্জস্য করি

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1/3\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&-1&-2&-7\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&1&2&7\\0&0&1&3\end{array}}\right)$

এবং শেষ করার জন্য, তৃতীয় কলাম ও এরপর দ্বিতীয় কলাম খালি (clear) করি।

${\begin{pmatrix}1&-6&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&1&2&7\\0&0&1&3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&0&3\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}}\right)$

আমরা নিচের ফলাফলটি পর্যবেক্ষণ করেছি, যা আমরা পরবর্তী উপবিভাগে ব্যবহার করব।

অনুসিদ্ধান্ত ৩.২২

যেকোনো ম্যাট্রিক্স $H$ এর জন্য এমন কিছু মৌলিক লঘুকরণ ম্যাট্রিক্স $R_{1}$, ..., $R_{r}$ রয়েছে যেন $R_{r}\cdot R_{r-1}\cdots R_{1}\cdot H$ একটি লঘুকৃত এশেলন আকারে থাকে।

এখন পর্যন্ত আমরা এই দৃষ্টিকোণ নিয়েছিলাম যে, আমাদের অধ্যয়নের প্রধান বস্তু হলো ভেক্টর স্পেস এবং তাদের মধ্যকার ম্যাপগুলো, এবং ম্যাট্রিক্সকে আমরা কেবল গণনার সুবিধার জন্য গ্রহণ করেছি। এই উপবিভাগটি দেখায় যে এই দৃষ্টিকোণটি পুরো গল্প নয়। ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব একটি আকর্ষণীয় এবং ফলপ্রসূ ক্ষেত্র।

এই বইয়ের বাকি অংশে আমরা ম্যাপগুলোকেই প্রধান বস্তু হিসেবে ফোকাস করতে থাকব, তবে আমরা বাস্তববাদী হব— যদি ম্যাট্রিক্সের দৃষ্টিকোণটি আরও পরিষ্কার কোনো ধারণা দেয়, তবে আমরা সেটি ব্যবহার করব।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

একটি মৌলিক লঘুকরণ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিটি গুণের ফলাফলের পূর্বাভাস দিন, এবং তারপর গুণ করে তা যাচাই করুন।

1. ${\begin{pmatrix}3&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

অনুশীলনে প্রায়ই সংখ্যা সারণিতে সারি এবং কলামগুলোর রৈখিক সমাবেশ নেওয়ার প্রয়োজন দেখা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি ভারমন্ট এবং নিউইয়র্কের কিছু অংশের একটি মানচিত্র।

আংশিকভাবে লেক শ্যাম্পলেইনের কারণে, কিছু শহর-জোড়াকে সরাসরি সংযুক্ত করার মতো কোনো রাস্তা নেই। উদাহরণস্বরূপ, কোলচেস্টারের মধ্য দিয়ে না গিয়ে উইনোস্কি থেকে গ্র্যান্ড আইলে যাওয়ার কোনো উপায় নেই। (অবশ্যই, গ্রাফটিকে সহজ করার জন্য অন্যান্য অনেক রাস্তা এবং শহর বাদ দেওয়া হয়েছে। এই মানচিত্রের উপর থেকে নিচ পর্যন্ত দূরত্ব প্রায় চল্লিশ মাইল।)

1. একটি মানচিত্রের আপতন ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যার $i,j$ ভুক্তিটি হলো শহর $i$ থেকে শহর $j$ পর্যন্ত রাস্তার সংখ্যা। এই মানচিত্রের আপতন ম্যাট্রিক্সটি তৈরি করুন (শহরগুলোকে বর্ণানুক্রমিকভাবে বিবেচনা করুন)।
2. একটি ম্যাট্রিক্স তার ট্রান্সপোজের সমান হলে তাকে প্রতিসম বলা হয়। দেখান যে একটি আপতন ম্যাট্রিক্স প্রতিসম হয়। (এগুলো সবই দ্বিমুখী রাস্তা। ভারমন্টে খুব বেশি একমুখী রাস্তা নেই।)
3. আপতন ম্যাট্রিক্সের বর্গের তাৎপর্য কী? ঘনের তাৎপর্য কী?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

এই সারণিতে প্রতিটি কর্মীর করা প্রতিটি ধরনের কাজের ঘণ্টা এবং সংশ্লিষ্ট বেতনের হার দেওয়া হলো। বকেয়া মজুরি হিসাব করার জন্য ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করুন।

রেগুলার   ওভারটাইম অ্যালান     40   12 বেটি     35   6 ক্যাথরিন     40   18 ডোনাল্ড     28   0

মজুরি রেগুলার     $25.00 ওভারটাইম     $45.00

(মন্তব্য। এটি নির্দেশ করে, যেমনটি আগের সমস্যাতেও দেখা গেছে, বাস্তবে আমরা প্রায়শই এমন একটি প্রেক্ষাপটে সারি এবং কলামের রৈখিক সমাবেশ হিসাব করতে চাই যেখানে আমরা সংশ্লিষ্ট রৈখিক ম্যাপগুলোর ব্যাপারে মোটেই আগ্রহী নই।)

সমস্যা ৪

এই ম্যাট্রিক্সের সাথে তার ট্রান্সপোজের গুণফল নির্ণয় করুন।

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

প্রমাণ করুন যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সগুলো ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ এর একটি সাবস্পেস গঠন করে। এর মাত্রা কত?

সমস্যা ৬

ভিত্তিগুলো অসমান হলে কি অভেদক ম্যাট্রিক্স অভেদক ম্যাপকে প্রকাশ করে?

সমস্যা ৭

দেখান যে অভেদক ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি গুণিতক প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে বিনিময় করে। এমন কি অন্য কোনো ম্যাট্রিক্স আছে যা সমস্ত বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে বিনিময় করে?

সমস্যা ৮

প্রমাণ বা খণ্ডন করুন: নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সগুলো বিনিময় করে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯

দেখান যে একটি বিন্যাস ম্যাট্রিক্স এবং তার ট্রান্সপোজের গুণফল একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

সমস্যা ১০

দেখান যে, যদি $G$ এর প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি সমান হয়, তবে $GH$ এর প্রথম এবং দ্বিতীয় সারিও সমান হবে। সাধারণীকরণ করুন।

সমস্যা ১১

দুটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সের গুণফল বর্ণনা করুন।

সমস্যা ১২

নিচের ম্যাট্রিক্সটিকে

${\begin{pmatrix}1&0\\-3&3\end{pmatrix}}$

দুটি মৌলিক লঘুকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসেবে লিখুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৩

দেখান যে যদি $G$-তে একটি সারি সম্পূর্ণ শূন্য হয়, তবে $GH$ (যদি সংজ্ঞায়িত থাকে) এর একটি সারিও সম্পূর্ণ শূন্য হবে। এটি কি কলামের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য?

সমস্যা ১৪

দেখান যে একক ম্যাট্রিক্সের সেট ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$ এর জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে।

সমস্যা ১৫

এই ম্যাট্রিক্সের $n$-তম ঘাতের সূত্রটি নির্ণয় করুন।

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৬

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হলো তার কর্ণের ভুক্তিগুলোর যোগফল (এর তাৎপর্য পঞ্চম অধ্যায়ে আলোচনা করা হয়েছে)। দেখান যে ${\text{trace}}\,(GH)={\text{trace}}\,(HG)$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৭

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে উর্ধ্ব ত্রিভুজাকার বলা হয় যদি এর সমস্ত অশূন্য ভুক্তি কর্ণের উপরে বা কর্ণের উপর অবস্থিত থাকে। দেখান যে দুটি উর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের গুণফলও উর্ধ্ব ত্রিভুজাকার হয়। এটি কি নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের জন্যও প্রযোজ্য?

সমস্যা ১৮

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে মার্কভ ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি এর প্রতিটি ভুক্তি শূন্য থেকে একের মধ্যে হয় এবং প্রতিটি সারির যোগফল এক হয়। প্রমাণ করুন যে মার্কভ ম্যাট্রিক্সের গুণফলও মার্কভ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৯

একই র‍্যাঙ্ক বিশিষ্ট এমন দুটি ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দিন যাদের বর্গের র‍্যাঙ্ক ভিন্ন।

সমস্যা ২০

অভেদক ম্যাট্রিক্সের দুটি সাধারণীকরণকে একত্রিত করুন, একটি হলো ১-এর বদলে অন্য ভুক্তি থাকার সুযোগ দেওয়া, এবং অন্যটি হলো প্রতিটি সারি ও কলামের একক ১-কে কর্ণের বাইরে থাকার সুযোগ দেওয়া। এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের কাজ কী?

সমস্যা ২১

একটি কম্পিউটারে গুণের কাজ যোগের চেয়ে বেশি ব্যয়বহুল, তাই ম্যাট্রিক্সের গুণফল গণনায় ব্যবহৃত গুণের সংখ্যা কমানোর বিষয়ে মানুষ আগ্রহী।

1. একটি $m\!\times \!r$ ম্যাট্রিক্স এবং একটি $r\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের গুণফলের জন্য আমাদের দেওয়া সূত্রে কতগুলো বাস্তব সংখ্যার গুণের প্রয়োজন?
2. ম্যাট্রিক্স গুণন সংযোগশীল, তাই সমস্ত সংযোগই একই ফলাফল দেয়। তবে গুণের সংখ্যার দিক থেকে ব্যয় পরিবর্তিত হয়। একটি $5\!\times \!10$ ম্যাট্রিক্স, একটি $10\!\times \!20$ ম্যাট্রিক্স, একটি $20\!\times \!5$ ম্যাট্রিক্স, এবং একটি $5\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল বের করার জন্য সবচেয়ে কম সংখ্যক বাস্তব সংখ্যার গুণের প্রয়োজন এমন সংযোগটি নির্ণয় করুন।
3. (অত্যন্ত কঠিন।) সাধারণ পদ্ধতির প্রস্তাবিত আটটি গুণের পরিবর্তে মাত্র সাতটি গুণ ব্যবহার করে দুটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স গুণ করার একটি উপায় বের করুন।

? সমস্যা ২২

যদি $A$ এবং $B$ একই আকারের দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় যেন $ABAB=0$, তবে কি এর থেকে $BABA=0$ হওয়া নিশ্চিত করে? (পুটনাম পরীক্ষা ১৯৯০)

সমস্যা ২৩

কলাম র‍্যাঙ্ক ও সারি র‍্যাঙ্ক যে সমান, তার একটি বিকল্প প্রমাণ পেতে এই চারটি দাবি প্রদর্শন করুন।

1. ${\vec {y}}\cdot {\vec {y}}={\vec {0}}$ হবে যদি এবং কেবল যদি ${\vec {y}}={\vec {0}}$ হয়।
2. $A{\vec {x}}={\vec {0}}$ হবে যদি এবং কেবল যদি ${{A}^{\rm {trans}}}A{\vec {x}}={\vec {0}}$ হয়।
3. $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}({{A}^{\rm {trans}}}A))$।
4. ${\text{col rank}}(A)={\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}})={\text{row rank}}(A)$।

সমস্যা ২৪

প্রমাণ করুন (যেখানে $A$ হলো একটি $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্স এবং তাই এটি $B,B$ এর সাপেক্ষে যেকোনো $n$-মাত্রিক স্পেস $V$ এর একটি রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করে, যেখানে $B$ হলো একটি ভিত্তি) যে $\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$। এর থেকে সিদ্ধান্তে আসুন যে

1. ${\mathcal {N}}(A)\subset {\mathcal {R}}(A)$ হবে যদি এবং কেবল যদি $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$ হয়;
2. ${\mathcal {R}}(A)\subseteq {\mathcal {N}}(A)$ হবে যদি এবং কেবল যদি $A^{2}=0$ হয়;
3. ${\mathcal {R}}(A)={\mathcal {N}}(A)$ হবে যদি এবং কেবল যদি $A^{2}=0$ এবং $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))$ হয়;
4. $\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=0$ হবে যদি এবং কেবল যদি $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$ হয়;
5. (এর জন্য ডাইরেক্ট সাম উপবিভাগটি প্রয়োজন, যা ঐচ্ছিক।) $V={\mathcal {R}}(A)\oplus {\mathcal {N}}(A)$ হবে যদি এবং কেবল যদি $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$ হয়।

সমাধান

তথ্যসূত্র

• Ackerson, R. H. (১৯৫৫), "A Note on Vector Spaces", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (10): 721  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• Liebeck, Hans. (১৯৬৬), "A Proof of the Equality of Column Rank and Row Rank of a Matrix", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 73 (10): 1114  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• William Lowell Putnam Mathematical Competition, Problem A-5, 1990.