রৈখিক বীজগণিত/মাত্রা/সমাধান

সমাধানসমূহ

ধরে নেওয়া হলো যে অন্যথায় উল্লেখ না থাকলে সকল স্পেস সসীম-মাত্রিক।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

${𝒫}_2$ এর একটি ভিত্তি এবং এর মাত্রা নির্ণয় করো।

উত্তর

একটি ভিত্তি হলো $⟨1,x,x^2⟩$, এবং তাই এর মাত্রা হলো তিন।

সমস্যা ২

এই সমীকরণ জোটের সমাধান সেটের একটি ভিত্তি এবং মাত্রা নির্ণয় করো।

$\begin{array}{ccccccccc}{x}_1& -& 4x_2& +& 3x_3& -& x_4& =& 0\\ 2x_1& -& 8x_2& +& 6x_3& -& 2x_4& =& 0\end{array}$

উত্তর

সমাধান সেটটি হলো

$\{\left(\begin{array}{c}4x_2-3x_3+x_4\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)|x_2,x_3,x_4\in ℝ\}$

তাই এর একটি স্বাভাবিক ভিত্তি হলো এটি

$⟨\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)⟩$

(রৈখিক স্বাধীনতা যাচাই করা সহজ)। সুতরাং মাত্রা হলো তিন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

$2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর স্পেস ${ℳ}_{2\times 2}$ এর একটি ভিত্তি এবং মাত্রা নির্ণয় করো।

উত্তর

এই স্পেসের জন্য

$\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in ℝ\}=\{a\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\dots +d\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)|a,b,c,d\in ℝ\}$

এটি একটি স্বাভাবিক ভিত্তি।

$⟨\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟩$

মাত্রা হলো চার।

সমস্যা ৪

প্রতিটি শর্ত সাপেক্ষে নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর ভেক্টর স্পেসের মাত্রা নির্ণয় করো।

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

1. $a,b,c,d\in ℝ$
2. $a-b+2c=0$ এবং $d\in ℝ$
3. $a+b+c=0$, $a+b-c=0$, এবং $d\in ℝ$

উত্তর

1. পূর্ববর্তী অনুশীলনীর মতো, কোনো শর্ত ছাড়া ম্যাট্রিক্স স্পেস ${ℳ}_{2\times 2}$ এর ভিত্তি হলো

   $⟨\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟩$

   এবং তাই এর মাত্রা হলো চার।
2. এই স্পেসের জন্য

   $\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a=b-2c\text{ এবং }d\in ℝ\}=\{b\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)+d\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)|b,c,d\in ℝ\}$

   এটি একটি স্বাভাবিক ভিত্তি।

   $⟨\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟩$

   এর মাত্রা হলো তিন।
3. দুটি সমীকরণবিশিষ্ট এই রৈখিক সমীকরণ জোটে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় যে $c=0$ এবং $a=-b$। সুতরাং, আমরা এই বর্ণনাটি পাই

   $\{\left(\begin{array}{cc}-b& b\\ 0& d\end{array}\right)|b,d\in ℝ\}=\{b\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)+d\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)|b,d\in ℝ\}$

   এবং তাই এটি একটি স্বাভাবিক ভিত্তি।

   $⟨\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟩$

   এর মাত্রা হলো দুই।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

প্রতিটির মাত্রা নির্ণয় করো।

1. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর স্পেস যেন $p(7)=0$ হয়
2. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর স্পেস যেন $p(7)=0$ এবং $p(5)=0$ হয়
3. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর স্পেস যেন $p(7)=0$, $p(5)=0$, এবং $p(3)=0$ হয়
4. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর স্পেস যেন $p(7)=0$, $p(5)=0$, $p(3)=0$, এবং $p(1)=0$ হয়

উত্তর

এই স্পেসগুলোর ভিত্তি পূর্ববর্তী উপবিভাগের উত্তরমালায় তৈরি করা হয়েছে।

1. একটি ভিত্তি হলো $⟨-7+x,-49+x^2,-343+x^3⟩$। এর মাত্রা হলো তিন।
2. একটি ভিত্তি হলো $⟨35-12x+x^2,420-109x+x^3⟩$ তাই এর মাত্রা হলো দুই।
3. একটি ভিত্তি হলো $\{-105+71x-15x^2+x^3\}$। এর মাত্রা হলো এক।
4. এটি ${𝒫}_3$ এর একটি ট্রিভিয়াল সাবস্পেস এবং তাই এর ভিত্তি ফাঁকা। মাত্রা হলো শূন্য।

সমস্যা ৬

$\{{\cos }^2\theta ,{\sin }^2\theta ,\cos 2\theta ,\sin 2\theta \}$ সেটের স্প্যানের মাত্রা কত? এই স্প্যানটি হলো এক চলকবিশিষ্ট সকল বাস্তব-মান ফাংশনের স্পেসের একটি সাবস্পেস।

উত্তর

প্রথমে মনে করে দেখো যে $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$, আর তাই এই সেট থেকে $\cos 2\theta$ বাদ দিলেও স্প্যান অপরিবর্তিত থাকে। অবশিষ্ট সেট $\{{\cos }^2\theta ,{\sin }^2\theta ,\sin 2\theta \}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন (রৈখিক সম্পর্ক $c_1{\cos }^2\theta +c_2{\sin }^2\theta +c_3\sin 2\theta =Z(\theta )$ বিবেচনা করো যেখানে $Z$ হলো শূন্য ফাংশন, এবং তারপর $\theta =0$, $\theta =\pi /4$, ও $\theta =\pi /2$ বসিয়ে এই সিদ্ধান্তে আসা যায় যে প্রতিটি $c$ শূন্য)। তাই এটি এর স্প্যানের জন্য একটি ভিত্তি। এটি নির্দেশ করে যে স্প্যানটি একটি তিন-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস।

সমস্যা ৭

জটিল সংখ্যার $47$-টাপলের ভেক্টর স্পেস ${ℂ}^{47}$ এর মাত্রা নির্ণয় করো।

উত্তর

এখানে একটি ভিত্তি দেওয়া হলো

$⟨(1+0i,0+0i,\dots ,0+0i),(0+1i,0+0i,\dots ,0+0i),(0+0i,1+0i,\dots ,0+0i),\dots ⟩$

এবং তাই এর মাত্রা হলো $2\cdot 47=94$।

সমস্যা ৮

$3\times 5$ ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর স্পেস ${ℳ}_{3\times 5}$ এর মাত্রা কত?

উত্তর

একটি ভিত্তি হলো

$⟨\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\dots ,\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)⟩$

এবং এভাবে মাত্রা হলো $3\cdot 5=15$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯

দেখাও যে এটি ${ℝ}^4$ এর একটি ভিত্তি।

$⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)⟩$

(এই কাজটিকে সহজ করতে এই উপবিভাগের ফলাফলগুলো ব্যবহার করা যেতে পারে।)

উত্তর

একটি চার-মাত্রিক স্পেসে চারটি ভেক্টরের একটি সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি এটি ওই স্পেসটিকে স্প্যান করে। এই ভেক্টরগুলোর আকার রৈখিক স্বাধীনতা দেখানো সহজ করে তোলে (চতুর্থ উপাংশের সমীকরণটি দেখো, এরপর তৃতীয় উপাংশের সমীকরণটি দেখো, ইত্যাদি)।

সমস্যা ১০

উদাহরণ ২.৯ দেখো।

1. ${𝒫}_2$ এর জন্য অনুরূপ একটি সাবস্পেস ডায়াগ্রাম আঁকো।
2. ${ℳ}_{2\times 2}$ এর জন্য একটি আঁকো।

উত্তর

1. ${𝒫}_2$ এর ডায়াগ্রামে চারটি স্তর রয়েছে। শীর্ষ স্তরে একমাত্র তিন-মাত্রিক সাবস্পেস রয়েছে, যা হলো স্বয়ং ${𝒫}_2$। পরবর্তী স্তরে দুই-মাত্রিক সাবস্পেসগুলো রয়েছে (কেবল একমাত্রিক বা রৈখিক বহুপদী নয়; যেকোনো দুই-মাত্রিক সাবস্পেস, যেমন $a{x}^2+b$ আকারের বহুপদী)। এর নিচে এক-মাত্রিক সাবস্পেসগুলো অবস্থিত। সবশেষে, নিশ্চিতভাবেই একমাত্র শূন্য-মাত্রিক সাবস্পেস, বা ট্রিভিয়াল সাবস্পেস রয়েছে।
2. ${ℳ}_{2\times 2}$ এর জন্য ডায়াগ্রামটিতে পাঁচটি স্তর রয়েছে, যার মধ্যে চার মাত্রা থেকে শূন্য মাত্রা পর্যন্ত সাবস্পেস অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

যেখানে $S$ একটি সেট, স্বাভাবিক অপারেশনের অধীনে ফাংশনসমূহ $f:S\to ℝ$ একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে: সমষ্টি $f+g$ এমন একটি ফাংশন যা $f+g(s)=f(s)+g(s)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং স্কেলার গুণনটি $r\cdot f(s)=r\cdot f(s)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত। প্রতিটি ডোমেইনের জন্য প্রাপ্ত স্পেসটির মাত্রা কত?

1. $S=\{1\}$
2. $S=\{1,2\}$
3. $S=\{1,\dots ,n\}$

উত্তর

1. এক
2. দুই
3. $n$

সমস্যা ১২

(সমস্যা ১১ দেখো।) প্রমাণ করো যে এটি একটি অসীম-মাত্রিক স্পেস: স্বাভাবিক অপারেশনের অধীনে সকল ফাংশন $f:ℝ\to ℝ$ এর সেট।

উত্তর

আমাদের কেবল একটি অসীম রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট তৈরি করা প্রয়োজন। এমন একটি সেট হলো $⟨f_1,f_2,\dots ⟩$ যেখানে $f_i:ℝ\to ℝ$ হলো

$f_i(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{যদি }x=i\\ 0& \text{অন্যথায়}\end{array}$

এমন একটি ফাংশন যার মান শুধুমাত্র $x=i$ বিন্দুতে $1$ হয়।

সমস্যা ১৩

(সমস্যা ১১ দেখো।) স্বাভাবিক অপারেশনের অধীনে ফাংশনসমূহের ভেক্টর স্পেস $f:S\to ℝ$ এর মাত্রা কত, যেখানে ডোমেইন $S$ হলো একটি ফাঁকা সেট?

উত্তর

একটি ফাংশনকে একটি সেট হিসেবে বিবেচনা করলে, নির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে ক্রোমজোড় $(x,f(x))$ এর একটি সেট হিসেবে ভাবলে, ফাঁকা ডোমেইনবিশিষ্ট একমাত্র ফাংশনটি হলো একটি ফাঁকা সেট। সুতরাং এটি একটি ট্রিভিয়াল ভেক্টর স্পেস এবং এর মাত্রা হলো শূন্য।

সমস্যা ১৪

দেখাও যে ${ℝ}^2$ তে যেকোনো চারটি ভেক্টরের সেট রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

উত্তর

অনুসিদ্ধান্ত ২.৮ প্রয়োগ করো।

সমস্যা ১৫

দেখাও যে সেট $⟨{\overrightarrow{\alpha }}_1,{\overrightarrow{\alpha }}_2,{\overrightarrow{\alpha }}_3⟩\subset {ℝ}^3$ একটি ভিত্তি হবে যদি এবং কেবল যদি এমন কোনো সমতল না থাকে যা মূলবিন্দুগামী এবং তিনটি ভেক্টরই ওই সমতলের অন্তর্ভুক্ত।

উত্তর

একটি সমতলের আকার হলো $\{\overrightarrow{p}+t_1{\overrightarrow{v}}_1+t_2{\overrightarrow{v}}_2|t_1,t_2\in ℝ\}$। (প্রথম অধ্যায়ে এটিকে একটি "$2$-ফ্ল্যাট"ও বলা হয়েছে, এবং সেখানে আলোচনা করা হয়েছে যে কেন এটি ক্যালকুলাসে সচরাচর ব্যবহৃত $ax+by+cz=d$ আকারের শর্তসাপেক্ষ বিন্দুসমূহের সেট $(x,y,z)$ এর সমতুল্য)। সমতলটি যখন মূলবিন্দু দিয়ে যায় তখন আমরা নির্দিষ্ট ভেক্টর $\overrightarrow{p}$ কে $\overrightarrow{0}$ ধরতে পারি। সুতরাং, এই অধ্যায়ে আমরা যে ভাষা ব্যবহার করেছি সেই অনুযায়ী, মূলবিন্দুগামী একটি সমতল হলো দুটি ভেক্টরের সেটের স্প্যান।

এখন বিবৃতির কথায় আসি। তিনটি ভেক্টর সমতলীয় নয়, এ কথা দাবি করা আর অন্য দুটি ভেক্টরের স্প্যানে কোনো একটি ভেক্টর অবস্থিত নয়—অর্থাৎ কোনো ভেক্টর অন্য দুটির রৈখিক সমাবেশ নয়, এ কথা দাবি করা একই বিষয়। এটি সহজ কথায় একটি দাবি যে, তিন-উপাদানবিশিষ্ট সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। অনুসিদ্ধান্ত ২.১২ অনুযায়ী, এটি সেটটিকে ${ℝ}^3$ এর একটি ভিত্তি হিসেবে দাবি করার সমতুল্য।

সমস্যা ১৬

1. প্রমাণ করো যে একটি সসীম মাত্রিক স্পেসের যেকোনো সাবস্পেসের একটি ভিত্তি থাকে।
2. প্রমাণ করো যে একটি সসীম মাত্রিক স্পেসের যেকোনো সাবস্পেস সসীম মাত্রিক হয়।

উত্তর

ধরি, $V$ স্পেসটি সসীম মাত্রিক। ধরি, $S$ হলো $V$ এর একটি সাবস্পেস।

1. ফাঁকা সেটটি হলো $S$ এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সাবসেট। অনুসিদ্ধান্ত ২.১০ অনুযায়ী, এটিকে ভেক্টর স্পেস $S$ এর একটি ভিত্তিতে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে।
2. সাবস্পেস $S$ এর যেকোনো ভিত্তি হলো সুপারস্পেস $V$ এর মধ্যে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট। তাই এটিকে সুপারস্পেসের একটি ভিত্তিতে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে, যা সসীম মাত্রিক। অতএব এর সসীম সংখ্যক সদস্যই রয়েছে।

সমস্যা ১৭

উপপাদ্য ২.৩ এ $B$ এর সসীমতা কোথায় ব্যবহৃত হয়েছে?

উত্তর

এটি নিশ্চিত করে যে আমরা $\overrightarrow{\beta }$ গুলো সম্পূর্ণভাবে ব্যবহার করতে পারি। অর্থাৎ, এটি শেষ অনুচ্ছেদের প্রথম বাক্যটিকে যৌক্তিক করে তোলে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৮

প্রমাণ করো যে, যদি $U$ এবং $W$ উভয়েই ${ℝ}^5$ এর তিন-মাত্রিক সাবস্পেস হয় তবে $U\cap W$ একটি নন-ট্রিভিয়াল স্পেস। সূত্রটিকে সাধারণীকরণ করো।

উত্তর

ধরি, $B_U$ হলো $U$ এর একটি ভিত্তি এবং $B_W$ হলো $W$ এর একটি ভিত্তি। $B_U\cup B_W$ সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল কারণ এটি পাঁচ-মাত্রিক স্পেস ${ℝ}^5$ এর একটি ছয় সদস্যবিশিষ্ট সাবসেট। সুতরাং $B_W$ এর কোনো কোনো সদস্য $B_U$ এর স্প্যানে অবস্থিত, এবং তাই $U\cap W$ কেবল ট্রিভিয়াল স্পেস $\{\overrightarrow{0}\}$ এর চেয়ে বড় কিছু।

সাধারণীকরণ: যদি $U,W$ কোনো $n$ মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের সাবস্পেস হয় এবং যদি $\dim (U)+\dim (W)>n$ হয়, তবে তাদের একটি নন-ট্রিভিয়াল ছেদ থাকবে।

সমস্যা ১৯

যেহেতু একটি স্পেসের ভিত্তি হলো সেই স্পেসেরই একটি সাবসেট, তাই স্বভাবতই আমাদের মনে এই প্রশ্ন আসে যে 'ভিত্তি হওয়া'র বৈশিষ্ট্যটি সেটের বিভিন্ন অপারেশনের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত।

1. প্রথমে বিবেচনা করা যাক ভিত্তিগুলো কীভাবে 'সাবসেট' হিসেবে সম্পর্কিত হতে পারে। ধরে নিই, $U,W$ হলো কোনো ভেক্টর স্পেসের সাবস্পেস এবং $U\subseteq W$। $U$ এর জন্য $B_U$ এবং $W$ এর জন্য $B_W$ এমন ভিত্তিগুলোর কি অস্তিত্ব থাকা সম্ভব যেন $B_U\subseteq B_W$ হয়? এমন ভিত্তিগুলোর কি অস্তিত্ব থাকা আবশ্যক? $U$ এর যেকোনো ভিত্তি $B_U$ এর জন্য, $W$ এর এমন কি কোনো ভিত্তি $B_W$ থাকতেই হবে যেন $B_U\subseteq B_W$ হয়? $W$ এর যেকোনো ভিত্তি $B_W$ এর জন্য, $U$ এর এমন কি কোনো ভিত্তি $B_U$ থাকতেই হবে যেন $B_U\subseteq B_W$ হয়? $U$ এবং $W$ এর যেকোনো ভিত্তি $B_U,B_W$ এর জন্য, $B_U$ কি অবশ্যই $B_W$ এর একটি সাবসেট হবে?
2. ভিত্তিগুলোর ছেদ কি একটি ভিত্তি গঠন করে? কোন স্পেসের জন্য?
3. ভিত্তিগুলোর সংযোগ কি একটি ভিত্তি গঠন করে? কোন স্পেসের জন্য?
4. পূরক সেটের ক্ষেত্রে কী হবে?

(ইঙ্গিত: যেকোনো অনুসিদ্ধান্ত ${ℝ}^3$ এর কিছু সাবস্পেসের সাহায্যে যাচাই করে দেখো।)

উত্তর

প্রথমে লক্ষ্য করো যে, একটি সেট কোনো স্পেসের ভিত্তি হবে যদি এবং কেবল যদি এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, কারণ সে ক্ষেত্রে এটি নিজের স্প্যানের জন্য একটি ভিত্তি।

1. দ্বিতীয় অনুচ্ছেদের প্রশ্নটির উত্তর হলো 'হ্যাঁ' (যা প্রথম অনুচ্ছেদের উভয় প্রশ্নের উত্তরের জন্যও 'হ্যাঁ' নির্দেশ করে)। যদি $B_U$, $U$ এর একটি ভিত্তি হয় তবে $B_U$ হলো $W$ এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সাবসেট। অনুসিদ্ধান্ত ২.১০ প্রয়োগ করে এটিকে $W$ এর একটি ভিত্তিতে সম্প্রসারিত করো। সেটিই হলো আকাঙ্ক্ষিত $B_W$। তৃতীয় অনুচ্ছেদের প্রশ্নটির উত্তর হলো 'না', যা চতুর্থ অনুচ্ছেদের প্রশ্নটির উত্তরও 'না' নির্দেশ করে। সুপারস্পেসের একটি ভিত্তির উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো যার কোনো উপ-ভিত্তি সাবস্পেসের ভিত্তি গঠন করে না: $W={ℝ}^2$ স্পেসে স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তি ${ℰ}_2$ বিবেচনা করো। ${ℰ}_2$ এর কোনো উপ-ভিত্তি ${ℝ}^2$ এর সাবস্পেস $U$ (যা হলো $y=x$ রেখাটি) এর ভিত্তি গঠন করে না।
2. এটি (নিজের স্প্যানের জন্য) একটি ভিত্তি কারণ রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের ছেদ একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট (ছেদটি প্রতিটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের একটি সাবসেট)। তবে, এটি স্পেসগুলোর ছেদের জন্য কোনো ভিত্তি নয়। উদাহরণস্বরূপ, এগুলো হলো ${ℝ}^2$ এর ভিত্তি:

   $B_1=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)⟩\text{এবং}{B}_2=⟨\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)⟩$

   এবং ${ℝ}^2\cap {ℝ}^2={ℝ}^2$, কিন্তু $B_1\cap B_2$ হলো ফাঁকা। আমরা কেবল এটুকু বলতে পারি যে, ভিত্তিগুলোর ছেদ স্পেসগুলোর ছেদের একটি সাবসেটের জন্য ভিত্তি।
3. ভিত্তিগুলোর সংযোগের ভিত্তি হওয়া বাধ্যতামূলক নয়: ${ℝ}^2$ এ

   $B_1=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)⟩\text{এবং}{B}_2=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)⟩$

   ভিত্তিগুলোর সংযোগ $B_1\cup B_2$ রৈখিকভাবে স্বাধীন নয়। দুটি ভিত্তির সংযোগ একটি ভিত্তি হওয়ার প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত শর্ত হলো

   $B_1\cup B_2\text{ রৈখিকভাবে স্বাধীন }⟺[B_1\cap B_2]=[B_1]\cap [B_2]$

   এটি প্রমাণ করা যথেষ্ট সহজ (কিন্তু হয়তো প্রয়োগ করা কঠিন)।
4. একটি ভিত্তির পূরক সেট ভিত্তি হতে পারে না কারণ এতে শূন্য ভেক্টর অন্তর্ভুক্ত থাকে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২০

এবার বিবেচনা করা যাক 'মাত্রা'র সাথে 'সাবসেট' কীভাবে সম্পর্কিত। ধরে নিই, $U$ এবং $W$ উভয়েই কোনো ভেক্টর স্পেসের সাবস্পেস এবং $U\subseteq W$।

1. প্রমাণ করো যে $\dim (U)\le \dim (W)$।
2. প্রমাণ করো যে মাত্রার সমতা সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $U=W$ হয়।
3. দেখাও যে পূর্ববর্তী পয়েন্টটি সত্য হবে না যদি তারা অসীম-মাত্রিক হয়।

উত্তর

1. $U$ এর একটি ভিত্তি হলো $W$ এর মধ্যে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট এবং তাই অনুসিদ্ধান্ত ২.১০ এর মাধ্যমে এটিকে $W$ এর একটি ভিত্তিতে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে। দ্বিতীয় ভিত্তিতে অন্তত প্রথমটির সমান সংখ্যক সদস্য রয়েছে।
2. একটি দিক স্পষ্ট: যদি $V=W$ (এখানে $U=W$ হবে) হয় তবে তাদের মাত্রা একই। বিপরীত দিকটি প্রমাণের জন্য, ধরি $B_U$ হলো $U$ এর একটি ভিত্তি। এটি $W$ এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সাবসেট এবং তাই এটিকে $W$ এর ভিত্তিতে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে। যদি $\dim (U)=\dim (W)$ হয় তবে $W$ এর এই ভিত্তিতে $B_U$ এর চেয়ে বেশি সদস্য নেই এবং তাই এটি $B_U$ এর সমান। যেহেতু $U$ এবং $W$ এর ভিত্তি একই, তাই তারা সমান।
3. ধরি $W$ হলো সসীম-মাত্রার বহুপদীগুলোর স্পেস এবং $U$ হলো সেই বহুপদীগুলোর সাবস্পেস যেগুলোতে কেবল জোড় ঘাতের পদ রয়েছে $\{a_0+a_1{x}^2+a_2{x}^4+\dots +a_n{x}^{2n}|a_0,\dots ,a_n\in ℝ\}$। উভয় স্পেসের মাত্রা অসীম, কিন্তু $U$ হলো একটি প্রকৃত সাবস্পেস (proper subspace)।

? সমস্যা ২১

${ℝ}^n$ এ যেকোনো ভেক্টর $\overrightarrow{v}$ এবং $1$, $2$, ..., $n$ সংখ্যাগুলোর যেকোনো বিন্যাস (permutation) $\sigma$ এর জন্য (অর্থাৎ, $\sigma$ হলো সংখ্যাগুলোকে একটি নতুন ক্রমে পুনরায় সাজানো), $\sigma (\overrightarrow{v})$ কে এমন একটি ভেক্টর হিসেবে সংজ্ঞায়িত করো যার উপাংশগুলো হলো $v_{\sigma (1)}$, $v_{\sigma (2)}$, ..., এবং $v_{\sigma (n)}$ (যেখানে $\sigma (1)$ হলো নতুন বিন্যাসের প্রথম সংখ্যা, ইত্যাদি)। এবার $\overrightarrow{v}$ নির্দিষ্ট করো এবং ধরি $V$ হলো $\{\sigma (\overrightarrow{v})|\sigma ,1,\dots ,n\text{ কে বিন্যস্ত করে}\}$ এর স্প্যান। $V$ এর মাত্রার সম্ভাব্য মানগুলো কী কী হতে পারে?

উত্তর

$V$ এর মাত্রার সম্ভাব্য মানগুলো হলো $0$, $1$, $n-1$, এবং $n$।

এটি বোঝার জন্য, প্রথমে এমন একটি ক্ষেত্র বিবেচনা করো যখন $\overrightarrow{v}$ এর সমস্ত স্থানাঙ্ক সমান।

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}z\\ z\\ ⋮\\ z\end{array}\right)$

তাহলে প্রতিটি বিন্যাস $\sigma$ এর জন্য $\sigma (\overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}$ হবে, তাই $V$ হলো কেবল $\overrightarrow{v}$ এর স্প্যান, যার মাত্রা $0$ বা $1$ হবে, যা নির্ভর করে $\overrightarrow{v}$ শূন্য ভেক্টর ($\overrightarrow{0}$) কিনা তার ওপর।

এখন ধরা যাক $\overrightarrow{v}$ এর সমস্ত স্থানাঙ্ক সমান নয়; ধরি $\overrightarrow{v}$ এর স্থানাঙ্কগুলোর মধ্যে $x$ এবং $y$ রয়েছে যেখানে $x\ne y$। তাহলে আমরা এমন দুটি বিন্যাস ${\sigma }_1$ এবং ${\sigma }_2$ খুঁজে পেতে পারি যেন

${\sigma }_1(\overrightarrow{v})=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ a_3\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\text{এবং}{\sigma }_2(\overrightarrow{v})=\left(\begin{array}{c}y\\ x\\ a_3\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$

কিছু $a_3,\dots ,a_n\in ℝ$ এর জন্য। অতএব,

$\frac{1}{y-x}({\sigma }_1(\overrightarrow{v})-{\sigma }_2(\overrightarrow{v}))=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

$V$ এ অবস্থিত। অর্থাৎ, ${\overrightarrow{e}}_2-{\overrightarrow{e}}_1\in V$, যেখানে ${\overrightarrow{e}}_1$, ${\overrightarrow{e}}_2$, ..., ${\overrightarrow{e}}_n$ হলো ${ℝ}^n$ এর স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তি। একইভাবে, ${\overrightarrow{e}}_3-{\overrightarrow{e}}_2$, ..., ${\overrightarrow{e}}_n-{\overrightarrow{e}}_1$ ভেক্টরগুলোও $V$ এ অবস্থিত। এটি সহজেই দেখা যায় যে ${\overrightarrow{e}}_2-{\overrightarrow{e}}_1$, ${\overrightarrow{e}}_3-{\overrightarrow{e}}_2$, ..., ${\overrightarrow{e}}_n-{\overrightarrow{e}}_1$ ভেক্টরগুলো রৈখিকভাবে স্বাধীন (অর্থাৎ, একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করে), তাই $\dim V\ge n-1$।

সবশেষে, আমরা লিখতে পারি

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{v}& =x_1{\overrightarrow{e}}_1+x_2{\overrightarrow{e}}_2+\dots +x_n{\overrightarrow{e}}_n\\ & =(x_1+x_2+\dots +x_n){\overrightarrow{e}}_1+x_2({\overrightarrow{e}}_2-{\overrightarrow{e}}_1)+\dots +x_n({\overrightarrow{e}}_n-{\overrightarrow{e}}_1)\end{array}$

এটি দেখায় যে যদি $x_1+x_2+\dots +x_n=0$ হয়, তবে $\overrightarrow{v}$ হলো ${\overrightarrow{e}}_2-{\overrightarrow{e}}_1$, ..., $\overrightarrow{e_n}-{\overrightarrow{e}}_1$ এর স্প্যানে অবস্থিত (অর্থাৎ, ওই ভেক্টরগুলোর সেটের স্প্যানে অবস্থিত); একইভাবে, প্রতিটি $\sigma (\overrightarrow{v})$ এই স্প্যানে থাকবে, তাই $V$ এই স্প্যানের সমান হবে এবং $\dim V=n-1$ হবে। অন্যদিকে, যদি $x_1+x_2+\cdots +x_n\ne 0$ হয়, তবে ওপরের সমীকরণটি দেখায় যে ${\overrightarrow{e}}_1\in V$ এবং এইভাবে ${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n\in V$, তাই $V={ℝ}^n$ এবং $\dim V=n$।

তথ্যসূত্র

• Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (১৯৯৩), The Wohascum County Problem Book, The Mathematical Association of America উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.