রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগত ও উপজগত

একটি ভেক্টর জগত হলো ভেক্টর সেটের ধারণাকে সাধারণীকরণ করার একটি উপায়। উদাহরণস্বরূপ, 2+3i জটিল সংখ্যাটিকে একটি ভেক্টর হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে, কারণ কোনো না কোনোভাবে এটি ${\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$ ভেক্টরকে নির্দেশ করে। ভেক্টর জগত হলো এ ধরনের বিমূর্ত বস্তুর একটি "জগত", যাদেরকে আমরা "ভেক্টর" বলে থাকি।

কিছু পরিচিত উদাহরণ

বর্তমানে ভেক্টর নিয়ে আমাদের অধ্যয়নে আমরা বাস্তব ভুক্তি বা উপাদানবিশিষ্ট ভেক্টর দেখেছি: $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},...,\mathbb {R} ^{n}$ ইত্যাদি। এগুলো সবই ভেক্টর জগত। ভেক্টর জগতকে বিমূর্ত করার একটি সুবিধা হলো, এর সাহায্যে নির্দিষ্ট কোনো বস্তু (যা আমাদের ভেক্টরকে সংজ্ঞায়িত করে), প্রক্রিয়া (যা আমাদের ভেক্টরের ওপর কাজ করে) বা স্থানাঙ্ক (যা জগতে আমাদের ভেক্টরকে চিহ্নিত করে) নির্বাচন করা ছাড়াই কোনো জগত সম্পর্কে আলোচনা করা যায়। আরও কিছু ফলাফল ফাংশনাল অ্যানালাইসিসের মতো অধিক সাধারণ জগতগুলোতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যার মাত্রা অসীম হতে পারে।

প্রতীক ও ধারণাসমূহ

আগের মতোই, আমরা ভেক্টরকে গাঢ় অক্ষরে লিখি, তবে কাগজে লেখার সময় আপনার উচিত এর নিচে দাগ দিয়ে বা উপরে তীর চিহ্ন দিয়ে লেখা। সুতরাং আমরা ওই ভেক্টরের জন্য $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ লিখি। যখন আমরা কোনো ভেক্টরকে একটি স্কেলার সংখ্যা দিয়ে গুণ করি, তখন সাধারণত একে একটি গ্রিক অক্ষর দিয়ে প্রকাশ করি। যেমন, একটি স্কেলার λ দ্বারা v এর গুণ বোঝাতে λv লিখি। আমরা আগের মতোই ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ প্রকাশ করি, যেমন x ও y ভেক্টরের যোগফলকে x+y হিসেবে লিখি।

স্কেলার গুণন ও ভেক্টর যোগের ধারণা নিয়ে আমরা ভেক্টর জগতের সংজ্ঞার দিকে অগ্রসর হতে পারি। সংজ্ঞায় যখন আমরা কোনো প্রক্রিয়াকে 'আবদ্ধ' বলি, তখন আমরা বোঝাই যে প্রক্রিয়াটির ফলাফল আমাদের সংজ্ঞাকে লঙ্ঘন করে না। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট বিবেচনা করি, তবে আমরা বলতে পারি যে এটি যোগের অধীনে আবদ্ধ, কারণ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা যোগ করলে তা পূর্ণসংখ্যার সেটের ভেতরেই থাকে। তবে পূর্ণসংখ্যার সেটটি ভাগের অধীনে আবদ্ধ নয়, কারণ (উদাহরণস্বরূপ) ৩ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে এমন কোনো ফলাফল পাওয়া যায় না যা পূর্ণসংখ্যার সেটের সদস্য।

সংজ্ঞা

একটি ভেক্টর জগত হলো উপাদান বা বস্তুর একটি অশূন্য সেট V, যাদেরকে ভেক্টর বলা হয় এবং এর ওপর ভেক্টরের যোগ ও স্কেলার গুণন নামক দুটি প্রক্রিয়া এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেন, $x,y\in V$ এবং α$\in F$ এর জন্য, x+y এবং αx হলো V এর সুসংজ্ঞায়িত উপাদান যা নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো মেনে চলে:

* যোগের বিনিময় বিধি: x+y=y+x
* যোগের সংযোগ বিধি: x+(y+z)=(x+y)+z
* যোগাত্মক অভেদক: এমন একটি ভেক্টর 0 আছে যেন সকল x এর জন্য 0+x=x হয়
* যোগাত্মক বিপরীতক: প্রতিটি ভেক্টর x এর জন্য অন্য একটি ভেক্টর y বিদ্যমান থাকে যেন x+y =0 হয়
* স্কেলার সংযোগ বিধি: α(βx) = (αβ)x
* স্কেলার বন্টন বিধি: (α + β)x=αx+βx
* ভেক্টর বন্টন বিধি: α(x+y)=αx+αy
* স্কেলার অভেদক: 1x=x

বিকল্প সংজ্ঞা

যারা গ্রুপ তত্ত্ব এবং ফিল্ড তত্ত্ব সম্পর্কে জানেন, তাদের কাছে নিচের বিকল্প সংজ্ঞাটি আরও সংক্ষিপ্ত মনে হতে পারে:

* $(V,+)$ হলো একটি অ্যাবেলীয় গ্রুপ।
* $\forall \alpha \in F,(\forall x,y\in V),\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
* $\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
* $\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha \beta )x=\alpha (\beta x)$
* $\forall x\in V,1x=x$

উপজগত

উপজগত হলো একটি ভেক্টর জগতের ভেতরের আরেকটি ভেক্টর জগত। আমরা যখন বিভিন্ন ভেক্টর জগত নিয়ে আলোচনা করি, তখন প্রায়ই এদের উপজগতসমূহ পরীক্ষা করা দরকারি হয়ে ওঠে। একটি ভেক্টর জগত V এর একটি উপজগত S হলো V এর একটি সাবসেট যার নিচের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো রয়েছে:

* S স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধ: যদি λ∈R, v∈S হয়, তবে λv∈S
* S যোগের অধীনে আবদ্ধ: যদি u, v ∈ S হয়, তবে u+v∈S
* S শূন্য ভেক্টর, 0 ধারণ করে।

এই বৈশিষ্ট্যগুলো সম্পন্ন যেকোনো উপসেটই হলো একটি উপজগত।

উদাহরণ

আসুন কিছু পরিচিত ভেক্টর জগতের কিছু উপজগত পরীক্ষা করে দেখি, এবং দেখি কীভাবে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে কোনো ভেক্টর জগতের একটি নির্দিষ্ট সাবসেট আসলেই একটি উপজগত।

তুচ্ছ উপজগত

R²-এ, শূন্য ভেক্টর ধারণকারী সেটটি ({0}) হলো R² এর একটি উপজগত। স্কেলার গুণনে আবদ্ধতা: R এর সকল a এর জন্য a 0=0 যোগে আবদ্ধতা: 0+0=0। যেহেতু সেটটির একমাত্র সদস্য হলো 0, তাই আমাদের শুধু 0 পরীক্ষা করলেই হবে। শূন্য ভেক্টর: সেটটির একমাত্র সদস্য হলো 0 এবং এটি শূন্য ভেক্টর।

কিছুটা কম তুচ্ছ উপজগত

R²-এ, (0,α) আকারের সকল ভেক্টরের সেট V, যেখানে α হলো R এর সদস্য, একটি উপজগত। স্কেলার গুণনে আবদ্ধতা: a (0,α) = (0,a α) এবং a α হলো R এর সদস্য। যোগে আবদ্ধতা: (0,α) +(0,β) =(0, α + β) এবং α + β হলো R এর সদস্য। শূন্য ভেক্টর: আমাদের (0, α) এর সংজ্ঞায় α-এর মান শূন্য ধরলে আমরা V-তে শূন্য ভেক্টর (0,0) পাই।

উপজগতের একটি সম্পূর্ণ পরিবার

R থেকে যেকোনো একটি সংখ্যা নিন, ধরি তা ρ। তাহলে (α, ρα) আকারের সকল ভেক্টরের সেট V হলো R² এর একটি উপজগত। স্কেলার গুণনে আবদ্ধতা: a (α, ρα) = (aα, ρaα) যা V এর অন্তর্ভুক্ত। যোগে আবদ্ধতা: (α, ρα) +(β, ρβ) =(α + β, ρα + ρβ) = (α+β, ρ(α+β)) যা V এর অন্তর্ভুক্ত। শূন্য ভেক্টর: আমাদের সংজ্ঞায় α-এর মান শূন্য ধরলে আমরা V-তে (0, ρ0) = (0,0) পাই। এর মানে হলো V₂ = (α,2α) আকারের সকল ভেক্টরের সেটটি R² এর একটি উপজগত এবং V₃ = (α,3α) আকারের সকল ভেক্টরের সেটটি R² এর একটি উপজগত এবং V₄ = (α,4α) আকারের সকল ভেক্টরের সেটটি R² এর একটি উপজগত এবং V₅ = (α,5α) আকারের সকল ভেক্টরের সেটটি R² এর একটি উপজগত এবং V_π = (α,πα) আকারের সকল ভেক্টরের সেটটি R² এর একটি উপজগত এবং V_√2 = $(\alpha ,{\sqrt {2}}\alpha )$ আকারের সকল ভেক্টরের সেটটি R² এর একটি উপজগত যেমনটি আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এমনকি R² এর মতো একটি সাধারণ ভেক্টর জগতেরও অনেক ভিন্ন ভিন্ন উপজগত থাকতে পারে।

রৈখিক সমাবেশ, স্প্যান ও স্প্যানিং সেট, রৈখিক পরাধীনতা, এবং রৈখিক

রৈখিক সমাবেশ

সংজ্ঞা: ধরা যাক, একটি ফিল্ড $(F,+,\cdot )$ এর উপর $V$ একটি ভেক্টর জগত এবং $S$ হলো $V$ এর একটি অশূন্য সাবসেট। তাহলে একটি ভেক্টর $x\in V$-কে $S$ এর উপাদানগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ বলা হয় যদি এমন সসীম সংখ্যক উপাদান $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in S$ এবং $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F$ বিদ্যমান থাকে যেন $x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...a_{n}y_{n}$ হয়।

স্প্যান

সংজ্ঞা: ধরা যাক, একটি ফিল্ড $(F,+,\cdot )$ এর উপর $V$ একটি ভেক্টর জগত। $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V$ এর সমস্ত রৈখিক সমাবেশের সেটকে $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ এর স্প্যান (span) বলা হয়। একে অনেক সময় $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। লক্ষ্য করুন যে, $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V)$ হলো $V$ এর একটি সাবস্পেস। প্রমাণ: ভেক্টর ${v_{1},v_{2},...,v_{n}}$ এর স্প্যানে থাকা দুটি ভেক্টর x এবং y এর জন্য যোগ এবং স্কেলার গুণনের আবদ্ধতা বিবেচনা করুন। $x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}$ $y=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+...+b_{n}v_{n}$ $x+y=(a_{1}+b_{1})*v_{1}+(a_{2}+b_{2})*v_{2}+...+(a_{n}+b_{n})*v_{n}$, যা সেটের অন্তর্ভুক্ত। $k*x=(k*a_{1})v_{1}+(k*a_{2})v_{2}+...+(k*a_{n})v_{n}$, যা সেটের অন্তর্ভুক্ত।

স্প্যানিং সেট

সংজ্ঞা: ধরা যাক, একটি ফিল্ড $(F,+,\cdot )$ এর উপর $V$ একটি ভেক্টর জগত এবং $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ হলো উক্ত ভেক্টর জগতের ভেক্টর। সেট ${y_{1},y_{2},...,y_{n}}$ কে $V$ ভেক্টর জগতের একটি স্প্যানিং সেট বলা হবে যদি এবং কেবল যদি $V$ এর প্রতিটি ভেক্টর $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ এর একটি রৈখিক সমাবেশ হয়। বিকল্পভাবে, $\forall x\in V,(\exists a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F),x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{n}y_{n}$

রৈখিক স্বাধীনতা

সংজ্ঞা: ধরা যাক, একটি ফিল্ড $(F,+,\cdot )$ এর উপর $V$ একটি ভেক্টর জগত এবং $S={x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ হলো $V$ এর একটি সসীম সাবসেট। তাহলে আমরা $S$ কে রৈখিক স্বাধীন বলব যদি $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...a_{n}x_{n}=0$ এর মানে $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0$ হয়। রৈখিক স্বাধীনতা রৈখিক বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। এই সংজ্ঞা থেকে বোঝা যায় যে, রৈখিক পরাধীন ভেক্টরগুলো একটি অ-তুচ্ছ সমাবেশের মাধ্যমে শূন্য ভেক্টর তৈরি করতে পারে, যেখান থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে ভেক্টরগুলোর মধ্যে অন্তত একটিকে অন্যগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে। যদি আমাদের কাছে ৩টি ভেক্টর ${v_{1},v_{2},v_{3}}$ দ্বারা স্প্যান করা একটি ভেক্টর জগত V থাকে, তবে আমরা বলব যে v₁, v₂ এবং v₃ রৈখিক পরাধীন যদি তাদের মধ্যে এক বা দুটির কোনো সমাবেশ তৃতীয়টিকে তৈরি করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি নিচের সমীকরণগুলোর যেকোনো একটি:

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}=v_{3}$

$a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=v_{1}$

$a_{1}v_{1}+a_{3}v_{3}=v_{2}$

সিদ্ধ হয়, তবে V-এর ভেক্টরগুলোকে রৈখিক পরাধীন বলা হয়। আমরা কীভাবে রৈখিক স্বাধীনতা পরীক্ষা করতে পারি? সংজ্ঞাটি আমাদের পথ দেখায়: ধরি V হলো N দৈর্ঘ্যের ৩টি ভেক্টর দ্বারা স্প্যান করা একটি ভেক্টর জগত:

${\tilde {V}}=[v_{1},v_{2},v_{3}]$

এবং আমরা এই ৩টি ভেক্টর রৈখিক স্বাধীন কি না তা পরীক্ষা করার জন্য, সমীকরণগুলো গঠন করি:

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=0,$

এবং সমাধান করি। যদি একমাত্র সমাধান হয়

$a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,,$

তবে ভেক্টর ৩টি রৈখিক স্বাধীন। যদি অন্য কোনো সমাধান থাকে তবে তারা রৈখিক পরাধীন। ?????? আমরা বলতে পারি যে V-কে রৈখিক স্বাধীন হতে হলে এটিকে অবশ্যই এই শর্তটি পূরণ করতে হবে:

${\tilde {V}}{\bar {a}}=0$

যেখানে আমরা V-এর শূন্য ভেক্টর বোঝাতে 0 ব্যবহার করছি। যদি ${\tilde {V}}$ বর্গাকার এবং বিপরীতযোগ্য হয়, তবে আমরা সরাসরি এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি:

${\tilde {V}}^{-1}{\tilde {V}}{\bar {a}}={\bar {a}}={\tilde {V}}^{-1}\cdot 0$

${\bar {a}}=0$

আর যদি আমরা জানি যে ${\bar {a}}$ শূন্য, তবে আমরা বুঝতে পারি যে ব্যবস্থাটি রৈখিক স্বাধীন। তবে, ${\tilde {V}}$ যদি বর্গাকার না হয়, অথবা এটি যদি বিপরীতযোগ্য না হয়, তবে আমরা নিচের কৌশলটি চেষ্টা করতে পারি: ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করি:

${\tilde {V}}^{T}{\tilde {V}}{\bar {a}}=0$

$[{\tilde {V}}^{T}{\tilde {V}}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বের করি, এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করি:

$[{\tilde {V}}^{T}{\tilde {V}}]^{-1}{\tilde {V}}^{T}{\tilde {V}}{\bar {a}}=[{\tilde {V}}^{T}{\tilde {V}}]^{-1}\cdot 0$

পদগুলো কাটাকাটি করি:

${\bar {a}}={\tilde {V}}^{T}{\tilde {V}}\cdot 0$

এবং আমাদের উপসংহার:

${\bar {a}}=0$

এর মানে আবারও দাঁড়ায় যে, V রৈখিক স্বাধীন।

স্প্যান

কোনো ভেক্টর জগতের উপাদানগুলোর সম্ভাব্য সকল রৈখিক সমাবেশের সেট হলো একটি স্প্যান। (রৈখিক আবদ্ধতা)

ভিত্তি

কোনো ভেক্টর জগতের একটি ভিত্তি হলো সর্বনিম্ন সংখ্যক রৈখিক স্বাধীন ভেক্টর যা দিয়ে সম্পূর্ণ ভেক্টর জগতটিকে বর্ণনা করা যায়। সবচেয়ে সাধারণ ভিত্তি ভেক্টরগুলো হলো ক্রোনেকার ভেক্টর, যাদেরকে ক্যানোনিকাল ভিত্তি-ও বলা হয়:

${\hat {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad ;\quad {\hat {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad ;\quad {\hat {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, আমরা বলি যে স্থানাঙ্কের একটি ক্রমিক ত্রয়ী এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$v={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

আর ক্রোনেকার ভিত্তি ভেক্টরগুলোকে সংযুক্ত করে আমরা যেকোনো বিন্দু (x, y, z) তৈরি করতে পারি:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}+z{\hat {k}}$

কিছু উপপাদ্য:

• কোনো ভেক্টর জগত V-এর একটি ভিত্তি ${\mathcal {B}}(v_{1},\ldots ,v_{n})$-এ সর্বোচ্চ সংখ্যক রৈখিক স্বাধীন ভেক্টর থাকে।
• (বিপরীতক্রমে) কোনো ভেক্টর জগতে সর্বোচ্চ সংখ্যক রৈখিক স্বাধীন ভেক্টর হলো একটি ভিত্তি।

ভিত্তি এবং মাত্রা

যদি একটি ভেক্টর জগত V এমন হয় যে:

এটি N সংখ্যক ভেক্টরের একটি রৈখিক স্বাধীন সেট B ধারণ করে,এবং

V-এর যেকোনো N + 1 বা তার বেশি ভেক্টরের সেট রৈখিক পরাধীন হয়,
তবে V-এর মাত্রা N বলে ধরা হয়, এবং B-কে V-এর একটি ভিত্তি বলা হয়।

বহিঃসংযোগ

• ভেক্টর জগতের ওপর অনলাইন ইন্টারেক্টিভ অনুশীলনী।

করণীয়

ভেক্টর জগতে ভিত্তি কী এবং স্থানাঙ্ক রূপান্তর সম্পর্কে বলুন। (এই নিবন্ধে একটি ভিত্তির বিমূর্ত সংজ্ঞা রয়েছে যা ভেক্টর জগতের একটি ভিত্তির সাধারণীকরণ এবং এটি ভিত্তি ও স্থানাঙ্ক রূপান্তর ব্যাখ্যা করার ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে।)

সাবস্পেসের জ্যামিতি (বিন্দু, রেখা, সমতল, হাইপারসারফেস) নিয়ে আলোচনা করুন এবং রৈখিক ব্যবস্থার সমাধানের জ্যামিতির সাথে সেগুলোর সংযোগ স্থাপন করুন। সাবস্পেস ও ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশের বীজগণিতকে রৈখিক ব্যবস্থার বীজগণিতের সাথে সংযুক্ত করুন।

পরামর্শ: একে ফোরডি (ত্রিমাত্রিক থেকে চতুর্মাত্রিক) পর্যন্ত সম্প্রসারিত করুন।