রৈখিক বীজগণিত/মহাকাশে বা ত্রিমাত্রিক স্থানে ভেক্টর

"উচ্চ মাত্রিক জ্যামিতি" শুনতে অদ্ভুত বা অনন্য মনে হতে পারে। এটি সত্যিই চমৎকার বেশ আকর্ষণীয় এবং চোখ খুলে দেওয়ার মতো। তবে এটি কিন্তু কোনো দুর্গম বিষয় নয়।

আমরা এক মাত্রিক জগৎকে $\mathbb {R} ^{1}$ সেট হিসেবে সংজ্ঞায়িত করার মাধ্যমে শুরু করব। এই সংজ্ঞাটি যে যুক্তিযুক্ত, তা বোঝার জন্য একটি এক মাত্রিক জগতের চিত্র আঁকা যাক:

এবং এর সাথে $\mathbb {R}$ এর চিরাচরিত সাদৃশ্য তৈরি করি: একটি বিন্দুকে $0$ এবং অন্য একটি বিন্দুকে $1$ হিসেবে চিহ্নিত করি।

এখন, একটি নির্দিষ্ট স্কেল বা পরিমাপ এবং দিক পেয়ে যাওয়ার পর, ধরা যাক $+2.17$ এর সমতুল্য বিন্দুটি খুঁজে পাওয়া খুব সহজ- $0$ থেকে শুরু করে $1$ এর দিকে (অর্থাৎ ধনাত্মক দিকে) এগিয়ে যান, তবে সেখানেই থেমে না গিয়ে $2.17$ গুণ দূরত্ব পর্যন্ত অতিক্রম করুন।

এখানকার মূল ধারণাটি হলো- মান এবং দিকের সমন্বয় ঘটানো, যা উচ্চতর মাত্রায় বিস্তার লাভ করার মূল চাবিকাঠি।

মান ও দিক সংবলিত যেকোনো গাণিতিক বস্তুই হলো একটি ভেক্টর (আমরা এখানে পূর্ববর্তী পরিচ্ছেদের মতো একই শব্দ ব্যবহার করব, কারণ নিচে আমরা দেখাব কীভাবে কলাম ভেক্টরের সাহায্যে এই ধরণের বস্তুকে বর্ণনা করা যায়)। আমরা একটি ভেক্টরকে একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য এবং একটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশকারী তীর চিহ্ন হিসেবে আঁকতে পারি।

তবে এখানে একটি সূক্ষ্ম বিষয় রয়েছে-নিচের এই ভেক্টরগুলো:

ভিন্ন ভিন্ন স্থান থেকে শুরু হওয়া সত্ত্বেও পরস্পর সমান, কারণ এদের দৈর্ঘ্য এবং দিক সম্পূর্ণ একই। আবারও বলা যাক: এই ভেক্টরগুলো কেবল দেখতে একরকম নয়, এরা আসলে পরস্পর সমান।

ভিন্ন স্থানে অবস্থিত জিনিসগুলো কীভাবে সমান হতে পারে? একটি ভেক্টরকে মূলত একটি সরণ বা স্থানান্তর হিসেবে বিবেচনা করুন ("ভেক্টর" একটি ল্যাটিন শব্দ, যার অর্থ "বাহক" বা "ভ্রমণকারী")। নিচের বর্গক্ষেত্রগুলোর ক্ষেত্রে প্রতিটি সরণ ভিন্ন ভিন্ন স্থান থেকে শুরু হওয়া সত্ত্বেও এরা প্রত্যেকে একই সরণ অতিক্রম করে।

কখনো কখনো ভেক্টরের এই আবদ্ধ না থাকার (অর্থাৎ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে নোঙ্গর করা না থাকার) বৈশিষ্ট্যটির ওপর জোর দেওয়ার জন্য এদেরকে মুক্ত ভেক্টর বলা হয়। সুতরাং, এই মুক্ত ভেক্টরগুলো পরস্পর সমান, কারণ এদের প্রতিটি সরণই হলো ডানে এক (১) একক এবং উপরে দুই (২) একক।

আরও সাধারণভাবে বলতে গেলে, একটি সমতলে অবস্থিত ভেক্টরগুলো তখনই সমান হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের প্রথম উপাদানগুলোর পরিবর্তন এবং দ্বিতীয় উপাদানগুলোর পরিবর্তন একই হয়: $(a_{1},a_{2})$ থেকে $(b_{1},b_{2})$ পর্যন্ত ব্যাপক ভেক্টরটি $(c_{1},c_{2})$ থেকে $(d_{1},d_{2})$ পর্যন্ত ব্যাপক ভেক্টরের সমান হবে যদি এবং কেবল যদি $b_{1}a_{1}=d_{1}c_{1}$ এবং $b_{2}a_{2}=d_{2}c_{2}$ হয়।

"এমন একটি ভেক্টর যা যদি $(a_{1},a_{2})$ থেকে শুরু হতো, তবে তা $(b_{1},b_{2})$ পর্যন্ত ব্যাপক হতো"-এই ধরনের অভিব্যক্তি প্রকাশ করা কিছুটা জটিল বা অস্বস্তিকর। এর পরিবর্তে আমরা এই জাতীয় ভেক্টরকে নিম্নরূপভাবে বর্ণনা করি:

${\begin{pmatrix}b_{1}a_{1}\\b_{2}a_{2}\end{pmatrix}}$

যাতে করে, উদাহরণস্বরূপ উপরে প্রদর্শিত "ডানে এক এবং উপরে দুই" একক নির্দেশক তীর চিহ্নগুলো নিচের এই ভেক্টরটিকে নির্দেশ করে:

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

আমরা প্রায়শই ভেক্টরের তীর চিহ্নটিকে মূলবিন্দু থেকে শুরু করে এঁকে থাকি, এবং তখন আমরা বলি যে এটি স্বাভাবিক অবস্থানে রয়েছে। যখন কোনো ভেক্টর-

${\begin{pmatrix}b_{1}a_{1}\\b_{2}a_{2}\end{pmatrix}}$

তার স্বাভাবিক অবস্থানে থাকে, তখন এটি $(b_{1}a_{1},b_{2}a_{2})$ প্রান্তবিন্দু পর্যন্ত ব্যাপক হয়।

আমরা সাধারণত ওই ভেক্টরের "স্বাভাবিক অবস্থানের প্রান্তবিন্দু" বলার পরিবর্তে সংক্ষেপে কেবল "বিন্দু-

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$"

হিসেবে উল্লেখ করি।

সুতরাং, আমরা নিচের এই উভয় সেটকেই $\mathbb {R} ^{2}$ বলব:

$\{(x_{1},x_{2})\,{\big |}\,x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \}\qquad \{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \}$

পূর্ববর্তী পরিচ্ছেদে আমরা বীজগাণিতিক প্রেরণা থেকে ভেক্টর এবং ভেক্টরের গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহ সংজ্ঞায়িত করেছিলাম:

$r\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rv_{1}\\rv_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}+w_{1}\\v_{2}+w_{2}\end{pmatrix}}$

এখন আমরা সেই প্রক্রিয়াগুলোকে জ্যামিতিকভাবে ব্যাখ্যা করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, যদি ${\vec {v}}$ একটি সরণ নির্দেশ করে, তবে $3{\vec {v}}\,$ একই দিকে তিন গুণ দূরত্বের একটি সরণ নির্দেশ করবে, এবং $1{\vec {v}}\,$ ভেক্টরটি ${\vec {v}}\,$ এর সমান দূরত্বের কিন্তু বিপরীত দিকের একটি সরণ নির্দেশ করবে।

আবার, যেখানে ${\vec {v}}$ এবং ${\vec {w}}$ দুটি সরণ নির্দেশ করে, সেখানে ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ তাদের সম্মিলিত বা যৌথ সরণ প্রকাশ করে।

দীর্ঘ তীর চিহ্নটি এই অর্থে সম্মিলিত সরণকে নির্দেশ করে: যদি এক মিনিটে একটি জাহাজের গতি পৃথিবীর সাপেক্ষে ${\vec {v}}$ সরণ উৎপন্ন করে এবং জাহাজের একজন যাত্রীর গতি জাহাজের ডেকের সাপেক্ষে ${\vec {w}}$ সরণ উৎপন্ন করে, তবে পৃথিবীর সাপেক্ষে ওই যাত্রীর প্রকৃত সরণ হবে ${\vec {v}}+{\vec {w}}$।

ভেক্টরের যোগফল বোঝার আরেকটি উপায় হলো সামান্তরিক সূত্র। ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}$ ভেক্টর দুটি দ্বারা গঠিত একটি সামান্তরিক অঙ্কন করলে, তাদের যোগফল ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}$ সামান্তরিকের কর্ণ বরাবর বিপরীত কোণ পর্যন্ত ব্যাপক হবে।

উপরের চিত্রগুলো দেখায় যে কীভাবে $\mathbb {R} ^{2}$ এ ভেক্টর এবং ভেক্টরের প্রক্রিয়াগুলো কাজ করে। আমরা এই ধারণাকে $\mathbb {R} ^{3}$ বা তার চেয়েও উচ্চ মাত্রিক জগতে (যেখানে কোনো চিত্র আঁকা সম্ভব নয়) খুব সহজেই সাধারণীকরণ করতে পারি: একটি মুক্ত ভেক্টর যা $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ থেকে শুরু হয়ে $(b_{1},\ldots ,b_{n})$ বিন্দুতে শেষ হয়, তাকে নিচের এই কলাম ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়-

${\begin{pmatrix}b_{1}a_{1}\\\vdots \\b_{n}a_{n}\end{pmatrix}}$

(ভেক্টরগুলোর প্রকাশ একই হলে তারা পরস্পর সমান হয়)। আমরা একটি বিন্দু এবং যে ভেক্টরের স্বাভাবিক প্রকাশ ওই বিন্দুতে শেষ হয়-তাদের মধ্যে খুব একটা পার্থক্য করি না,

$\mathbb {R} ^{n}=\{{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} \}$

এবং ভেক্টরের যোগ ও স্কেলার গুণন প্রতিটি উপাদানের ক্ষেত্রে আলাদা আলাদাভাবে সম্পন্ন হয়।

বিন্দুসমূহ বিবেচনা করার পর, এবার আমরা সরলরেখার দিকে দৃষ্টিপাত করি।

$\mathbb {R} ^{2}$ এ, $(1,2)$ এবং $(3,1)$ বিন্দুগামী সরলরেখাটি নিচের সেটের ভেক্টরগুলোর (প্রান্তবিন্দুসমূহ) সমন্বয়ে গঠিত-

$\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$

এই গাণিতিক বিবরণটি মূলত নিচের চিত্রটিকে প্রকাশ করে।

$t$প্যারামিটার বা চলকের সাথে যুক্ত ভেক্টরটির সম্পূর্ণ অংশ ওই সরলরেখার ভেতরেই অবস্থান করে-এটি হলো রেখাটির একটি দিক ভেক্টর। লক্ষ্য করুন যে, $x=1$ এর বাম দিকে অবস্থিত সরলরেখার বিন্দুগুলোকে $t$ এর ঋণাত্মক মান ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়।

$\mathbb {R} ^{3}$ এ, $(1,2,1)$ এবং $(2,3,2)$ বিন্দুগামী সরলরেখাটি হলো নিচের এই আকারের ভেক্টরগুলোর (প্রান্তবিন্দুসমূহের) সেট-

এবং এর চেয়েও উচ্চ মাত্রিক জগতের সরলরেখাগুলো ঠিক একইভাবে কাজ করে।

যদি একটি সরলরেখা একটিমাত্র প্যারামিটার ব্যবহার করে (যার ফলে এক মাত্রায় সামনে পেছনে যাওয়ার স্বাধীনতা থাকে), তবে একটি সমতলের ক্ষেত্রে অবশ্যই দুটি প্যারামিটার যুক্ত থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, $(1,0,5)$, $(2,1,3)$, এবং $(2,4,0.5)$ বিন্দুগামী সমতলটি নিচের সেটের ভেক্টরগুলোর (প্রান্তবিন্দুসমূহের) সমন্বয়ে গঠিত-

$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}3\\4\\4.5\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

(এখানে প্যারামিটারগুলোর সাথে যুক্ত কলাম ভেক্টর দুটি-

${\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3\\4\\4.5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\4\\0.5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}$

হলো এমন দুটি ভেক্টর যাদের সম্পূর্ণ অংশ ওই সমতলের ভেতরেই অবস্থান করে)। সরলরেখার মতোই লক্ষ্য করুন যে, এই সমতলের কিছু বিন্দু ঋণাত্মক $t$, ঋণাত্মক $s$ অথবা উভয়ই ঋণাত্মক ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়।

বীজগণিত এবং ক্যালকুলাসে সমতলের যে বর্ণনাটি প্রায়শই দেখা যায়, তা একটি একক সমীকরণের মাধ্যমে সমতলের বিন্দুগুলোর প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় স্থানাঙ্কের মধ্যকার সম্পর্ককে শর্ত হিসেবে প্রকাশ করে।

এই ধরনের বর্ণনা থেকে ভেক্টর বর্ণনায় রূপান্তরের পদ্ধতিটি (যা আমরা এই বইয়ে বেশি পছন্দ করি) হলো-শর্তটিকে একটি একক সমীকরণবিশিষ্ট রৈখিক জোট হিসেবে বিবেচনা করা এবং সেটিকে $x=(1/2)(4yz)$ হিসেবে প্যারামিটারে প্রকাশ করা।

সরলরেখা এবং সমতলের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে, আমরা $\mathbb {R} ^{n}$ এ একটি $k$ মাত্রিক রৈখিক পৃষ্ঠ বা $k$ ফ্ল্যাটকে $\{{\vec {p}}+t_{1}{\vec {v}}_{1}+t_{2}{\vec {v}}_{2}+\cdots +t_{k}{\vec {v}}_{k}\,{\big |}\,t_{1},\ldots ,t_{k}\in \mathbb {R} \}$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি, যেখানে ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$। উদাহরণস্বরূপ, $\mathbb {R} ^{4}$ এ-

$\{{\begin{pmatrix}2\\\pi \\3\\0.5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$

হলো একটি সরলরেখা,

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

হলো একটি সমতল, এবং

$\{{\begin{pmatrix}3\\1\\2\\0.5\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,s,t\in \mathbb {R} \}$

হলো একটি ত্রিমাত্রিক রৈখিক পৃষ্ঠ। এখানেও মূল সহজাত ধারণাটি হলো-একটি সরলরেখা কেবল একটি নির্দিষ্ট দিকে গতির অনুমতি দেয়, একটি সমতল দুটি দিকের সমন্বয়ে গতির অনুমতি দেয়, ইত্যাদি।

একটি রৈখিক পৃষ্ঠের বিবরণ অনেক সময় মাত্রার ক্ষেত্রে বিভ্রান্তিকর হতে পারে-যেমন নিচের এই সমতলটি:

$L=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\2\\0\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

একটি অবনমিত সমতল, কারণ এটি আসলে একটি সরলরেখাই নির্দেশ করে:

$L=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$

ভেক্টরগুলোর মধ্যকার কী ধরণের সম্পর্ক তাদের দ্বারা গঠিত রৈখিক পৃষ্ঠকে অবনমিত করে তোলে, তা আমরা দ্বিতীয় অধ্যায়ের রৈখিক স্বাধীনতা পরিচ্ছেদে দেখব।

আমরা প্রথম পরিচ্ছেদের সিদ্ধান্তগুলোকে জ্যামিতিক পরিভাষায় পুনর্ব্যক্ত করার মাধ্যমে এই উপপরিচ্ছেদটি শেষ করব। প্রথমত, $n$ সংখ্যক অজ্ঞাত রাশি সংবলিত একটি রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো $\mathbb {R} ^{n}$ এ একটি রৈখিক পৃষ্ঠ। সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এটি একটি $k$ মাত্রিক রৈখিক পৃষ্ঠ, যেখানে $k$ হলো সমীকরণ জোটটির ইশেলন আকারের স্বাধীন চলক বা ফ্রি ভ্যারিয়েবলের সংখ্যা। দ্বিতীয়ত, একটি সমজাতীয় বা সমমাত্রিক রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো মূলবিন্দুগামী একটি রৈখিক পৃষ্ঠ। সবশেষে, আমরা যেকোনো রৈখিক সমীকরণ জোটের সাধারণ সমাধান সেটকে তার সাথে যুক্ত সমজাতীয় সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হিসেবে দেখতে পারি, যা একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর (অর্থাৎ যেকোনো একটি বিশেষ সমাধান দ্বারা মূলবিন্দু থেকে স্থানান্তরিত বা অফসেট অবস্থায় থাকে)।

অনুশীলনীসমূহ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

নিচের প্রতিটি ভেক্টরের স্বাভাবিক নাম বা প্রমিত রূপটি নির্ণয় করুন।

1. $\mathbb {R} ^{2}$ এ $(2,1)$ থেকে $(4,2)$ বিন্দুগামী ভেক্টর
2. $\mathbb {R} ^{2}$ এ $(3,3)$ থেকে $(2,5)$ বিন্দুগামী ভেক্টর
3. $\mathbb {R} ^{3}$ এ $(1,0,6)$ থেকে $(5,0,3)$ বিন্দুগামী ভেক্টর
4. $\mathbb {R} ^{3}$ এ $(6,8,8)$ থেকে $(6,8,8)$ বিন্দুগামী ভেক্টর

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

নিচের ভেক্টর জোড়া দুটি পরস্পর সমান কি না তা নির্ধারণ করুন।

1. $(5,3)$ থেকে $(6,2)$ বিন্দুগামী ভেক্টর এবং $(1,2)$ থেকে $(1,1)$ বিন্দুগামী ভেক্টর
2. $(2,1,1)$ থেকে $(3,0,4)$ বিন্দুগামী ভেক্টর এবং $(5,1,4)$ থেকে $(6,0,7)$ বিন্দুগামী ভেক্টর

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

$(1,0,2,1)$ বিন্দুটি কি $(2,1,1,0)$ এবং $(5,10,1,4)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ওপর অবস্থিত?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

1. $(1,1,5,1)$, $(2,2,2,0)$, এবং $(3,1,0,4)$ বিন্দুগামী সমতলটি বর্ণনা করুন।
2. মূলবিন্দুটি কি ওই সমতলে অবস্থিত?

সমস্যা ৫

নিচের বিন্দু এবং সরলরেখাকে ধারণকারী সমতলটি বর্ণনা করুন।

${\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}\qquad \{{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

নিচের সমতল দুটির ছেদবিন্দু বা ছেদরেখা নির্ণয় করুন:

$\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \},\qquad \{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}.$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৭

সম্ভব হলে নিচের প্রতিটি জোড়ার ছেদবিন্দু নির্ণয় করুন।

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \},$ $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}.$
2. $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \},$ $\{s{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}+w{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s,w\in \mathbb {R} \}.$

সমস্যা ৮

যখন কোনো সমতল মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে না, তখন তার ওপর অবস্থিত ভেক্টরগুলোর ওপর গাণিতিক প্রক্রিয়া চালানো, মূলবিন্দুগামী সমতলের তুলনায় কিছুটা জটিল হয়। এই উপ অনুচ্ছেদে বর্ণিত সমতলের চিত্রটি বিবেচনা করুন-

$\{{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0.5\\1\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}0.5\\0\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

এবং চিত্রটিতে যে তিনটি ভেক্টর দেখানো হয়েছে, যাদের শেষবিন্দু বা প্রান্তবিন্দুগুলো যথাক্রমে $(2,0,0)$, $(1.5,1,0)$, এবং $(1.5,0,1)$।

1. চিত্রটি পুনরায় আঁকুন, যেখানে সমতলের ওপর অবস্থিত এমন একটি ভেক্টর অন্তর্ভুক্ত থাকবে যা $(1.5,1,0)$ প্রান্তবিন্দুবিশিষ্ট ভেক্টরের দ্বিগুণ লম্বা। আপনার নতুন ভেক্টরটির প্রান্তবিন্দু কিন্তু $(3,2,0)$ নয়; তাহলে সেটি কত হবে?
2. চিত্রটি পুনরায় আঁকুন, যেখানে সমতলের ওপর গঠিত এমন একটি সামান্তরিক অন্তর্ভুক্ত থাকবে যা $(1.5,0,1)$ এবং $(1.5,1,0)$ বিন্দুতে শেষ হওয়া ভেক্টর দুটির যোগফল বা সমষ্টি নির্দেশ করে। কর্ণের ওপর অবস্থিত এই যোগফল ভেক্টরের প্রান্তবিন্দুটি $(3,1,1)$ নয়; তাহলে সেটি কত হবে?

সমস্যা ৯

দেখান যে, যদি $b_{1}a_{1}=d_{1}c_{1}$ এবং $b_{2}a_{2}=d_{2}c_{2}$ হয়, তবে ${\overline {(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2})}}$ এবং ${\overline {(c_{1},c_{2})(d_{1},d_{2})}}$ রেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য এবং ঢাল একই হবে। এখানে কি 'যদি' এর পরিবর্তে 'যদি এবং কেবল যদি' প্রতিস্থাপন করা সম্ভব?

সমস্যা ১০

$\mathbb {R} ^{0}$ কে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা উচিত?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

ঘণ্টায় $3$ মাইল বেগে পূর্ব দিকে ভ্রমণকারী এক ব্যক্তি দেখলেন যে বাতাস সরাসরি উত্তর দিক থেকে বইছে বলে মনে হচ্ছে। তার গতি দ্বিগুণ করার পর বাতাস উত্তর পূর্ব দিক থেকে আসছে বলে মনে হলো। প্রকৃত বাতাসের বেগ কত ছিল?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১২

ইউক্লিড সমতলকে এভাবে বর্ণনা করেছেন- "এমন একটি পৃষ্ঠ যা তার ওপর অবস্থিত সরলরেখাগুলোর সাথে সমানভাবে বা সমান্তরালভাবে অবস্থান করে"। ভাষ্যকারগণ (যেমন হেরন) এর অর্থ এভাবে ব্যাখ্যা করেছেন- "(একটি সমতল পৃষ্ঠ হলো এমন) যার ওপর অবস্থিত যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যদি একটি সরলরেখা অতিক্রম করে, তবে রেখাটি প্রতিটি স্থানে এবং সবদিক থেকে সম্পূর্ণরূপে ওই পৃষ্ঠের সাথে মিলে যায়"।এই অধ্যায়ে বর্ণিত সমতলগুলোর কি এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে? এই বর্ণনাটি কি সমতলকে পর্যাপ্তরূপে সংজ্ঞায়িত করে?

সমাধান

তথ্যসূত্র

• ক্ল্যামকিন, এম. এস. (প্রস্তাবক) (১৯৫৭), "ট্রিকি টি ২৭", ম্যাথমেটিক্স ম্যাগাজিন, ৩০ (৩): ১৭৩ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

• হিথ, টি. (১৯৫৬), ইউক্লিডস এলিমেন্টস, ১, ডোভার উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)