রৈখিক বীজগণিত/ম্যাট্রিক্স গুণন

পূর্ববর্তী উপবিভাগে রৈখিক চিত্রণগুলোর যোগফল এবং স্কেলার গুণফল উপস্থাপন করার পর, বিবেচনা করার মতো স্বাভাবিক পরবর্তী চিত্রণ অপারেশনটি হলো সংযোজন।

লেমা ২.১

রৈখিক চিত্রণগুলোর একটি সংযোজনও রৈখিক হয়।

প্রমাণ

(এই যুক্তিটি পূর্বে উপস্থিত হয়েছে, যেখানে প্রমাণ করা হয়েছিল যে আইসোমরফিজম হলো স্পেসগুলোর মধ্যে একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক।) ধরি $h:V\to W$ এবং $g:W\to U$ রৈখিক। এই হিসাবটি

$g\circ h(c_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2)=g(h(c_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2))=g(c_1\cdot h({\overrightarrow{v}}_1)+c_2\cdot h({\overrightarrow{v}}_2))$

$=c_1\cdot g(h({\overrightarrow{v}}_1))+c_2\cdot g(h({\overrightarrow{v}}_2))=c_1\cdot (g\circ h)({\overrightarrow{v}}_1)+c_2\cdot (g\circ h)({\overrightarrow{v}}_2)$

দেখায় যে $g\circ h:V\to U$ রৈখিক সমাবেশ সংরক্ষণ করে।

দুটি সংযোজকের উপস্থাপন থেকে কীভাবে সংযোজিত রূপটি তৈরি হয় তা দেখার জন্য একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ ২.২

ধরি $h:{ℝ}^4\to {ℝ}^2$ এবং $g:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$, ভিত্তিগুলি নির্দিষ্ট করি $B\subset {ℝ}^4$, $C\subset {ℝ}^2$, $D\subset {ℝ}^3$, এবং ধরে নিই এগুলো হলো তাদের উপস্থাপন।

$H={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,C}(h)={\left(\begin{array}{cccc}4& 6& 8& 2\\ 5& 7& 9& 3\end{array}\right)}_{B,C}G={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{C,D}(g)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}_{C,D}$

সংযোজন $g\circ h:{ℝ}^4\to {ℝ}^3$ উপস্থাপন করার জন্য আমরা একটি $\overrightarrow{v}$ নির্দিষ্ট করি, $\overrightarrow{v}$-এর $h$ উপস্থাপন করি এবং তারপর সেটির $g$ উপস্থাপন করি। $h(\overrightarrow{v})$-এর উপস্থাপন হলো $h$-এর ম্যাট্রিক্স এবং $\overrightarrow{v}$-এর ভেক্টরের গুণফল।

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_C(h(\overrightarrow{v}))={\left(\begin{array}{cccc}4& 6& 8& 2\\ 5& 7& 9& 3\end{array}\right)}_{B,C}{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right)}_B={\left(\begin{array}{c}4v_1+6v_2+8v_3+2v_4\\ 5v_1+7v_2+9v_3+3v_4\end{array}\right)}_C$

$g(h(\overrightarrow{v}))$-এর উপস্থাপন হলো $g$-এর ম্যাট্রিক্স এবং $h(\overrightarrow{v})$-এর ভেক্টরের গুণফল।

$\begin{array}{cc}{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_D(g(h(\overrightarrow{v})))& ={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}_{C,D}{\left(\begin{array}{c}4v_1+6v_2+8v_3+2v_4\\ 5v_1+7v_2+9v_3+3v_4\end{array}\right)}_C\\ & ={\left(\begin{array}{c}1\cdot (4v_1+6v_2+8v_3+2v_4)+1\cdot (5v_1+7v_2+9v_3+3v_4)\\ 0\cdot (4v_1+6v_2+8v_3+2v_4)+1\cdot (5v_1+7v_2+9v_3+3v_4)\\ 1\cdot (4v_1+6v_2+8v_3+2v_4)+0\cdot (5v_1+7v_2+9v_3+3v_4)\end{array}\right)}_D\end{array}$

$v$-গুলোর ওপর বণ্টন এবং পুনঃসমষ্টিবদ্ধ করে পাই

$={\left(\begin{array}{c}(1\cdot 4+1\cdot 5)v_1+(1\cdot 6+1\cdot 7)v_2+(1\cdot 8+1\cdot 9)v_3+(1\cdot 2+1\cdot 3)v_4\\ (0\cdot 4+1\cdot 5)v_1+(0\cdot 6+1\cdot 7)v_2+(0\cdot 8+1\cdot 9)v_3+(0\cdot 2+1\cdot 3)v_4\\ (1\cdot 4+0\cdot 5)v_1+(1\cdot 6+0\cdot 7)v_2+(1\cdot 8+0\cdot 9)v_3+(1\cdot 2+0\cdot 3)v_4\end{array}\right)}_D$

যাকে আমরা এই ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণফলের ফলাফল হিসেবে চিনতে পারি।

$={\left(\begin{array}{cccc}1\cdot 4+1\cdot 5& 1\cdot 6+1\cdot 7& 1\cdot 8+1\cdot 9& 1\cdot 2+1\cdot 3\\ 0\cdot 4+1\cdot 5& 0\cdot 6+1\cdot 7& 0\cdot 8+1\cdot 9& 0\cdot 2+1\cdot 3\\ 1\cdot 4+0\cdot 5& 1\cdot 6+0\cdot 7& 1\cdot 8+0\cdot 9& 1\cdot 2+0\cdot 3\end{array}\right)}_{B,D}{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right)}_D$

সুতরাং, $g\circ h$ উপস্থাপনকারী ম্যাট্রিক্সে $G$-এর সারিগুলোর সাথে $H$-এর কলামগুলোর সমন্বয় ঘটে।

সংজ্ঞা ২.৩

$m\times r$ আকারের ম্যাট্রিক্স $G$ এবং $r\times n$ আকারের ম্যাট্রিক্স $H$-এর ম্যাট্রিক্স-গুণন গুণফল হলো একটি $m\times n$ ম্যাট্রিক্স $P$, যেখানে

$p_{i,j}=g_{i,1}{h}_{1,j}+g_{i,2}{h}_{2,j}+\dots +g_{i,r}{h}_{r,j}$

অর্থাৎ, গুণফলটির $i,j$-তম ভুক্তি হলো $i$-তম সারি এবং $j$-তম কলামের ডট গুণফল।

$GH=\left(\begin{array}{cc}& ⋮\\ g_{i,1}& g_{i,2}& \dots & g_{i,r}\\ & ⋮\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}& h_{1,j}\\ \dots & h_{2,j}& \dots \\ & ⋮\\ & h_{r,j}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}& ⋮\\ \dots & p_{i,j}& \dots \\ & ⋮\end{array}\right)$

উদাহরণ ২.৪

উদাহরণ ২.২-এর ম্যাট্রিক্সগুলো এইভাবে সমন্বিত হয়।

$\left(\begin{array}{cccc}1\cdot 4+1\cdot 5& 1\cdot 6+1\cdot 7& 1\cdot 8+1\cdot 9& 1\cdot 2+1\cdot 3\\ 0\cdot 4+1\cdot 5& 0\cdot 6+1\cdot 7& 0\cdot 8+1\cdot 9& 0\cdot 2+1\cdot 3\\ 1\cdot 4+0\cdot 5& 1\cdot 6+0\cdot 7& 1\cdot 8+0\cdot 9& 1\cdot 2+0\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}9& 13& 17& 5\\ 5& 7& 9& 3\\ 4& 6& 8& 2\end{array}\right)$

উদাহরণ ২.৫

$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 6\\ 8& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+0\cdot 5& 2\cdot 3+0\cdot 7\\ 4\cdot 1+6\cdot 5& 4\cdot 3+6\cdot 7\\ 8\cdot 1+2\cdot 5& 8\cdot 3+2\cdot 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 34& 54\\ 18& 38\end{array}\right)$

উপপাদ্য ২.৬

রৈখিক চিত্রণগুলোর একটি সংযোজন তাদের উপস্থাপনকারী ম্যাট্রিক্সগুলোর গুণফল দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

প্রমাণ

(এই যুক্তিটি উদাহরণ ২.২-এর সমান্তরাল।) ধরি $h:V\to W$ এবং $g:W\to X$ চিত্রণ দুটি $n$, $r$, এবং $m$ আকারের ভিত্তি $B\subset V$, $C\subset W$, এবং $D\subset X$-এর সাপেক্ষে যথাক্রমে $H$ এবং $G$ দ্বারা উপস্থাপিত হয়। যেকোনো $\overrightarrow{v}\in V$-এর জন্য, ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_C(h(\overrightarrow{v}))$-এর $k$-তম উপাংশটি হলো

$h_{k,1}{v}_1+\cdots +h_{k,n}{v}_n$

এবং তাই ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_D(g\circ h(\overrightarrow{v}))$-এর $i$-তম উপাংশটি হলো এটি।

$g_{i,1}\cdot (h_{1,1}{v}_1+\dots +h_{1,n}{v}_n)+g_{i,2}\cdot (h_{2,1}{v}_1+\dots +h_{2,n}{v}_n)$

$+\dots +g_{i,r}\cdot (h_{r,1}{v}_1+\dots +h_{r,n}{v}_n)$

$v$-গুলোর ওপর বণ্টন করে এবং পুনঃসমষ্টিবদ্ধ করে পাই।

$=(g_{i,1}{h}_{1,1}+g_{i,2}{h}_{2,1}+\dots +g_{i,r}{h}_{r,1})\cdot v_1$

$+\dots +(g_{i,1}{h}_{1,n}+g_{i,2}{h}_{2,n}+\dots +g_{i,r}{h}_{r,n})\cdot v_n$

পরিশেষে এটি লক্ষ করুন যে প্রতিটি $v_j$-এর সহগ

$g_{i,1}{h}_{1,j}+g_{i,2}{h}_{2,j}+\dots +g_{i,r}{h}_{r,j}$

গুণফল $GH$-এর $i,j$ ভুক্তির সংজ্ঞার সাথে মিলে যায়।

এই উপপাদ্যটি এমন একটি ফলাফলের উদাহরণ যা একটি সংজ্ঞাকে সমর্থন করে। সংজ্ঞা এবং উপপাদ্য একসাথে কী বলে তা আমরা এই তীর চিত্র -এর মাধ্যমে কল্পনা করতে পারি ("wrt" বলতে "with respect to" বা "এর সাপেক্ষে" বোঝানো হয়েছে)।

তীরগুলোর ওপরে, চিত্রণগুলো দেখায় যে $V$ থেকে $X$-এ যাওয়ার দুটি উপায়—সরাসরি সংযোজনের মাধ্যমে অথবা $W$-এর মধ্য দিয়ে—উভয় ক্ষেত্রেই একই প্রভাব ফেলে

$\overrightarrow{v}\stackrel{g\circ h}{⟼}g(h(\overrightarrow{v}))\overrightarrow{v}\stackrel{h}{⟼}h(\overrightarrow{v})\stackrel{g}{⟼}g(h(\overrightarrow{v}))$

(এটি কেবল সংযোজনের সংজ্ঞা)। তীরগুলোর নিচে, ম্যাট্রিক্সগুলো নির্দেশ করে যে গুণফলটিও একই কাজ করে— কলাম ভেক্টর ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_B(\overrightarrow{v})$-এর সাথে $GH$ গুণ করার প্রভাব এবং কলামটিকে প্রথমে $H$ দ্বারা এবং পরে প্রাপ্ত ফলাফলকে $G$ দ্বারা গুণ করার প্রভাব অভিন্ন।

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,D}(g\circ h)=GH={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{C,D}(g){\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,C}(h)$

ম্যাট্রিক্স-ম্যাট্রিক্স গুণনের অপারেশনের সংজ্ঞা আমাদের এটিকে কেবল একটি রৈখিক চিত্রণ সংযোজনের উপস্থাপন হিসেবে দেখার মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখে না। আমরা এটিকে একটি যান্ত্রিক প্রক্রিয়া হিসেবে অধ্যয়নের মাধ্যমে এই অপারেশনের ব্যাপারে আরও গভীর ধারণা পেতে পারি। সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিষয় হলো সারি এবং কলামগুলো যেভাবে একত্রিত হয়।

সেই সমন্বয়ের একটি দিক হলো এতে জড়িত ম্যাট্রিক্সগুলোর আকার অত্যন্ত তাৎপর্যপূর্ণ। সংক্ষেপে, $m\times r\text{-এর সাথে }r\times n\text{ গুণ করলে }m\times n\text{ হয়}$।

উদাহরণ ২.৭

এই গুণফলটি সংজ্ঞায়িত নয়

$\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 0& 10& 1.1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

কারণ বাম দিকের কলাম সংখ্যা ডান দিকের সারি সংখ্যার সমান নয়।

অন্তর্নিহিত চিত্রণগুলোর দিক থেকে বিবেচনা করলে, আকারগুলো যে মিলে যাওয়া প্রয়োজন তা এই সত্যটিকেই প্রতিফলিত করে যে ম্যাট্রিক্স গুণন কেবল তখনই সংজ্ঞায়িত হয় যখন একটি অনুরূপ ফাংশন সংযোজন

$\text{মাত্রা }n\text{-এর স্পেস}\stackrel{h}{⟶}\text{মাত্রা }r\text{-এর স্পেস}\stackrel{g}{⟶}\text{মাত্রা }m\text{-এর স্পেস}$

সম্ভব হয়।

মন্তব্য ২.৮

এগুলো লেখার ক্রম বিভ্রান্তিকর হতে পারে। "$m\times r\text{-এর সাথে }r\times n\text{ গুণ করলে }m\times n\text{ হয়}$" সমীকরণটিতে, প্রথমে লেখা সংখ্যা $m$ হলো $g$-এর কোডোমেইনের মাত্রা এবং তাই এটি এমন একটি সংখ্যা যা উপরের চিত্রণ মাত্রার বর্ণনায় সবার শেষে আসে। এর ব্যাখ্যাটি হলো, যদিও প্রথমে $f$ করা হয় এবং পরে $g$ প্রয়োগ করা হয়, সেই সংযোজনটি লেখা হয় $g\circ f$, যা "$g(f(\overrightarrow{v}))$" লিখনপদ্ধতি থেকে এসেছে। (কিছু মানুষ বিভ্রান্তি কমাতে "$g\circ f$"-কে মুখে "$f$-এর পরে $g$" হিসেবে পড়ে থাকে।) সেই ক্রমটি পরবর্তীতে ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও চলে আসে: $g\circ f$ কে $GF$ দ্বারা উপস্থাপন করা হয়।

ম্যাট্রিক্স গুণন অপারেশনে সারি এবং কলামগুলোর সমন্বয় ঘটার আরেকটি দিক হলো $i,j$ ভুক্তির সংজ্ঞায়

$p_{i,j}=g_{i,1}{h}_{1,j}+g_{i,2}{h}_{2,j}+\dots +g_{i,r}{h}_{r,j}$

$g$-গুলোর লাল সাবস্ক্রিপ্টগুলো কলাম নির্দেশক, যেখানে $h$-গুলোর লাল সাবস্ক্রিপ্টগুলো সারি নির্দেশ করে। অর্থাৎ, যোগফলটি $G$-এর কলামগুলোর ওপরে কিন্তু $H$-এর সারিগুলোর ওপরে ঘটে; বাম দিককে ডান দিকের চেয়ে ভিন্নভাবে বিবেচনা করা হয়, তাই $GH$ এবং $HG$ অসমান হতে পারে। ম্যাট্রিক্স গুণন বিনিময়যোগ্য নয়।

উদাহরণ ২.৯

ম্যাট্রিক্স গুণন প্রায় কখনোই বিনিময়যোগ্য হয় না। দৈবচয়নের মাধ্যমে বেছে নেওয়া ম্যাট্রিক্সগুলোকে উভয় দিকে গুণ করে এটি পরীক্ষা করে দেখুন।

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}23& 34\\ 31& 46\end{array}\right)$

উদাহরণ ২.১০

বিনিময়যোগ্যতা আরও নাটকীয়ভাবে ব্যর্থ হতে পারে:

$\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}23& 34& 0\\ 31& 46& 0\end{array}\right)$

অথচ

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 4& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$

আদৌ সংজ্ঞায়িতই নয়।

মন্তব্য ২.১১

ম্যাট্রিক্স গুণন যে বিনিময়যোগ্য নয়, সেই বিষয়টি প্রথম দেখায় বিভ্রান্তিকর মনে হতে পারে, সম্ভবত এর কারণ প্রাথমিক গণিতের অধিকাংশ বীজগণিতীয় অপারেশনই বিনিময়যোগ্য। তবে একটু ভেবে দেখলে এটি খুব একটা আশ্চর্যজনক নয়। সর্বোপরি, ম্যাট্রিক্স গুণন ফাংশন সংযোজনকে উপস্থাপন করে, যা বিনিময়যোগ্য নয়— যদি $f(x)=2x$ এবং $g(x)=x+1$ হয় তবে $g\circ f(x)=2x+1$ যেখানে $f\circ g(x)=2(x+1)=2x+2$। এটা সত্যি যে এই $g$ রৈখিক নয় এবং আমরা আশা করতে পারতাম যে রৈখিক ফাংশনগুলো বিনিময়যোগ্য হবে, কিন্তু এই দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা যায় যে ম্যাট্রিক্স গুণনের বিনিময়যোগ্যতার ব্যর্থতা একটি বৃহত্তর প্রেক্ষাপটের সাথেই মানানসই।

বিনিময়যোগ্যতার অভাব ছাড়া, ম্যাট্রিক্স গুণন বীজগাণিতিকভাবে বেশ ভালোভাবে আচরণ করে। নিচে কিছু চমৎকার বৈশিষ্ট্য দেওয়া হলো এবং আরও অনেক বৈশিষ্ট্য সমস্যা ১০ এবং সমস্যা ১১-এ রয়েছে।

উপপাদ্য ২.১২

যদি $F$, $G$, এবং $H$ ম্যাট্রিক্স হয়, এবং ম্যাট্রিক্স গুণফলগুলো সংজ্ঞায়িত থাকে, তবে গুণফলটি সংযোজনযোগ্য $(FG)H=F(GH)$ এবং তা ম্যাট্রিক্স যোগফলের ওপর বণ্টনযোগ্য $F(G+H)=FG+FH$ ও $(G+H)F=GF+HF$ হয়।

প্রমাণ

সংযোজনযোগ্যতা সত্য হয় কারণ ম্যাট্রিক্স গুণন ফাংশন সংযোজনকে উপস্থাপন করে, যা সংযোজনযোগ্য: $(f\circ g)\circ h$ এবং $f\circ (g\circ h)$ চিত্রণ দুটি সমান কারণ উভয়ই $\overrightarrow{v}$-কে $f(g(h(\overrightarrow{v})))$-এ পাঠায়।

বণ্টনযোগ্যতাও প্রায় একই রকম। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটি হলো $f\circ (g+h)(\overrightarrow{v})=f((g+h)(\overrightarrow{v}))=f(g(\overrightarrow{v})+h(\overrightarrow{v}))=f(g(\overrightarrow{v}))+f(h(\overrightarrow{v}))=f\circ g(\overrightarrow{v})+f\circ h(\overrightarrow{v})$ (তৃতীয় সমতায় $f$-এর রৈখিকতা ব্যবহার করা হয়েছে)।

মন্তব্য ২.১৩

বিকল্পভাবে আমরা সূচকগুলোর (indices) হিসাবনিকাশের মধ্য দিয়ে গিয়েও এই ফলাফল প্রমাণ করতে পারতাম। উদাহরণস্বরূপ, সংযোজনযোগ্যতার প্রমাণ এভাবেই এগোয়: $(FG)H$-এর $i,j$-তম ভুক্তিটি হলো

$\begin{array}{cc}& (f_{i,1}{g}_{1,1}+f_{i,2}{g}_{2,1}+\dots +f_{i,r}{g}_{r,1})h_{1,j}\\ & +(f_{i,1}{g}_{1,2}+f_{i,2}{g}_{2,2}+\dots +f_{i,r}{g}_{r,2})h_{2,j}\\ & ⋮\\ & +(f_{i,1}{g}_{1,s}+f_{i,2}{g}_{2,s}+\dots +f_{i,r}{g}_{r,s})h_{s,j}\end{array}$

(যেখানে $F$, $G$, এবং $H$ যথাক্রমে $m\times r$, $r\times s$, এবং $s\times n$ ম্যাট্রিক্স), বণ্টন করে পাই

$\begin{array}{cc}& f_{i,1}{g}_{1,1}{h}_{1,j}+f_{i,2}{g}_{2,1}{h}_{1,j}+\dots +f_{i,r}{g}_{r,1}{h}_{1,j}\\ & +f_{i,1}{g}_{1,2}{h}_{2,j}+f_{i,2}{g}_{2,2}{h}_{2,j}+\dots +f_{i,r}{g}_{r,2}{h}_{2,j}\\ & ⋮\\ & +f_{i,1}{g}_{1,s}{h}_{s,j}+f_{i,2}{g}_{2,s}{h}_{s,j}+\dots +f_{i,r}{g}_{r,s}{h}_{s,j}\end{array}$

এবং $f$-গুলোর আশেপাশে পুনঃসমষ্টিবদ্ধ করে পাই

$\begin{array}{cc}& f_{i,1}(g_{1,1}{h}_{1,j}+g_{1,2}{h}_{2,j}+\dots +g_{1,s}{h}_{s,j})\\ & +f_{i,2}(g_{2,1}{h}_{1,j}+g_{2,2}{h}_{2,j}+\dots +g_{2,s}{h}_{s,j})\\ & ⋮\\ & +f_{i,r}(g_{r,1}{h}_{1,j}+g_{r,2}{h}_{2,j}+\dots +g_{r,s}{h}_{s,j})\end{array}$

যা হলো $F(GH)$-এর $i,j$ ভুক্তি।

সংযোজনযোগ্যতা যাচাই করার এই দুটি উপায় বিবেচনা করুন, একটি হলো প্রমাণে উল্লেখিত উপায় এবং অন্যটি ঠিক ওপরের উপায়টি। ঠিক ওপরের যুক্তিটি বুঝতে পারা কঠিন এই অর্থে যে, হিসাবগুলো যাচাই করা সহজ হলেও গাণিতিক প্রক্রিয়াটি কোনো স্পষ্ট ধারণার সাথে যুক্ত বলে মনে হয় না (এটি মূলত উপপাদ্য ২.৬-এর প্রমাণেরই পুনরাবৃত্তি করে এবং তাই এটি অদক্ষ)। প্রমাণের যুক্তিটি ছোট, স্পষ্ট এবং এটি বলে কেন এই বৈশিষ্ট্যটি "সত্যিই" কাজ করে। এটি ভেক্টর স্পেস সংক্রান্ত অধ্যায়ের প্রস্তাবনায় করা মন্তব্যগুলোরই একটি দৃষ্টান্ত— অন্তত কিছু ক্ষেত্রে উচ্চ-স্তরের কাঠামো থেকে প্রাপ্ত যুক্তি অধিক স্পষ্ট হয়ে থাকে।

দুটি রৈখিক চিত্রণের উপস্থাপনের মাধ্যমে তাদের সংযোজনের উপস্থাপন কীভাবে প্রতিপাদিত হয় তা আমরা এখন দেখলাম। আমরা এই সমন্বয়টিকে দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল বলে আখ্যায়িত করেছি। এই অপারেশনটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। একটি রৈখিক চিত্রণের বিপরীত রূপ কীভাবে উপস্থাপন করতে হয় তা অধ্যয়ন করার আগে, আমরা পরবর্তী উপবিভাগে এটি সম্পর্কে আরও কিছুটা অন্বেষণ করব।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

হিসাব করো, অথবা "সংজ্ঞায়িত নয়" উল্লেখ করো।

1. $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 0& 0.5\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 4& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 3& 1& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{cc}2& -7\\ 7& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 5\\ -1& 1& 1\\ 3& 8& 4\end{array}\right)$
4. $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -5\end{array}\right)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

যেখানে

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& 4\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -4& 1\end{array}\right)$

সেখানে হিসাব করো অথবা "সংজ্ঞায়িত নয়" উল্লেখ করো।

1. $AB$
2. $(AB)C$
3. $BC$
4. $A(BC)$

সমস্যা ৩

কোন গুণফলগুলো সংজ্ঞায়িত?

1. $3\times 2$-এর সাথে $2\times 3$ গুণ
2. $2\times 3$-এর সাথে $3\times 2$ গুণ
3. $2\times 2$-এর সাথে $3\times 3$ গুণ
4. $3\times 3$-এর সাথে $2\times 2$ গুণ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

গুণফলের আকার দাও অথবা "সংজ্ঞায়িত নয়" উল্লেখ করো।

1. একটি $2\times 3$ ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $3\times 1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল
2. একটি $1\times 12$ ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $12\times 1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল
3. একটি $2\times 3$ ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $2\times 1$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল
4. একটি $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

নিচের সমীকরণ থেকে শুরু করে এবং এই চলক পরিবর্তন (অর্থাৎ প্রতিস্থাপন) করে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটটি নির্ণয় করো।

$\begin{array}{ccccccc}{h}_{1,1}{x}_1& +& h_{1,2}{x}_2& +& h_{1,3}{x}_3& =& d_1\\ h_{2,1}{x}_1& +& h_{2,2}{x}_2& +& h_{2,3}{x}_3& =& d_2\end{array}$

এবং এই পরিবর্তনটি প্রয়োগ করো।

$\begin{array}{ccccc}{x}_1& =& g_{1,1}{y}_1& +& g_{1,2}{y}_2\\ x_2& =& g_{2,1}{y}_1& +& g_{2,2}{y}_2\\ x_3& =& g_{3,1}{y}_1& +& g_{3,2}{y}_2\end{array}$

সমস্যা ৬

যেমন সংজ্ঞা ২.৩ নির্দেশ করে, ম্যাট্রিক্স গুণন অপারেশন ডট গুণফলের একটি সাধারণীকরণ করে। একটি $1\times n$ সারি ভেক্টর এবং একটি $n\times 1$ কলাম ভেক্টরের ডট গুণফল কি তাদের ম্যাট্রিক্স-গুণন গুণফলের সমান?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৭

$B,B$-এর সাপেক্ষে ${𝒫}_n$-এর ওপর অন্তরজ চিত্রণটি (derivative map) উপস্থাপন করো, যেখানে $B$ হলো স্বাভাবিক ভিত্তি $⟨1,x,\dots ,x^n⟩$। দেখাও যে এই ম্যাট্রিক্সটির নিজের সাথে গুণফল সংজ্ঞায়িত; এটি কোন চিত্রণটিকে উপস্থাপন করে?

সমস্যা ৮

দেখাও যে ${ℝ}^1$-এর ওপর রৈখিক রূপান্তরগুলোর সংযোজন বিনিময়যোগ্য। এটি কি যেকোনো একমাত্রিক স্পেসের জন্য সত্য?

সমস্যা ৯

ম্যাট্রিক্স গুণন কেন ভুক্তিভিত্তিক গুণ হিসেবে সংজ্ঞায়িত নয়? সেটি আরও সহজ হতো, এবং বিনিময়যোগ্যও হতো।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১০

1. প্রমাণ করো যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $p,q$-এর জন্য $H^p{H}^q=H^{p+q}$ এবং $(H^p{)}^q=H^{pq}$।
2. যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $p$ এবং স্কেলার $r\in ℝ$-এর জন্য প্রমাণ করো যে $(rH{)}^p=r^p\cdot H^p$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

1. ম্যাট্রিক্স গুণন কীভাবে স্কেলার গুণনের সাথে প্রতিক্রিয়া করে: $r(GH)=(rG)H$ কি? $G(rH)=r(GH)$ কি?
2. ম্যাট্রিক্স গুণন কীভাবে রৈখিক সমাবেশের সাথে প্রতিক্রিয়া করে: $F(rG+sH)=r(FG)+s(FH)$ কি? $(rF+sG)H=rFH+sGH$ কি?

সমস্যা ১২

আমরা প্রশ্ন করতে পারি যে ম্যাট্রিক্স গুণন অপারেশন কীভাবে ট্রান্সপোজ অপারেশনের সাথে প্রতিক্রিয়া করে।

1. দেখাও যে ${(GH)}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}=H^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}{G}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$।
2. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে প্রতিসম (symmetric) বলা হয় যদি এর প্রতিটি $i,j$ ভুক্তি $j,i$ ভুক্তির সমান হয়, অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্সটি তার নিজের ট্রান্সপোজের সমান হয়। দেখাও যে $H{H}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$ এবং $H^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}H$ ম্যাট্রিক্সগুলো প্রতিসম।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৩

একটি অক্ষের সাপেক্ষে ${ℝ}^3$-এ ভেক্টরগুলোর ঘূর্ণন হলো একটি রৈখিক চিত্রণ। জ্যামিতিকভাবে ঘূর্ণন যে বিনিময়যোগ্য নয় তা দেখানোর মাধ্যমে প্রমাণ করো যে রৈখিক চিত্রণগুলো বিনিময়যোগ্য নয়।

সমস্যা ১৪

উপপাদ্য ২.১২-এর প্রমাণে কিছু চিত্রণ ব্যবহৃত হয়েছে। সেগুলোর ডোমেইন এবং কোডোমেইনগুলো কী?

সমস্যা ১৫

ম্যাট্রিক্স র‍্যাঙ্ক ম্যাট্রিক্স গুণনের সাথে কীভাবে প্রতিক্রিয়া করে?

1. র‍্যাঙ্ক $n$ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সগুলোর গুণফলের র‍্যাঙ্ক কি $n$-এর চেয়ে কম হতে পারে? বেশি হতে পারে?
2. দেখাও যে দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের র‍্যাঙ্ক প্রতিটি উৎপাদকের র‍্যাঙ্কের সর্বনিম্ন মানের চেয়ে ছোট বা তার সমান হয়।

সমস্যা ১৬

"এর সাথে বিনিময়যোগ্য" কি $n\times n$ ম্যাট্রিক্সগুলোর মধ্যে একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৭

(এটি ম্যাট্রিক্স ইনভার্স অনুশীলনীতে ব্যবহৃত হবে।) এখানে ম্যাট্রিক্স গুণনের আরেকটি বৈশিষ্ট্য দেওয়া হলো যা প্রথম দেখায় বিভ্রান্তিকর মনে হতে পারে।

1. প্রমাণ করো যে $x$ এবং $y$ অক্ষের ওপর প্রজেকশনগুলোর (projections) ${\pi }_x,{\pi }_y:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ সংযোজন একটি শূন্য চিত্রণ, যদিও এদের কোনোটিই নিজে শূন্য চিত্রণ নয়।
2. প্রমাণ করো যে অন্তরজগুলোর $d^2/d{x}^2,d^3/d{x}^3:{𝒫}_4\to {𝒫}_4$ সংযোজন একটি শূন্য চিত্রণ, যদিও এদের কোনোটিই শূন্য চিত্রণ নয়।
3. প্রথম ঘটনাটি উপস্থাপন করে এমন একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দাও।
4. দ্বিতীয় ঘটনাটি উপস্থাপন করে এমন একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দাও।

যখন দুটি জিনিস গুণ করে শূন্য পাওয়া যায় অথচ তাদের কোনোটিই শূন্য নয়, তখন তাদের প্রত্যেকটিকে একটি শূন্য ভাজক বলা হয়।

সমস্যা ১৮

দেখাও যে, বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য, $(S+T)(S-T)$-এর মান $S^2-T^2$-এর সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৯

যেকোনো ভিত্তি $B$-এর জন্য $B,B$-এর সাপেক্ষে অভেদ রূপান্তর (identity transformation) $\text{id}:V\to V$ উপস্থাপন করো। এটি হলো অভেদ ম্যাট্রিক্স $I$। দেখাও যে এই ম্যাট্রিক্সটি ম্যাট্রিক্স গুণনের ক্ষেত্রে সেই একই ভূমিকা পালন করে যা বাস্তব সংখ্যার গুণনের ক্ষেত্রে $1$ পালন করে: $HI=IH=H$ (এমন সকল $H$ ম্যাট্রিক্সের জন্য যাদের গুণফল সংজ্ঞায়িত)।

সমস্যা ২০

বাস্তব সংখ্যার বীজগণিতে, দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ দুটি সমাধান থাকে। ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের ক্ষেত্রে এমনটা হয় না। দেখাও যে $2\times 2$ ম্যাট্রিক্স সমীকরণ $T^2=I$-এর দুটির বেশি সমাধান রয়েছে, যেখানে $I$ হলো অভেদ ম্যাট্রিক্স (এই ম্যাট্রিক্সের $1,1$ এবং $2,2$ ভুক্তিতে 1 থাকে এবং বাকি সবখানে শূন্য থাকে; সমস্যা ১৯ দেখুন)।

সমস্যা ২১

1. প্রমাণ করো যে যেকোনো $2\times 2$ ম্যাট্রিক্স $T$-এর জন্য এমন কিছু স্কেলার $c_0,\dots ,c_4$ রয়েছে যেগুলো সবগুলো $0$ নয়, যেন $c_4{T}^4+c_3{T}^3+c_2{T}^2+c_{1}T+c_{0}I$ সমাবেশটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয় (যেখানে $I$ হলো $2\times 2$ অভেদ ম্যাট্রিক্স, যার $1,1$ এবং $2,2$ ভুক্তিতে 1 থাকে এবং অন্যসব স্থানে শূন্য থাকে; সমস্যা ১৯ দেখুন)।
2. ধরি $p(x)$ হলো একটি বহুপদী (polynomial) $p(x)=c_n{x}^n+\dots +c_{1}x+c_0$। যদি $T$ একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে আমরা $p(T)$-কে $c_n{T}^n+\dots +c_{1}T+I$ ম্যাট্রিক্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি (যেখানে $I$ হলো উপযুক্ত আকারের অভেদ ম্যাট্রিক্স)। প্রমাণ করো যে যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য এমন একটি বহুপদী রয়েছে যার কারণে $p(T)$ শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়।
3. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ন্যূনতম বহুপদী $m(x)$ হলো সেই সর্বনিম্ন ঘাতের বহুপদী, যার লিডিং সহগ $1$, যেন $m(T)$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়। এই ম্যাট্রিক্সটির ন্যূনতম বহুপদী নির্ণয় করো।

   $\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}/2& -1/2\\ 1/2& \sqrt{3}/2\end{array}\right)$

   (এটি হলো স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তি ${ℰ}_2,{ℰ}_2$-এর সাপেক্ষে, ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\pi /6$ রেডিয়ান ঘূর্ণনের একটি উপস্থাপন।)

সমস্যা ২২

সকল সসীম-ঘাতের বহুপদীর অসীম-মাত্রিক স্পেস $𝒫$ রৈখিক চিত্রণগুলোর অবিনিময়যোগ্যতার একটি স্মরণীয় উদাহরণ দেয়। ধরি $d/dx:𝒫\to 𝒫$ হলো সাধারণ অন্তরজ এবং ধরি $s:𝒫\to 𝒫$ হলো শিফট চিত্রণ।

$a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n\stackrel{s}{⟼}0+a_{0}x+a_1{x}^2+\dots +a_n{x}^{n+1}$

দেখাও যে চিত্রণ দুটি বিনিময়যোগ্য নয় $d/dx\circ s\ne s\circ d/dx$; বস্তুতপক্ষে, $(d/dx\circ s)-(s\circ d/dx)$ যে কেবল শূন্য চিত্রণ নয় তা-ই নয়, এটি বরং একটি অভেদ চিত্রণ।

সমস্যা ২৩

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ অনুক্রমের সংখ্যাগুলোর যোগফলের লিখনপদ্ধতি স্মরণ করো।

$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+\dots +a_n$

এই লিখনপদ্ধতিতে, $G$ এবং $H$-এর গুণফলের $i,j$ ভুক্তিটি হলো এটি।

$p_{i,j}=\sum _{k=1}^r{g}_{i,k}{h}_{k,j}$

এই লিখনপদ্ধতি ব্যবহার করে,

1. পুনরায় প্রমাণ করো যে ম্যাট্রিক্স গুণন সংযোজনযোগ্য;
2. উপপাদ্য ২.৬ পুনরায় প্রমাণ করো।

সমাধান