রৈখিক বীজগণিত/মৌলিক

সংজ্ঞা ১.১

একটি ভেক্টর স্পেসের মৌলিক হলো ভেক্টরের এমন একটি অনুক্রম যা এমন একটি সেট গঠন করে যা একইসাথে রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং ওই স্পেসটিকে গঠন বা বিস্তার করতে পারে।

আমরা একটি মৌলিক অ্যাঙ্গেল ব্র্যাকেট $\langle {\vec {\beta _{1}}},{\vec {\beta _{2}}},\dots \rangle$ দিয়ে এটি বোঝাতে প্রকাশ করি যে, এই সংগ্রহটি একটি অনুক্রম অর্থাৎ এখানে উপাদানগুলোর ক্রম বা বিন্যাস গুরুত্বপূর্ণ। (একটি ভিত্তিকে ক্রমবিন্যস্ত হওয়ার প্রয়োজনীয়তা দেখা দেবে, উদাহরণস্বরূপ, সংজ্ঞা ১.১৩ এ।)

উদাহরণ ১.২

এটি $\mathbb {R} ^{2}$ এর একটি ভিত্তি।

$\langle {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন

$c_{1}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&1c_{2}&=&0\\4c_{1}&+&1c_{2}&=&0\end{array}}\quad \implies \quad c_{1}=c_{2}=0$

এবং এটি $\mathbb {R} ^{2}$ কে স্প্যান করে।

${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&1c_{2}&=&x\\4c_{1}&+&1c_{2}&=&y\end{array}}\quad \implies \quad c_{2}=2x-y{\text{ এবং }}c_{1}={\frac {y-x}{2}}$

উদাহরণ ১.৩

$\mathbb {R} ^{2}$ এর এই ভিত্তিটি

$\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\rangle$

আগেরটি থেকে ভিন্ন, কারণ এখানে ভেক্টরগুলো ভিন্ন ক্রমে সাজানো রয়েছে। এটি যে একটি ভিত্তি তার প্রমাণ পূর্ববর্তী উদাহরণের মতোই।

উদাহরণ ১.৪

$\mathbb {R} ^{2}$ স্পেসের অনেকগুলো ভিত্তি থাকতে পারে। নিচে আরও একটি উদাহরণ দেওয়া হলো:

$\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

এর সত্যতা যাচাই করা খুবই সহজ।

সংজ্ঞা ১.৫

যেকোনো $\mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য,

${\mathcal {E}}_{n}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\dots ,\,{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\rangle$

হলো স্ট্যান্ডার্ড (বা স্বাভাবিক) ভিত্তি। আমরা এই ভেক্টরগুলোকে ${\vec {e_{1}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ দ্বারা প্রকাশ করি।

(ক্যালকুলাস বইগুলোতে $\mathbb {R} ^{2}$ এর স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ভেক্টরগুলোকে ${\vec {e}}_{1}$ এবং ${\vec {e}}_{2}$ এর পরিবর্তে ${\vec {\imath }}$ এবং ${\vec {\jmath }}$ হিসেবে উল্লেখ করা হয়; এবং $\mathbb {R} ^{3}$ এর ক্ষেত্রে ${\vec {e}}_{1}$, ${\vec {e}}_{2}$, ও ${\vec {e}}_{3}$ এর পরিবর্তে ${\vec {\imath }}$, ${\vec {\jmath }}$, এবং ${\vec {k}}$ ব্যবহার করা হয়।) লক্ষ্য করুন যে, $\mathbb {R} ^{3}$ এর আলোচনায় "${\vec {e}}_{1}$" চিহ্নটি যা বোঝায়, $\mathbb {R} ^{2}$ এর আলোচনায় তা ভিন্ন অর্থ বহন করে।

উদাহরণ ১.৬

বাস্তব চলক $\theta$-এর ফাংশনগুলোর স্পেস $\{a\cdot \cos \theta +b\cdot \sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ বিবেচনা করুন।

$\langle 1\cdot \cos \theta +0\cdot \sin \theta ,0\cdot \cos \theta +1\cdot \sin \theta \rangle =\langle \cos \theta ,\sin \theta \rangle$

এর আরেকটি ভিত্তি হলো $\langle \cos \theta -\sin \theta ,2\cos \theta +3\sin \theta \rangle$। এই দুটি যে ভিত্তি তার সত্যতা যাচাই করার কাজটি সমস্যা ৭তে দেওয়া হয়েছে।

উদাহরণ ১.৭

কিউবিক বহুপদী ভেক্টর স্পেস ${\mathcal {P}}_{3}$ এর জন্য একটি স্বাভাবিক ভিত্তি হলো $\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$। এই স্পেসের আরও দুটি ভিত্তি হলো $\langle x^{3},3x^{2},6x,6\rangle$ এবং $\langle 1,1+x,1+x+x^{2},1+x+x^{2}+x^{3}\rangle$। এগুলো যে রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং স্পেসটিকে স্প্যান করে তা পরীক্ষা করা খুবই সহজ।

উদাহরণ ১.৮

ট্রিভিয়াল স্পেস $\{{\vec {0}}\}$ এর কেবল একটিই ভিত্তি আছে আর তা হলো ফাঁকা ভিত্তি $\langle \rangle$।

উদাহরণ ১.৯

সসীম-মাত্রার বহুপদী স্পেসের এমন একটি ভিত্তি রয়েছে যাতে অসীম সংখ্যক উপাদান বিদ্যমান: $\langle 1,x,x^{2},\ldots \rangle$।

উদাহরণ ১.১০

আমরা আগেও ভিত্তি দেখেছি। প্রথম অধ্যায়ে আমরা নিচের মতো হোমোজেনিয়াস সিস্টেমের সমাধান সেট বর্ণনা করেছি:

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&&&-&w&=&0\\&&&&z&+&w&=&0\end{array}}$

প্যারামিটারাইজ করার মাধ্যমে:

$\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,y,w\in \mathbb {R} \}$

অর্থাৎ, আমরা সমাধান ভেক্টর স্পেসটিকে একটি দুই-উপাদান বিশিষ্ট সেটের স্প্যান হিসেবে বর্ণনা করেছি। আমরা সহজেই যাচাই করতে পারি যে এই দুটি ভেক্টরের সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। সুতরাং, সমাধান সেটটি হলো $\mathbb {R} ^{4}$ এর একটি সাবস্পেস যার একটি দুই-উপাদান বিশিষ্ট ভিত্তি রয়েছে।

উদাহরণ ১.১১

প্যারামিটারাইজেশন কেবল হোমোজেনিয়াস সিস্টেমের সমাধান সেটের জন্যই নয় বরং অন্যান্য ভেক্টর স্পেসের ভিত্তি খুঁজে পেতেও সাহায্য করে। ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$-এর এই সাবস্পেসটির ভিত্তি খুঁজে বের করতে:

$\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b-2c=0\}$

আমরা শর্তটিকে $a=-b+2c$ হিসেবে পুনরায় লিখতে পারি।

$\{{\begin{pmatrix}-b+2c&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

সুতরাং, এটি ভিত্তির জন্য একটি উপযুক্ত প্রার্থী:

$\langle {\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}}\rangle$

উপরের কাজটি দেখায় যে এটি স্পেসটিকে স্প্যান করে। এটি যে রৈখিকভাবে স্বাধীন তা দেখানো একটি সাধারণ রুটিন কাজ।

উদাহরণ ১.২ এর কথা আবারও বিবেচনা করা যাক। এটি মূলত দুটি যাচাইকরণের সাথে জড়িত।

প্রথমটিতে, সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন কি না তা পরীক্ষা করার জন্য আমরা সেটের উপাদানগুলোর এমন রৈখিক সমাবেশ দেখেছি যা শূন্য ভেক্টরের সমান হয়, অর্থাৎ: $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}={\binom {0}{0}}$। গণনার ফলাফল আমাদের দেখায় যে, এই ধরনের সমাবেশ অনন্য, যেখানে $c_{1}$ অবশ্যই $0$ এবং $c_{2}$ অবশ্যই $0$ হতে হবে।

দ্বিতীয় যাচাইকরণটি হলো—সেটটি পুরো স্পেসটিকে স্প্যান করে কি না। এক্ষেত্রে আমরা এমন রৈখিক সমাবেশগুলো দেখি যা স্পেসের যেকোনো উপাদানের সমান হতে পারে: $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}={\binom {x}{y}}$। উদাহরণ ১.২ এ আমরা কেবল এটি লক্ষ্য করেছিলাম যে, প্রতিটি $x,y$ এর জন্য এমন $c_{1},c_{2}$ বিদ্যমান থাকে — অর্থাৎ একটি সমাবেশ পাওয়া সম্ভব। তবে প্রকৃতপক্ষে, এই গণনাটি এটিও দেখায় যে সেই সমাবেশটি অনন্য: $c_{1}$ অবশ্যই $(y-x)/2$ এবং $c_{2}$ অবশ্যই $2x-y$ হতে হবে।

সহজ কথায়, প্রথম গণনাটি আসলে দ্বিতীয়টির একটি বিশেষ ক্ষেত্র মাত্র। পরবর্তী ফলাফলটি এটিই বলছে যে, একটি স্প্যানিং সেটের জন্য এটি সাধারণভাবে সত্য। শূন্য ভেক্টরের সমান হওয়া রৈখিক সমাবেশটি কেবল তখনই অনন্য হবে যদি এবং কেবল যদি স্পেসের অন্য যেকোনো ভেক্টরের সমান হওয়া সমাবেশটিও অনন্য হয়।

উপপাদ্য ১.১২

যেকোনো ভেক্টর স্পেসে, একটি সাবসেট কেবল তখনই একটি ভিত্তি হবে, যদি এবং কেবল যদি স্পেসের প্রতিটি ভেক্টরকে ওই সাবসেটের উপাদানগুলোর একটি অনন্য রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

দুটি সমাবেশকে আমরা একই বলে গণ্য করি যদি তাদের মধ্যে পার্থক্য কেবল উপাদানগুলোর ক্রমবিন্যাসে থাকে অথবা যদি "$0\cdot {\vec {\beta }}$" আকারের পদ যোগ বা বিয়োগ করা হয়।

প্রমাণ

সংজ্ঞানুযায়ী, একটি সিকোয়েন্স কেবল তখনই একটি ভিত্তি হবে যদি এর ভেক্টরগুলো একইসাথে একটি স্প্যানিং সেট এবং একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করে। একটি সাবসেট কেবল তখনই স্প্যানিং সেট হয় যদি স্পেসের প্রতিটি ভেক্টরকে ওই সাবসেটের উপাদানগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে অন্তত একটি উপায়ে প্রকাশ করা যায়।

সুতরাং, প্রমাণটি সম্পন্ন করতে আমাদের কেবল এটি দেখানো প্রয়োজন যে, একটি সাবসেট রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি স্পেসের প্রতিটি ভেক্টরকে ওই সাবসেটের উপাদানগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে কমপক্ষে একটি উপায়ে প্রকাশ করা যায়। কোনো একটি ভেক্টরকে ভিত্তির উপাদানগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশের দুটি রূপ বিবেচনা করা যাক। আমরা যোগফল দুটিকে এমনভাবে সাজাতে পারি (এবং প্রয়োজনে কিছু $0{\vec {\beta }}_{i}$ পদ যোগ করতে পারি) যাতে উভয় ক্ষেত্রে একই ${\vec {\beta }}$ উপাদানগুলো একই ক্রমে থাকে: ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ এবং ${\vec {v}}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+d_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$। এখন—

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+d_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

কেবল তখনই সত্য হয় যদি এবং কেবল যদি

$(c_{1}-d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(c_{n}-d_{n}){\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$

সত্য হয়। এবং নিচের সমীকরণের প্রতিটি সহগ শূন্য হওয়ার দাবি করা আর প্রতিটি $i$ এর জন্য $c_{i}=d_{i}$ হওয়ার দাবি করা একই কথা। }}

সংজ্ঞা ১.১৩

$B$ ভিত্তি বিশিষ্ট একটি ভেক্টর স্পেসে, $B$ এর সাপেক্ষে ${\vec {v}}$ এর উপস্থাপনা হলো ওই সহগসমূহের কলাম ভেক্টর, যা ${\vec {v}}$ কে ভিত্তির ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়:

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$

যেখানে $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ এবং ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$। এই $c$ মানগুলোকে $B$-এর সাপেক্ষে ${\vec {v}}$ এর স্থানাঙ্ক বলা হয়।

আমরা পরবর্তীতে এমন সব ক্ষেত্রে উপস্থাপনা করব যেখানে একাধিক ভিত্তি জড়িত থাকবে। হিসাবের সুবিধার্থে আমরা প্রায়শই কলাম ভেক্টরের সাথে একটি সাবস্ক্রিপ্ট হিসেবে $B$ যুক্ত করব।

উদাহরণ ১.১৪

${\mathcal {P}}_{3}$ এর ক্ষেত্রে, $B=\langle 1,2x,2x^{2},2x^{3}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে $x+x^{2}$ এর উপস্থাপনা হলো—

${\rm {Rep}}_{B}(x+x^{2})={\begin{pmatrix}0\\1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}_{B}$

(লক্ষ্য করুন যে, স্থানাঙ্কগুলো হলো স্কেলার, ভেক্টর নয়)। একটি ভিন্ন ভিত্তি $D=\langle 1+x,1-x,x+x^{2},x+x^{3}\rangle$ এর সাপেক্ষে উপস্থাপনাটি হবে—

${\rm {Rep}}_{D}(x+x^{2})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}_{D}$

যা পূর্বেরটি থেকে আলাদা।

মন্তব্য ১.১৫

কলাম নোটেশন এবং "স্থানাঙ্ক" শব্দটির ব্যবহারের একটি নেতিবাচক এবং একটি ইতিবাচক দিক রয়েছে।

নেতিবাচক দিকটি হলো — উপস্থাপনাগুলো দেখতে $\mathbb {R} ^{n}$ এর ভেক্টরগুলোর মতোই মনে হয়। যখন আমরা $\mathbb {R} ^{n}$ ভেক্টর স্পেস নিয়েই কাজ করি, তখন এটি বিভ্রান্তি সৃষ্টি করতে পারে। বিশেষ করে যখন আমরা সাবস্ক্রিপ্ট হিসেবে ভিত্তির নাম উল্লেখ করি না। সেক্ষেত্রে আমাদের প্রেক্ষাপট থেকে উদ্দেশ্যটি বুঝে নিতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, "$\mathbb {R} ^{2}$এ, যেখানে ${\vec {v}}={\binom {3}{2}}$" এই বাক্যটি ওই দ্বিমাত্রিক ভেক্টরকে বোঝায় যা ক্যানোনিকাল অবস্থানে $(3,2)$ বিন্দুতে শেষ হয়। এই ভেক্টরটির স্থানাঙ্ক নিচের ভিত্তিটির সাপেক্ষে খুঁজে বের করতে—

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle$

আমরা সমাধান করি:

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

যেখান থেকে পাওয়া যায় $c_{1}=3$ এবং $c_{2}=-1/2$। অতঃপর আমরা এটি পাই:

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}3\\-1/2\end{pmatrix}}$

এখানে কলামের নিচে সাবস্ক্রিপ্ট $B$ বাদ দেওয়া হলেও ডান পক্ষটি যে একটি উপস্থাপনা, তা প্রেক্ষাপট থেকে স্পষ্ট।

এই নোটেশন এবং "স্থানাঙ্ক" শব্দটির ইতিবাচক দিক হলো — এগুলো আমাদের পরিচিত ব্যবহারেরই সাধারণ রূপ: $\mathbb {R} ^{n}$ এ আদর্শ ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{n}$ এর সাপেক্ষে, মূলবিন্দু থেকে শুরু হয়ে $(v_{1},\dots ,v_{n})$ বিন্দুতে শেষ হওয়া ভেক্টরটির উপস্থাপনা হলো এটি।

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{n}}$

উপস্থাপনার প্রধান ব্যবহার আমরা তৃতীয় অধ্যায়ে দেখতে পাব। সংজ্ঞাটি এখানে দেওয়ার কারণ হলো—প্রতিটি ভেক্টরকে একটি ভিত্তির ভেক্টরসমূহের অনন্য রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যা ভিত্তির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। এছাড়া দুটি পয়েন্ট স্পষ্ট করাও এর উদ্দেশ্য। প্রথমত, আমরা একটি ভিত্তির উপাদানগুলোর ক্রম সুনির্দিষ্ট করি যাতে স্থানাঙ্কগুলো সেই ক্রমানুসারে উল্লেখ করা যায়। দ্বিতীয়ত, স্থানাঙ্ক গণনা এবং অন্যান্য কাজের সুবিধার জন্য আমরা কেবল সসীম সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট ভিত্তি আছে এমন স্পেসগুলোর মধ্যেই আমাদের আলোচনা সীমাবদ্ধ রাখব। আমরা পরবর্তী উপ-বিভাগে এটি দেখতে পাব।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

নিচের প্রতিটি সেট $\mathbb {R} ^{3}$ এর জন্য ভিত্তি কি না তা নির্ধারণ করো।

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$
2. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}\rangle$
3. $\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle$
4. $\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\rangle$

সমস্যা ২

ভিত্তির সাপেক্ষে ভেক্টরটিকে উপস্থাপন করো।

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$, $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{2}$
2. $x^{2}+x^{3}$, $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2},1+x+x^{2}+x^{3}\rangle \subseteq {\mathcal {P}}_{3}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}$, ${\mathcal {E}}_{4}\subseteq \mathbb {R} ^{4}$

সমস্যা ৩

সকল দ্বিঘাত বহুপদীর স্পেস ${\mathcal {P}}_{2}$ এর জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো। এই ধরনের যেকোনো ভিত্তিতে কি প্রতিটি ঘাতের (যেমন: শূন্য ঘাত, এক ঘাত এবং দুই ঘাত) বহুপদী থাকা আবশ্যিক?

সমস্যা ৪

নিচের সমীকরণ ব্যবস্থার সমাধান সেটের জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো।

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}$

সমস্যা ৫

$2\!\times \!2$ আকারের সকল ম্যাট্রিক্সের স্পেস ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ এর জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো।

সমস্যা ৬

নিচের প্রতিটির জন্য একটি করে ভিত্তি খুঁজে বের করো।

1. ${\mathcal {P}}_{2}$ এর সাবস্পেস $\{a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,{\big |}\,a_{2}-2a_{1}=a_{0}\}$
2. তিনটি উপাদান বিশিষ্ট সেই সকল সারি ভেক্টরের স্পেস, যাদের প্রথম ও দ্বিতীয় উপাদানের সমষ্টি শূন্য।
3. $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের এই সাবস্পেসটি:

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c-2b=0\}$

সমস্যা ৭

উদাহরণ ১.৬ যাচাই করো।

সমস্যা ৮

নিচের প্রতিটি সেটের স্প্যান নির্ণয় করো এবং তারপর ওই স্প্যানের জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো।

1. ${\mathcal {P}}_{2}$-এ $\{1+x,1+2x\}$
2. ${\mathcal {P}}_{2}$-এ $\{2-2x,3+4x^{2}\}$

সমস্যা ৯

ত্রিঘাত বহুপদীর স্পেস ${\mathcal {P}}_{3}$ এর নিচের সাবস্পেসগুলোর প্রতিটির জন্য একটি করে ভিত্তি খুঁজে বের করো।

1. $p(7)=0$ শর্ত মেনে চলে এমন ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর সাবস্পেস।
2. $p(7)=0$ এবং $p(5)=0$ শর্ত মেনে চলে এমন বহুপদী $p(x)$ এর সাবস্পেস।
3. $p(7)=0$, $p(5)=0$ এবং $p(3)=0$ শর্ত মেনে চলে এমন বহুপদী $p(x)$ এর সাবস্পেস।
4. $p(7)=0$, $p(5)=0$, $p(3)=0$ এবং $p(1)=0$ শর্ত মেনে চলে এমন বহুপদী $p(x)$-এর স্পেস।

সমস্যা ১০

আমরা দেখেছি যে একটি ভিত্তির উপাদানগুলোর ক্রম পরিবর্তন করলেও সেটি ভিত্তি হিসেবেই থাকে। এটি কি সবসময়ই ভিত্তি হিসেবে থাকবে?

সমস্যা ১১

একটি ভিত্তির মধ্যে কি শূন্য ভেক্টর থাকতে পারে?

সমস্যা ১২

ধরা যাক, $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ একটি ভেক্টর স্পেসের ভিত্তি।

1. দেখাও যে, $\langle c_{1}{\vec {\beta }}_{1},c_{2}{\vec {\beta }}_{2},c_{3}{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ একটি ভিত্তি হবে যখন $c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0$। যদি অন্তত একটি $c_{i}$ এর মান $0$ হয়, তবে কী ঘটবে?
2. প্রমাণ করো যে, $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle$ একটি ভিত্তি, যেখানে ${\vec {\alpha }}_{i}={\vec {\beta }}_{1}+{\vec {\beta }}_{i}$।

সমস্যা ১৩

এমন একটি ভেক্টর ${\vec {v}}$ খুঁজে বের করো যা নিচের প্রতিটিকে সংশ্লিষ্ট স্পেসের জন্য একটি ভিত্তিতে রূপান্তর করবে।

1. $\mathbb {R} ^{2}$-এ $\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\vec {v}}\rangle$
2. $\mathbb {R} ^{3}$-এ $\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {v}}\rangle$
3. ${\mathcal {P}}_{2}$-এ $\langle x,1+x^{2},{\vec {v}}\rangle$

সমস্যা ১৪

যেখানে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ একটি ভিত্তি, সেখানে দেখাও যে নিচের সমীকরণটিতে—

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}=c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

প্রতিটি $c_{i}$ এর মান শূন্য। বিষয়টিকে সাধারণীকরণ করো।

সমস্যা ১৫

একটি ভিত্তি কোনো ভেক্টর স্পেসের কিছু ভেক্টর ধারণ করে; এটি কি ওই স্পেসের 'সকল' ভেক্টর ধারণ করতে পারে?

সমস্যা ১৬

উপপাদ্য ১.১২ দেখায় যে, একটি ভিত্তির সাপেক্ষে প্রতিটি রৈখিক সমাবেশ অনন্য হয়। যদি কোনো সাবসেট ভিত্তি না হয় তবে রৈখিক সমাবেশগুলো কি অনন্য না-ও হতে পারে? যদি তাই হয়, তবে সেগুলো কি অনন্য না হওয়া কি আবশ্যিক?

সমস্যা ১৭

একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সকে প্রতিসম বলা হয় যদি সকল সূচক $i$ এবং $j$ এর জন্য, $i,j$ তম উপাদান এবং $j,i$ তম উপাদান সমান হয়।

1. প্রতিসম $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো।
2. প্রতিসম $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সের স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো।
3. প্রতিসম $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো।

সমস্যা ১৮

আমরা দেখাতে পারি যে $\mathbb {R} ^{3}$ এর প্রতিটি ভিত্তিতে সমান সংখ্যক ভেক্টর থাকে।

1. দেখাও যে $\mathbb {R} ^{3}$ এর কোনো রৈখিকভাবে স্বাধীন সাবসেটে তিনটির বেশি ভেক্টর থাকতে পারে না।
2. দেখাও যে $\mathbb {R} ^{3}$ কে বিস্তৃতকারী কোনো সাবসেটে তিনটির কম ভেক্টর থাকতে পারে না। (ইঙ্গিত: কোনো সেটের স্প্যান কীভাবে গণনা করতে হয় তা মনে করো এবং দেখাও যে এই পদ্ধতিটি দুটি ভেক্টরের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করলে তা সম্পূর্ণ $\mathbb {R} ^{3}$ গঠন করতে পারে না।)

সমস্যা ১৯

সাবস্পেস উপ-বিভাগের একটি অনুশীলনীতে দেখানো হয়েছে যে—

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

সেটটি নিচের অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

এই স্পেসটির জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে বের করো।