রৈখিক বীজগণিত/মাত্রা আইসোমরফিজমকে বৈশিষ্ট্যমন্ডিত করে

আগের উপবিভাগে, সমরূপতার সংজ্ঞা দেওয়ার পর, আমরা কিছু ফলাফল দেখিয়েছি যা এই ধারণাকে সমর্থন করে যে এ ধরনের একটি ম্যাপ বা ফাংশন স্পেসগুলোকে "একই" বলে বর্ণনা করে। এখানে আমরা এই ধারণাকে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করব। যদিও সমরূপ দুটি স্পেস হুবহু সমান নয়, আমরা তাদেরকে প্রায় সমান— সমতুল্য হিসেবে বিবেচনা করি। এই উপবিভাগে আমরা দেখাব যে "এর সাথে সমরূপ" সম্পর্কটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক।^[১]

উপপাদ্য ২.১

ভেক্টর স্পেসগুলোর মধ্যে সমরূপতা একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক।

প্রমাণ

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে এই সম্পর্কের তিনটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে: স্বসম, প্রতিসম এবং পরিক্রমী। এই তিনটির প্রত্যেকটির জন্য আমরা লেমা ১.৯-এর ২য় দফা ব্যবহার করব এবং ডোমেইনের দুটি সদস্যের রৈখিক সমাবেশ সংরক্ষিত হয় তা দেখানোর মাধ্যমে প্রমাণ করব যে ম্যাপটি কাঠামো সংরক্ষণ করে।

স্বসমতা পরীক্ষা করার জন্য, অর্থাৎ যেকোনো স্পেস যে তার নিজের সাথে সমরূপ, অভেদক ম্যাপ বিবেচনা করুন। এটি স্পষ্টতই এক-এক এবং সার্বিক। এটি যে রৈখিক সমাবেশ সংরক্ষণ করে তার হিসাব খুব সহজ।

id (c_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{v}}_{2}) = c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} = c_{1} \cdot id ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot id ({\vec{v}}_{2})

প্রতিসমতা পরীক্ষা করার জন্য, অর্থাৎ যদি $V$ , কোনো ম্যাপ $f : V \to W$ এর মাধ্যমে $W$ এর সাথে সমরূপ হয়, তবে বিপরীত দিকেও একটি সমরূপতা থাকবে, বিপরীত ম্যাপ $f^{- 1} : W \to V$ বিবেচনা করুন। পরিশিষ্টে যেমনটি বলা হয়েছে, এ ধরনের একটি বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান থাকে এবং এটি একটি অনুরূপতাও বটে। এভাবে আমরা প্রতিসমতার বিষয়টি এই প্রমাণের ওপর নিয়ে এসেছি যে, যেহেতু $f$ রৈখিক সমাবেশ সংরক্ষণ করে, তাই $f^{- 1}$ -ও তা করে। ধরে নিই যে, ${\vec{w}}_{1} = f ({\vec{v}}_{1})$ এবং ${\vec{w}}_{2} = f ({\vec{v}}_{2})$ , অর্থাৎ, $f^{- 1} ({\vec{w}}_{1}) = {\vec{v}}_{1}$ এবং $f^{- 1} ({\vec{w}}_{2}) = {\vec{v}}_{2}$ ।

\begin{matrix} f^{- 1} (c_{1} \cdot {\vec{w}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{w}}_{2}) & = f^{- 1} (c_{1} \cdot f ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot f ({\vec{v}}_{2})) \\ = f^{- 1} (f (c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2})) \\ = c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} \\ = c_{1} \cdot f^{- 1} ({\vec{w}}_{1}) + c_{2} \cdot f^{- 1} ({\vec{w}}_{2}) \end{matrix}

অবশেষে, আমাদের পরিক্রমীতা পরীক্ষা করতে হবে, অর্থাৎ যদি $V$ , কোনো ম্যাপ $f$ এর মাধ্যমে $W$ এর সাথে সমরূপ হয় এবং যদি $W$ , কোনো ম্যাপ $g$ এর মাধ্যমে $U$ এর সাথে সমরূপ হয়, তবে $V$ -ও $U$ এর সাথে সমরূপ হবে। সংযোজন $g \circ f : V \to U$ বিবেচনা করুন। পরিশিষ্টে উল্লেখ আছে যে দুটি অনুরূপতার সংযোজন একটি অনুরূপতা, তাই আমাদের কেবল পরীক্ষা করতে হবে যে সংযোজনটি রৈখিক সমাবেশ সংরক্ষণ করে কি না।

\begin{matrix} g \circ f (c_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{v}}_{2}) & = g (f (c_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{v}}_{2})) \\ = g (c_{1} \cdot f ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot f ({\vec{v}}_{2})) \\ = c_{1} \cdot g (f ({\vec{v}}_{1})) + c_{2} \cdot g (f ({\vec{v}}_{2})) \\ = c_{1} \cdot (g \circ f) ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot (g \circ f) ({\vec{v}}_{2}) \end{matrix}

সুতরাং $g \circ f : V \to U$ একটি সমরূপতা।

এই ফলাফলের ফলস্বরূপ, আমরা জানি যে ভেক্টর স্পেসের জগতকে বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা যায়: প্রতিটি স্পেস একটি এবং কেবল একটি সমরূপতা শ্রেণিতে অবস্থান করে।

সমস্ত সসীম মাত্রিক

ভেক্টর স্পেস:

$V ≅ W$

উপপাদ্য ২.২

ভেক্টর স্পেসগুলো সমরূপ হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের মাত্রা একই হয়।

এটি পরবর্তী দুটি লেমা থেকে পাওয়া যায়।

লেমা ২.৩

যদি স্পেসগুলো সমরূপ হয়, তবে তাদের মাত্রা একই।

প্রমাণ

আমরা দেখাব যে দুটি স্পেসের একটি সমরূপতা তাদের ভিত্তিগুলোর মধ্যে একটি অনুরূপতা তৈরি করে। অর্থাৎ, যেখানে $f : V \to W$ একটি সমরূপতা এবং ডোমেইন $V$ -এর একটি ভিত্তি হলো $B = ⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots, {\vec{β}}_{n} ⟩$ , তাহলে ইমেজ সেট $D = ⟨ f ({\vec{β}}_{1}), \dots, f ({\vec{β}}_{n}) ⟩$ হলো কোডোমেইন $W$ এর একটি ভিত্তি। (অনুরূপতার অন্য অংশটি— যে $W$ এর যেকোনো ভিত্তির জন্য ইনভার্স ইমেজ $V$ এর একটি ভিত্তি হবে— এটি এই কথা স্মরণ করার মাধ্যমে পাওয়া যায় যে, যদি $f$ সমরূপ হয় তবে $f^{- 1}$ -ও সমরূপ, এবং পূর্ববর্তী বাক্যটি $f^{- 1}$ এর ওপর প্রয়োগ করলেই হয়।)

$D$ যে $W$ কে স্প্যান করে তা দেখার জন্য, যেকোনো $\vec{w} \in W$ নির্দিষ্ট করুন, খেয়াল করুন যে $f$ একটি সার্বিক ফাংশন এবং তাই একটি $\vec{v} \in V$ রয়েছে যার জন্য $\vec{w} = f (\vec{v})$ , এবং $\vec{v}$ কে ভিত্তি ভেক্টরগুলোর একটি সমাবেশ হিসেবে বিস্তৃত করুন।

\vec{w} = f (\vec{v}) = f (v_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + v_{n} {\vec{β}}_{n}) = v_{1} \cdot f ({\vec{β}}_{1}) + \dots + v_{n} \cdot f ({\vec{β}}_{n})

$D$ এর রৈখিক অনির্ভরশীলতার জন্য, যদি

{\vec{0}}_{W} = c_{1} f ({\vec{β}}_{1}) + \dots + c_{n} f ({\vec{β}}_{n}) = f (c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n})

তবে, যেহেতু $f$ এক-এক এবং শুধুমাত্র ${\vec{0}}_{V}$ ভেক্টরটিই ${\vec{0}}_{W}$ এ প্রেরিত হয়, আমরা পাই যে ${\vec{0}}_{V} = c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n}$ , যা বোঝায় যে সমস্ত $c$ শূন্য।

লেমা ২.৪

যদি স্পেসগুলোর মাত্রা একই হয় তবে তারা সমরূপ।

প্রমাণ

$n$ মাত্রার যেকোনো দুটি স্পেস সমরূপ—এটি দেখানোর জন্য, আমরা কেবল দেখাতে পারি যে যেকোনো একটি স্পেস $ℝ^{n}$ এর সাথে সমরূপ। তাহলে আমরা দেখাতে সক্ষম হবো যে তারা একে অপরের সাথে সমরূপ, সমরূপতার পরিক্রমী বৈশিষ্ট্যের কারণে (যা উপপাদ্য ২.১-এ প্রতিষ্ঠিত হয়েছে)।

ধরি $V$ হলো $n$ -মাত্রিক। ডোমেইন $V$ এর জন্য একটি ভিত্তি $B = ⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots, {\vec{β}}_{n} ⟩$ নির্দিষ্ট করুন। সেই ডোমেইনের সদস্যদের এই ভিত্তির সাপেক্ষে প্রকাশকে $V$ থেকে $ℝ^{n}$ এ একটি ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করুন

\vec{v} = v_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + v_{n} {\vec{β}}_{n} \overset{{Rep}_{B}}{⟼} (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

(এটি সুসংজ্ঞায়িত^[২] কারণ প্রতিটি $\vec{v}$ এর একটি এবং কেবল একটি এমন প্রকাশ রয়েছে— নিচের মন্তব্য ২.৫ দেখুন)।

এই ফাংশনটি এক-এক কারণ যদি

{Rep}_{B} (u_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + u_{n} {\vec{β}}_{n}) = {Rep}_{B} (v_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + v_{n} {\vec{β}}_{n})

তবে

(\begin{matrix} u_{1} \\ ⋮ \\ u_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

এবং সুতরাং $u_{1} = v_{1}$ , ..., $u_{n} = v_{n}$ , এবং তাই মূল আর্গুমেন্ট $u_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + u_{n} {\vec{β}}_{n}$ এবং $v_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + v_{n} {\vec{β}}_{n}$ সমান।

এই ফাংশনটি সার্বিক; যেকোনো $n$ -দৈর্ঘ্যের ভেক্টর

\vec{w} = (\begin{matrix} w_{1} \\ ⋮ \\ w_{n} \end{matrix})

হলো কোনো একটি $\vec{v} \in V$ এর ইমেজ, অর্থাৎ $\vec{w} = {R e p}_{B} (w_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + w_{n} {\vec{β}}_{n})$ ।

অবশেষে, এই ফাংশনটি কাঠামো সংরক্ষণ করে।

\begin{matrix} {R e p}_{B} (r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}) & = {R e p}_{B} ((r u_{1} + s v_{1}) {\vec{β}}_{1} + \dots + (r u_{n} + s v_{n}) {\vec{β}}_{n}) \\ = (\begin{matrix} r u_{1} + s v_{1} \\ ⋮ \\ r u_{n} + s v_{n} \end{matrix}) \\ = r \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ ⋮ \\ u_{n} \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) \\ = r \cdot {R e p}_{B} (\vec{u}) + s \cdot {R e p}_{B} (\vec{v}) \end{matrix}

সুতরাং ${Rep}_{B}$ ফাংশনটি একটি সমরূপতা এবং তাই যেকোনো $n$ -মাত্রিক স্পেস $n$ -মাত্রিক স্পেস $ℝ^{n}$ এর সাথে সমরূপ। ফলস্বরূপ, একই মাত্রার যেকোনো দুটি স্পেস সমরূপ।

মন্তব্য ২.৫

"একটি এবং কেবল একটি প্রকাশ" এর ভূমিকা নিয়ে ঐ প্রমাণটিতে থাকা বন্ধনীভুক্ত মন্তব্যটির কিছু ব্যাখ্যা প্রয়োজন। আমাদের দেখাতে হবে যে (একটি নির্দিষ্ট $B$ এর জন্য) ডোমেইনের প্রতিটি ভেক্টর কোডোমেইনের একটি এবং কেবল একটি ভেক্টরের সাথে ${Rep}_{B}$ দ্বারা যুক্ত থাকে।

একটি বিপরীত উদাহরণ, যেখানে কোনো সংযোগের এই বৈশিষ্ট্যটি নেই, তা বিষয়টি পরিষ্কার করবে। $𝒫_{2}$ এর এই উপসেটটি বিবেচনা করুন, যা কোনো ভিত্তি নয়।

A = {1 + 0 x + 0 x^{2}, 0 + 1 x + 0 x^{2}, 0 + 0 x + 1 x^{2}, 1 + 1 x + 2 x^{2}}

সেই চারটি বহুপদীকে ${\vec{α}}_{1}$ , ..., ${\vec{α}}_{4}$ নাম দিন। যদি, উপরের প্রমাণের অনুকরণে, আমরা $𝒫_{2}$ এর সদস্যদের $\vec{p} = c_{1} {\vec{α}}_{1} + c_{2} {\vec{α}}_{2} + c_{3} {\vec{α}}_{3} + c_{4} {\vec{α}}_{4}$ হিসেবে লেখার চেষ্টা করি, এবং $\vec{p}$ কে $c_{1}$ , ..., $c_{4}$ উপাদানবিশিষ্ট চার-দৈর্ঘ্যের ভেক্টরের সাথে যুক্ত করি, তবে একটি সমস্যা দেখা দেয়। কারণ, $\vec{p} (x) = 1 + x + x^{2}$ বিবেচনা করুন। $A$ সেটটি $𝒫_{2}$ স্পেসটিকে স্প্যান করে, তাই অন্তত একটি চার-দৈর্ঘ্যের ভেক্টর $\vec{p}$ এর সাথে যুক্ত থাকবে। কিন্তু $A$ রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল নয়, তাই ভেক্টরগুলোর অনন্য বিভাজন থাকে না। এ ক্ষেত্রে, উভয়ই

\vec{p} (x) = 1 {\vec{α}}_{1} + 1 {\vec{α}}_{2} + 1 {\vec{α}}_{3} + 0 {\vec{α}}_{4} এবং \vec{p} (x) = 0 {\vec{α}}_{1} + 0 {\vec{α}}_{2} - 1 {\vec{α}}_{3} + 1 {\vec{α}}_{4}

এবং তাই $\vec{p}$ এর সাথে যুক্ত একাধিক চার-দৈর্ঘ্যের ভেক্টর রয়েছে।

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) এবং (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

অর্থাৎ, ইনপুট $\vec{p}$ এর সাথে এই সংযোগটির একটি সুসংজ্ঞায়িত (অর্থাৎ, একক) আউটপুট মান নেই।

যেকোনো ম্যাপ যার সংজ্ঞা অস্পষ্ট মনে হতে পারে, সেটি সুসংজ্ঞায়িত কি না তা পরীক্ষা করে দেখতে হবে। উপরের প্রমাণে ${Rep}_{B}$ এর জন্য সেই পরীক্ষাটি হলো সমস্যা ১১।

এর মাধ্যমে উপপাদ্য ২.২ এর প্রমাণ শেষ হলো। আমরা বলি যে সমরূপতা শ্রেণিগুলো মাত্রা দ্বারা বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত কারণ আমরা প্রতিটি শ্রেণিকে কেবল একটি সংখ্যা দিয়ে বর্ণনা করতে পারি, যা ঐ শ্রেণির সমস্ত স্পেসের মাত্রা।

এই উপবিভাগের ফলাফলগুলো আমাদেরকে সমরূপতা শ্রেণির একগুচ্ছ প্রতিনিধি প্রদান করে।^[৩]

অনুসিদ্ধান্ত ২.৬

একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস $ℝ^{n}$ গুলোর মধ্যে একটি এবং কেবল একটির সাথে সমরূপ।

উপরের প্রমাণগুলোতে খুব ছোট পরিসরে অনেক ধারণা তুলে ধরা হয়েছে। এই অধ্যায়ের বাকি অংশে আমরা এই ধারণাগুলো আবার বিবেচনা করব এবং সেগুলোকে বিস্তারিত রূপ দেব। এর সামান্য স্বাদ দিতে, আমরা এখানে লেমা ২.৪ এর প্রমাণটিকে আরও সম্প্রসারিত করব।

উদাহরণ ২.৭

$2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের স্পেস $ℳ_{2 \times 2}$ হলো $ℝ^{4}$ এর সাথে সমরূপ। ডোমেইনের জন্য এই ভিত্তির সাথে

B = ⟨ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ⟩

লেমাতে দেওয়া সমরূপতাটি, অর্থাৎ উপস্থাপন ম্যাপ $f_{1} = {Rep}_{B}$ , কেবল ভুক্তিগুলোকে স্থানান্তর করে।

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \overset{f_{1}}{⟼} (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix})

ম্যাপ $f_{1}$ নিয়ে চিন্তা করার একটি উপায় হলো: ডোমেইনের জন্য ভিত্তি $B$ এবং কোডোমেইনের জন্য ভিত্তি $ℰ_{4}$ নির্দিষ্ট করুন, এবং ${\vec{β}}_{1}$ কে ${\vec{e}}_{1}$ এর সাথে, এবং ${\vec{β}}_{2}$ কে ${\vec{e}}_{2}$ এর সাথে ইত্যাদি যুক্ত করুন। এরপর এই সংযোগটিকে দুটি স্পেসের সমস্ত সদস্যের জন্য সম্প্রসারিত করুন।

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a {\vec{β}}_{1} + b {\vec{β}}_{2} + c {\vec{β}}_{3} + d {\vec{β}}_{4} \overset{f_{1}}{⟼} a {\vec{e}}_{1} + b {\vec{e}}_{2} + c {\vec{e}}_{3} + d {\vec{e}}_{4} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix})

আমরা বলি যে ম্যাপটিকে ভিত্তিগুলো থেকে স্পেসগুলোতে রৈখিকভাবে সম্প্রসারিত করা হয়েছে।

আমরা ভিন্ন ভিত্তির সাথেও একই কাজ করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, ডোমেইনের জন্য এই ভিত্তিটি গ্রহণ করে।

A = ⟨ (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) ⟩

$A$ এবং $ℰ_{4}$ এর অনুরূপ সদস্যদের যুক্ত করে এবং রৈখিকভাবে সম্প্রসারিত করে

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (a / 2) {\vec{α}}_{1} + (b / 2) {\vec{α}}_{2} + (c / 2) {\vec{α}}_{3} + (d / 2) {\vec{α}}_{4}

\overset{f_{2}}{⟼} (a / 2) {\vec{e}}_{1} + (b / 2) {\vec{e}}_{2} + (c / 2) {\vec{e}}_{3} + (d / 2) {\vec{e}}_{4} = (\begin{matrix} a / 2 \\ b / 2 \\ c / 2 \\ d / 2 \end{matrix})

এমন একটি সমরূপতা তৈরি করে যা $f_{1}$ থেকে ভিন্ন।

পূর্ববর্তী ম্যাপটি ডোমেইনের ভিত্তি পরিবর্তনের ফলে তৈরি হয়েছিল। আমরা কোডোমেইনের ভিত্তিও পরিবর্তন করতে পারি। এখান থেকে শুরু করে

B এবং D = ⟨ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) ⟩

${\vec{β}}_{1}$ কে ${\vec{δ}}_{1}$ এর সাথে ইত্যাদি যুক্ত করে, এবং তারপর সেই অনুরূপতাকে দুটি স্পেসের সবার জন্য রৈখিকভাবে সম্প্রসারিত করে

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a {\vec{β}}_{1} + b {\vec{β}}_{2} + c {\vec{β}}_{3} + d {\vec{β}}_{4} \overset{f_{3}}{⟼} a {\vec{δ}}_{1} + b {\vec{δ}}_{2} + c {\vec{δ}}_{3} + d {\vec{δ}}_{4} = (\begin{matrix} a \\ b \\ d \\ c \end{matrix})

আরও একটি ভিন্ন সমরূপতা পাওয়া যায়।

সুতরাং স্পেসগুলোর মধ্যে ম্যাপ এবং সেই স্পেসগুলোর ভিত্তিগুলোর মধ্যে একটি সংযোগ রয়েছে। পরবর্তী পরিচ্ছেদগুলোতে সেই সংযোগটি অনুসন্ধান করা হবে।

আমরা এই পরিচ্ছেদটি একটি সারসংক্ষেপ দিয়ে শেষ করব।

স্মরণ করুন যে, প্রথম অধ্যায়ে আমরা দুটি ম্যাট্রিক্সকে সারি-সমতুল্য হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছিলাম যদি তারা প্রাথমিক সারি অপারেশন দ্বারা একে অপরের থেকে প্রতিপাদন করা যায় (এটি ছিল সেখানে আগ্রহের বিষয় "একই রকম" এর অর্থ)। আমরা দেখিয়েছি যে এটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক এবং তাই ম্যাট্রিক্সের সংগ্রহটি বিভিন্ন শ্রেণিতে বিভক্ত হয়ে যায়, যেখানে যে ম্যাট্রিক্সগুলো সারি-সমতুল্য তারা একটি একক শ্রেণিতে পড়ে। এরপর, প্রতিটি শ্রেণিতে কোন ম্যাট্রিক্সগুলো রয়েছে সে সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি পাওয়ার জন্য, আমরা শ্রেণিগুলোর জন্য প্রতিনিধি দিয়েছিলাম, যা হলো রিডিউসড ইচেলন ফর্ম ম্যাট্রিক্স।

এই পরিচ্ছেদে, এখানকার "একই রকম" এর উপযুক্ত ধারণাটি ভেক্টর স্পেস সমরূপতা হওয়া ছাড়া, আমরা প্রায় একই রূপরেখা অনুসরণ করেছি। প্রথমে আমরা সমরূপতার সংজ্ঞা দিয়েছি, কিছু উদাহরণ দেখেছি এবং কিছু বৈশিষ্ট্য প্রতিষ্ঠা করেছি। তারপর আমরা দেখিয়েছি যে এটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক, এবং এখন আমাদের কাছে শ্রেণি প্রতিনিধিদের একটি সেট রয়েছে, বাস্তব ভেক্টর স্পেসগুলো $ℝ^{1}$ , $ℝ^{2}$ , ইত্যাদি।

সমস্ত সসীম মাত্রিক

ভেক্টর স্পেস:

শ্রেণি প্রতি

একটি প্রতিনিধি

আগের মতোই, প্রতিনিধিদের তালিকা আমাদেরকে বিভাজনটি বুঝতে সাহায্য করে। এটি সহজভাবে মাত্রা দ্বারা স্পেসগুলোর একটি শ্রেণিবিভাগ।

দ্বিতীয় অধ্যায়ে, ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞা দেওয়ার মাধ্যমে, আমরা হয়তো পরিচিত $ℝ^{n}$ এর পাশাপাশি নতুন কাঠামোর অনেক উদাহরণের জন্য আমাদের অধ্যয়ন উন্মুক্ত করেছিলাম বলে মনে হচ্ছিল। আমরা এখন জানি যে তা নয়। যেকোনো সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস আসলে একটি বাস্তব স্পেসের "সমান" বা সমরূপ। সুতরাং আমরা ঠিক সেই কাঠামোগুলোই বিবেচনা করছি যা আমাদের বিবেচনা করা প্রয়োজন।

এই অধ্যায়ের বাকি অংশ এই পরিচ্ছেদের কাজকে পূর্ণতা দেয়। বিশেষ করে, পরবর্তী পরিচ্ছেদে আমরা এমন ম্যাপগুলো বিবেচনা করব যা কাঠামো সংরক্ষণ করে, তবে সেগুলো অপরিহার্যভাবে অনুরূপতা নয়।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

স্পেসগুলো সমরূপ কি না তা নির্ধারণ করুন।

$ℝ^{2}$ , $ℝ^{4}$
$𝒫_{5}$ , $ℝ^{5}$
$ℳ_{2 \times 3}$ , $ℝ^{6}$
$𝒫_{5}$ , $ℳ_{2 \times 3}$
$ℳ_{2 \times k}$ , $ℂ^{k}$

উত্তর

প্রতিটি জোড়া স্পেস সমরূপ হবে যদি এবং কেবল যদি দুটির মাত্রা একই হয়। সমরূপতা থাকলে আমরা একটি ম্যাপ উল্লেখ করতে পারি, তবে এটি কঠোরভাবে প্রয়োজনীয় নয়।

না, তাদের মাত্রা ভিন্ন।
না, তাদের মাত্রা ভিন্ন।
হ্যাঁ, তাদের মাত্রা একই। একটি সমরূপতা হলো এটি।
$(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} a \\ ⋮ \\ f \end{matrix})$
হ্যাঁ, তাদের মাত্রা একই। এটি একটি সমরূপতা।
$a + b x + \dots + f x^{5} \mapsto (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix})$
হ্যাঁ, উভয়ের মাত্রাই $2 k$ ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

সমরূপতা ${R e p}_{B} (\cdot) : 𝒫_{1} \to ℝ^{2}$ বিবেচনা করুন যেখানে $B = ⟨ 1, 1 + x ⟩$ । ডোমেইনের এই উপাদানগুলোর প্রতিটির ইমেজ নির্ণয় করুন।

$3 - 2 x$ ;
$2 + 2 x$ ;
$x$

উত্তর

${R e p}_{B} (3 - 2 x) = (\begin{matrix} 5 \\ - 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

দেখান যে যদি $m \neq n$ হয় তবে $ℝ^{m} ≇ ℝ^{n}$ ।

উত্তর

তাদের মাত্রা ভিন্ন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

$ℳ_{m \times n} ≅ ℳ_{n \times m}$ কি?

উত্তর

হ্যাঁ, উভয়ের মাত্রাই $m n$ ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

$ℝ^{3}$ এর মূলবিন্দুগামী যেকোনো দুটি তল কি সমরূপ?

উত্তর

হ্যাঁ, যেকোনো দুটি (অবক্ষয়িত নয় এমন) তল হলো দ্বিমাত্রিক ভেক্টর স্পেস।

সমস্যা ৬

$ℝ^{n}$ এর সেট ছাড়া সমতুল্য শ্রেণির প্রতিনিধিদের অন্য একটি সেট নির্ণয় করুন।

উত্তর

অনেক উত্তর রয়েছে, একটি হলো $𝒫_{k}$ এর সেট (যেখানে $𝒫_{- 1}$ কে ট্রিভিয়াল ভেক্টর স্পেস ধরা হয়)।

সমস্যা ৭

সত্য নাকি মিথ্যা: যেকোনো $n$ -মাত্রিক স্পেস এবং $ℝ^{n}$ এর মধ্যে ঠিক একটি সমরূপতা বিদ্যমান।

উত্তর

মিথ্যা (কেবলমাত্র $n = 0$ ছাড়া)। উদাহরণস্বরূপ, যদি $f : V \to ℝ^{n}$ একটি সমরূপতা হয় তবে যেকোনো অশূন্য স্কেলার দিয়ে গুণ করলে অন্য একটি ভিন্ন সমরূপতা পাওয়া যায়। (ট্রিভিয়াল স্পেসগুলোর মধ্যে সমরূপতা অনন্য; সম্ভাব্য একমাত্র ম্যাপটি হলো ${\vec{0}}_{V} \mapsto 0_{W}$ ।)

সমস্যা ৮

কোনো ভেক্টর স্পেস কি তার কোনো প্রকৃত সাবস্পেসের সাথে সমরূপ হতে পারে?

উত্তর

না। একটি প্রকৃত সাবস্পেসের মাত্রা তার সুপারস্পেসের থেকে কঠোরভাবে কম থাকে; যদি $U$ , $V$ এর একটি প্রকৃত সাবস্পেস হয় তবে $U$ এর যেকোনো রৈখিকভাবে অনির্ভরশীল উপসেটে $\dim (V)$ এর চেয়ে কম সদস্য থাকতে হবে, অন্যথায় সেই সেটটি $V$ এর একটি ভিত্তি হয়ে যেত এবং $U$ আর প্রকৃত সাবস্পেস থাকত না।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯

এই উপবিভাগটি দেখায় যে যেকোনো সমরূপতার জন্য, বিপরীত ম্যাপটিও একটি সমরূপতা। এই উপবিভাগটি আরও দেখায় যে একটি $n$ -মাত্রিক ভেক্টর স্পেস $V$ এর একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি $B$ এর জন্য, ম্যাপটি ${Rep}_{B} : V \to ℝ^{n}$ একটি সমরূপতা। এই ম্যাপটির বিপরীত ফাংশনটি নির্ণয় করুন।

উত্তর

যেখানে $B = ⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots, {\vec{β}}_{n} ⟩$ , সেখানে বিপরীত ফাংশনটি হলো এটি।

(\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}) \mapsto c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১০

ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে এই তথ্যগুলো প্রমাণ করুন।

একটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেস তার ট্রান্সপোজের কলাম স্পেসের সাথে সমরূপ।
একটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেস তার কলাম স্পেসের সাথে সমরূপ।

উত্তর

তিনটি স্পেসেরই মাত্রা ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কের সমান।

সমস্যা ১১

দেখান যে উপপাদ্য ২.২ এর ফাংশনটি সুসংজ্ঞায়িত।

উত্তর

আমাদের দেখাতে হবে যে যদি $\vec{a} = \vec{b}$ হয় তবে $f (\vec{a}) = f (\vec{b})$ । সুতরাং ধরি যে $a_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + a_{n} {\vec{β}}_{n} = b_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + b_{n} {\vec{β}}_{n}$ । একটি ভেক্টর স্পেসে (এখানে, ডোমেইন স্পেসে) প্রতিটি ভেক্টরের ভিত্তি ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে একটি অনন্য প্রকাশ থাকে, তাই আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে $a_{1} = b_{1}$ , ..., $a_{n} = b_{n}$ । সুতরাং,

f (\vec{a}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = f (\vec{b})

এবং তাই ফাংশনটি সুসংজ্ঞায়িত।

সমস্যা ১২

উপপাদ্য ২.২ এর প্রমাণ কি $n = 0$ এর জন্য বৈধ?

উত্তর

হ্যাঁ, কারণ একটি শূন্য-মাত্রিক স্পেস হলো ট্রিভিয়াল স্পেস।

সমস্যা ১৩

প্রতিটির জন্য, এটি সমরূপতা শ্রেণি প্রতিনিধিদের সেট কি না তা নির্ধারণ করুন।

${ℂ^{k} | k \in ℕ}$
${𝒫_{k} | k \in {- 1, 0, 1, \dots}}$
${ℳ_{m \times n} | m, n \in ℕ}$

উত্তর

না, এই সংগ্রহে বিজোড় মাত্রার কোনো স্পেস নেই।
হ্যাঁ, কারণ $𝒫_{k} ≅ ℝ^{k + 1}$ ।
না, উদাহরণস্বরূপ, $ℳ_{2 \times 3} ≅ ℳ_{3 \times 2}$ ।

সমস্যা ১৪

ধরি $f$ হলো ভেক্টর স্পেস $V$ এবং $W$ এর মধ্যে একটি অনুরূপতা (অর্থাৎ, একটি ম্যাপ যা এক-এক এবং সার্বিক)। দেখান যে স্পেস $V$ এবং $W$ $f$ এর মাধ্যমে সমরূপ হবে যদি এবং কেবল যদি এমন ভিত্তি $B \subset V$ এবং $D \subset W$ থাকে যাতে অনুরূপ ভেক্টরগুলোর স্থানাঙ্ক একই হয়: ${R e p}_{B} (\vec{v}) = {R e p}_{D} (f (\vec{v}))$ ।

উত্তর

একটি দিক সহজ: যদি দুটি স্পেস $f$ এর মাধ্যমে সমরূপ হয় তবে যেকোনো ভিত্তি $B \subseteq V$ এর জন্য, $D = f (B)$ সেটটিও একটি ভিত্তি (এটি লেমা ২.৩-এ দেখানো হয়েছে)। অনুরূপ ভেক্টরগুলোর যে একই স্থানাঙ্ক থাকে তার যাচাইকরণ: $f (c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n}) = c_{1} f ({\vec{β}}_{1}) + \dots + c_{n} f ({\vec{β}}_{n}) = c_{1} {\vec{δ}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{δ}}_{n}$ একটি রুটিন হিসাব মাত্র।

অন্য দিকের জন্য, ধরে নিই যে এমন ভিত্তি রয়েছে যাতে অনুরূপ ভেক্টরগুলোর সেই ভিত্তিগুলোর সাপেক্ষে একই স্থানাঙ্ক থাকে। যেহেতু $f$ একটি অনুরূপতা, তাই এটি একটি সমরূপতা তা দেখানোর জন্য, আমাদের কেবল দেখাতে হবে যে এটি কাঠামো সংরক্ষণ করে। যেহেতু ${R e p}_{B} (\vec{v}) = {R e p}_{D} (f (\vec{v}))$ , তাই $f$ ম্যাপটি কাঠামো সংরক্ষণ করবে যদি এবং কেবল যদি উপস্থাপনগুলো যোগফল সংরক্ষণ করে: ${R e p}_{B} ({\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2}) = {R e p}_{B} ({\vec{v}}_{1}) + {R e p}_{B} ({\vec{v}}_{2})$ এবং স্কেলার গুণন সংরক্ষণ করে: ${R e p}_{B} (r \cdot \vec{v}) = r \cdot {R e p}_{B} (\vec{v})$ । যোগফলের হিসাবটি হলো এটি: $(c_{1} + d_{1}) {\vec{β}}_{1} + \dots + (c_{n} + d_{n}) {\vec{β}}_{n} = c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n} + d_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + d_{n} {\vec{β}}_{n}$ , এবং স্কেলার গুণনের হিসাবটিও অনুরূপ।

সমস্যা ১৫

সমরূপতা ${Rep}_{B} : 𝒫_{3} \to ℝ^{4}$ বিবেচনা করুন।

একটি বাস্তব স্পেসের ভেক্টরগুলো লম্ব হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। বহুপদীগুলোর জন্য লম্ব হওয়ার একটি সংজ্ঞা দিন।
$𝒫_{3}$ এর একটি সদস্যের ডেরিভেটিভ $𝒫_{3}$ তেই থাকে। $ℝ^{4}$ এ একটি ভেক্টরের ডেরিভেটিভের একটি সংজ্ঞা দিন।

উত্তর

$ℝ^{4}$ থেকে $𝒫_{3}$ তে সংজ্ঞাটিকে টেনে আনলে পাওয়া যায় যে $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ বহুপদীটি $b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + b_{3} x^{3}$ এর সাথে লম্ব হবে যদি এবং কেবল যদি $a_{0} b_{0} + a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$ হয়।
একটি স্বাভাবিক সংজ্ঞা হলো এটি।
$D ((\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})) = (\begin{matrix} a_{1} \\ 2 a_{2} \\ 3 a_{3} \\ 0 \end{matrix})$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৬

ভিত্তিগুলোর মধ্যকার প্রতিটি অনুরূপতাকে স্পেসে সম্প্রসারিত করলে কি একটি সমরূপতা পাওয়া যায়?

উত্তর

হ্যাঁ।

ধরি যে $V$ একটি ভেক্টর স্পেস যার ভিত্তি $B = ⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots, {\vec{β}}_{n} ⟩$ এবং $W$ অন্য একটি ভেক্টর স্পেস যাতে $f : B \to W$ ম্যাপটি একটি অনুরূপতা। $f$ এর সম্প্রসারণ $\hat{f} : V \to W$ বিবেচনা করুন।

\hat{f} (c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n}) = c_{1} f ({\vec{β}}_{1}) + \dots + c_{n} f ({\vec{β}}_{n}) .

ম্যাপ $\hat{f}$ একটি সমরূপতা।

প্রথমত, $\hat{f}$ সুসংজ্ঞায়িত কারণ $V$ এর প্রতিটি সদস্যের $B$ এর উপাদানগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে একটি এবং কেবল একটি প্রকাশ থাকে।

দ্বিতীয়ত, $\hat{f}$ এক-এক কারণ $W$ এর প্রতিটি সদস্যের $⟨ f ({\vec{β}}_{1}), \dots, f ({\vec{β}}_{n}) ⟩$ এর উপাদানগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে কেবলমাত্র একটি প্রকাশ থাকে। ম্যাপ $\hat{f}$ সার্বিক কারণ $W$ এর প্রতিটি সদস্যের $⟨ f ({\vec{β}}_{1}), \dots, f ({\vec{β}}_{n}) ⟩$ এর সদস্যদের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে অন্তত একটি প্রকাশ থাকে।

অবশেষে, কাঠামো সংরক্ষণ যাচাই করা একটি সাধারণ কাজ। উদাহরণস্বরূপ, নিচে যোগফল সংরক্ষণের হিসাব দেওয়া হলো।

\begin{matrix} \hat{f} ((c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n}) + (d_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + d_{n} {\vec{β}}_{n})) & = \hat{f} ((c_{1} + d_{1}) {\vec{β}}_{1} + \dots + (c_{n} + d_{n}) {\vec{β}}_{n}) \\ = (c_{1} + d_{1}) f ({\vec{β}}_{1}) + \dots + (c_{n} + d_{n}) f ({\vec{β}}_{n}) \\ = c_{1} f ({\vec{β}}_{1}) + \dots + c_{n} f ({\vec{β}}_{n}) + d_{1} f ({\vec{β}}_{1} + \dots + d_{n} f ({\vec{β}}_{n}) \\ = \hat{f} (c_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{β}}_{n}) + + \hat{f} (d_{1} {\vec{β}}_{1} + \dots + d_{n} {\vec{β}}_{n}) . \end{matrix}

স্কেলার গুণন সংরক্ষণও একই রকম।

সমস্যা ১৭

(এর জন্য সাবস্পেস একত্রীকরণ উপবিভাগটি প্রয়োজন, যা ঐচ্ছিক।) ধরি যে $V = V_{1} \oplus V_{2}$ এবং $V$ , ম্যাপ $f$ এর অধীনে স্পেস $U$ এর সাথে সমরূপ। দেখান যে $U = f (V_{1}) \oplus f (U_{2})$ ।

উত্তর

যেহেতু $V_{1} \cap V_{2} = {{\vec{0}}_{V}}$ এবং $f$ এক-এক, তাই আমরা পাই যে $f (V_{1}) \cap f (V_{2}) = {{\vec{0}}_{U}}$ । প্রমাণ শেষ করার জন্য, মাত্রাগুলো গণনা করুন: $\dim (U) = \dim (V) = \dim (V_{1}) + \dim (V_{2}) = \dim (f (V_{1})) + \dim (f (V_{2}))$ , যা প্রয়োজন ছিল।

সমস্যা ১৮: দেখান যে এটি মূলদ সংখ্যা থেকে পূর্ণ সংখ্যায় কোনো সুসংজ্ঞায়িত ফাংশন নয়: প্রতিটি ভগ্নাংশের সাথে, এর লবের মান যুক্ত করুন।

উত্তর

মূলদ সংখ্যার অনেক প্রকাশ থাকে, যেমন, $1 / 2 = 3 / 6$ , এবং প্রকাশ অনুযায়ী লবগুলো ভিন্ন হতে পারে।

পাদটীকা

↑ সমতুল্যতা সম্পর্ক সম্পর্কে আরও তথ্য পরিশিষ্টে রয়েছে।
↑ সুসংজ্ঞায়িত হওয়া সম্পর্কে আরও তথ্য পরিশিষ্টে রয়েছে।
↑ সমতুল্য শ্রেণির প্রতিনিধি সম্পর্কে আরও তথ্য পরিশিষ্টে রয়েছে।

[1] সমতুল্যতা সম্পর্ক সম্পর্কে আরও তথ্য পরিশিষ্টে রয়েছে।

[2] সুসংজ্ঞায়িত হওয়া সম্পর্কে আরও তথ্য পরিশিষ্টে রয়েছে।

[3] সমতুল্য শ্রেণির প্রতিনিধি সম্পর্কে আরও তথ্য পরিশিষ্টে রয়েছে।

[১]

[২]

[৩]