রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগত ও রৈখিক সিস্টেম/সমাধান

সমাধান

সমস্যা ১

প্রতিটির ট্রান্সপোজ নির্ণয় করো।

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&4&3\\6&7&8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}-1&-2\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. ${\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&6\\4&7\\3&8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

ভেক্টরটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেসে আছে কিনা তা নির্ধারণ করো।

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&3\\-1&0&1\\-1&2&7\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. হ্যাঁ। $c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}$ এমন $c_{1}$ এবং $c_{2}$ আছে কিনা তা দেখার জন্য আমরা নিচের সমীকরণ জোটটি সমাধান করি:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&3c_{2}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&=&0\end{array}}$

   এবং পাই $c_{1}=-1$ ও $c_{2}=1$। সুতরাং, ভেক্টরটি সারি স্পেসে অবস্থিত।
2. না। $c_{1}{\begin{pmatrix}0&1&3\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}-1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$ সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই।

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}0&-1&-1&1\\1&0&2&1\\3&1&7&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&2&1\\0&-1&-1&1\\0&0&0&-1\end{array}}\right)$

   সুতরাং, ভেক্টরটি সারি স্পেসে নেই।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

ভেক্টরটি কলাম স্পেসে আছে কিনা তা নির্ধারণ করো।

1. ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&3&1\\2&0&4\\1&-3&-3\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. না। $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ এমন আছে কিনা যেন—

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$

   তা দেখার জন্য আমরা প্রাপ্ত রৈখিক সমীকরণ জোটে গাউসের পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&=&3\end{array}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&1\\&&0&=&2\end{array}}$

   এর কোনো সমাধান নেই এবং তাই ভেক্টরটি কলাম স্পেসে অবস্থিত নয়।
2. হ্যাঁ। এই সম্পর্কটি থেকে—

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ জোট পাই, যা গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করার পর—

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&3&1&1\\2&0&4&0\\1&-3&-3&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&3&1&1\\0&-6&2&-2\\0&0&-6&1\end{array}}\right)$

   একটি সমাধান প্রদান করে। সুতরাং, ভেক্টরটি কলাম স্পেসে অবস্থিত।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

এই ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি নির্ণয় করো।

${\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\3&1&0&2\\1&0&-4&-1\end{pmatrix}}$

উত্তর

একটি সাধারণ গাউসিয়ান রিডাকশন—

${\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\3&1&0&2\\1&0&-4&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{4}}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{4}}}{\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\0&0&-11/2&-3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

এই ভিত্তিটি নির্দেশ করে: $\langle {\begin{pmatrix}2&0&3&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&-11/2&-3\end{pmatrix}}\rangle$।

অন্য আরেকটি, সম্ভবত আরও সুবিধাজনক পদ্ধতি হলো প্রথমে সারিগুলো অদলবদল করে নেওয়া,

${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{4}}}\;{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{4}}]{-3\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{4}}}{\begin{pmatrix}1&0&-4&-1\\0&1&1&-1\\0&0&11&6\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

যা এই ভিত্তির দিকে নিয়ে যায়: $\langle {\begin{pmatrix}1&0&-4&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&11&6\end{pmatrix}}\rangle$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক নির্ণয় করো।

1. ${\begin{pmatrix}2&1&3\\1&-1&2\\1&0&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-3&6\\-2&2&-4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3&2\\5&1&1\\6&4&3\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. এই রিডাকশনটি—

   ${\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-3/2&1/2\\0&0&4/3\end{pmatrix}}$

   দেখায় যে সারি র‍্যাঙ্ক, এবং ফলস্বরূপ র‍্যাঙ্ক হলো তিন।
2. কলামগুলো পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে অন্য কলামগুলো প্রথম কলামের গুণিতক (সারিগুলো পর্যবেক্ষণ করলেও একই জিনিস দেখা যায়)। সুতরাং, র‍্যাঙ্ক হলো এক। বিকল্পভাবে, এই রিডাকশনটিও—

   ${\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-3&6\\-2&2&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   একই জিনিস দেখায়।
3. এই গণনাটি—

   ${\begin{pmatrix}1&3&2\\5&1&1\\6&4&3\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-6\rho _{1}+\rho _{3}}]{-5\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&3&2\\0&-14&-9\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   দেখায় যে র‍্যাঙ্ক হলো দুই।
4. র‍্যাঙ্কটি হলো শূন্য।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

প্রতিটি সেটের স্প্যানের জন্য একটি ভিত্তি নির্ণয় করো।

1. $\{{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{1\!\times \!2}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
3. $\{1+x,1-x^{2},3+2x-x^{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}_{3}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1&0&1\\3&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0&-5\\-1&-1&-9\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{2\!\times \!3}$

উত্তর

1. এই রিডাকশনটি—

   ${\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\\1&4\\2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -2\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}{\xrightarrow[{(5/6)\rho _{2}+\rho _{4}}]{-(1/6)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&3\\0&6\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   আমাদের $\langle {\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&6\end{pmatrix}}\rangle$ প্রদান করে।
2. ট্রান্সপোজ এবং রিডাকশন করার পর—

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&-1\\1&-3&-3\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-5&-4\\0&-5&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-5&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   এবং তারপর পুনরায় উল্টো ট্রান্সপোজ করলে এই ভিত্তিটি পাওয়া যায়:

   $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-5\\-4\end{pmatrix}}\rangle$

3. প্রথমে লক্ষ্য করো যে আশেপাশের স্পেসটি ${\mathcal {P}}_{3}$ হিসেবে দেওয়া আছে, ${\mathcal {P}}_{2}$ নয়। তারপর, প্রথম বহুপদী $1+1\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}$-কে সারি ভেক্টর ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}}$-এর "অনুরূপ" বা "একই" হিসেবে ধরে নিলে তা—

   ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&0&-1&0\\3&2&-1&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&-1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   এর দিকে নিয়ে যায়, যা থেকে এই ভিত্তিটি পাওয়া যায়: $\langle 1+x,-x-x^{2}\rangle$।
4. এখানে "একই" রূপান্তরটি দেয়—

   ${\begin{pmatrix}1&0&1&3&1&-1\\1&0&3&2&1&4\\-1&0&-5&-1&-1&-9\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&1&3&1&-1\\0&0&2&-1&0&5\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   যা এই ভিত্তির দিকে নিয়ে যায়:

   $\langle {\begin{pmatrix}1&0&1\\3&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&2\\-1&0&5\end{pmatrix}}\rangle$

সমস্যা ৭

কোন ম্যাট্রিক্সগুলোর র‍্যাঙ্ক শূন্য? কোনগুলোর র‍্যাঙ্ক এক?

উত্তর

শুধুমাত্র শূন্য ম্যাট্রিক্সগুলোর র‍্যাঙ্ক শূন্য হয়। র‍্যাঙ্ক এক বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সগুলোর আকার কেবল এমন হয়:

${\begin{pmatrix}k_{1}\cdot \rho \\\vdots \\k_{m}\cdot \rho \end{pmatrix}}$

যেখানে $\rho$ হলো একটি অশূন্য সারি ভেক্টর, এবং সবকটি $k_{i}$ শূন্য নয়। (মন্তব্য। আমরা কেবল এটুকু বলতে পারি না যে সবকটি সারি প্রথম সারির গুণিতক, কারণ প্রথম সারিটি শূন্য সারিও হতে পারে। অন্য আরেকটি মন্তব্য। উপরের কথাটি "সারি"-এর বদলে "কলাম" দিয়ে প্রতিস্থাপন করলেও প্রযোজ্য হবে।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৮

$a,b,c\in \mathbb {R}$ দেওয়া আছে, $d$-এর কোন মানের জন্য এই ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক এক হবে?

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

উত্তর

যদি $a\neq 0$ হয়, তবে $d=(c/a)b$ নির্বাচন করলে দ্বিতীয় সারিটি প্রথম সারির একটি গুণিতক হবে, সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে প্রথম সারির $c/a$ গুণ হবে। যদি $a=0$ এবং $b=0$ হয়, তবে $d$-এর যেকোনো অশূন্য (non-0) মান নিশ্চিত করবে যে দ্বিতীয় সারিটি অশূন্য। যদি $a=0$ এবং $b\neq 0$ ও $c=0$ হয়, তবে $d$-এর যেকোনো মানই চলবে, কারণ ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক স্বয়ংক্রিয়ভাবেই এক হবে (এমনকি $d=0$ হলেও)। অবশেষে, যদি $a=0$ এবং $b\neq 0$ ও $c\neq 0$ হয়, তবে $d$-এর কোনো মানই যথেষ্ট হবে না, কারণ ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক নিশ্চিতভাবেই দুই হবে।

সমস্যা ৯

এই ম্যাট্রিক্সের কলাম র‍্যাঙ্ক নির্ণয় করো।

${\begin{pmatrix}1&3&-1&5&0&4\\2&0&1&0&4&1\end{pmatrix}}$

উত্তর

কলাম র‍্যাঙ্ক হলো দুই। এটি বোঝার একটি উপায় হলো সরাসরি পর্যবেক্ষণ— কলাম স্পেসটি ২-দৈর্ঘ্যের কলাম নিয়ে গঠিত এবং তাই এর মাত্রা অন্তত দুই হতে পারে, এবং আমরা সহজেই এমন দুটি কলাম খুঁজে পেতে পারি যা একসাথে একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করে (যেমন, চতুর্থ এবং পঞ্চম কলাম)। এটি দেখার আরেকটি উপায় হলো এটি মনে রাখা যে কলাম র‍্যাঙ্ক এবং সারি র‍্যাঙ্ক সমান, এবং গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করা, যা দুটি অশূন্য সারি অবশিষ্ট রাখে।

সমস্যা ১০

দেখাও যে, অন্তত একটি সমাধান আছে এমন একটি রৈখিক সিস্টেমের সর্বোচ্চ একটিই সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি সহগ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এর কলাম সংখ্যার সমান হয়।

উত্তর

আমরা উপপাদ্য ৩.১৩ প্রয়োগ করি। একটি রৈখিক সিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্স $A$-এর কলাম সংখ্যা অজানা রাশির সংখ্যা $n$-এর সমান। অন্তত একটি সমাধান থাকা একটি রৈখিক সিস্টেমের সর্বোচ্চ একটি সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সিস্টেমের সমাধান স্পেসের মাত্রা শূন্য হয় (মনে করে দেখো: "${\text{সাধারণ}}={\text{বিশেষ}}+{\text{সমমাত্রিক}}$" সমীকরণ ${\vec {v}}={\vec {p}}+{\vec {h}}$-এ, যদি এমন একটি ${\vec {p}}$-এর অস্তিত্ব থাকে, তবে সমাধান ${\vec {v}}$ অনন্য হবে যদি এবং কেবল যদি ভেক্টর ${\vec {h}}$ অনন্য হয়, অর্থাৎ ${\vec {h}}={\vec {0}}$)। কিন্তু উপপাদ্য অনুযায়ী এর অর্থ হলো, $n=r$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

যদি একটি ম্যাট্রিক্স $5\!\times \!9$ আকারের হয়, তবে এর সারিগুলোর সেট নাকি কলামগুলোর সেট, কোনটি অবশ্যই নির্ভরশীল হবে?

উত্তর

কলামগুলোর সেটটি অবশ্যই নির্ভরশীল হবে কারণ ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক সর্বোচ্চ পাঁচ হতে পারে, যেখানে কলাম রয়েছে নয়টি।

সমস্যা ১২

একটি উদাহরণ দিয়ে দেখাও যে, একই মাত্রা থাকা সত্ত্বেও একটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেস এবং কলাম স্পেস সমান নাও হতে পারে। alpine এগুলি কি কখনও সমান হয়?

উত্তর

এদের সমান হওয়ার সম্ভাবনা খুবই কম, কারণ সারি স্পেস হলো সারি ভেক্টরের একটি সেট এবং কলাম স্পেস হলো কলামের একটি সেট (যদি না ম্যাট্রিক্সটি $1\!\times \!1$ আকারের হয়, যেক্ষেত্রে স্পেস দুটি অবশ্যই সমান হবে)।

মন্তব্য। বিবেচনা করো:

$A={\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}$

এবং লক্ষ্য করো যে সারি স্পেসটি হলো ${\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}$-এর সকল গুণিতকের সেট, যেখানে কলাম স্পেসটি গঠিত হয়েছে এর গুণিতকগুলো নিয়ে:

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

তাই আমরা এমন যুক্তিও দিতে পারি না যে স্পেস দুটি কেবল একে অপরের ট্রান্সপোজ হবে।

সমস্যা ১৩

দেখাও যে $\{(1,-1,2,-3),(1,1,2,0),(3,-1,6,-6)\}$ সেটটির স্প্যান এবং $\{(1,0,1,0),(0,2,0,3)\}$ সেটটির স্প্যান একই নয়। প্রসঙ্গত, ভেক্টর স্পেসটি (vector space) কী?

উত্তর

প্রথমত, ভেক্টর স্পেসটি হলো স্বাভাবিক অপারেশনের অধীনে বাস্তব সংখ্যার ফোর-টাপল-এর সেট। যদিও এটি ৪-দৈর্ঘ্যের সারি ভেক্টরের সেট নয়, তবে পার্থক্যটি সামান্য— এটি সেই সেটেরই "অনুরূপ"। তাই আমরা এই ফোর-টাপলগুলোকে ৪-দৈর্ঘ্যের ভেক্টরের মতোই বিবেচনা করব।

তার সাথে, প্রথম সেটের স্প্যানে $(1,0,1,0)$ নেই তা দেখার একটি উপায় হলো এটি লক্ষ্য করা যে, এই রিডাকশনটি—

${\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\1&1&2&0\\3&-1&6&-6\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\0&2&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

এবং এই রিডাকশনটি—

${\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\1&1&2&0\\3&-1&6&-6\\1&0&1&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -3\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{4}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\0&2&0&3\\0&0&-1&3/2\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

ভিন্ন ভিন্ন র‍্যাঙ্কের ম্যাট্রিক্স প্রদান করে। এর অর্থ হলো প্রথম তিনটি ফোর-টাপলের সেটের সাথে $(1,0,1,0)$ যোগ করলে সেটটির র‍্যাঙ্ক বৃদ্ধি পায়, এবং ফলস্বরূপ স্প্যানও বৃদ্ধি পায়। অতএব, $(1,0,1,0)$ আগে থেকেই ওই স্প্যানে ছিল না।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৪

দেখাও যে কলাম ভেক্টরের এই সেটটি

$\left\{{\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\text{এমন }}x,y,{\text{ এবং }}z{\text{ রয়েছে যেন }}{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&4z&=&d_{1}\\x&&&-&z&=&d_{2}\\2x&+&2y&+&5z&=&d_{3}\end{array}}\right\}$

$\mathbb {R} ^{3}$ এর একটি সাবস্পেস। এর একটি ভিত্তি নির্ণয় করো।

উত্তর

এটি একটি সাবস্পেস কারণ এটি সহগগুলোর ম্যাট্রিক্স—

${\begin{pmatrix}3&2&4\\1&0&-1\\2&2&5\end{pmatrix}}$

এর কলাম স্পেস। কলাম স্পেসের একটি ভিত্তি খুঁজে পেতে,

$\{c_{1}{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {R} \}$

আমরা স্প্যানিং সেট থেকে তিনটি ভেক্টর নিই, ট্রান্সপোজ করি, রিডাকশন করি,

${\begin{pmatrix}3&1&2\\2&0&2\\4&-1&5\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-(4/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(7/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}3&1&2\\0&-2/3&2/3\\0&0&0\end{pmatrix}}$

এবং পুনরায় উল্টো ট্রান্সপোজ করে এটি পাই:

$\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2/3\\2/3\end{pmatrix}}\rangle$

সমস্যা ১৫

দেখাও যে ট্রান্সপোজ অপারেশনটি হলো রৈখিক:

${{(rA+sB)}^{\rm {trans}}}=r{{A}^{\rm {trans}}}+s{{B}^{\rm {trans}}}$

যেখানে $r,s\in \mathbb {R}$ এবং $A,B\in {\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$।

উত্তর

এটি একটি সরাসরি গণনার মাধ্যমে করা যেতে পারে।

${\begin{array}{rl}{{(rA+sB)}^{\rm {trans}}}&={{\begin{pmatrix}ra_{1,1}+sb_{1,1}&\ldots &ra_{1,n}+sb_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\ra_{m,1}+sb_{m,1}&\ldots &ra_{m,n}+sb_{m,n}\end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}\\&={\begin{pmatrix}ra_{1,1}+sb_{1,1}&\ldots &ra_{m,1}+sb_{m,1}\\\vdots \\ra_{1,n}+sb_{1,n}&\ldots &ra_{m,n}+sb_{m,n}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ra_{1,1}&\ldots &ra_{m,1}\\\vdots \\ra_{1,n}&\ldots &ra_{m,n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}sb_{1,1}&\ldots &sb_{m,1}\\\vdots \\sb_{1,n}&\ldots &sb_{m,n}\end{pmatrix}}\\&=r{{A}^{\rm {trans}}}+s{{B}^{\rm {trans}}}\end{array}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৬

এই উপবিভাগে আমরা দেখিয়েছি যে গাউসিয়ান রিডাকশন সারি স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি বের করে।

1. দেখাও যে এই ভিত্তিটি অনন্য নয়— ভিন্ন ভিন্ন রিডাকশনে ভিন্ন ভিন্ন ভিত্তি পাওয়া যেতে পারে।
2. সমান সারি স্পেস কিন্তু অসমান সংখ্যক সারিবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স তৈরি করো।
3. প্রমাণ করো যে, দুটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেস সমান হবে যদি এবং কেবল যদি গাউস-জর্ডান রিডাকশনের পর তাদের অশূন্য সারিগুলো একই হয়।

উত্তর

1. এই রিডাকশনগুলো ভিন্ন ভিন্ন ভিত্তি দেয়:

   ${\begin{pmatrix}1&2&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$

2. একটি সহজ উদাহরণ হলো এটি:

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   এটি একটু কম সাধারণ (বা আরও জটিল) একটি উদাহরণ:

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\\2&4&2\\4&3&5\end{pmatrix}}$

3. ধরি, $A$ এবং $B$ হলো সমান সারি স্পেসবিশিষ্ট দুটি ম্যাট্রিক্স। $A$-এর সারিগুলোকে $B$-এর সারির উপরে রেখে একটি ম্যাট্রিক্স $C$ গঠন করো, এবং $B$-এর সারিগুলোকে $A$-এর সারির উপরে রেখে আরেকটি ম্যাট্রিক্স $D$ গঠন করো।

   $C={\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}\qquad D={\begin{pmatrix}B\\A\end{pmatrix}}$

   লক্ষ্য করো যে, $C$ এবং $D$ হলো সারি-সমতুল্য বা রো-ইকুইভ্যালেন্ট (একটি সারি-বিনিময় সিকোয়েন্সের মাধ্যমে) এবং তাই গাউস-জর্ডান রিডাকশনের মাধ্যমে এরা একই রিডিউসড একেলন ফর্ম ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত হয়। যেহেতু সারি স্পেসগুলো সমান, তাই $B$-এর সারিগুলো হলো $A$-এর সারিগুলোর রৈখিক সমাবেশ। ফলে $C$-এর ওপর গাউস-জর্ডান রিডাকশন কেবল $B$-এর সারিগুলোকে শূন্য সারিতে পরিণত করে এবং এভাবে $C$-এর অশূন্য সারিগুলো মূলত $A$-কে গাউস-জর্ডান রিডাকশন করে প্রাপ্ত অশূন্য সারিগুলোর মতোই হয়। $D$ ম্যাট্রিক্সের জন্যও একই কথা প্রযোজ্য— $D$-এর ওপর গাউস-জর্ডান রিডাকশন করলে কেবল $B$-এর ওপর রিডাকশনের মাধ্যমে উৎপন্ন হওয়া একই অশূন্য সারিগুলো পাওয়া যায়। অতএব, $A$ থেকে ঠিক সেই অশূন্য সারিগুলোই পাওয়া যায় যা পাওয়া যায় $C$ থেকে, যা আবার $D$-এর সমান অশূন্য সারি দেয়, যা মূলত $B$ থেকে প্রাপ্ত অশূন্য সারির সমান।

সমস্যা ১৭

$r$-এর মান $n$-এর চেয়ে বড় হওয়ার ক্ষেত্রে মন্তব্য ৩.১৪-এর সাথে কোনো সমস্যা কেন নেই?

উত্তর

এটি বড় হতে পারে না।

সমস্যা ১৮

দেখাও যে একটি $m\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের সারি র‍্যাঙ্ক সর্বোচ্চ $m$ হতে পারে। এর চেয়ে ভালো কোনো সীমা কি আছে?

উত্তর

একটি সর্বোচ্চ রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটে সারির সংখ্যা মোট সারির সংখ্যাকে অতিক্রম করতে পারে না। একটি আরও ভালো সীমা (যা সাধারণত সর্বোত্তম সম্ভাব্য সীমা) হলো $m$ এবং $n$-এর মধ্যে যেটি সর্বনিম্ন, কারণ সারি র‍্যাঙ্ক এবং কলাম র‍্যাঙ্ক সমান।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৯

দেখাও যে একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এর ট্রান্সপোজের র‍্যাঙ্কের সমান।

উত্তর

যেহেতু একটি ম্যাট্রিক্স $A$-এর সারিগুলো ${{A}^{\rm {trans}}}$-এর কলামে পরিণত হয়, তাই $A$-এর সারি স্পেসের মাত্রা ${{A}^{\rm {trans}}}$-এর কলাম স্পেসের মাত্রার সমান হয়। কিন্তু $A$-এর সারি স্পেসের মাত্রা হলো $A$-এর র‍্যাঙ্ক এবং ${{A}^{\rm {trans}}}$-এর কলাম স্পেসের মাত্রা হলো ${{A}^{\rm {trans}}}$-এর র‍্যাঙ্ক। সুতরাং, র‍্যাঙ্ক দুটি সমান।

সমস্যা ২০

সত্য নাকি মিথ্যা: একটি ম্যাট্রিক্সের কলাম স্পেস এর ট্রান্সপোজের সারি স্পেসের সমান।

উত্তর

মিথ্যা। প্রথমটি হলো কলামের একটি সেট এবং দ্বিতীয়টি হলো সারির একটি সেট।

যাইহোক, এই উদাহরণটি—

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}},\qquad {{A}^{\rm {trans}}}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}$

নির্দেশ করে যে, যখনই আমাদের কাছে "একই" কথার একটি আনুষ্ঠানিক অর্থ থাকবে, আমরা তা এখানে প্রয়োগ করতে পারব:

$\mathop {\text{Columnspace}} (A)=[\{{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}\}]$

যেখানে—

$\mathop {\mbox{Rowspace}} ({{A}^{\rm {trans}}})=[\{{\begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3&6\end{pmatrix}}\}]$

একে অপরের "অনুরূপ" বা "একই"।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২১

আমরা দেখেছি যে একটি সারি অপারেশন কলাম স্পেস পরিবর্তন করতে পারে। এটি কি অবশ্যই পরিবর্তন করবে?

উত্তর

না। এখানে, গাউসের পদ্ধতি কলাম স্পেস পরিবর্তন করে না:

${\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২২

প্রমাণ করো যে একটি রৈখি সিস্টেমের সমাধান আছে যদি এবং কেবল যদি সেই সিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এবং এর অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক সমান হয়।

উত্তর

একটি রৈখিক সিস্টেম—

$c_{1}{\vec {a}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {a}}_{n}={\vec {d}}$

এর সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি ${\vec {d}}$ সেটটির স্প্যানে থাকে: $\{{\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{n}\}$। এটি সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্সের কলাম র‍্যাঙ্ক সহগ ম্যাট্রিক্সের কলাম র‍্যাঙ্কের সমান হয়। যেহেতু র‍্যাঙ্ক কলাম র‍্যাঙ্কের সমান, তাই সিস্টেমটির সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি এর অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এর সহগ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কের সমান হয়।

সমস্যা ২৩

একটি $m\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক (full row rank) থাকবে যদি এর সারি র‍্যাঙ্ক $m$ হয়, এবং এর পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকবে যদি এর কলাম র‍্যাঙ্ক $n$ হয়।

1. দেখাও যে একটি ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক এবং পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক উভয়ই থাকতে পারে কেবল যদি এটি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়।
2. prove করো যে, সহগ ম্যাট্রিক্স $A$ বিশিষ্ট রৈখিক সিস্টেমের ডানপাশে যেকোনো $d_{1}$, ..., $d_{m}$-এর জন্য একটি সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি $A$-এর পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক থাকে।
3. প্রমাণ করো যে একটি সমমাত্রিক সিস্টেমে একটি অনন্য সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি এর সহগ ম্যাট্রিক্স $A$-এর পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকে।
4. প্রমাণ করো যে "যদি সহগ ম্যাট্রিক্স $A$ বিশিষ্ট একটি সিস্টেমের কোনো সমাধান থাকে তবে এর একটি অনন্য সমাধান থাকবে" বিবৃতিটি সত্য হয় যদি এবং কেবল যদি $A$-এর পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকে।

উত্তর

1. সারি র‍্যাঙ্ক এবং কলাম র‍্যাঙ্ক সমান, তাই প্রতিটির মান সর্বোচ্চ সারি ও কলাম সংখ্যার মধ্যে যেটি সর্বনিম্ন তার সমান হতে পারে। অতএব, উভয়ই পূর্ণ হতে পারে কেবল যদি সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার সমান হয়। (অবশ্যই এর বিপরীতটি সত্য নয়: একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক বা পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক নাও থাকতে পারে।)
2. যদি $A$-এর পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক থাকে, তবে ডানপাশের মান যাই হোক না কেন, অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্সের ওপর গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করলে প্রতিটি সারিতে একটি লিডিং ওয়ান দিয়ে শেষ হবে এবং সেই লিডিং ওয়ানগুলোর কোনটিই একদম ডানদিকের কলামে (বর্ধিত কলামে) থাকবে না। এরপর ব্যাক সাবস্টিটিউশন একটি সমাধান প্রদান করে। অন্যথায়, যদি রৈখিক সিস্টেমটির কিছু ডানপাশের মানের জন্য কোনো সমাধান না থাকে, তবে তা কেবল এই কারণেই হতে পারে যে গাউসের পদ্ধতি কোনো কোনো সারিকে এমনভাবে রেখে দেয় যেখানে "বর্ধিত" দাগের বামপাশের অংশটি সম্পূর্ণ শূন্য এবং ডানপাশে একটি অশূন্য এন্ট্রি থাকে। সুতরাং, যদি কিছু ডানপাশের মানের জন্য $A$-এর কোনো সমাধান না থাকে, তবে $A$-এর পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক নেই কারণ এর কিছু সারি অপসারিত হয়ে গেছে।
3. $A$ ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকবে যদি এবং কেবল যদি এর কলামগুলো একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করে। এটি কেবল একটি তুচ্ছ রৈখিক সম্পর্কের অস্তিত্ব থাকার সমতুল্য।
4. $A$ ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকবে যদি এবং কেবল যদি এর কলামগুলোর সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, এবং এভাবে এর স্প্যানের জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে। এটি ওই স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত সকল ভেক্টরের একটি অনন্য রৈখিক উপস্থাপনা থাকার সমতুল্য।

সমস্যা ২৪

যদি গাউসের পদ্ধতিতে কোনো সারিকে শূন্য দ্বারা গুণ করার অনুমতি দেওয়া হয়, তবে লেমা ৩.৩-এর সিদ্ধান্তে কী পরিবর্তন আসবে?

উত্তর

সারি স্পেসগুলো একই হওয়ার পরিবর্তে, $B$-এর সারি স্পেসটি $A$-এর সারি স্পেসের একটি সাবস্পেস (সম্ভবত সমান) হবে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২৫

$\mathop {\mbox{rank}} (A)$ এবং $\mathop {\mbox{rank}} (-A)$-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? $\mathop {\mbox{rank}} (A)$ এবং $\mathop {\mbox{rank}} (kA)$-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? $\mathop {\mbox{rank}} (A)$, $\mathop {\mbox{rank}} (B)$, এবং $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)$-এর মধ্যে কোনো সম্পর্ক থাকলে তা কী?

উত্তর

স্পষ্টতই $\mathop {\mbox{rank}} (A)=\mathop {\mbox{rank}} (-A)$, কারণ গাউসের পদ্ধতি আমাদের একটি ম্যাট্রিক্সের সমস্ত সারিকে $-1$ দ্বারা গুণ করার অনুমতি দেয়। একইভাবে, যখন $k\neq 0$ হয় তখন আমরা পাই $\mathop {\mbox{rank}} (A)=\mathop {\mbox{rank}} (kA)$।

যোগফল আরও আকর্ষণীয়। একটি যোগফলের র‍্যাঙ্ক এর উপাদানগুলোর র‍্যাঙ্কের চেয়ে ছোট হতে পারে:

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&-2\\-3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

একটি যোগফলের র‍্যাঙ্ক উপাদানগুলোর র‍্যাঙ্কের চেয়ে বড় হতে পারে:

${\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

তবে একটি ঊর্ধ্বসীমা রয়েছে (ম্যাট্রিক্সের আকার ব্যতীত)। সাধারণভাবে, $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)\leq \mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$।

এটি প্রমাণ করার জন্য লক্ষ্য করো যে, $A+B$-এর ওপর গাউসিয়ান এলিমিনেশন দুটি উপায়ের যেকোনো একটিতে করা যেতে পারে: আমরা প্রথমে $A$ এবং $B$ যোগ করতে পারি এবং তারপর রিডাকশন ধাপগুলোর উপযুক্ত সিকোয়েন্স প্রয়োগ করতে পারি—

$(A+B)\;{\xrightarrow[{}]{{\text{step}}_{1}}}\;\cdots \;{\xrightarrow[{}]{{\text{step}}_{k}}}\;{\text{echelon form}}$

অথবা আমরা $A$ এবং $B$-এর ওপর আলাদাভাবে ${\text{ধাপ}}_{1}$ থেকে ${\text{ধাপ}}_{k}$ সম্পন্ন করতে পারি এবং তারপর যোগ করে একই ফলাফল পেতে পারি। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে আমরা সর্বোচ্চ যে র‍্যাঙ্ক পেতে পারি তা স্পষ্টতই র‍্যাঙ্ক দুটির সমষ্টির সমান। (উপরের ম্যাট্রিক্সগুলো উভয় সম্ভাবনারই উদাহরণ দেয়, যেখানে $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)<\mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$ এবং $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)=\mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$ ঘটেছে।)