রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগত ও রৈখিক সিস্টেম

আমরা এখন এই অধ্যায়ের সরঞ্জাম এবং পরিভাষাগুলোর সাহায্যে রৈখিক ব্যবস্থা এবং গাউসের পদ্ধতি নিয়ে পুনরায় আলোচনা করব। আমরা তিনটি বিষয় তুলে ধরব। প্রথম বিষয়ের জন্য, প্রথম অধ্যায়ের রৈখিক সমাবেশের লেমা এবং এর অনুসিদ্ধান্তটি মনে করুন: যদি দুটি ম্যাট্রিক্স সারি অপারেশনের মাধ্যমে $A\longrightarrow \cdots \longrightarrow B$ সম্পর্কিত হয়, তবে $B$ এর প্রতিটি সারি $A$ এর সারিগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ। অর্থাৎ, গাউসের পদ্ধতি সারিগুলোর রৈখিক সমাবেশ নেওয়ার মাধ্যমে কাজ করে। অতএব, সাধারণভাবে সারি অপারেশন এবং বিশেষভাবে গাউসের পদ্ধতি অধ্যয়ন করার সঠিক ক্ষেত্র হলো নিম্নলিখিত ভেক্টর জগত।

সংজ্ঞা ৩.১

একটি ম্যাট্রিক্সের সারি জগত হলো এর সারিগুলোর সেটের স্প্যান। সারি র‍্যাঙ্ক হলো সারি জগতের মাত্রা, অর্থাৎ রৈখিক স্বাধীন সারির সংখ্যা।

উদাহরণ ৩.২

যদি

$A={\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}}$

হয়, তবে $\mathop {\mbox{Rowspace}} (A)$ হলো দুই-উপাদানবিশিষ্ট সারি ভেক্টরের জগতের একটি সাবস্পেস।

${c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}4&6\end{pmatrix}},{\big |},c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} }$

এখানে প্রথমটির ওপর দ্বিতীয়টির রৈখিক নির্ভরশীলতা স্পষ্ট, তাই আমরা এই বর্ণনাটিকে সংকুচিত করে ${c\cdot {\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}},{\big |},c\in \mathbb {R} }$ লিখতে পারি।

লেমা ৩.৩

যদি ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ একটি সারি অপারেশনের মাধ্যমে সম্পর্কিত হয়

$A{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}B\quad {\text{অথবা}}\quad A{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}B\quad {\text{অথবা}}\quad A{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}B$

($i\neq j$ এবং $k\neq 0$ এর জন্য), তবে তাদের সারি জগত সমান। সুতরাং, সারি-সমতুল্য ম্যাট্রিক্সগুলোর একই সারি জগত থাকে এবং এর ফলে একই সারি র‍্যাঙ্কও থাকে।

প্রমাণ

রৈখিক সমাবেশের লেমার অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী, $B$ এর প্রতিটি সারি $A$ এর সারি জগতে বিদ্যমান। এছাড়া, $\mathop {\mbox{Rowspace}} (B)\subseteq \mathop {\mbox{Rowspace}} (A)$, কারণ $\mathop {\mbox{Rowspace}} (B)$ সেটের একটি সদস্য $B$ এর সারিগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ, যার অর্থ এটি $A$ এর সারিগুলোর সমাবেশের একটি সমাবেশ এবং রৈখিক সমাবেশের লেমা অনুযায়ী এটি $\mathop {\mbox{Rowspace}} (A)$ এরও একটি সদস্য। অন্য অন্তর্ভুক্তির জন্য মনে করুন যে, সারি অপারেশনগুলো বিপরীতযোগ্য: $A\longrightarrow B$ যদি এবং কেবল যদি $B\longrightarrow A$ হয়। এর সাথে, $\mathop {\mbox{Rowspace}} (A)\subseteq \mathop {\mbox{Rowspace}} (B)$ আগের অনুচ্ছেদ থেকেই পাওয়া যায়, সুতরাং সেট দুটি সমান।

সুতরাং, সারি অপারেশন সারি জগতকে অপরিবর্তিত রাখে। কিন্তু গাউসের পদ্ধতি সারি অপারেশনগুলোকে সুশৃঙ্খলভাবে একটি নির্দিষ্ট লক্ষ্য নিয়ে সম্পন্ন করে, যা হলো ইচেলন আকার।

লেমা ৩.৪

একটি ইচেলন আকারের ম্যাট্রিক্সের অশূন্য সারিগুলো একটি রৈখিক স্বাধীন সেট গঠন করে।

প্রমাণ

প্রথম অধ্যায়ের একটি ফলাফল, লেমা ওয়ান.III.২.৫, জানায় যে একটি ইচেলন আকারের ম্যাট্রিক্সে কোনো অশূন্য সারি অন্য সারিগুলোর রৈখিক সমাবেশ নয়। এটি সেই ফলাফলটিরই নতুন পরিভাষায় একটি পুনঃপ্রদান।

সুতরাং, এই অধ্যায়ের ভাষায়, গাউসের বিয়োজন সারিগুলোর মধ্যে রৈখিক নির্ভরশীলতা দূর করার মাধ্যমে কাজ করে এবং স্প্যানকে অপরিবর্তিত রাখে, যতক্ষণ না পর্যন্ত (অশূন্য সারিগুলোর মধ্যে) কোনো অ-তুচ্ছ রৈখিক সম্পর্ক অবশিষ্ট থাকে। অর্থাৎ, গাউসের পদ্ধতি সারি জগতের জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করে।

উদাহরণ ৩.৫

যেকোনো ম্যাট্রিক্স থেকে আমরা গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করে এবং ফলাফলস্বরূপ ইচেলন আকারের ম্যাট্রিক্সের অশূন্য সারিগুলো নিয়ে সারি জগতের একটি ভিত্তি তৈরি করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ,

${\begin{array}{rcl}{\begin{pmatrix}1&3&1\\1&4&1\\2&0&5\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}};{\xrightarrow[{}]{6\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}}\end{array}}$

এটি সারি জগতের জন্য ভিত্তি $\langle {\begin{pmatrix}1&3&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&3\end{pmatrix}}\rangle$ তৈরি করে। এটি শুরু ও শেষ উভয় ম্যাট্রিক্সের সারি জগতের ভিত্তি, কারণ সারি জগত দুটি সমান।

এই কৌশলটি ব্যবহার করে, আমরা এমন স্প্যানের ভিত্তিও খুঁজে বের করতে পারি যা সরাসরি সারি ভেক্টরের সাথে জড়িত নয়।

সংজ্ঞা ৩.৬

একটি ম্যাট্রিক্সের কলাম জগত হলো এর কলামগুলোর সেটের স্প্যান। কলাম র‍্যাঙ্ক হলো কলাম জগতের মাত্রা, অর্থাৎ রৈখিক স্বাধীন কলামের সংখ্যা।

রৈখিক ব্যবস্থা অধ্যয়ন থেকে কলাম জগতে আমাদের আগ্রহ তৈরি হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এই ব্যবস্থাটি

${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&+&3c_{2}&+&7c_{3}&=&d_{1}\\2c_{1}&+&3c_{2}&+&8c_{3}&=&d_{2}\\&&c_{2}&+&2c_{3}&=&d_{3}\\4c_{1}&&&+&4c_{3}&=&d_{4}\end{array}}$

এর সমাধান তখনই আছে যখন $d$ এর ভেক্টরটি অন্য কলাম ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হয়,

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\\0\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}3\\3\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}7\\8\\2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{4}\end{pmatrix}}$

যার অর্থ হলো $d$ এর ভেক্টরটি সহগগুলোর ম্যাট্রিক্সের কলাম জগতে রয়েছে।

উদাহরণ ৩.৭

প্রদত্ত এই ম্যাট্রিক্সটির জন্য,

${\begin{pmatrix}1&3&7\\2&3&8\\0&1&2\\4&0&4\end{pmatrix}}$

কলাম জগতের ভিত্তি পাওয়ার জন্য, সাময়িকভাবে কলামগুলোকে সারিতে পরিণত করুন এবং বিয়োজন করুন।

${\begin{array}{rcl}{\begin{pmatrix}1&2&0&4\\3&3&1&0\\7&8&2&4\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{-7\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}};{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{pmatrix}1&2&0&4\\0&-3&1&-12\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

এখন সারিগুলোকে পুনরায় কলামে পরিণত করুন।

$\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-3\\1\\-12\end{pmatrix}}\rangle$

ফলাফলটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের কলাম জগতের ভিত্তি।

সংজ্ঞা ৩.৮

একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ হলো ওই ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম অদলবদল করার ফলাফল। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স $A$ এর কলাম $j$ হলো ${{A}^{\rm {trans}}}$ এর সারি $j$, এবং বিপরীতক্রমে।

সুতরাং আগের উদাহরণের নির্দেশাবলী হলো "ট্রান্সপোজ করুন, বিয়োজন করুন এবং পুনরায় ট্রান্সপোজ করুন"। আমরা ভেক্টর জগতগুলো "একই" হওয়ার অস্পষ্ট ধারণাকে মেনে নেওয়ার বিনিময়ে, গাউসের পদ্ধতি ব্যবহার করে অন্যান্য ধরনের ভেক্টর জগতের স্প্যানের ভিত্তিও খুঁজে বের করতে পারি।

উদাহরণ ৩.৯

${\mathcal {P}}_{4}$ জগতে ${x^{2}+x^{4},2x^{2}+3x^{4},-x^{2}-3x^{4}}$ এর স্প্যানের ভিত্তি পাওয়ার জন্য, এই তিনটি বহুপদকে ${\begin{pmatrix}0&0&1&0&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}0&0&2&0&3\end{pmatrix}}$ এবং ${\begin{pmatrix}0&0&-1&0&-3\end{pmatrix}}$ সারি ভেক্টরের "সমান" হিসেবে ভাবুন, গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করুন

${\begin{array}{rcl}{\begin{pmatrix}0&0&1&0&1\\0&0&2&0&3\\0&0&-1&0&-3\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}};{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{pmatrix}0&0&1&0&1\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

এবং ভিত্তি $\langle x^{2}+x^{4},x^{4}\rangle$ পাওয়ার জন্য পুনরায় রূপান্তর করুন। (যেমনটি আগে উল্লেখ করা হয়েছে, আমরা পরবর্তী অধ্যায়ের শুরুতে "সমান" শব্দগুচ্ছটিকে সুনির্দিষ্ট করব।)

সুতরাং, এই উপবিভাগে আমাদের প্রথম বিষয়টি হলো যে এই অধ্যায়ের সরঞ্জামগুলো আমাদের গাউসীয় বিয়োজনের একটি আরও ধারণাগত বোধ দেয়। এই উপবিভাগের দ্বিতীয় বিষয়টি হলো, এই সারি বিয়োজনের কলাম জগতের ওপর প্রভাব বিবেচনা করা।

${\begin{array}{rcl}{\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

বাম দিকের ম্যাট্রিক্সের কলাম জগতে এমন ভেক্টর রয়েছে যার দ্বিতীয় উপাদান অশূন্য। কিন্তু ডান দিকের ম্যাট্রিক্সের কলাম জগত ভিন্ন কারণ এতে শুধুমাত্র সেই ভেক্টরগুলো রয়েছে যার দ্বিতীয় উপাদান শূন্য। এই জ্ঞানটি যে সারি অপারেশন কলাম জগত পরিবর্তন করতে পারে, পরবর্তী ফলাফলটিকে আশ্চর্যজনক করে তোলে।

লেমা ৩.১০

সারি অপারেশন কলাম র‍্যাঙ্ক পরিবর্তন করে না।

প্রমাণ

পুনরায় বলা যায়, যদি $A$ বিয়োজিত হয়ে $B$ হয়, তবে $B$ এর কলাম র‍্যাঙ্ক $A$ এর কলাম র‍্যাঙ্কের সমান। আমরা যদি দেখাতে পারি যে সারি অপারেশন কলামগুলোর মধ্যে রৈখিক সম্পর্ককে প্রভাবিত করে না (যেমন, যদি সারি অপারেশনের আগে পঞ্চম কলামটি দ্বিতীয় ও চতুর্থ কলামের দ্বিগুণ হয়, তবে সেই সম্পর্কটি পরেও বজায় থাকে), তবে আমাদের কাজ শেষ হবে, কারণ কলাম র‍্যাঙ্ক হলো কেবল অসম্পর্কিত কলামের বৃহত্তম সেটের আকার। কিন্তু এটিই এই বইয়ের প্রথম উপপাদ্য: কলামগুলোর মধ্যে একটি সম্পর্কে,

$c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots \\a_{m,1}\end{pmatrix}}+\dots +c_{n}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1,n}\\a_{2,n}\\\vdots \\a_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

সারি অপারেশন সমাধানের সেট $(c_{1},\ldots ,c_{n})$ কে অপরিবর্তিত রাখে।

পূর্বের ফলাফল ছাড়াও, গাউসের পদ্ধতি যে কলাম জগত এবং সারি জগত উভয় নিয়েই কথা বলে তা বলার আরেকটি উপায় হলো গাউস-জর্ডান বিয়োজন পুনরায় বিবেচনা করা। মনে রাখবেন যে এটি ম্যাট্রিক্সের হ্রাসকৃত ইচেলন আকারে শেষ হয়, যেমন এখানে দেখানো হয়েছে।

${\begin{array}{rcl}{\begin{pmatrix}1&3&1&6\\2&6&3&16\\1&3&1&6\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{}]{}};\cdots ;{\xrightarrow[{}]{}}&{\begin{pmatrix}1&3&0&2\\0&0&1&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

এই ফলাফলের সারি জগত এবং কলাম জগত বিবেচনা করুন। উপরে আমাদের প্রথম পয়েন্টটি বলেছিল যে সারি জগতের ভিত্তি পাওয়া সহজ: কেবল শীর্ষস্থানীয় ভুক্তিযুক্ত (leading entries) সারিগুলোকে একত্রে সংগ্রহ করুন। তবে, যেহেতু এটি একটি হ্রাসকৃত ইচেলন আকারের ম্যাট্রিক্স, কলাম জগতের ভিত্তিও সমান সহজ: শীর্ষস্থানীয় ভুক্তিযুক্ত কলামগুলো নিন, অর্থাৎ $\langle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}\rangle$। (রৈখিক স্বাধীনতা স্পষ্ট। অন্যান্য কলামগুলো এই সেটের স্প্যানে রয়েছে, কারণ তাদের সবার তৃতীয় উপাদান শূন্য।) সুতরাং, একটি হ্রাসকৃত ইচেলন আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য, সারি এবং কলাম জগতের ভিত্তিগুলো মূলত একই উপায়ে—শীর্ষস্থানীয় ভুক্তিযুক্ত ম্যাট্রিক্সের অংশগুলো, অর্থাৎ সারি বা কলামগুলো নিয়ে পাওয়া যেতে পারে।

উপপাদ্য ৩.১১

একটি ম্যাট্রিক্সের সারি র‍্যাঙ্ক এবং কলাম র‍্যাঙ্ক সমান।

প্রমাণ

প্রথমে ম্যাট্রিক্সটিকে হ্রাসকৃত ইচেলন আকারে আনুন। সেই অবস্থায়, সারি র‍্যাঙ্ক শীর্ষস্থানীয় ভুক্তির সংখ্যার সমান কারণ তা অশূন্য সারির সংখ্যার সমান। সেই অবস্থায়, শীর্ষস্থানীয় ভুক্তির সংখ্যা কলাম র‍্যাঙ্কের সমান কারণ শীর্ষস্থানীয় ভুক্তিযুক্ত কলামগুলোর সেট একটি প্রমিত ভিত্তির ${\vec {e}}_{i}$ গুলোর সমন্বয়ে গঠিত, এবং সেই সেটটি রৈখিক স্বাধীন এবং কলামগুলোর সেটকে স্প্যান করে। সুতরাং, হ্রাসকৃত ইচেলন আকারের ম্যাট্রিক্সে, সারি র‍্যাঙ্ক কলাম র‍্যাঙ্কের সমান, কারণ প্রতিটিই শীর্ষস্থানীয় ভুক্তির সংখ্যার সমান। কিন্তু লেমা ৩.৩ এবং লেমা ৩.১০ দেখায় যে সারি অপারেশন ব্যবহার করে হ্রাসকৃত ইচেলন আকারে আসার সময় সারি র‍্যাঙ্ক এবং কলাম র‍্যাঙ্ক পরিবর্তিত হয় না। সুতরাং মূল ম্যাট্রিক্সের সারি র‍্যাঙ্ক এবং কলাম র‍্যাঙ্কও সমান।

সংজ্ঞা ৩.১২

একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হলো এর সারি বা কলাম র‍্যাঙ্ক।

সুতরাং এই উপবিভাগে আমাদের দ্বিতীয় বিষয়টি হলো যে একটি ম্যাট্রিক্সের কলাম জগত এবং সারি জগতের মাত্রা সমান। আমাদের তৃতীয় এবং চূড়ান্ত বিষয়টি হলো যে ভেক্টর জগত অধ্যয়নে প্রাকৃতিকভাবে উদ্ভূত ধারণাগুলোই মূলত সেগুলো, যা আমরা রৈখিক ব্যবস্থার সাথে অধ্যয়ন করেছি।

উপপাদ্য ৩.১৩

$n$ টি অজানা এবং সহগ ম্যাট্রিক্স $A$ বিশিষ্ট রৈখিক ব্যবস্থার জন্য, বিবৃতিগুলো

1. $A$ এর র‍্যাঙ্ক হলো $r$
2. সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় ব্যবস্থার সমাধানের জগতের মাত্রা হলো $n-r$

সমতুল্য।

সুতরাং, যদি ব্যবস্থার অন্তত একটি বিশেষ সমাধান থাকে, তবে সমাধানের সেটের জন্য প্যারামিটারের সংখ্যা $n-r$ এর সমান, অর্থাৎ চলকের সংখ্যা থেকে সহগ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক বিয়োগফল।

প্রমাণ

$A$ এর র‍্যাঙ্ক $r$ হবে যদি এবং কেবল যদি $A$ এর গাউসীয় বিয়োজন $r$ টি অশূন্য সারিতে শেষ হয়। তা সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $A$ এর সারি-সমতুল্য ইচেলন আকারের ম্যাট্রিক্সগুলোর $r$-সংখ্যক শীর্ষস্থানীয় চলক থাকে। যা আবার সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $n-r$ টি মুক্ত চলক থাকে।

মন্তব্য ৩.১৪

কখনও কখনও এই ফলাফলটিকে ভুলভাবে মনে রাখা হয় যে, $n$ টি অজানা এবং $m$ টি সমীকরণ বিশিষ্ট ব্যবস্থার সাধারণ সমাধানে $n-m$ টি প্যারামিটার ব্যবহৃত হয়। সমীকরণের সংখ্যা প্রাসঙ্গিক নয়, বরং যা গুরুত্বপূর্ণ তা হলো স্বাধীন সমীকরণের সংখ্যা (সর্বোচ্চ স্বাধীন সেটের সমীকরণের সংখ্যা)। যেখানে $r$ টি স্বাধীন সমীকরণ থাকে, সেখানে সাধারণ সমাধানে $n-r$ টি প্যারামিটার থাকে।

অনুসিদ্ধান্ত ৩.১৫

যেখানে ম্যাট্রিক্স $A$ হলো $n!\times !n$, বিবৃতিগুলো

1. $A$ এর র‍্যাঙ্ক হলো $n$
2. $A$ একক নয়
3. $A$ এর সারিগুলো একটি রৈখিক স্বাধীন সেট গঠন করে
4. $A$ এর কলামগুলো একটি রৈখিক স্বাধীন সেট গঠন করে
5. যেকোনো রৈখিক ব্যবস্থা যার সহগ ম্যাট্রিক্স হলো $A$, তার একটি এবং কেবল একটি সমাধান আছে

সমতুল্য।

প্রমাণ

স্পষ্টতই ${\text{(1)}}\iff {\text{(2)}}\iff {\text{(3)}}\iff {\text{(4)}}$। শেষটি, ${\text{(4)}}\iff {\text{(5)}}$, সত্য কারণ $n$ টি কলাম ভেক্টরের সেট যার $n$ টি উপাদান আছে, তা রৈখিক স্বাধীন হবে যদি এবং কেবল যদি এটি $\mathbb {R} ^{n}$ এর একটি ভিত্তি হয়, কিন্তু ব্যবস্থাটি

$c_{1}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots \\a_{m,1}\end{pmatrix}}+\dots +c_{n}{\begin{pmatrix}a_{1,n}\\a_{2,n}\\\vdots \\a_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\ d_{2}\\\vdots \\d_{m}\end{pmatrix}}$

এর সকল $d_{1},\dots ,d_{n}\in \mathbb {R}$ এর পছন্দের জন্য একটি অনন্য সমাধান থাকে যদি এবং কেবল যদি $a$ এর ভেক্টরগুলো একটি ভিত্তি গঠন করে।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

প্রতিটির ট্রান্সপোজ নির্ণয় করো।

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&4&3\\6&7&8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}-1&-2\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

ভেক্টরটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেসে আছে কিনা তা নির্ধারণ করো।

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&3\\-1&0&1\\-1&2&7\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

ভেক্টরটি কলাম স্পেসে আছে কিনা তা নির্ধারণ করো।

1. ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&3&1\\2&0&4\\1&-3&-3\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

এই ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি নির্ণয় করো।

${\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\3&1&0&2\\1&0&-4&-1\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক নির্ণয় করো।

1. ${\begin{pmatrix}2&1&3\\1&-1&2\\1&0&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-3&6\\-2&2&-4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3&2\\5&1&1\\6&4&3\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

প্রতিটি সেটের স্প্যানের জন্য একটি ভিত্তি নির্ণয় করো।

1. $\{{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{1\!\times \!2}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
3. $\{1+x,1-x^{2},3+2x-x^{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}_{3}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1&0&1\\3&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0&-5\\-1&-1&-9\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{2\!\times \!3}$

সমস্যা ৭

কোন ম্যাট্রিক্সগুলোর র‍্যাঙ্ক শূন্য? কোনগুলোর র‍্যাঙ্ক এক?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৮

দেওয়া আছে $a,b,c\in \mathbb {R}$, $d$-এর কোন মানের জন্য এই ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক এক হবে?

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৯

এই ম্যাট্রিক্সের কলাম র‍্যাঙ্ক নির্ণয় করো।

${\begin{pmatrix}1&3&-1&5&0&4\\2&0&1&0&4&1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১০

দেখাও যে, অন্তত একটি সমাধান আছে এমন একটি রৈখিক সিস্টেমের সর্বোচ্চ একটিই সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি সহগ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এর কলাম সংখ্যার সমান হয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

যদি একটি ম্যাট্রিক্স $5\!\times \!9$ আকারের হয়, তবে এর সারিগুলোর সেট নাকি কলামগুলোর সেট, কোনটি অবশ্যই নির্ভরশীল হবে?

সমস্যা ১২

একটি উদাহরণ দিয়ে দেখাও যে, একই মাত্রা থাকা সত্ত্বেও একটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেস এবং কলাম স্পেস সমান নাও হতে পারে। এগুলো কি কখনো সমান হয়?

সমস্যা ১৩

দেখাও যে $\{(1,-1,2,-3),(1,1,2,0),(3,-1,6,-6)\}$ সেটটির স্প্যান এবং $\{(1,0,1,0),(0,2,0,3)\}$ সেটটির স্প্যান একই নয়। প্রসঙ্গত, ভেক্টর জগতটি কী?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৪

দেখাও যে কলাম ভেক্টরের এই সেটটি

$\left\{{\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\text{there are }}x,y,{\text{ and }}z{\text{ such that }}{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&4z&=&d_{1}\\x&&&-&z&=&d_{2}\\2x&+&2y&+&5z&=&d_{3}\end{array}}\right\}$

$\mathbb {R} ^{3}$ এর একটি সাবস্পেস। এর একটি ভিত্তি নির্ণয় করো।

সমস্যা ১৫

দেখাও যে ট্রান্সপোজ অপারেশনটি হলো রৈখিক:

${{(rA+sB)}^{\rm {trans}}}=r{{A}^{\rm {trans}}}+s{{B}^{\rm {trans}}}$

যেখানে $r,s\in \mathbb {R}$ এবং $A,B\in {\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৬

এই উপবিভাগে আমরা দেখিয়েছি যে গাউসিয়ান রিডাকশন সারি স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি বের করে।

1. দেখাও যে এই ভিত্তিটি অনন্য নয়— ভিন্ন ভিন্ন রিডাকশনে ভিন্ন ভিন্ন ভিত্তি পাওয়া যেতে পারে।
2. সমান সারি স্পেস কিন্তু অসমান সংখ্যক সারিবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স তৈরি করো।
3. প্রমাণ করো যে, দুটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্পেস সমান হবে যদি এবং কেবল যদি গাউস-জর্ডান রিডাকশনের পর তাদের অশূন্য সারিগুলো একই হয়।

সমস্যা ১৭

$r$-এর মান $n$-এর চেয়ে বড় হওয়ার ক্ষেত্রে মন্তব্য ৩.১৪-এর সাথে কোনো সমস্যা কেন নেই?

সমস্যা ১৮

দেখাও যে একটি $m\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের সারি র‍্যাঙ্ক সর্বোচ্চ $m$ হতে পারে। এর চেয়ে ভালো কোনো সীমা কি আছে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৯

দেখাও যে একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এর ট্রান্সপোজের র‍্যাঙ্কের সমান।

সমস্যা ২০

সত্য নাকি মিথ্যা: একটি ম্যাট্রিক্সের কলাম স্পেস এর ট্রান্সপোজের সারি স্পেসের সমান।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২১

আমরা দেখেছি যে একটি সারি অপারেশন কলাম স্পেস পরিবর্তন করতে পারে। এটি কি অবশ্যই পরিবর্তন করবে?

সমস্যা ২২

প্রমাণ করো যে একটি রৈখিক সিস্টেমের সমাধান আছে যদি এবং কেবল যদি সেই সিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এবং এর অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক সমান হয়।

সমস্যা ২৩

একটি $m\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক থাকবে যদি এর সারি র‍্যাঙ্ক $m$ হয়, এবং এর পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকবে যদি এর কলাম র‍্যাঙ্ক $n$ হয়।

1. দেখাও যে একটি ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক এবং পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক উভয়ই থাকতে পারে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়।
2. প্রমাণ করো যে, সহগ ম্যাট্রিক্স $A$ বিশিষ্ট রৈখিক সিস্টেমের ডানপাশে যেকোনো $d_{1}$, ..., $d_{m}$-এর জন্য একটি সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি $A$-এর পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক থাকে।
3. প্রমাণ করো যে একটি সমমাত্রিক সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি এর সহগ ম্যাট্রিক্স $A$-এর পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকে।
4. প্রমাণ করো যে "যদি সহগ ম্যাট্রিক্স $A$ বিশিষ্ট একটি সিস্টেমের কোনো সমাধান থাকে তবে এর একটি অনন্য সমাধান থাকবে" বিবৃতিটি সত্য হয় যদি এবং কেবল যদি $A$-এর পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকে।

সমস্যা ২৪

যদি গাউসের পদ্ধতিতে কোনো সারিকে শূন্য দ্বারা গুণ করার অনুমতি দেওয়া হয়, তবে লেমা ৩.৩-এর সিদ্ধান্তে কী পরিবর্তন আসবে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২৫

$\mathop {\mbox{rank}} (A)$ এবং $\mathop {\mbox{rank}} (-A)$-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? $\mathop {\mbox{rank}} (A)$ এবং $\mathop {\mbox{rank}} (kA)$-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? $\mathop {\mbox{rank}} (A)$, $\mathop {\mbox{rank}} (B)$, এবং $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)$-এর মধ্যে কোনো সম্পর্ক থাকলে তা কী?

সমাধান

তথ্যসূত্র

• Munkres, James R. (১৯৬৪), Elementary Linear Algebra, Addison-Wesley উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.