রৈখিক বীজগণিত/মহাকাশে বা ত্রিমাত্রিক স্থানে ভেক্টর/সমাধান
সমাধানসমূহ
[সম্পাদনা]- এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
- সমস্যা ১
নিচের প্রতিটি ভেক্টরের ক্যানোনিকাল নাম বা প্রমিত রূপটি নির্ণয় করুন।
- -এ থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর
- -এ থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর
- -এ থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর
- -এ থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর
- উত্তর
- এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
- সমস্যা ২
নিচের ভেক্টর জোড়া দুটি পরস্পর সমান কি না তা নির্ধারণ করুন।
- থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর এবং থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর
- থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর এবং থেকে বিন্দুগামী ভেক্টর
- উত্তর
- না, এদের প্রামাণিক অবস্থানগুলো ভিন্ন।
- হ্যাঁ, এদের প্রামাণিক অবস্থান একই।
- এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
- সমস্যা ৩
বিন্দুটি কি এবং বিন্দুগামী সরলরেখার ওপর অবস্থিত?
- উত্তর
উক্ত রেখাটি হলো নিচের এই সেটটি:
লক্ষ্য করুন যে, নিচের এই সমীকরণ জোটটির
কোনো সমাধান নেই। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্দুটি ওই সরলরেখার ওপর অবস্থিত নয়।
- এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
- সমস্যা ৪
- , , এবং বিন্দুগামী সমতলটি বর্ণনা করুন।
- মূলবিন্দুটি কি ওই সমতলে অবস্থিত?
- উত্তর
- লক্ষ্য করুন যে—
- না; নিচের এই সমীকরণ জোটটির—
- সমস্যা ৫
নিচের বিন্দু এবং সরলরেখাকে ধারণকারী সমতলটি বর্ণনা করুন।
- উত্তর
প্রদত্ত ভেক্টরটি—
সরলরেখাটির ওপর অবস্থিত নয়। যেহেতু—
তাই সমতলটিকে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:
- এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
- সমস্যা ৬
নিচের সমতল দুটির ছেদবিন্দু বা ছেদরেখা নির্ণয় করুন:
- উত্তর
সমাপতন বিন্দুগুলো হবে নিচের সমীকরণ জোটের সমাধান:
গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করে—
পাওয়া যায় , যার ফলে এবং হয়। অতএব, এদের ছেদ অংশটি হলো নিম্নরূপ:
- সমস্যা ৭
সম্ভব হলে নিচের প্রতিটি জোড়ার ছেদবিন্দু নির্ণয় করুন।
- উত্তর
- সমীকরণ জোটটি—
- এই সমীকরণ জোটটি—
- সমস্যা ৮
যখন কোনো সমতল মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে না, তখন তার ওপর অবস্থিত ভেক্টরগুলোর ওপর গাণিতিক প্রক্রিয়া চালানো, মূলবিন্দুগামী সমতলের তুলনায় কিছুটা জটিল হয়। এই উপ-অনুচ্ছেদে বর্ণিত সমতলের চিত্রটি বিবেচনা করুন—
এবং চিত্রটিতে যে তিনটি ভেক্টর দেখানো হয়েছে, যাদের শেষবিন্দু বা প্রান্তবিন্দুগুলো যথাক্রমে , , এবং ।
- চিত্রটি পুনরায় আঁকুন, যেখানে সমতলের ওপর অবস্থিত এমন একটি ভেক্টর অন্তর্ভুক্ত থাকবে যা প্রান্তবিন্দুবিশিষ্ট ভেক্টরের দ্বিগুণ লম্বা। আপনার নতুন ভেক্টরটির প্রান্তবিন্দু কিন্তু নয়; তাহলে সেটি কত হবে?
- চিত্রটি পুনরায় আঁকুন, যেখানে সমতলের ওপর গঠিত এমন একটি সামান্তরিক অন্তর্ভুক্ত থাকবে যা এবং বিন্দুতে শেষ হওয়া ভেক্টর দুটির যোগফল বা সমষ্টি নির্দেশ করে। কর্ণের ওপর অবস্থিত এই যোগফল ভেক্টরের প্রান্তবিন্দুটি নয়; তাহলে সেটি কত হবে?
- উত্তর
- চিত্রে প্রদর্শিত ভেক্টরটি—
নিচের ভেক্টরটিকে দ্বিগুণ করার ফলাফল নয়—
বরং এটি হলো—
যার প্যারামিটার বা চলকের মান দ্বিগুণ বড়।
- এই ভেক্টরটি—
নিচের ভেক্টর দুটির সরাসরি যোগের ফলাফল নয়—
বরং এটি হলো—
যা মূলত প্যারামিটার বা চলকদ্বয়কে যোগ করে।
- সমস্যা ৯
দেখান যে, যদি এবং হয়, তবে এবং রেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য এবং ঢাল একই হবে। এখানে কি 'যদি'-এর পরিবর্তে 'যদি এবং কেবল যদি' প্রতিস্থাপন করা সম্ভব?
- উত্তর
"যদি" অংশের প্রমাণটি বেশ সহজ ও সরাসরি। যদি এবং হয়, তবে—
কাজেই এদের দৈর্ঘ্য সমান। একইভাবে এদের ঢালও সমান দেখানো যায়:
(যদি হর বা ডিনোমিনেটরের মান হয়, তবে উভয় রেখাংশের ঢালই অসংজ্ঞায়িত হবে)।
"কেবল যদি" অংশের জন্য ধরা যাক, রেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য এবং ঢাল একই। (অসংজ্ঞায়িত ঢালের ক্ষেত্রটি সহজ; আমরা এখানে ধরে নেব যে উভয় রেখাংশের ঢাল হলো )। কোনো সাধারণতা না হারিয়ে আরও ধরে নেওয়া যাক যে, এবং । তাহলে প্রথম রেখাংশটি হলো— (কোনো একটি -ছেদক -এর জন্য) এবং দ্বিতীয় রেখাংশটি হলো— (কোনো একটি -এর জন্য)। তাহলে ওই রেখাংশগুলোর দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে—
এবং একইভাবে দ্বিতীয়টির জন্য ।
যেহেতু এদের দৈর্ঘ্য সমান, তাই । যেহেতু আমরা আগেই ধরে নিয়েছি যে এবং , সেহেতু আমরা লিখতে পারি ।
অপর সমতাটিও ঠিক একইভাবে প্রমাণ করা যায়।
- সমস্যা ১০
-কে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা উচিত?
- উত্তর
আমরা পরবর্তীতে এটিকে একটি উপাদানবিশিষ্ট সেট হিসেবে সংজ্ঞায়িত করব—যা হলো একটি "মূলবিন্দু"।
- এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
- সমস্যা ১১
ঘণ্টায় মাইল বেগে পূর্ব দিকে ভ্রমণকারী এক ব্যক্তি দেখলেন যে বাতাস সরাসরি উত্তর দিক থেকে বইছে বলে মনে হচ্ছে। তার গতি দ্বিগুণ করার পর বাতাস উত্তর-পূর্ব দিক থেকে আসছে বলে মনে হলো। প্রকৃত বাতাসের বেগ কত ছিল?
- উত্তর
ধরা যাক, একটি ২-মাত্রিক জগতে (যেখানে পূর্ব ও উত্তর দিককে যথাক্রমে এবং অক্ষের ধনাত্মক দিক ধরা হয়েছে) ঘণ্টায় ৩ মাইল বেগে ব্যক্তির গতি, ঘণ্টায় ৬ মাইল বেগে ব্যক্তির গতি, প্রকৃত বাতাসের বেগ, ঘণ্টায় ৩ মাইল বেগে চলার সময় আপেক্ষিক বা আপাত বাতাস এবং ঘণ্টায় ৬ মাইল বেগে চলার সময় আপাত বাতাসের ভেক্টরগুলো যথাক্রমে এবং ।
পূর্ববর্তী বিবেচনা থেকে এবং আপাত বাতাস হলো প্রকৃত বাতাসের বেগ থেকে ব্যক্তির গতিবেগের ভেক্টর বিয়োগফলের সমান—এই তথ্য থেকে আমরা পাই: ।
উদ্দীপক থেকে আমরা জানি যে ভেক্টরটি -এর ওপর লম্ব। এর অর্থ হলো: ।
সমস্যায় আরও বলা হয়েছে যে, দিক-ভেক্টরবিশিষ্ট রেখাটি দিক-ভেক্টরবিশিষ্ট রেখার সাথে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে। এর অর্থ হলো: ।
আমরা উপর থেকে জানি যে , সুতরাং:।
সমীকরণটি এবং আপাত বাতাস উত্তর দিক থেকে আসার ঘটনাটি নির্দেশ করে যে , তাই হবে।
অতএব, প্রকৃত বাতাসের বেগ হলো , যার মান বা পরমমান হলো ।
উদ্ধৃত উৎসে উত্তরটি এভাবেই দেওয়া হয়েছিল।
এর ভেক্টর ত্রিভুজটি নিম্নরূপ, যা থেকে দেখা যায় উত্তর-পশ্চিম দিক থেকে বাতাসের বেগ ।
- এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
- সমস্যা ১২
- ইউক্লিড সমতলকে এভাবে বর্ণনা করেছেন— "এমন একটি পৃষ্ঠ যা তার ওপর অবস্থিত সরলরেখাগুলোর সাথে সমানভাবে বা সমান্তরালভাবে অবস্থান করে"। ভাষ্যকারগণ (যেমন- হেরন) এর অর্থ এভাবে ব্যাখ্যা করেছেন— "(একটি সমতল পৃষ্ঠ হলো এমন) যার ওপর অবস্থিত যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যদি একটি সরলরেখা অতিক্রম করে, তবে রেখাটি প্রতিটি স্থানে এবং সবদিক থেকে সম্পূর্ণরূপে ওই পৃষ্ঠের সাথে মিলে যায়"।এই অধ্যায়ে বর্ণিত সমতলগুলোর কি এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে? এই বর্ণনাটি কি সমতলকে পর্যাপ্তরূপে সংজ্ঞায়িত করে?
ইউক্লিড নিঃসন্দেহে -এর অভ্যন্তরে একটি সমতলের কথা কল্পনা করছিলেন। তবে লক্ষ্য করুন যে, এবং উভয়ই এই সংজ্ঞাটি সিদ্ধ করে (তাই এটি কেবল সমতলের জন্য একক কোনো সংজ্ঞা নয়)।
তথ্যসূত্র
[সম্পাদনা]- ক্ল্যামকিন, এম. এস. (প্রস্তাবক) (১৯৫৭), "ট্রিকি টি-২৭", ম্যাথমেটিক্স ম্যাগাজিন, ৩০ (৩): ১৭৩
- হিথ, টি. (১৯৫৬), ইউক্লিডস এলিমেন্টস, ১, ডোভার