রৈখিক বীজগণিত/মৌলিক পরিবর্তন

ভেক্টর বা ম্যাপ—উভয় ক্ষেত্রেই উপস্থাপন ভিত্তির পরিবর্তনের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, $\mathbb {R} ^{2}$ এর দুটি ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{2}$ এবং

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

এর সাপেক্ষে ${\vec {e}}_{1}$ ভেক্টরটির দুটি ভিন্ন ভিন্ন উপস্থাপন পাওয়া যায়।

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}$

একইভাবে, ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ এবং ${\mathcal {E}}_{2},B$ ভিত্তি জোড়ার সাপেক্ষে আইডেন্টিটি ম্যাপেরও দুটি ভিন্ন উপস্থাপন রয়েছে।

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}$

আমাদের আলোচনার মূল বিষয়বস্তু ভেক্টর এবং ম্যাপ। তাই ভিত্তি নির্ধারণ করার অর্থ হলো এই অবজেক্টগুলোর জন্য একটি নির্দিষ্ট 'ট্যাগ' বা 'নামকরণ' পদ্ধতি গ্রহণ করা যা গণনার ক্ষেত্রে সুবিধাজনক। আমরা এখন দেখব কীভাবে এই নামগুলোর মধ্যে পারস্পরিক রূপান্তর করা যায় — অর্থাৎ, ভিত্তি পরিবর্তনের সাথে সাথে উপস্থাপনগুলো ঠিক কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা আমরা বিস্তারিতভাবে জানব।