রৈখিক বীজগণিত/ম্যাট্রিক্স

ম্যাট্রিক্স ও রৈখিক রূপান্তর

দেখা যায় যে, রৈখিক রূপান্তরগুলোকে ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে এক-এক (1-1) উপায়ে প্রকাশ করা যায়। এই অধ্যায়টি মূলত একটি পুনরালোচনা হবে কারণ বিষয়টি সম্ভবত উচ্চ বিদ্যালয়েই পড়ানো হয়েছে (এই লিঙ্কটি দেখুন)। রৈখিক রূপান্তর এবং ম্যাট্রিক্সের মধ্যে এক-এক মিল স্থাপন করা রৈখিক রূপান্তর অধ্যয়নের ক্ষেত্রে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

ধরা যাক, আপনার কাছে X ভেক্টর স্পেসের এক সেট ভিত্তি ভেক্টর x₁, x₂, x₃, ..., x_m এবং Y ভেক্টর স্পেসের ভিত্তি ভেক্টর y₁, y₂, y₃, ..., y_n রয়েছে।

X থেকে Y-তে একটি রৈখিক রূপান্তর T এবং নিচের ভেক্টরগুলো বিবেচনা করুন:

T(x₁)=y₁a₁₁+y₂a₂₁+y₃a₃₁+...+y_na_n1,
T(x₂)=y₁a₁₂+y₂a₂₂+y₃a₃₂+...+y_na_n2,
T(x₃)=y₁a₁₃+y₂a₂₃+y₃a₃₃+...+y_na_n3,
...
T(x_m)=y₁a_1m+y₂a_2m+y₃a_3m+...+y_na_nm,

আপনি এই সহগগুলোকে একটি ম্যাট্রিক্সে সাজাতে পারেন:

$M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$.

সুতরাং, যদি আপনার কাছে যেকোনো একটি ভেক্টর

$x=\sum _{j=1}^{m}x_{j}b_{j}$ থাকে,

তাহলে,

$T(x)=T(\sum _{j=1}^{m}x_{j}b_{j})=\sum _{j=1}^{m}b_{j}T(x_{j})=\sum _{j=1}^{m}b_{j}\sum _{i=1}^{n}y_{i}a_{ij}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{j}$

সুতরাং, T(x) হলো ভিত্তি ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ:

$\sum _{i=1}^{n}y_{n}c_{i}$, যেখানে

$c_{i}=\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{j}$.

সুতরাং, ভিত্তিগুলোর সাপেক্ষে একটি ম্যাট্রিক্সের জ্ঞান কোনো রৈখিক রূপান্তরের ফলাফলের মান নির্ধারণ করতে পারে।

অতএব, যেকোনো ম্যাট্রিক্স দেওয়া থাকলে, তার অনুরূপ একটি ফাংশন পাওয়া যায় যার ফলাফল হলো:

$\sum _{i=1}^{n}y_{n}c_{i}$, যেখানে

$c_{i}=\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{j}$.

এটি স্পষ্টতই একটি রৈখিক অপারেটর, যার ম্যাট্রিক্স ব্যবহৃত ম্যাট্রিক্সের সাথে হুবহু মিলে যায়। এটি এই তথ্যটি প্রতিষ্ঠা করে যে প্রতিটি n বাই m ম্যাট্রিক্স একটি m মাত্রিক ভেক্টর স্পেস থেকে n মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে ম্যাপ করা একটি রৈখিক অপারেটর নির্ধারণ করতে পারে।

রূপান্তরের বীজগণিত

যোগ

C=A+B এর সমষ্টিকে সংজ্ঞায়িত করুন, যেখানে A এবং B হলো রৈখিক রূপান্তর, এবং এদের ফাংশন হলো C(x)=A(x)+B(x)। যে কেউ সহজেই যাচাই করতে পারেন যে এটিও একটি রৈখিক রূপান্তর। আপনি যাচাই করতে পারেন যে দুটি রৈখিক রূপান্তর A এবং B দেওয়া থাকলে:

1. A+B=B+A
2. (A+B)+C=C+(B+A)
3. A+0=A
4. A+(-A)=0

যেখানে 0 হলো শূন্য অপারেটর এবং -A হলো -A(x) ফাংশন, যা সহজেই একটি রৈখিক রূপান্তর হিসেবে যাচাই করা যায়।

স্কেলার গুণন

একটি রৈখিক রূপান্তর A দেওয়া থাকলে, $\mu A$ ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে $\mu$ হলো একটি ফিল্ডের উপাদান, যেন ফাংশনটি $(\mu L)(x)=\mu (L(x))$ হয়।

আপনি সহজেই যাচাই করতে পারেন যে, দুটি রৈখিক রূপান্তর A ও B এবং ফিল্ডের উপাদান $\mu$, $\mu _{1}$, ও $\mu _{2}$ দেওয়া থাকলে:

1. $\mu _{1}(\mu _{2}A)=(\mu _{1}\mu _{2})A$
2. $1A=A$
3. $(\mu _{1}+\mu _{2})A=\mu _{1}A+\mu _{2}A$
4. $\mu (A+B)=\mu A+\mu B$

এটি নির্দেশ করে যে রৈখিক রূপান্তরগুলো একটি ভেক্টর স্পেস তৈরি করে।

গুণন

X থেকে Y-তে একটি রৈখিক রূপান্তর A এবং Y থেকে Z-এ একটি রৈখিক রূপান্তর B দেওয়া থাকলে, X থেকে Z-এ AB ফাংশনটিকে ঐ দুটি ফাংশনের সংযোজন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সহজেই যাচাই করা যায় যে এটিও একটি রৈখিক রূপান্তর।

নিচে কিছু দরকারী সম্পর্ক দেওয়া হলো যা সহজেই যাচাই করা যায়:

1. $\mu (AB)=(\mu A)B$
2. $(A+B)C=AC+BC$
3. $C(A+B)=CA+CB$
4. $(AB)C=A(BC)$.

ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ বীজগণিত

যেহেতু m-মাত্রিক স্পেস থেকে n-মাত্রিক স্পেসে রৈখিক রূপান্তর এবং m-বাই-n ম্যাট্রিক্সের মধ্যে একটি এক-এক মিল রয়েছে, তাই যোগ, স্কেলার গুণন এবং গুণন প্রক্রিয়াগুলোকে তাদের এক-এক মিলের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং উপরে বর্ণিত সমস্ত বৈশিষ্ট্য ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। M এবং N ম্যাট্রিক্সের যোগফলকে সেই ম্যাট্রিক্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায় যা m+n যোগফলের অনুরূপ, যেখানে m এবং n হলো যথাক্রমে M এবং N-এর অনুরূপ রৈখিক রূপান্তর। অন্যান্য প্রক্রিয়াগুলোও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

যোগ

ধরা যাক, A = |a_ij| এবং B = |b_ij| হলো n বাই m মাত্রার দুটি ম্যাট্রিক্স। A এবং B বিবেচনা করুন, যা m-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস M থেকে n-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস N-এ অনুরূপ রৈখিক রূপান্তর। ধরা যাক, m₁, m₂, m₃, ..., m_m হলো M-এর ভিত্তি ভেক্টর এবং n₁, n₂, n₃, ..., n_n হলো N-এর ভিত্তি ভেক্টর। তাহলে

$A(m_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}n_{j}$, এবং $B(m_{i})=\sum _{j=1}^{n}b_{ij}n_{j}$.

সুতরাং

$(A+B)(m_{i})=\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}+b_{ij})n_{j}$

তাই এই অপারেটরের ম্যাট্রিক্সে |a_ij+b_ij| ভুক্তিগুলো রয়েছে। অন্যভাবে বলা যায়, দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফলের ভুক্তিগুলো হলো ম্যাট্রিক্স দুটির অনুরূপ ভুক্তিগুলোর যোগফল।

উদাহরণ:

${\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{pmatrix}}$

একবার যোগ সংজ্ঞায়িত হয়ে গেলে, আমরা স্পষ্টতই বিয়োগও সংজ্ঞায়িত করে ফেলেছি। A - B নির্ণয় করা হয় A এবং B-এর অনুরূপ উপাদানগুলো বিয়োগ করার মাধ্যমে, এবং এর মাত্রা A ও B-এর মতোই হয়। উদাহরণস্বরূপ:

${\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{pmatrix}}$

স্কেলার গুণন

ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণনকে সংজ্ঞায়িত করা হবে এর অনুরূপ রৈখিক রূপান্তরগুলোর স্কেলার গুণফলের অনুরূপ ম্যাট্রিক্স হিসেবে।

ধরা যাক, |a_ij| ভুক্তির একটি ম্যাট্রিক্স A এবং M থেকে N-এ এর অনুরূপ রৈখিক রূপান্তর হলো A, এবং ফিল্ডের একটি উপাদান হলো $\mu$। আরও ধরা যাক, m₁, m₂, m₃, ..., m_m হলো M-এর ভিত্তি ভেক্টর এবং n₁, n₂, n₃, ..., n_n হলো N-এর ভিত্তি ভেক্টর। যেহেতু

$(\mu A)(m_{j})=\sum _{i=1}^{m}\mu a_{ij}n_{i}=\mu \sum _{i=1}^{m}a_{ij}n_{i}$, এর অনুরূপ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো হবে |$\mu$a_ij|।

উদাহরণস্বরূপ, একটি ম্যাট্রিক্সকে ২ দিয়ে গুণ করা হলে:

$2\cdot {\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{pmatrix}}$

স্কেলার গুণনের নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো রয়েছে, যা রৈখিক রূপান্তরের সাথে এর এক-এক মিলের কারণে প্রমাণিত হয়েছে:

1. বাম বন্টনবিধি: (α+β)A = αA+βA.
2. ডান বন্টনবিধি: α(A+B) = αA+αB.
3. সংযোগবিধি: (αβ)A=α(βA).
4. 1A = A.
5. 0A= 0.
6. (-1)A = -A.

ম্যাট্রিক্স গুণন

উপরের মতো, ম্যাট্রিক্স গুণনকেও রৈখিক রূপান্তরের সাপেক্ষে সংজ্ঞায়িত করা হবে। দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল হলো তাদের অনুরূপ দুটি রৈখিক রূপান্তরের গুণফলের অনুরূপ ম্যাট্রিক্স।

ধরা যাক, o বাই n মাত্রার একটি ম্যাট্রিক্স A-এর ভুক্তি |a_ij|, n বাই m মাত্রার ম্যাট্রিক্স B-এর ভুক্তি |b_ij|, এবং A হলো n-মাত্রিক M থেকে o-মাত্রিক O-তে একটি রৈখিক রূপান্তর যা A-এর অনুরূপ। এবং ধরা যাক B হলো m-মাত্রিক N থেকে n-মাত্রিক N-এ একটি রৈখিক রূপান্তর যা B-এর অনুরূপ। এবং ধরি, m₁, m₂, m₃, ..., m_m হলো M-এর ভিত্তি ভেক্টর, n₁, n₂, n₃, ..., n_n হলো N-এর ভিত্তি ভেক্টর, o₁, o₂, o₃, ..., o_o হলো O-এর ভিত্তি ভেক্টর। তাহলে

$(AB)(m_{i})=A(\sum _{j=1}^{n}b_{ji}n_{j})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}A(n_{j})=\sum _{j=1}^{n}b_{ji}\sum _{k=1}^{o}a_{kj}o_{k}=\sum _{k=1}^{o}(\sum _{j=1}^{n}a_{kj}b_{ji})o_{k}$

সুতরাং অনুরূপ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো হবে |p_ij|, যা নিচে দেওয়া হলো:

$p_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$

উদাহরণস্বরূপ:

${\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}5&1\\4&2\\\end{pmatrix}}.$

ম্যাট্রিক্স গুণন

ম্যাট্রিক্স গুণনের নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো রয়েছে, যা যাচাই করা হয়েছে কারণ এগুলো রৈখিক রূপান্তরের ক্ষেত্রেও সত্য:

1. সংযোগবিধি: A(BC) = (AB)C.
2. বাম বন্টনবিধি: A(B+C) = AB+AC.
3. ডান বন্টনবিধি: (A+B)C = AC+BC.
4. IA = A = AI.
5. α(BC) = (αB)C = B(αC).

ম্যাট্রিক্স গুণন সাধারণত বিনিময়যোগ্য নয়, অর্থাৎ এমন ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব রয়েছে যেখানে AB $\neq$ BA। এর একটি উদাহরণ হতে পারে: $A={\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}$ এবং $B={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$

ম্যাট্রিক্স গুণনকে যেভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তা অযৌক্তিক এবং অদ্ভুত বলে মনে হতে পারে; যোগ এবং স্কেলার গুণনের মতো অনুরূপ ভুক্তিগুলো গুণ করার মাধ্যমে কেন ম্যাট্রিক্স গুণনকে সংজ্ঞায়িত করা যায় না? দুর্ভাগ্যবশত এর প্রকৃত উত্তরটি আমরা শুধুমাত্র ৩য় অধ্যায়ে জানতে পারব। এই সময়ের মধ্যে আমরা শুধু এটুকু জেনেই সন্তুষ্ট থাকব যে রৈখিক সমীকরণ জোটকে ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স গুণন আমাদের বাড়তি সুবিধা দেয়। পরবর্তী বিভাগে বিষয়টি পরিষ্কার হবে।

এই পর্যায়ে আমরা আরেকটি সংজ্ঞা প্রদান করা উপযুক্ত বলে মনে করছি। একটি n বাই n ম্যাট্রিক্স A-কে বিপরীতযোগ্য বলা হবে যদি এবং কেবল যদি এমন একটি ম্যাট্রিক্স B-এর অস্তিত্ব থাকে যেন

AB = I_n = BA.

এক্ষেত্রে, B হলো A-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স, যাকে A⁻¹ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। স্পষ্টতই আইডেন্টিটি (অভেদক) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো এটি নিজেই। আমরা পরে বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে বিস্তারিত জানব।

এখানে আরও একটি বিষয় উল্লেখ্য। যখন দুটি সমমাত্রিক ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ ভুক্তিগুলোর সরাসরি গুণের মাধ্যমে গুণফল ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, সেই ধরণের ম্যাট্রিক্স গুণনেরও একটি নাম রয়েছে। একে হ্যাডামারড গুণজ বলা হয়। আমরা এই ধরনের গুণন ব্যবহার করব না। পুরো বই জুড়ে ম্যাট্রিক্স গুণন বলতে সর্বদা উপরে সংজ্ঞায়িত ম্যাট্রিক্স গুণফলকেই বোঝানো হবে।

ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ণায়ক (বিনেটের উপপাদ্য)

তাছাড়া, নির্ণায়ক হলো একটি গুণনশীল ম্যাপ, এই অর্থে যে

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,$ সকল n-বাই-n ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$-এর জন্য।

এটি কচি-বিনেট সূত্র-এর সাহায্যে বর্গাকার নয় এমন ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ক্ষেত্রেও সাধারণীকরণ করা যায়।

ম্যাট্রিক্স এবং রৈখিক সমীকরণ জোট

ঐতিহাসিকভাবে রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধান সহজ করার জন্যই ম্যাট্রিক্সের ধারণা চালু করা হয়েছিল, যদিও বর্তমানে এর অনেক বৃহত্তর এবং সুদূরপ্রসারী প্রয়োগ রয়েছে। আসুন দেখি কীভাবে একটি রৈখিক সমীকরণ জোটকে ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়।

n সংখ্যক অজানা চলকবিশিষ্ট m সংখ্যক রৈখিক সমীকরণের একটি সাধারণ জোট বিবেচনা করুন:

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

এই জোটটি নিচের আকারের একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের সমতুল্য:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

যেখানে A হলো একটি m×n ম্যাট্রিক্স, x হলো n সংখ্যক ভুক্তিবিশিষ্ট একটি কলাম ম্যাট্রিক্স এবং b হলো m সংখ্যক ভুক্তিবিশিষ্ট একটি কলাম ম্যাট্রিক্স।

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

স্পষ্টতই রৈখিক সমীকরণ জোটটিকে এভাবে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স গুণন সংজ্ঞায়িত করার আমাদের পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয়েছে, কারণ এখন ম্যাট্রিক্স A এবং ম্যাট্রিক্স x-এর গুণফল হুবহু ম্যাট্রিক্স b প্রদান করে।

রৈখিক সমীকরণ জোটকে এভাবে উপস্থাপন করা আমাদের নিচের উপপাদ্যটি সহজেই প্রমাণ করতে সাহায্য করে:

উপপাদ্য ১: যেকোনো রৈখিক সমীকরণ জোটের হয় কোনো সমাধান নেই, বা ঠিক একটি সমাধান আছে, অথবা অসংখ্য সমাধান রয়েছে।

প্রমাণ: ধরা যাক, একটি রৈখিক সমীকরণ জোট Ax = b-এর দুটি ভিন্ন সমাধান X এবং Y দেওয়া আছে। তাহলে ধরি, Z = X - Y। স্পষ্টতই Z অশূন্য এবং A(X + kZ) = AX + kAZ = b + k(AX - AY) = b + k(b - b) = b, ফলে k-এর প্রতিটি সম্ভাব্য মানের জন্যই X + kZ হবে সমীকরণ জোটটির একটি সমাধান। যেহেতু k অসংখ্য মান গ্রহণ করতে পারে, তাই এটা স্পষ্ট যে সমীকরণ জোটটির অসংখ্য সমাধান রয়েছে।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীগুলোর অনেকগুলোর ইঙ্গিত গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/বীজগণিত/ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব-এ পাওয়া যেতে পারে।

১. ধরি A এবং B সমমাত্রিক ম্যাট্রিক্স। তাহলে প্রমাণ করুন:

(i) $(kA)^{T}$ = $kA^{T}$

(ii) $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

(iii) $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

২. একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যার (i,j) ভুক্তিগুলো i<j এর জন্য শূন্য (এক্ষেত্রে একে নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়) অথবা j<i এর জন্য শূন্য (এক্ষেত্রে একে উর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়)। দেখান যে, $AA^{T}=A^{T}A$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে এমন যেকোনো ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স একটি কর্ন ম্যাট্রিক্স।

৩. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য দেখান যে:

(i) $AA^{T}$ এবং $A+A^{T}$ হলো প্রতিসম

(ii) $A-A^{T}$ হলো বক্র-প্রতিসম

(iii) A-কে একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ${\frac {1}{2}}(A+A^{T})$ এবং একটি বক্র-প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ${\frac {1}{2}}(A-A^{T})$-এর যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

৪. ধরা যাক A একটি m×n ম্যাট্রিক্স এবং x একটি n×1 কলাম ভেক্টর। দেখান যে, যদি $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ এবং $A={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\cdots c_{n}\end{pmatrix}}$ হয়, যেখানে $c_{j}={\begin{pmatrix}A_{1j}\\A_{2j}\\\vdots \\A_{mj}\end{pmatrix}}$, তাহলে $Ax=x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}+\cdots x_{n}c_{n}$। একে এভাবেও প্রকাশ করা হয় যে, Ax হলো A-এর কলামগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ।

আরও দেখুন

• উইকিপিডিয়ায় ম্যাট্রিক্স
• ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের উপর একটি বিনামূল্যের অনলাইন পাঠ্যপুস্তক