রৈখিক বীজগণিত/মাত্রা

আগের উপবিভাগে আমরা একটি ভেক্টর জগতের ভিত্তির সংজ্ঞা দিয়েছি, এবং দেখেছি যে একটি জগতের অনেকগুলো ভিন্ন ভিন্ন ভিত্তি থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ভিত্তির সংজ্ঞা অনুসরণ করে, আমরা $\mathbb {R} ^{2}$ এর জন্য তিনটি ভিন্ন ভিত্তি দেখেছি। তাই আমরা কোনো ভেক্টর জগতের জন্য "একটি নির্দিষ্ট" ভিত্তির কথা বলতে পারি না। এটি সত্য যে, কিছু ভেক্টর জগতের ভিত্তি আমাদের কাছে অন্যগুলোর চেয়ে বেশি স্বাভাবিক বলে মনে হয়, যেমন, $\mathbb {R} ^{2}$-এর ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{2}$ বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{3}$ অথবা ${\mathcal {P}}_{2}$-এর ভিত্তি $\langle 1,x,x^{2}\rangle$। কিন্তু, উদাহরণস্বরূপ ${a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},{\big |},2a_{2}-a_{0}=a_{1}}$ জগতের ক্ষেত্রে, কোনো নির্দিষ্ট ভিত্তিকে আমাদের কাছে সবচেয়ে স্বাভাবিক বলে মনে হয় না। সাধারণভাবে, আমরা কোনো জগতের সাথে এমন কোনো একক ভিত্তিকে যুক্ত করতে পারি না যা ওই জগতটিকে সবচেয়ে ভালোভাবে বর্ণনা করে। তবে, আমরা ভিত্তিগুলোর বিষয়ে এমন কিছু খুঁজে পেতে পারি যা অনন্যভাবে জগতটির সাথে যুক্ত। এই উপবিভাগটি দেখায় যে কোনো জগতের যেকোনো দুটি ভিত্তির উপাদানের সংখ্যা সমান থাকে। সুতরাং, আমরা প্রতিটি জগতের সাথে একটি সংখ্যা যুক্ত করতে পারি, যা হলো এর যেকোনো ভিত্তির ভেক্টরের সংখ্যা। এটি আমাদেরকে আবার সেই আলোচনায় ফিরিয়ে নিয়ে যায় যখন আমরা "ক্ষুদ্রতম বিস্তারকারী সেট" পদটি দ্বারা বোঝানো হতে পারে এমন দুটি বিষয় বিবেচনা করেছিলাম। সেই সময়ে আমরা "ক্ষুদ্রতম" বলতে রৈখিক স্বাধীন বুঝিয়েছিলাম, কিন্তু আমরা উল্লেখ করেছিলাম যে এই পদের আরেকটি যুক্তিসঙ্গত ব্যাখ্যা হলো, একটি স্প্যানিং সেট "ক্ষুদ্রতম" হয় যখন একই স্প্যান যুক্ত যেকোনো সেটের মধ্যে এর উপাদানের সংখ্যা সবচেয়ে কম থাকে। এই উপবিভাগের শেষে, যখন আমরা দেখাব যে সমস্ত ভিত্তির উপাদানের সংখ্যা সমান, তখন আমরা প্রমাণ করব যে "ক্ষুদ্রতম"-এর এই দুটি অর্থ সমতুল্য। শুরু করার আগে, আমরা প্রথমে আমাদের মনোযোগ এমন জগতগুলোর মধ্যে সীমাবদ্ধ করি যেখানে অন্তত একটি ভিত্তির সসীম সংখ্যক সদস্য রয়েছে।

সংজ্ঞা ২.১

একটি ভেক্টর জগতকে সসীম-মাত্রিক বলা হয় যদি এর এমন কোনো ভিত্তি থাকে যার ভেক্টর সংখ্যা সসীম।

(সসীম-মাত্রিক জগতে সীমাবদ্ধ থাকার একটি কারণ হলো যাতে একটি ভিত্তির সাপেক্ষে কোনো ভেক্টরের উপস্থাপন একটি সসীম-দৈর্ঘ্যের ভেক্টর হয়, এবং সহজেই লেখা যায়।) এখন থেকে আমরা কেবল সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগত নিয়ে আলোচনা করব। আমরা "ভেক্টর জগত" বলতে "সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগত" বুঝব। অন্যান্য জগতগুলো কৌতূহলোদ্দীপক এবং গুরুত্বপূর্ণ হলেও সেগুলো আমাদের বর্তমান আলোচনার আওতাভুক্ত নয়। মূল উপপাদ্যটি প্রমাণ করার জন্য আমরা একটি প্রায়োগিক ফলাফল ব্যবহার করব।

লেমা ২.২ (বিনিময় লেমা)

ধরি, $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ হলো একটি ভেক্টর জগতের ভিত্তি, এবং ${\vec {v}}$ ভেক্টরের জন্য ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ সম্পর্কে $c_{i}\neq 0$ রয়েছে। তাহলে ${\vec {\beta }}_{i}$ এর পরিবর্তে ${\vec {v}}$ কে বিনিময় করলে জগতের জন্য আরেকটি ভিত্তি পাওয়া যায়।

প্রমাণ

ধরা যাক, বিনিময়ের ফলাফলটি হলো ${\hat {B}}=\langle {\vec {\beta }}*1,\dots ,{\vec {\beta }}*{i-1},{\vec {v}},{\vec {\beta }}_{i+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$। আমরা প্রথমে দেখাব যে ${\hat {B}}$ রৈখিক স্বাধীন। ${\hat {B}}$ এর সদস্যদের মধ্যে যেকোনো সম্পর্ক $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {v}}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$ তে, ${\vec {v}}$ এর মান বসানোর পর,

$d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}\cdot (c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}{\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}\qquad \qquad (*)$

এটি $B$ এর সদস্যদের মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক তৈরি করে। ভিত্তি $B$ রৈখিক স্বাধীন, তাই ${\vec {\beta }}_{i}$ এর সহগ $d_{i}c_{i}$ শূন্য হবে। যেহেতু ধরে নেওয়া হয়েছে $c_{i}$ অশূন্য, তাই $d_{i}=0$। উপরের $(*)$ সমীকরণে এটি ব্যবহার করলে দেখা যায় যে অন্যান্য সমস্ত $d$ গুলোও শূন্য। অতএব ${\hat {B}}$ রৈখিক স্বাধীন। আমরা প্রমাণ শেষ করব এটি দেখিয়ে যে ${\hat {B}}$ এর স্প্যান এবং $B$ এর স্প্যান একই। এই যুক্তির অর্ধেক, অর্থাৎ $[{\hat {B}}]\subseteq [B]$, প্রমাণ করা সহজ; $[{\hat {B}}]$ এর যেকোনো সদস্য $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {v}}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ কে $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}\cdot (c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ আকারে লেখা যায়, যা মূলত $B$ এর সদস্যদের রৈখিক সমাবেশের একটি রৈখিক সমাবেশ, এবং তাই এটি $[B]$ এর অন্তর্ভুক্ত। যুক্তির বাকি অর্ধেক $[B]\subseteq [{\hat {B}}]$ প্রমাণের জন্য স্মরণ করুন যে, যখন ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ এবং $c_{i}\neq 0$, তখন সমীকরণটিকে পুনরায় সাজিয়ে লেখা যায় ${\vec {\beta }}_{i}=(-c_{1}/c_{i}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(1/c_{i}){\vec {v}}+\dots +(-c_{n}/c_{i}){\vec {\beta }}_{n}$। এখন, $[B]$ এর যেকোনো সদস্য $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {\beta }}_{i}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ বিবেচনা করুন, এতে ${\vec {\beta }}_{i}$ এর পরিবর্তে ${\hat {B}}$ এর সদস্যদের রৈখিক সমাবেশ রূপটি বসান, এবং (এই যুক্তির প্রথমাংশের মতো) লক্ষ্য করুন যে ফলাফলটি হলো ${\hat {B}}$ এর সদস্যদের রৈখিক সমাবেশের একটি রৈখিক সমাবেশ, এবং তাই এটি $[{\hat {B}}]$ এর অন্তর্ভুক্ত।

উপপাদ্য ২.৩

যেকোনো সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতে, সমস্ত ভিত্তির উপাদানের সংখ্যা সমান থাকে।

প্রমাণ

অন্তত একটি সসীম ভিত্তি আছে এমন একটি ভেক্টর জগত নির্দিষ্ট করুন। এই জগতের সমস্ত ভিত্তির মধ্যে থেকে ক্ষুদ্রতম আকারের একটি ভিত্তি $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ বেছে নিন। আমরা দেখাব যে অন্য যেকোনো ভিত্তি $D={\langle {\vec {\delta }}_{1},{\vec {\delta }}_{2},\ldots \rangle }$-এরও সমান সংখ্যক সদস্য, অর্থাৎ $n$ টি সদস্য রয়েছে। যেহেতু $B$ এর আকার ক্ষুদ্রতম, তাই $D$-তে $n$ এর চেয়ে কম ভেক্টর থাকতে পারে না। আমরা যুক্তি দেখাব যে এতে $n$-এর বেশি ভেক্টরও থাকতে পারে না। ভিত্তি $B$ জগতটিকে স্প্যান করে এবং ${\vec {\delta }}_{1}$ জগতটির মধ্যে অবস্থিত, তাই ${\vec {\delta }}_{1}$ হলো $B$ এর উপাদানগুলোর একটি অশূন্য রৈখিক সমাবেশ। বিনিময় লেমা অনুযায়ী, $B$ এর একটি ভেক্টরের সাথে ${\vec {\delta }}_{1}$ কে অদলবদল করা যেতে পারে, যার ফলে একটি নতুন ভিত্তি $B_{1}$ তৈরি হয়, যেখানে একটি উপাদান হলো ${\vec {\delta }}_{1}$ এবং বাকি $n-1$ টি উপাদান হলো ${\vec {\beta }}$। আগের অনুচ্ছেদটি একটি আরোহী পদ্ধতির ভিত্তি ধাপ তৈরি করে। আরোহী ধাপটি একটি ভিত্তি $B_{k}$ (যেখানে $1\leq k<n$) দিয়ে শুরু হয়, যা $D$ এর $k$ সংখ্যক সদস্য এবং $B$ এর $n-k$ সংখ্যক সদস্য ধারণ করে। আমরা জানি যে $D$-তে অন্তত $n$ টি সদস্য রয়েছে, তাই সেখানে একটি ${\vec {\delta }}_{k+1}$ থাকবে। একে $B_{k}$ এর উপাদানগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করুন। মূল বিষয়টি হলো: সেই প্রকাশে, অন্তত একটি অশূন্য স্কেলার অবশ্যই কোনো একটি ${\vec {\beta }}*i$ এর সাথে যুক্ত থাকতে হবে, নতুবা এই প্রকাশটি রৈখিক স্বাধীন সেট $D$ এর উপাদানগুলোর মধ্যে একটি অশূন্য রৈখিক সম্পর্ক তৈরি করত। ${\vec {\beta }}*i$ এর জায়গায় ${\vec {\delta }}*{k+1}$ বিনিময় করুন, যাতে একটি নতুন ভিত্তি $B*{k+1}$ পাওয়া যায় যেখানে আগের ভিত্তি $B_{k}$ এর তুলনায় একটি ${\vec {\delta }}$ বেশি এবং একটি ${\vec {\beta }}$ কম থাকবে। আরোহী ধাপটির পুনরাবৃত্তি করুন যতক্ষণ না আর কোনো ${\vec {\beta }}$ বাকি থাকে, যার ফলে $B_{n}$-এ ${\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}*n$ অন্তর্ভুক্ত থাকে। এখন, $D$-তে এই $n$ টি ভেক্টরের চেয়ে বেশি ভেক্টর থাকতে পারে না কারণ অবশিষ্ট যেকোনো ${\vec {\delta }}*{n+1}$ ওই $B_{n}$ এর স্প্যানের মধ্যে থাকবে (যেহেতু এটি একটি ভিত্তি) এবং তাই এটি অন্যান্য ${\vec {\delta }}$ গুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হবে, যা $D$ এর রৈখিক স্বাধীন হওয়ার শর্তের বিরোধী।

সংজ্ঞা ২.৪

কোনো ভেক্টর জগতের মাত্রা হলো এর যেকোনো ভিত্তিতে থাকা ভেক্টরের সংখ্যা।

উদাহরণ ২.৫

$\mathbb {R} ^{n}$ এর যেকোনো ভিত্তিতে $n$ সংখ্যক ভেক্টর থাকে যেহেতু প্রমিত ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{n}$ এ $n$ টি ভেক্টর আছে। সুতরাং, এই সংজ্ঞাটি শব্দটির সবচেয়ে পরিচিত ব্যবহারের সাধারণীকরণ করে যে, $\mathbb {R} ^{n}$ হলো $n$-মাত্রিক।

উদাহরণ ২.৬

সর্বোচ্চ $n$ ঘাতের বহুপদীর জগত ${\mathcal {P}}_{n}$ এর মাত্রা হলো $n+1$। আমরা যেকোনো একটি ভিত্তি প্রদর্শন করে—যেমন $\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ এর কথা মাথায় আসে—এবং এর সদস্য সংখ্যা গণনা করে এটি দেখাতে পারি।

উদাহরণ ২.৭

একটি তুচ্ছ জগত শূন্য-মাত্রিক, কারণ এর ভিত্তি ফাঁকা।

আবার, যদিও মনে করিয়ে দেওয়ার জন্য আমরা মাঝে মাঝে "সসীম-মাত্রিক" শব্দটি ব্যবহার করি, এই বইয়ের বাকি অংশে সমস্ত ভেক্টর জগতকে সসীম-মাত্রিক বলে ধরে নেওয়া হয়েছে। এর একটি উদাহরণ হলো, পরবর্তী ফলাফলে "জগত" শব্দটি দ্বারা "সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগত" বুঝতে হবে।

অনুসিদ্ধান্ত ২.৮

কোনো রৈখিক স্বাধীন সেটের আকার তার ধারক জগতের মাত্রার চেয়ে বড় হতে পারে না।

প্রমাণ

উপরের প্রমাণটি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে এটি কখনোই ব্যবহার করেনি যে $D$ জগতটিকে স্প্যান করে, কেবল এটি ব্যবহার করেছে যে $D$ রৈখিক স্বাধীন।

উদাহরণ ২.৯

আগের অংশের সাবস্পেস ডায়াগ্রামটির কথা স্মরণ করুন যা $\mathbb {R} ^{3}$ এর সাবস্পেসগুলো দেখাচ্ছিল। প্রদর্শিত প্রতিটি সাবস্পেসকে একটি ক্ষুদ্রতম স্প্যানিং সেট দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে, যার জন্য এখন আমরা "ভিত্তি" শব্দটি পেয়েছি। সম্পূর্ণ জগতটির একটি ভিত্তি রয়েছে যার তিনটি সদস্য আছে, সমতল সাবস্পেসগুলোর ভিত্তিতে দুটি সদস্য আছে, রেখা সাবস্পেসগুলোর ভিত্তিতে একটি সদস্য আছে, এবং তুচ্ছ সাবস্পেসের ভিত্তিতে শূন্য সদস্য আছে। যখন আমরা সেই ডায়াগ্রামটি দেখেছিলাম, তখন আমরা দেখাতে পারিনি যে এই জগতে কেবল এগুলোই একমাত্র সাবস্পেস। আমরা এখন তা দেখাতে পারি। পূর্ববর্তী অনুসিদ্ধান্তটি প্রমাণ করে যে $\mathbb {R} ^{3}$ এর একমাত্র সাবস্পেসগুলো হলো তিন-, দুই-, এক-, অথবা শূন্য-মাত্রিক। সুতরাং, ডায়াগ্রামটি সমস্ত সাবস্পেস নির্দেশ করে। রেখা এবং সমতলের মাঝে অন্য কোনো সাবস্পেস থাকা সম্ভব নয়।

অনুসিদ্ধান্ত ২.১০

যেকোনো রৈখিক স্বাধীন সেটকে সম্প্রসারিত করে একটি ভিত্তি তৈরি করা যায়।

প্রমাণ

যদি একটি রৈখিক স্বাধীন সেট আগে থেকেই কোনো ভিত্তি না হয়ে থাকে, তবে তা জগতটিকে স্প্যান করবে না। স্প্যানের মধ্যে নেই এমন কোনো ভেক্টর এর সাথে যোগ করলে এর রৈখিক স্বাধীনতা বজায় থাকে। এভাবে যোগ করতে থাকুন, যতক্ষণ না ফলাফল সেটটি জগতটিকে স্প্যান করে, যা পূর্ববর্তী অনুসিদ্ধান্তটি দেখায় যে শুধুমাত্র সসীম সংখ্যক ধাপের পরেই এটি ঘটবে।

অনুসিদ্ধান্ত ২.১১

যেকোনো স্প্যানিং সেটকে সংকুচিত করে একটি ভিত্তি তৈরি করা যায়।

প্রমাণ

ধরা যাক স্প্যানিং সেটটি হলো $S$। যদি $S$ ফাঁকা হয় তবে এটি ইতিমধ্যেই একটি ভিত্তি (জগতটি অবশ্যই একটি তুচ্ছ জগত হবে)। যদি $S={\vec {0}}$ হয় তবে এটিকে ফাঁকা ভিত্তিতে সংকুচিত করা যেতে পারে, যার ফলে এর স্প্যান পরিবর্তন না করেই এটি রৈখিক স্বাধীন হয়ে যায়। অন্যথায়, $S$-এ এমন একটি ভেক্টর ${\vec {s}}_{1}$ থাকে যেখানে ${\vec {s}}_{1}\neq {\vec {0}}$ এবং আমরা একটি ভিত্তি $B_{1}=\langle {\vec {s}}_{1}\rangle$ গঠন করতে পারি। যদি $[B_{1}]=[S]$ হয় তবে আমাদের কাজ শেষ। যদি তা না হয়, তবে এমন একটি ${\vec {s}}_{2}\in [S]$ আছে যার জন্য ${\vec {s}}_{2}\not \in [B_{1}]$ হয়। ধরা যাক $B_{2}=\langle {\vec {s}}_{1},{\vec {s_{2}}}\rangle$; যদি $[B_{2}]=[S]$ হয় তবে আমাদের কাজ শেষ। স্প্যানগুলো সমান না হওয়া পর্যন্ত আমরা এই প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি করতে পারি, যা সর্বোচ্চ সসীম সংখ্যক ধাপে অবশ্যই ঘটবে।

অনুসিদ্ধান্ত ২.১২

একটি $n$-মাত্রিক জগতে, $n$ টি ভেক্টরের একটি সেট রৈখিক স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি এটি জগতটিকে স্প্যান করে।

প্রমাণ

প্রথমে আমরা দেখাব যে $n$ টি ভেক্টর যুক্ত একটি উপসেট রৈখিক স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি ভিত্তি হয়। "যদি" অংশটি স্বতঃসিদ্ধভাবেই সত্য—ভিত্তিগুলো রৈখিক স্বাধীন হয়। "কেবল যদি" অংশটি সত্য কারণ একটি রৈখিক স্বাধীন সেটকে সম্প্রসারিত করে একটি ভিত্তি তৈরি করা যায়, কিন্তু একটি ভিত্তিতে $n$ টি উপাদান থাকে, তাই এই সম্প্রসারণটি মূলত সেই সেটটিই যা দিয়ে আমরা শুরু করেছিলাম। সমাপ্তিতে, আমরা দেখাব যে $n$ টি ভেক্টর যুক্ত যেকোনো উপসেট জগতটিকে স্প্যান করে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি ভিত্তি হয়। আবারও, "যদি" অংশটি স্বতঃসিদ্ধ। "কেবল যদি" অংশটি সত্য কারণ যেকোনো স্প্যানিং সেটকে সংকুচিত করে একটি ভিত্তি তৈরি করা যায়, কিন্তু একটি ভিত্তিতে $n$ টি উপাদান থাকে এবং তাই এই সংকুচিত সেটটি হলো ঠিক সেই সেটটি যা দিয়ে আমরা শুরু করেছিলাম।

এই উপবিভাগের প্রধান ফলাফল হলো, একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতের সমস্ত ভিত্তির উপাদানের সংখ্যা সমান থাকে। এটি এই বইয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল কারণ, যেমনটি উদাহরণ ২.৯ এ দেখানো হয়েছে, এটি বর্ণনা করে যে সেখানে কী কী ভেক্টর জগত এবং সাবস্পেস থাকতে পারে। আমরা পরবর্তী অধ্যায়ে এ সম্পর্কে আরও দেখব।

মন্তব্য ২.১৩

অসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতের বিষয়টি কিছুটা বিতর্কিত। "যেকোনো অসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতের একটি ভিত্তি রয়েছে" এই বিবৃতিটি অ্যাক্সিওম অব চয়েস নামক একটি বিবৃতির সমতুল্য বলে পরিচিত (দেখুন )। গণিতবিদদের মধ্যে এই বিবৃতিটিকে গণিতের ভিত্তি হিসেবে একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গ্রহণ বা বর্জন করার বিষয়ে দার্শনিক মতভেদ রয়েছে (যদিও, অধিকাংশ গণিতবিদই এটি গ্রহণ করেন বলে মনে হয়)। ফলস্বরূপ অসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতের প্রশ্নটি এখনও কিছুটা অমীমাংসিত। (অ্যাক্সিওম অব চয়েস সম্পর্কে একটি আলোচনা ইউজনেট (Usenet) গ্রুপ sci.math-এর ফ্রিকুয়েন্টলি আস্কড কোয়েশ্চেন তালিকায় পাওয়া যেতে পারে। আরেকটি সহজলভ্য তথ্যসূত্র হলো ।)

অনুশীলনী

অন্যথা বলা না থাকলে ধরে নিন যে সমস্ত জগত সসীম-মাত্রিক।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

${\mathcal {P}}_{2}$ এর একটি ভিত্তি এবং মাত্রা নির্ণয় করুন।

সমস্যা ২

এই ব্যবস্থার সমাধান সেটের একটি ভিত্তি এবং মাত্রা নির্ণয় করুন।

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

$2!\times !2$ ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর জগত ${\mathcal {M}}_{2!\times !2}$ এর একটি ভিত্তি এবং মাত্রা নির্ণয় করুন।

সমস্যা ৪

প্রতিটি শর্ত সাপেক্ষে নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর ভেক্টর জগতের মাত্রা নির্ণয় করুন।

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

1. $a,b,c,d\in \mathbb {R}$
2. $a-b+2c=0$ এবং $d\in \mathbb {R}$
3. $a+b+c=0$, $a+b-c=0$, এবং $d\in \mathbb {R}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

নিচের প্রতিটির মাত্রা নির্ণয় করুন।

1. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর জগত যেন $p(7)=0$ হয়
2. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর জগত যেন $p(7)=0$ এবং $p(5)=0$ হয়
3. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর জগত যেন $p(7)=0$, $p(5)=0$, এবং $p(3)=0$ হয়
4. ত্রিঘাত বহুপদী $p(x)$ এর জগত যেন $p(7)=0$, $p(5)=0$, $p(3)=0$, এবং $p(1)=0$ হয়

সমস্যা ৬

${\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta ,\cos 2\theta ,\sin 2\theta }$ সেটের স্প্যানের মাত্রা কত? এই স্প্যানটি হলো এক চলকবিশিষ্ট সকল বাস্তব-মান ফাংশনের জগতের একটি সাবস্পেস।

সমস্যা ৭

জটিল সংখ্যার $47$-টুপলের ভেক্টর জগত $\mathbb {C} ^{47}$ এর মাত্রা নির্ণয় করুন।

সমস্যা ৮

$3!\times !5$ ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর জগত ${\mathcal {M}}_{3!\times !5}$ এর মাত্রা কত?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯

দেখান যে এটি $\mathbb {R} ^{4}$ এর একটি ভিত্তি।

$\langle {\begin{pmatrix}1\ 0\ 0\ 0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\ 1\ 0\ 0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\ 1\ 1\ 0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\ 1\ 1\ 1\end{pmatrix}}\rangle$

(এই কাজটি সহজ করতে এই উপবিভাগের ফলাফলগুলো ব্যবহার করা যেতে পারে।)

সমস্যা ১০

উদাহরণ ২.৯ দেখুন।

1. ${\mathcal {P}}*2$ এর জন্য একটি অনুরূপ সাবস্পেস ডায়াগ্রাম আঁকুন।
2. ${\mathcal {M}}*{2!\times !2}$ এর জন্য একটি আঁকুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

যেখানে $S$ একটি সেট, $f:S\to \mathbb {R}$ ফাংশনগুলো স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপের অধীনে একটি ভেক্টর জগত গঠন করে: যোগফল $f+g$ হলো এমন একটি ফাংশন যা $(f+g),(s)=f(s)+g(s)$ দ্বারা প্রদত্ত এবং স্কেলার গুণন $(r\cdot f),(s)=r\cdot f(s)$ দ্বারা প্রদত্ত। প্রতিটি ডোমেইনের জন্য উৎপন্ন জগতের মাত্রা কত?

1. $S={1}$
2. $S={1,2}$
3. $S={1,\ldots ,n}$

সমস্যা ১২

(সমস্যা ১১ দেখুন।) প্রমাণ করুন যে এটি একটি অসীম-মাত্রিক জগত: স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপের অধীনে সমস্ত $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ফাংশনের সেট।

সমস্যা ১৩

(সমস্যা ১১ দেখুন।) স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপের অধীনে $f:S\to \mathbb {R}$ ফাংশনগুলোর ভেক্টর জগতের মাত্রা কত, যেখানে ডোমেইন $S$ একটি ফাঁকা সেট?

সমস্যা ১৪

দেখান যে $\mathbb {R} ^{2}$ এ চার ভেক্টরের যেকোনো সেট রৈখিক পরাধীন (linearly dependent)।

সমস্যা ১৫

দেখান যে $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle \subset \mathbb {R} ^{3}$ সেটটি একটি ভিত্তি হবে যদি এবং কেবল যদি মূলবিন্দুগামী এমন কোনো সমতল না থাকে যা তিনটি ভেক্টরকেই ধারণ করে।

সমস্যা ১৬

1. প্রমাণ করুন যে কোনো সসীম মাত্রিক জগতের যেকোনো সাবস্পেসের একটি ভিত্তি থাকে।
2. প্রমাণ করুন যে কোনো সসীম মাত্রিক জগতের যেকোনো সাবস্পেসও সসীম মাত্রিক।

সমস্যা ১৭

উপপাদ্য ২.৩ এ $B$ এর সসীমতা কোথায় ব্যবহার করা হয়েছে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৮

প্রমাণ করুন যে যদি $U$ এবং $W$ উভয়ই $\mathbb {R} ^{5}$ এর ত্রিমাত্রিক সাবস্পেস হয়, তবে $U\cap W$ অ-তুচ্ছ। এটিকে সাধারণীকরণ করুন।

সমস্যা ১৯

যেহেতু কোনো জগতের ভিত্তি হলো সেই জগতেরই একটি সাবসেট, তাই স্বভাবতই আমাদের মনে প্রশ্ন জাগে যে "একটি ভিত্তি হওয়া"র এই বৈশিষ্ট্যটি সেট অপারেশনের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত।

1. প্রথমে বিবেচনা করুন যে ভিত্তিগুলো "সাবসেট" দ্বারা কীভাবে সম্পর্কিত হতে পারে। ধরি, $U,W$ হলো কোনো ভেক্টর জগতের সাবস্পেস এবং $U\subseteq W$। $U$ এর জন্য কি এমন ভিত্তি $B_{U}$ এবং $W$ এর জন্য এমন ভিত্তি $B_{W}$ থাকতে পারে যেন $B_{U}\subseteq B_{W}$ হয়? এমন ভিত্তি কি থাকতেই হবে? $U$ এর যেকোনো ভিত্তি $B_{U}$ এর জন্য, $W$ এর কি এমন একটি ভিত্তি $B_{W}$ থাকতেই হবে যেন $B_{U}\subseteq B_{W}$ হয়? $W$ এর যেকোনো ভিত্তি $B_{W}$ এর জন্য, $U$ এর কি এমন একটি ভিত্তি $B_{U}$ থাকতেই হবে যেন $B_{U}\subseteq B_{W}$ হয়? $U$ এবং $W$ এর যেকোনো ভিত্তি $B_{U},B_{W}$ এর জন্য, $B_{U}$ কি অবশ্যই $B_{W}$ এর একটি সাবসেট হবে?
2. ভিত্তিগুলোর ছেদ কি একটি ভিত্তি? কোন জগতের জন্য?
3. ভিত্তিগুলোর সংযোগ কি একটি ভিত্তি? কোন জগতের জন্য?
4. পূরক সেটের ক্ষেত্রে কী হবে?

(ইঙ্গিত: $\mathbb {R} ^{3}$ এর কিছু সাবস্পেসের সাপেক্ষে যেকোনো অনুমান যাচাই করুন।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২০

বিবেচনা করুন "মাত্রা" কীভাবে "সাবসেট" এর সাথে সম্পর্কিত। ধরি, $U$ এবং $W$ উভয়েই কোনো ভেক্টর জগতের সাবস্পেস, এবং $U\subseteq W$।

1. প্রমাণ করুন যে $\dim(U)\leq \dim(W)$।
2. প্রমাণ করুন যে মাত্রার সমতা সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $U=W$ হয়।
3. দেখান যে, যদি তারা অসীম-মাত্রিক হয় তবে পূর্ববর্তী শর্তটি সত্য হয় না।

? সমস্যা ২১

যে কোনো ভেক্টর ${\vec {v}}$ ($\mathbb {R} ^{n}$ এ অবস্থিত) এবং $1$, $2$, ..., $n$ সংখ্যাগুলোর যেকোনো বিন্যাস $\sigma$ (অর্থাৎ, $\sigma$ হলো এই সংখ্যাগুলোকে একটি নতুন ক্রমে সাজানো রূপ)-এর জন্য, $\sigma ({\vec {v}})$ কে এমন একটি ভেক্টর হিসেবে সংজ্ঞায়িত করুন যার উপাদানগুলো হলো $v_{\sigma (1)}$, $v_{\sigma (2)}$, ..., এবং $v_{\sigma (n)}$ (যেখানে $\sigma (1)$ হলো নতুন বিন্যাসের প্রথম সংখ্যা, ইত্যাদি)। এখন ${\vec {v}}$ কে নির্দিষ্ট করুন এবং ধরি $V$ হলো ${\sigma ({\vec {v}}),{\big |},\sigma {\text{ permutes }}1,\ldots ,n}$ এর স্প্যান। $V$ এর মাত্রার জন্য সম্ভাব্য মানগুলো কী কী হতে পারে?

সমাধান

তথ্যসূত্র

• Blass, A. (১৯৮৪), "Existence of Bases Implies the Axiom of Choice", Baumgartner, J. E., Axiomatic Set Theory, Providence RI: American Mathematical Society, পৃষ্ঠা 31–33 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• Rucker, Rudy (১৯৮২), Infinity and the Mind, Birkhauser উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (১৯৯৩), The Wohascum County Problem Book, The Mathematical Association of America উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.