রৈখিক বীজগণিত/ম্যাট্রিক্সের বিপরীত

একটি n-বাই-n ম্যাট্রিক্স A কে অন্য একটি n-বাই-n ম্যাট্রিক্স B এর বিপরীত বলা হবে (এবং B-কে A-এর বিপরীত বলা হয়) যদি BA = AB = I হয়, যেখানে I হলো একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স।

একটি n-বাই-n ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করার জন্য একটি n-বাই-2n ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যেতে পারে। যার বাম দিকে মূল ম্যাট্রিক্স এবং ডান দিকে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স থাকে। এরপর এই ম্যাট্রিক্সটিকে রো রিডিউস করলে ডানদিকের অংশটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স হিসেবে পাওয়া যাবে।

যদি ম্যাট্রিক্সটি সম্পূর্ণভাবে রো রিডিউস না করা যায় (অর্থাৎ কোনো সারির সব ভুক্তি বা এন্ট্রি যদি শূন্য হয়ে যায়), তবে সেই ম্যাট্রিক্সের কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।

উদাহরণ (Example)

ধরি, $\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}1&4&4\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}$

আমরা প্রথমে A-কে বর্ধিত করে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সাথে যুক্ত করব এবং তারপর যতক্ষণ না বাম দিকে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স আসে ততক্ষণ A এর রো রিডাকশন চালিয়ে যাব।

${\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\2&5&8&{\big |}&0&1&0\\3&6&9&{\big |}&0&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&-3&0&{\big |}&-2&1&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow$

${\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&-3&{\big |}&1&-2&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&0&{\big |}&-1/3&-4/3&4/3\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$

ম্যাট্রিক্স $\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}-1/3&-4/3&4/3\\2/3&-1/3&0\\-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$ হলো আদি ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত ।