রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগতের সংজ্ঞা ও উদাহরণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

নিচে উল্লিখিত প্রতিটি ভেক্টর জগতের জন্য শূন্য ভেক্টরটি শনাক্ত করুন এবং সেগুলোর নামকরণ করুন।

1. স্বাভাবিক গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে গঠিত তৃতীয় মাত্রার বহুপদী রাশির ভেক্টর জগত।
2. $2\!\times \!4$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহের ভেক্টর জগত।
3. $\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \,{\big |}\,f{\text{ is continuous}}\}$ জগতটি, যা মূলত একটি নির্দিষ্ট ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত সকল অবিচ্ছিন্ন বাস্তব ফাংশনের সেট।
4. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা চলকবিশিষ্ট সকল বাস্তব-মান ফাংশনের ভেক্টর জগত।

উত্তর

1. এই জগতের শূন্য ভেক্টরটি হলো: $0+0x+0x^{2}+0x^{3}$
2. এই ক্ষেত্রে শূন্য ভেক্টরটি হলো একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স: ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
3. এই জগতের শূন্য উপাদানটি হলো ধ্রুবক ফাংশন $f(x)=0$
4. এই ক্ষেত্রে শূন্য উপাদানটি হলো ধ্রুবক ফাংশন $f(n)=0$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

সংশ্লিষ্ট ভেক্টর জগতের প্রেক্ষিতে নিচে প্রদত্ত প্রতিটি ভেক্টরের যোগজ বিপরীত ভেক্টরটি নির্ণয় করুন।

1. ${\mathcal {P}}_{3}$ জগতের অন্তর্ভুক্ত $-3-2x+x^{2}$ ভেক্টরটির বিপরীত ভেক্টর।
2. $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের জগতে প্রদত্ত নিচের ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত উপাদান:

   ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}}.$

3. বাস্তব চলক $x$-এর সাপেক্ষে স্বাভাবিক প্রক্রিয়ায় গঠিত $\{ae^{x}+be^{-x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ ফাংশন জগতের $3e^{x}-2e^{-x}$ ভেক্টরটি।

উত্তর

1. নির্ণেয় যোগজ বিপরীত ভেক্টরটি হলো $3+2x-x^{2}$
2. প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি হলো ${\begin{pmatrix}-1&+1\\0&-3\end{pmatrix}}$
3. এই ফাংশনটির যোগজ বিপরীত রূপ হলো $-3e^{x}+2e^{-x}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৩

প্রমাণ করুন যে নিচে বর্ণিত প্রতিটি সেট বা সংগ্রহ একেকটি ভেক্টর জগত হিসেবে গণ্য হয়।

1. বহুপদী রাশির সাধারণ যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার অধীনে রৈখিক বহুপদী রাশির সেট ${\mathcal {P}}_{1}=\{a_{0}+a_{1}x\,{\big |}\,a_{0},a_{1}\in \mathbb {R} \}$।
2. ম্যাট্রিক্সের সাধারণ প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে বাস্তব উপাদানবিশিষ্ট $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহের সেট।
3. তিনটি উপাদানবিশিষ্ট সারি ভেক্টরসমূহের সেট এবং তাদের সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহ।
4. $\mathbb {R} ^{4}$ থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে গঠিত নিচের সেটটি:

   $L=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y-z+w=0\}$

উত্তর

ভেক্টর জগত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় অধিকাংশ শর্তাবলি যাচাই করা অত্যন্ত সহজ; এক্ষেত্রে নির্দেশিকা হিসেবে উদাহরণ ১.৩ ব্যবহার করা যেতে পারে। নিচে এই সংক্রান্ত কিছু প্রাসঙ্গিক মন্তব্য ও ব্যাখ্যা প্রদান করা হলো।

1. এই সেটটি গঠনগতভাবে হুবহু উদাহরণ ১.৩-এর মতোই; এখানে শূন্য উপাদানটি হলো $0+0x$।
2. এই জগতের শূন্য উপাদানটি হলো শূন্য উপাদানবিশিষ্ট একটি $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্স।
3. এক্ষেত্রে শূন্য উপাদানটি হলো শূন্যের সমন্বয়ে গঠিত একটি সারি ভেক্টর।
4. যোগের আবদ্ধতা গুণের ক্ষেত্রে এটি লক্ষ করা প্রয়োজন যে, দুটি ভেক্টরের যোগফল নিম্নরূপ হবে:

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\\w_{1}+w_{2}\end{pmatrix}}$

   উক্ত যোগফলটি $L$ সেটের একটি উপাদান হিসেবে গণ্য হবে, কারণ গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী: $(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})+(w_{1}+w_{2})=(x_{1}+y_{1}-z_{1}+w_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2}+w_{2})=0+0$। স্কেলার গুণনের আবদ্ধতা প্রমাণের পদ্ধতিটিও অনেকটা অনুরূপ। এখানে বিশেষভাবে লক্ষ করুন যে, শূন্য উপাদানটি অর্থাৎ শূন্য ভেক্টরটি $L$ সেটের অন্তর্ভুক্ত।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

নিচে বর্ণিত প্রতিটি সেট যে ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগৎ নয়, তা গাণিতিকভাবে প্রদর্শন করুন। (ইঙ্গিত: আপনার উত্তর শুরু করার জন্য প্রতিটি সেটের অন্তত দুটি করে সদস্য বা উপাদান তালিকাভুক্ত করুন।)

1. $\mathbb {R} ^{3}$ থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে, এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

2. $\mathbb {R} ^{3}$ থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে, এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

3. সাধারণ ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে, এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}a&1\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. সাধারণ বহুপদী প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে, এই সেটটি:

   $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}\}$

   যেখানে $\mathbb {R} ^{+}$ হলো শূন্য অপেক্ষা বড় বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট।
5. উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে, এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,x+3y=4{\text{ এবং }}2x-y=3{\text{ এবং }}6x+4y=10\}$

উত্তর

প্রতিটি আইটেমে আলোচ্য সেটটিকে $Q$ হিসেবে অভিহিত করা হয়েছে। উল্লেখ্য যে, কিছু নির্দিষ্ট আইটেমের ক্ষেত্রে $Q$ যে একটি ভেক্টর স্পেস নয়, তা প্রমাণ করার জন্য অন্যান্য সঠিক গাণিতিক পদ্ধতিও বিদ্যমান থাকতে পারে।

1. এটি যোগের অধীনে আবদ্ধ নয়; অর্থাৎ এটি ভেক্টর স্পেসের প্রথম শর্তটি পূরণ করতে ব্যর্থ হয়েছে।

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\not \in Q$

2. এটি যোগের অধীনে আবদ্ধ নয়।

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\not \in Q$

3. এটি যোগের অধীনে আবদ্ধ নয়।

   ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}\not \in Q$

4. এটি স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধ নয়।

   $1+1x+1x^{2}\in Q\qquad -1\cdot (1+1x+1x^{2})\not \in Q$

5. এটি একটি শূন্য সেট বা ফাঁকা সেট, যা ভেক্টর স্পেসের অস্তিত্ব রক্ষার জন্য প্রয়োজনীয় চতুর্থ শর্তটি সরাসরি লঙ্ঘন করে।

সমস্যা ৫

বাস্তব সংখ্যা $\mathbb {R}$-এর ওপর ভিত্তি করে জটিল সংখ্যাসমূহকে একটি ভেক্টর স্পেস হিসেবে প্রতিষ্ঠিত করার লক্ষে উপযুক্ত যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করুন।

উত্তর

সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহ, যেমন $(v_{0}+v_{1}i)+(w_{0}+w_{1}i)=(v_{0}+w_{0})+(v_{1}+w_{1})i$ এবং $r(v_{0}+v_{1}i)=(rv_{0})+(rv_{1})i$ এক্ষেত্রে পর্যাপ্ত এবং যথাযথ। এই প্রক্রিয়াগুলো ভেক্টর স্পেসের শর্তাবলি পূরণ করে কি না, তা যাচাই করা অত্যন্ত সহজসাধ্য।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৬

সাধারণ যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার প্রেক্ষাপটে, মূলদ সংখ্যাসমূহের সেট কি বাস্তব সংখ্যা $\mathbb {R}$-এর ওপর একটি ভেক্টর স্পেস হিসেবে গণ্য হতে পারে?

উত্তর

না, এটি স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধ বা সংবদ্ধ নয়। এর কারণ হিসেবে বলা যেতে পারে যে, উদাহরণস্বরূপ, $\pi \cdot 1$ কোনো মূলদ সংখ্যা নয়, বরং এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমস্যা ৭

প্রমাণ করুন বা দেখান যে, $x,y,z$ চলকসমূহের রৈখিক সমাবেশের সেটটি স্বাভাবিক যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগত গঠন করে।

উত্তর

এখানে স্বাভাবিক গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো হলো $(v_{1}x+v_{2}y+v_{3}z)+(w_{1}x+w_{2}y+w_{3}z)=(v_{1}+w_{1})x+(v_{2}+w_{2})y+(v_{3}+w_{3})z$ এবং $r\cdot (v_{1}x+v_{2}y+v_{3}z)=(rv_{1})x+(rv_{2})y+(rv_{3})z$। এটি যে একটি ভেক্টর স্পেসের সকল শর্ত পূরণ করে তা যাচাই করা অত্যন্ত সহজসাধ্য; এক্ষেত্রে নির্দেশিকা বা গাইড হিসেবে উদাহরণ ১.৩ ব্যবহার করা যেতে পারে।

সমস্যা ৮

প্রমাণ করুন যে নিচের সেটটি একটি ভেক্টর স্পেস নয়: বাস্তব সংখ্যা বিশিষ্ট দুই-সারি বিশিষ্ট কলাম ভেক্টরসমূহের সেট, যা নিম্নোক্ত প্রক্রিয়াগুলোর অধীন।

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\end{pmatrix}}$

উত্তর

এখানে সংজ্ঞায়িত "$+$" প্রক্রিয়াটি বিনিময়যোগ্য বা ক্রমবিনিময়ী নয় (অর্থাৎ, ভেক্টর স্পেস হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় ২ নম্বর শর্তটি এখানে লঙ্ঘিত হয়েছে); এই দাবির সত্যতা প্রমাণের জন্য সেটের এমন দুটি সদস্য খুঁজে বের করা খুবই সহজ যা এই অসঙ্গতিটি স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করে।

সমস্যা ৯

নিচের প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে $\mathbb {R} ^{3}$ একটি ভেক্টর স্পেস কি না, তা যাচাই করুন।

1. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী এটি একটি ভেক্টর স্পেস হিসেবে গণ্য হবে না।

   $(1+1)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

2. এটিও একটি ভেক্টর স্পেসের শর্তাবলি পূরণ করে না।

   $1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১০

নিচের প্রতিটি সেটের ক্ষেত্রে সিদ্ধান্ত নিন যে সেগুলো ভেক্টর স্পেস কি না; এখানে স্বাভাবিক গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলোই বিবেচনা করতে হবে।

1. $2\!\times \!2$ আকারের সকল কর্ণ ম্যাট্রিক্সসমূহ

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

2. $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহের এই বিশেষ সেটটি

   $\{{\begin{pmatrix}x&x+y\\x+y&y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

3. নিম্নোক্ত শর্তাধীন সেটটি

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y+z+w=1\}$

4. সেই সকল ফাংশনের সেট $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=0\}$, যেখানে ফাংশনগুলো বাস্তব সংখ্যার ডোমেইন থেকে বাস্তব সংখ্যার রেঞ্জে সংজ্ঞায়িত এবং একটি নির্দিষ্ট অন্তরক সমীকরণ মেনে চলে।
5. সেই সকল ফাংশনের সেট $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=1\}$, যা একটি রৈখিক অন্তরক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

উত্তর

প্রতিটি "হ্যাঁ" উত্তরের ক্ষেত্রে, ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগতের সংজ্ঞায় বর্ণিত সকল শর্তাবলী যথাযথভাবে যাচাই করা আবশ্যক। অন্যদিকে, প্রতিটি "না" উত্তরের ক্ষেত্রে, ভেক্টর স্পেসের শর্তভঙ্গের একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ প্রদান করতে হবে যা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করে যে কেন এটি ভেক্টর স্পেস হিসেবে গণ্য হতে পারে না।

1. হ্যাঁ, এটি একটি ভেক্টর স্পেস।
2. হ্যাঁ, এটি ভেক্টর স্পেসের সকল শর্ত পূরণ করে।
3. না, এটি যোগজ প্রক্রিয়ার অধীনে আবদ্ধ নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি সকল উপাদানের মান $1/4$ বিশিষ্ট একটি ভেক্টর বিবেচনা করা হয়, তবে সেটিকে নিজের সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত ফলাফলটি এই সেটের সদস্য থাকে না।
4. হ্যাঁ।
5. না, এখানে $f(x)=e^{-2x}+(1/2)$ ফাংশনটি সেটের অন্তর্ভুক্ত হলেও $2\cdot f$ ফাংশনটি সেটের অন্তর্ভুক্ত নয় (অর্থাৎ, ভেক্টর স্পেসের ষষ্ঠ শর্তটি এখানে লঙ্ঘিত হয়েছে)।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১১

যাচাই করুন যে এটি একটি ভেক্টর স্পেস কি না: একটি বাস্তব চলকের বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশন $f$ এর সেট, যেখানে $f(7)=0$ শর্তটি প্রযোজ্য।

উত্তর

এটি একটি ভেক্টর স্পেস। ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞায় উল্লিখিত অধিকাংশ শর্তাবলী এখানে অত্যন্ত সাধারণ; তাই আমরা এখানে শুধুমাত্র আবদ্ধতা বা ক্লোজার শর্তটি যাচাই করব। যোগের ক্ষেত্রে দেখা যায় যে, $(f_{1}+f_{2})\,(7)=f_{1}(7)+f_{2}(7)=0+0=0$। আবার স্কেলার গুণনের ক্ষেত্রে, $(r\cdot f)\,(7)=rf(7)=r0=0$। যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই ফলাফল শূন্য হয় এবং সেটের শর্ত বজায় থাকে, তাই এটি একটি বৈধ ভেক্টর স্পেস।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১২

দেখাও যে ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R} ^{+}$ একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে, যখন "$x+y$" বলতে $x$ এবং $y$ এর গুণফলকে বোঝানো হয় (অর্থাৎ $2+3$ এর মান হবে $6$), এবং "$r\cdot x$" বলতে $x$ এর $r$-তম ঘাত বা শক্তিকে বোঝানো হয়।

উত্তর

আমরা এখানে ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞা ১.১ যাচাই করে দেখব।

প্রথমত, "$+$" এর অধীনে আবদ্ধতা বা ক্লোজার শর্তটি বজায় থাকে কারণ দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যাই হয়। দ্বিতীয় শর্তটি সন্তুষ্ট হয় কারণ বাস্তব সংখ্যার গুণন প্রক্রিয়া বিনিময়যোগ্য। একইভাবে, যেহেতু বাস্তব সংখ্যার গুণন প্রক্রিয়া সংযোগমূলক (associative), তাই তৃতীয় শর্তটিও সঠিকভাবে যাচাই করা যায়। চতুর্থ শর্তের ক্ষেত্রে লক্ষ করুন যে, কোনো সংখ্যাকে $1\in \mathbb {R} ^{+}$ দ্বারা গুণ করলে সেই সংখ্যার কোনো পরিবর্তন হয় না, যা অভেদক উপাদানের অস্তিত্ব প্রমাণ করে। পঞ্চম শর্ত অনুযায়ী, যেকোনো ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার একটি বিপরীত মান থাকে যা নিজেও একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা।

ষষ্ঠ শর্ত অর্থাৎ "$\cdot$" এর অধীনে আবদ্ধতা বজায় থাকে কারণ একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার যেকোনো ঘাত বা পাওয়ার সর্বদা একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যাই হয়। সপ্তম শর্তটি মূলত সূচকের একটি সাধারণ নিয়ম প্রকাশ করে যেখানে $v^{r+s}$ এর মান $v^{r}$ এবং $v^{s}$ এর গুণফলের সমান। অষ্টম শর্তটি নির্দেশ করে যে $(vw)^{r}=v^{r}w^{r}$। নবম শর্তটি গাণিতিকভাবে নিশ্চিত করে যে $(v^{r})^{s}=v^{rs}$। সর্বশেষ বা দশম শর্তটি বলে যে $v^{1}=v$, যা ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞাকে পূর্ণতা দান করে।

সমস্যা ১৩

নিচে বর্ণিত অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে $\{(x,y)\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$ কি একটি ভেক্টর স্পেস হবে?

1. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ এবং $r\cdot (x,y)=(rx,y)$
2. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ এবং $r\cdot (x,y)=(rx,0)$

উত্তর

1. না; কারণ $1\cdot (0,1)+1\cdot (0,1)\neq (1+1)\cdot (0,1)$।
2. না; পূর্ববর্তী উত্তরের মতো একই গাণিতিক হিসাব এখানেও প্রদর্শন করে যে, ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগতের সংজ্ঞায় বর্ণিত একটি বিশেষ শর্ত এখানে লঙ্ঘিত হয়েছে। ভেক্টর স্পেস হওয়ার শর্তাবলি লঙ্ঘনের আরেকটি উল্লেখযোগ্য উদাহরণ হলো $1\cdot (0,1)\neq (0,1)$।

সমস্যা ১৪

নিচের সেটটি একটি ভেক্টর স্পেস কি না তা যাচাই করুন: দুই বা ততোধিক ঘাতবিশিষ্ট (degree) বহুপদী রাশির সেট, যার সাথে শূন্য বহুপদী রাশিটিও (zero polynomial) অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

উত্তর

এটি একটি ভেক্টর স্পেস নয়, কারণ এটি যোগজ প্রক্রিয়ার অধীনে আবদ্ধ বা 'ক্লোজড' নয়। উদাহরণস্বরূপ, $(x^{2})+(1+x-x^{2})$ এর যোগফল এই সেটের অন্তর্ভুক্ত নয়, যা ভেক্টর স্পেস হওয়ার একটি অপরিহার্য শর্ত ভঙ্গ করে।

সমস্যা ১৫

এই পর্যায়ে 'একই' বা 'অভিন্ন' ধারণাটি কেবল একটি স্বজ্ঞাত বা প্রাথমিক ধারণা হিসেবে বিবেচিত হচ্ছে। তা সত্ত্বেও, নিচের প্রতিটি ভেক্টর স্পেসের জন্য এমন একটি $k$ মান নির্ধারণ করুন যার ফলে সংশ্লিষ্ট স্পেসটি $\mathbb {R} ^{k}$ এর সাথে 'একই' বা সমতুল্য হিসেবে গণ্য হয়।

1. সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়ার অধীনে $2\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহ।
2. সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়ার অধীনে $n\!\times \!m$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহ।
3. নিচে বর্ণিত $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সেটটি বিবেচনা করুন:

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. নিচে বর্ণিত $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সেটটি লক্ষ করুন:

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

উত্তর

1. $6$
2. $nm$
3. $3$
4. উত্তরটি যে $2$ হবে তা বোঝার জন্য, ম্যাট্রিক্সটিকে নিম্নোক্তভাবে পুনরায় লিখুন:

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&-a-b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

   এর ফলে দেখা যাচ্ছে যে এখানে মাত্র দুটি স্বাধীন প্যারামিটার বা চলক বিদ্যমান।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৬

ভেক্টর যোগের ক্ষেত্রে ${\vec {+}}$ চিহ্ন এবং স্কেলার গুণের ক্ষেত্রে $\,{\vec {\cdot }}\,$ চিহ্ন ব্যবহার করে ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগতের সংজ্ঞাটি পুনরায় বিবৃত করুন।

উত্তর

বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R}$-এর ওপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগত মূলত একটি সেট $V$ এবং এর সাথে সংশ্লিষ্ট দুটি গাণিতিক প্রক্রিয়া বা অপারেশন যথাক্রমে "${\mathbin {\vec {+}}}$" এবং "${\mathbin {\vec {\cdot }}}$"-এর সমন্বয়ে গঠিত হয়, যা নির্দিষ্ট কিছু গাণিতিক শর্তাবলি মেনে চলে। এখানে যদি ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ হয়, তবে নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্যগুলো পরিলক্ষিত হবে:

1. তাদের মধ্যকার ভেক্টর যোগফল ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}$ অবশ্যই $V$ সেটের একটি উপাদান হিসেবে গণ্য হবে। যদি ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ হয়, তবে:
2. ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}={\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {v}}$ হবে, যা ভেক্টর যোগের বিনিময় বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করে; এবং
3. $({\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}){\mathbin {\vec {+}}}{\vec {u}}={\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}({\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {u}})$ হবে, যা ভেক্টর যোগের সংযোগ নিয়ম হিসেবে পরিচিত।
4. উক্ত সেটে একটি নির্দিষ্ট শূন্য ভেক্টর ${\vec {0}}\in V$-এর অস্তিত্ব থাকবে, যেন সকল ${\vec {v}}\in V$-এর জন্য ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {0}}={\vec {v}}\,$ শর্তটি পূরণ হয়।
5. প্রত্যেক ${\vec {v}}\in V$-এর জন্য একটি অনন্য যোগজ বিপরীত ${\vec {w}}\in V$ থাকবে, যেন ${\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {v}}={\vec {0}}$ হয়। এখন যদি $r,s$ দুটি স্কেলার (scalar) রাশি হয় (অর্থাৎ তারা বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R}$-এর সদস্য) এবং ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ হয়, তবে:
6. প্রতিটি স্কেলার গুণিতক (scalar multiple) $r\cdot {\vec {v}}$ অবশ্যই $V$ সেটের একটি উপাদান হবে। যদি $r,s\in \mathbb {R}$ এবং ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ হয়, তবে:
7. $(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}s\cdot {\vec {v}}$ হবে, এবং
8. $r{\mathbin {\vec {\cdot }}}({\vec {v}}+{\vec {w}})=r{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}+r{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {w}}$ হবে, এবং
9. $(rs){\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}=r{\mathbin {\vec {\cdot }}}(s{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}})$ হবে, এবং
10. $1{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}={\vec {v}}$ হবে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৭

নিচের গাণিতিক উক্তিগুলো প্রমাণ করুন।

1. যেকোনো ভেক্টর হলো তার নিজের যোগজ বিপরীতের যোগজ বিপরীত।
2. ভেক্টর যোগের ক্ষেত্রে বাম-বর্জন (left-cancel) নীতি কার্যকর হয়: অর্থাৎ যদি ${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$ হয়, তবে ${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}\,$ থেকে এটি প্রমাণিত হয় যে ${\vec {s}}={\vec {t}}$।

উত্তর

1. ধরি, $V$ হলো একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগত। মনে করি, ${\vec {v}}\in V$ একটি ভেক্টর এবং ${\vec {w}}\in V$ হলো ${\vec {v}}$-এর যোগজ বিপরীত, যার ফলে ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$ শর্তটি সিদ্ধ হয়। যেহেতু ভেক্টর জগতের সংজ্ঞানুসারে ভেক্টর যোগফল বিনিময়যোগ্য বা ক্রমবিনিময় নিয়ম (commutative law) মেনে চলে, তাই আমরা লিখতে পারি ${\vec {0}}={\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {w}}$। এর থেকে এটিই প্রমাণিত হয় যে, ${\vec {v}}$ ভেক্টরটিও প্রকৃতপক্ষে ${\vec {w}}$ ভেক্টরের একটি যোগজ বিপরীত উপাদান হিসেবে গণ্য হবে।
2. ধরা যাক, $V$ একটি ভেক্টর স্পেস এবং ${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$ হলো উক্ত জগতের তিনটি সদস্য ভেক্টর। এখন, ${\vec {v}}$ ভেক্টরের যোগজ বিপরীত উপাদানটি হলো $-{\vec {v}}$। এমতাবস্থায়, যদি ${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}$ হয়, তবে সমীকরণের উভয় পক্ষে $-{\vec {v}}$ যোগ করে আমরা পাই যে $-{\vec {v}}+{\vec {v}}+{\vec {s}}=-{\vec {v}}+{\vec {v}}+{\vec {t}}$। যোগজ বিপরীতের সংজ্ঞামতে এটি নির্দেশ করে যে ${\vec {0}}+{\vec {s}}={\vec {0}}+{\vec {t}}$, এবং পরিশেষে আমরা পাই ${\vec {s}}={\vec {t}}$। এটি ভেক্টর যোগের বর্জন বিধি বা ক্যানসেলেশন ল (cancellation law) হিসেবে পরিচিত।

সমস্যা ১৮

ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগতের প্রথাগত সংজ্ঞায় সরাসরি এটি বলা নেই যে ${\vec {0}}+{\vec {v}}={\vec {v}}$ (বরং সেখানে উল্লেখ থাকে যে ${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$)। দেখান যে, তা সত্ত্বেও যেকোনো ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যটি অবশ্যই বজায় থাকবে।

উত্তর

ভেক্টর যোগফল বিনিময়যোগ্য, তাই যেকোনো ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে এবং যেকোনো ভেক্টর ${\vec {v}}$-এর জন্য আমরা পাই যে ${\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {v}}$। অর্থাৎ, শূন্য ভেক্টরকে বাম দিক থেকে যোগ করা হোক বা ডান দিক থেকে, ফলাফল একই থাকে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৯

প্রচলিত গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে সকল প্রকার ম্যাট্রিক্সের সেটটি একটি ভেক্টর স্পেস কি না, তা যাচাই করুন।

উত্তর

এটি একটি ভেক্টর স্পেস নয়। এর কারণ হলো, ভিন্ন ভিন্ন আকারের (unequal sizes) দুটি ম্যাট্রিক্সের মধ্যে যোগফল সংজ্ঞায়িত নয়। ফলে, এই সেটটি ভেক্টর জগতের আবদ্ধতা বা ক্লোজার শর্তটি পূরণ করতে ব্যর্থ হয়।

সমস্যা ২০

একটি ভেক্টর স্পেসের প্রতিটি উপাদানের একটি করে যোগজ বিপরীত উপাদান থাকে। কোনো উপাদানের কি দুই বা ততোধিক যোগজ বিপরীত থাকা সম্ভব?

উত্তর

একটি ভেক্টর স্পেসের প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি এবং কেবলমাত্র একটিই (অনন্য) যোগজ বিপরীত উপাদান থাকে।

প্রমাণের জন্য ধরি, $V$ একটি ভেক্টর স্পেস এবং মনে করি ${\vec {v}}\in V$। যদি ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\in V$ উভয়ই ${\vec {v}}$-এর যোগজ বিপরীত হয়, তবে ${\vec {w}}_{1}+{\vec {v}}+{\vec {w}}_{2}$ রাশিটি বিবেচনা করা যাক। একদিকে, আমরা দেখতে পাই যে এটি ${\vec {w}}_{1}+({\vec {v}}+{\vec {w}}_{2})={\vec {w}}_{1}+{\vec {0}}={\vec {w}}_{1}$-এর সমান। অন্যদিকে, আমরা পাই যে এটি $({\vec {w}}_{1}+{\vec {v}})+{\vec {w}}_{2}={\vec {0}}+{\vec {w}}_{2}={\vec {w}}_{2}$-এর সমান। যেহেতু উভয় দিক থেকেই একই রাশির মান পাওয়া যাচ্ছে, তাই অবশ্যই ${\vec {w}}_{1}={\vec {w}}_{2}$ হতে হবে।

সমস্যা ২১

1. প্রমাণ করুন যে, ত্রিমাত্রিক বাস্তব জগত বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর মূলবিন্দুগামী প্রতিটি বিন্দু, রেখা বা সমতল উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত গাণিতিক প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস।
2. যদি এটি মূলবিন্দু ধারণ না করে, তবে কী ঘটবে?

উত্তর

1. এই ধরনের প্রতিটি সেটের সাধারণ গাণিতিক রূপ হলো $\{r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {w}}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$, যেখানে ${\vec {v}}$ অথবা ${\vec {w}}$ ভেক্টর দুটির যেকোনো একটি অথবা উভয়ই শূন্য ভেক্টর বা ${\vec {0}}$ হতে পারে। উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলোর মাধ্যমে যোগের আবদ্ধতা বা ক্লোজার ধর্ম $(r_{1}{\vec {v}}+s_{1}{\vec {w}})+(r_{2}{\vec {v}}+s_{2}{\vec {w}})=(r_{1}+r_{2}){\vec {v}}+(s_{1}+s_{2}){\vec {w}}$ এবং স্কেলার গুণনের ধর্ম $c(r{\vec {v}}+s{\vec {w}})=(cr){\vec {v}}+(cs){\vec {w}}$ অত্যন্ত সহজেই প্রতিপাদন করা সম্ভব। ভেক্টর জগতের অন্যান্য শর্তাবলিও একইভাবে অত্যন্ত নিয়মানুগ পদ্ধতি অনুসরণ করে যাচাই করা যায়।
2. উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত এই প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে এমন কোনো সেটই ভেক্টর জগত বা ভেক্টর স্পেস হিসেবে গণ্য হতে পারে না, কারণ এতে কোনো শূন্য উপাদান বা জিরো এলিমেন্ট বিদ্যমান থাকে না।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২২

ভেক্টর জগতের ধারণা ব্যবহার করে আমরা খুব সহজেই পুনরায় প্রমাণ করতে পারি যে, একটি সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেম বা হোমোজেনিয়াস লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান সেটে হয় কেবল একটি উপাদান থাকে অথবা অসীম সংখ্যক উপাদান থাকে। ধরে নেওয়া যাক যে, ${\vec {v}}\in V$ ভেক্টরটি শূন্য ভেক্টর বা ${\vec {0}}$ নয়।

1. প্রমাণ করুন যে, $r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ হবে যদি এবং কেবল যদি $r=0$ হয়।
2. প্রমাণ করুন যে, $r_{1}\cdot {\vec {v}}=r_{2}\cdot {\vec {v}}$ হবে যদি এবং কেবল যদি $r_{1}=r_{2}$ হয়।
3. প্রমাণ করুন যে, যেকোনো অ-তুচ্ছ বা নন-ট্রিভিয়াল ভেক্টর জগত সর্বদা অসীম হয়।
4. একটি সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেমের অশূন্য সমাধান সেট যে একটি ভেক্টর জগত গঠন করে, এই তথ্যটি ব্যবহার করে উপরোক্ত সিদ্ধান্তে উপনীত হোন।

উত্তর

ধরে নেওয়া যাক যে, ${\vec {v}}\in V$ ভেক্টরটি শূন্য ভেক্টর বা ${\vec {0}}$ নয়।

1. 'যদি এবং কেবল যদি' শর্তটির একটি দিক অত্যন্ত স্পষ্ট: যদি $r=0$ হয়, তবে স্কেলার গুণনের গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী $r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ হবে। বিপরীত দিকটি প্রমাণের জন্য ধরা যাক $r$ একটি অশূন্য স্কেলার। যদি $r{\vec {v}}={\vec {0}}$ হয়, তবে $1\cdot {\vec {v}}=(r/r)\cdot {\vec {v}}=(1/r)\cdot r{\vec {v}}=(1/r)\cdot {\vec {0}}$ সমীকরণটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে ${\vec {v}}={\vec {0}}$, যা আমাদের প্রাথমিক অনুমানের সম্পূর্ণ পরিপন্থী।
2. যেখানে $r_{1},r_{2}$ হলো স্কেলার রাশি, সেখানে $r_{1}{\vec {v}}=r_{2}{\vec {v}}\,$ সমীকরণটি তখনই সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $(r_{1}-r_{2}){\vec {v}}={\vec {0}}$ হয়। পূর্ববর্তী পয়েন্টে বর্ণিত যুক্তি অনুযায়ী, এর অর্থ দাঁড়ায় $r_{1}-r_{2}=0$।
3. একটি অ-তুচ্ছ বা নন-ট্রিভিয়াল ভেক্টর জগতে অন্তত একটি ভেক্টর ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ বিদ্যমান থাকে। এখন $\{k\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$ সেটটি বিবেচনা করা যাক। পূর্ববর্তী পয়েন্টে আলোচিত গাণিতিক যুক্তি অনুসারে, এই সেটটি অবশ্যই অসীম সংখ্যক উপাদানে গঠিত।
4. সমাধান সেটটি হয় তুচ্ছ (ট্রিভিয়াল) হবে, অথবা অ-তুচ্ছ (নন-ট্রিভিয়াল) হবে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, এটি একটি অসীম সেট হিসেবে গণ্য হবে।

সমস্যা ২৩

স্বাভাবিক গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে এটি কি একটি ভেক্টর জগত হবে: একটি বাস্তব চলকের বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশনসমূহ যা অন্তরীকরণযোগ্য বা ডিফারেনশিয়েবল?

উত্তর

হ্যাঁ, এটি সঠিক। ক্যালকুলাসের প্রথম সেমিস্টারের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য অনুসারে, দুটি অন্তরীকরণযোগ্য (differentiable) ফাংশনের যোগফলও সর্বদা অন্তরীকরণযোগ্য হয় এবং এক্ষেত্রে $(f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ গাণিতিক সম্পর্কটি বজায় থাকে। একইভাবে, কোনো অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশনের স্কেলার গুণিতকও সর্বদা অন্তরীকরণযোগ্য এবং সেক্ষেত্রে $(r\cdot f)^{\prime }=r\,f^{\prime }$ সূত্রটি কার্যকর হয়।

সমস্যা ২৪

জটিল সংখ্যার ওপর ভিত্তি করে গঠিত একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগতের ($\mathbb {C}$) সংজ্ঞা বাস্তব সংখ্যার ওপর ভিত্তি করে গঠিত ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞার মতোই অভিন্ন, তবে মূল পার্থক্যটি হলো এখানে স্কেলারগুলো বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R}$-এর পরিবর্তে জটিল সংখ্যার সেট $\mathbb {C}$ থেকে গ্রহণ করা হয়। নিচে প্রদত্ত সেটগুলোর প্রত্যেকটি যে জটিল সংখ্যার ওপর একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে, তা প্রদর্শন করুন। (স্মরণ করুন যে জটিল সংখ্যার যোগ এবং গুণন প্রক্রিয়া কীভাবে সম্পন্ন হয়: $(a_{0}+a_{1}i)+(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})i$ এবং $(a_{0}+a_{1}i)(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})i$।)

1. জটিল সহগবিশিষ্ট দ্বিতীয় ঘাতের বহুপদী বা পলিনোমিয়ালসমূহের সেট।
2. এই নির্দিষ্ট সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ and }}a+b=0+0i\}$

উত্তর

এই যাচাইকরণ প্রক্রিয়াটি অত্যন্ত সাধারণ ও গাণিতিক নিয়মানুগ। এখানে বিশেষভাবে লক্ষণীয় যে, স্কেলার একক "১" বলতে এখানে $1+0i$-কে বোঝানো হয়েছে এবং শূন্য উপাদান বা জিরো এলিমেন্টগুলো নিচে প্রদান করা হলো:

1. $(0+0i)+(0+0i)x+(0+0i)x^{2}$
2. ${\begin{pmatrix}0+0i&0+0i\\0+0i&0+0i\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২৫

এমন একটি বৈশিষ্ট্যের নাম উল্লেখ করুন যা সকল $\mathbb {R} ^{n}$ জগতের ক্ষেত্রে বিদ্যমান, কিন্তু ভেক্টর স্পেস হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাবলির তালিকায় সেটিকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি।

উত্তর

ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞায় বিশেষভাবে অনুপস্থিত একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো দূরত্বের পরিমাপ বা 'ডিসটেন্স মেজার'। অর্থাৎ, একটি সাধারণ ভেক্টর স্পেসে ভেক্টরসমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের কোনো আবশ্যিক নিয়ম বা মেট্রিক সংজ্ঞায়িত থাকে না।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২৬

1. প্রমাণ করুন যে, চারটি ভেক্টর ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{4}\in V$-এর যোগফলের ক্ষেত্রে তাদের যেকোনো বিন্যাসে বা ক্রমে দলবদ্ধ (associate) করা হোক না কেন, চূড়ান্ত ফলাফলের কোনো পরিবর্তন হয় না।

   ${\begin{array}{rl}(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}&=({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\end{array}}$

   এই বৈশিষ্ট্যটি আমাদের কোনো প্রকার গাণিতিক অস্পষ্টতা ছাড়াই সরাসরি "${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}$" লেখার সুযোগ করে দেয়।
2. প্রমাণ করুন যে, যেকোনো সংখ্যক ভেক্টরের যোগফলের ক্ষেত্রে তাদের যেকোনোভাবে দলবদ্ধ করা হলে সর্বদা একই যোগফল পাওয়া যায়। (ইঙ্গিত: ভেক্টরের সংখ্যার ওপর গাণিতিক আরোহ বিধি বা ম্যাথমেটিক্যাল ইন্ডাকশন পদ্ধতি ব্যবহার করুন।)

উত্তর

1. সামান্য কিছু গাণিতিক পুনর্সজ্জার মাধ্যমেই এই প্রমাণটি সম্পন্ন করা সম্ভব।

   ${\begin{array}{rl}({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}&=(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\end{array}}$

   উপরের প্রতিটি সমতা বা সমীকরণ মূলত তিনটি ভেক্টরের মধ্যে বিদ্যমান সংযোগ বিধি বা অ্যাসোসিয়েটিভিটি (associativity) থেকে উদ্ভূত হয়েছে, যা একটি ভেক্টর জগতের সংজ্ঞায় একটি অপরিহার্য শর্ত হিসেবে প্রদান করা হয়েছে। দৃষ্টান্তস্বরূপ বলা যায় যে, দ্বিতীয় সমান চিহ্নের ("$=$") ক্ষেত্রে $({\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})+{\vec {w}}_{3}={\vec {w}}_{1}+({\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3})$ এই গাণিতিক নিয়মটি প্রয়োগ করা হয়েছে। এখানে আমরা ${\vec {w}}_{1}$ হিসেবে ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}$-কে বিবেচনা করেছি, ${\vec {w}}_{2}$ হিসেবে ${\vec {v}}_{3}$-কে গ্রহণ করেছি এবং ${\vec {w}}_{3}$ হিসেবে ${\vec {v}}_{4}$-কে নির্ধারণ করেছি।
2. গাণিতিক আরোহ বিধি বা ম্যাথমেটিক্যাল ইন্ডাকশনের প্রাথমিক ধাপ বা ভিত্তি (base case) হিসেবে আমরা তিনটি ভেক্টরের ক্ষেত্রটিকে বিবেচনা করি। ভেক্টর জগতের প্রমিত সংজ্ঞা অনুযায়ী, যেকোনো তিনটি ভেক্টরের ত্রয়ীর ক্ষেত্রে ${\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3}$ এই সমতাটি বজায় থাকা বাধ্যতামূলক। আরোহী ধাপ বা ইন্ডাকটিভ স্টেপের (inductive step) ক্ষেত্রে আমরা এটি ধরে নেব যে, তিনটি ভেক্টরের যেকোনো দুটি যোগফল, চারটি ভেক্টরের যেকোনো দুটি যোগফল এবং একইভাবে $k$ সংখ্যক ভেক্টরের যেকোনো দুটি যোগফল সর্বদা সমান হবে। এক্ষেত্রে বন্ধনী বা প্যারেনথেসিস যেভাবে বা যেখানেই স্থাপন করা হোক না কেন, তার ফলাফল অপরিবর্তিত থাকবে। এখন আমাদের এটি প্রমাণ করে দেখাতে হবে যে, $k+1$ সংখ্যক ভেক্টরের যেকোনো সম্ভাব্য যোগফল মূলত $((\cdots (({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+\cdots )+{\vec {v}}_{k})+{\vec {v}}_{k+1}$ এই নির্দিষ্ট গাণিতিক রূপটির সাথে সমতুল্য হবে। বন্ধনী ব্যবহার করে গঠিত যেকোনো যোগফলের ক্ষেত্রে একটি সর্ববহিঃস্থ যোগ চিহ্ন ("$+$") বিদ্যমান থাকে। আমরা ধরে নিচ্ছি যে, এই নির্দিষ্ট যোগ চিহ্নটি ${\vec {v}}_{m}$ এবং ${\vec {v}}_{m+1}$ ভেক্টর দুটির মাঝখানে অবস্থান করছে, যার ফলে সম্পূর্ণ যোগফলটি নিচের গাণিতিক রূপ পরিগ্রহ করে:

   $(\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\cdots +{\vec {v}}_{m}))\,\cdots )+(\cdots \,({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots +{\vec {v}}_{k+1}))\,\cdots )$

   সমীকরণের দ্বিতীয় অংশে $k+1$ সংখ্যক যোগের তুলনায় কম সংখ্যক যোগ প্রক্রিয়া সম্পন্ন হয়েছে। ফলস্বরূপ, আরোহী অনুমিতি বা ইন্ডাকটিভ হাইপোথিসিস ব্যবহার করে আমরা এই অংশটিকে এমনভাবে পুনরায় বন্ধনীযুক্ত করতে পারি যাতে এটি ভেতর থেকে বাইরের দিকে বাম থেকে ডানে ক্রমান্বয়ে অগ্রসর হয়। বিশেষভাবে, এর ফলে সর্ববহিঃস্থ যোগ চিহ্নটি ঠিক ${\vec {v}}_{k+1}$ ভেক্টরের অব্যবহিত পূর্বে অবস্থান করবে।

   $=(\cdots \,({\vec {v}}_{1}+({\text{ }}\cdots {\text{ }}+{\vec {v}}_{m}))\,\cdots )+(\cdots ({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots +{\vec {v}}_{k})\cdots )+{\vec {v}}_{k+1})$

   এখন তিনটি রাশির যোগফলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য সংযোগ বিধি বা অ্যাসোসিয়েটিভিটি নীতিটি এখানে প্রয়োগ করা যাক:

   $=((\,\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\cdots +{\vec {v}}_{m})\,\cdots \,)+(\,\cdots \,({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots \,{\vec {v}}_{k}))\cdots )+{\vec {v}}_{k+1}$

   পরিশেষে, এই সর্ববহিঃস্থ বন্ধনীগুলোর অভ্যন্তরে আরোহী অনুমিতি বা ইন্ডাকটিভ হাইপোথিসিস প্রয়োগ করার মাধ্যমে আমরা আমাদের কাঙ্ক্ষিত প্রমাণটি সম্পন্ন করতে পারি।

{{TextBox|1=

সমস্যা ২৭

যেকোনো ভেক্টর জগতের ক্ষেত্রে, এমন একটি উপসেট যা ওই মূল জগতের অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলো উত্তরাধিকারসূত্রে গ্রহণ করে নিজেই একটি স্বতন্ত্র ভেক্টর জগৎ হিসেবে আত্মপ্রকাশ করে (যেমন, ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগৎ $\mathbb {R} ^{3}$-এর অভ্যন্তরে মূলবিন্দুগামী যেকোনো সমতল), তাকে একটি উপজগৎ বা সাবস্পেস বলা হয়।

1. এটি প্রমাণ করে দেখান যে, $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}+a_{2}=0\}$ সেটটি দ্বিতীয় ঘাতের বহুপদী সমূহের (degree two polynomials) সমন্বয়ে গঠিত ভেক্টর জগতের একটি বৈধ উপজগৎ।
2. নিচের ম্যাট্রিক্স সেটটি যে $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্স সমূহের ভেক্টর জগতের একটি উপজগৎ, তা প্রদর্শন করুন:

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$

3. প্রমাণ করুন যে, একটি বাস্তব ভেক্টর জগতের যেকোনো অশূন্য উপসেট $S$ তখনই একটি উপজগৎ হিসেবে বিবেচিত হবে, যদি এবং কেবল যদি এটি ভেক্টর যুগলের রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের অধীনে বদ্ধ থাকে। অর্থাৎ, যদি $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ দুটি স্কেলার হয় এবং ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ দুটি ভেক্টর হয়, তবে তাদের রৈখিক সমাবেশ $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}$-কেও অবশ্যই $S$ সেটের অন্তর্ভুক্ত হতে হবে।

উত্তর

1. এখানে আমরা সংজ্ঞা ১.১-এ বর্ণিত ভেক্টর জগতের শর্তাবলি যাচাই করার একটি সংক্ষিপ্ত রূপরেখা তুলে ধরছি। যোগের অধীনে আবদ্ধতা বা 'অ্যাডিটিভ ক্লোজার' (Additive closure) এখানে কার্যকর থাকে, কারণ যদি $a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$ এবং $b_{0}+b_{1}+b_{2}=0$ হয়, তবে দেখা যায় যে:

   $(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}$

   এই ফলাফলটি উক্ত সেটের অন্তর্ভুক্ত হবে, যেহেতু $(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})=(a_{0}+a_{1}+a_{2})+(b_{0}+b_{1}+b_{2})$ এর মান শূন্যের সমান। ভেক্টর জগতের দ্বিতীয় থেকে পঞ্চম শর্তগুলো একইভাবে অত্যন্ত সহজভাবে প্রমাণ করা সম্ভব। স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধতা বা 'ক্লোজার আন্ডার স্কেলার মাল্টিপ্লিকেশন' (Closure under scalar multiplication) এখানে বজায় থাকে, কারণ যদি $a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$ হয়, তবে:

   $r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}$

   এটিও ওই সেটের একটি উপাদান হবে, কারণ $ra_{0}+ra_{1}+ra_{2}=r(a_{0}+a_{1}+a_{2})$ এর মানও শূন্য হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে অবশিষ্ট শর্তগুলোও অত্যন্ত সহজবোধ্য এবং সরাসরি যাচাইযোগ্য।
2. এই সমস্যাটির সমাধান পদ্ধতি এবং যুক্তিগুলো পূর্ববর্তী উত্তরের সাথে যথেষ্ট সাদৃশ্যপূর্ণ।
3. ধরা যাক, আলোচ্য ভেক্টর জগতটি হলো $V$। এখানে আমাদের দুটি দিক বা তাৎপর্য বিবেচনা করতে হবে: প্রথমত বাম থেকে ডানে, যদি $S$ একটি সাবস্পেস বা উপজগত হয়, তবে এটি ভেক্টর জোড়ার রৈখিক বিন্যাস বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের অধীনে আবদ্ধ থাকবে। দ্বিতীয়ত ডান থেকে বামে, যদি কোনো অশূন্য উপসেট ভেক্টর জোড়ার রৈখিক বিন্যাসের অধীনে আবদ্ধ থাকে, তবে সেটি একটি সাবস্পেস হিসেবে গণ্য হবে। বাম থেকে ডানের তাৎপর্যটি প্রমাণ করা বেশ সহজ; আমরা এখানে অন্য দিকটি অর্থাৎ ডান থেকে বামের বিষয়টি ব্যাখ্যা করার জন্য ধরে নেব যে $S$ একটি অশূন্য এবং আবদ্ধ সেট, এবং এরপর সংজ্ঞা ১.১-এর শর্তাবলি পরীক্ষা করে দেখব। প্রথমত, যোগের অধীনে আবদ্ধতা প্রদর্শনের জন্য, যদি ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ হয়, তবে ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}\in S$ হবে, কারণ একে ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}=1\cdot {\vec {s}}_{1}+1\cdot {\vec {s}}_{2}$ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। দ্বিতীয়ত, যেকোনো ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$-এর জন্য, যেহেতু যোগের প্রক্রিয়াটি মূল ভেক্টর জগত $V$ থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত, তাই $S$-এর মধ্যে ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$-এর যোগফল $V$-এর মধ্যেকার ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$-এর যোগফলের সমান হবে। আবার এটি $V$-এর মধ্যে ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$-এর সমান, যা শেষ পর্যন্ত $S$-এর মধ্যে ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$-এর সমান হিসেবে প্রমাণিত হয়। তৃতীয় শর্তটির ক্ষেত্রে যুক্তিগুলো দ্বিতীয় শর্তের যুক্তির মতোই প্রায় অভিন্ন। চতুর্থ শর্তের ক্ষেত্রে, ধরা যাক ${\vec {s}}$ হলো অশূন্য সেট $S$-এর একটি উপাদান। এখানে লক্ষণীয় যে, $0\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}\in S$; সুতরাং এটি দেখানো খুবই সহজ যে $V$-এর শূন্য ভেক্টর ${\vec {0}}$ উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়ার অধীনে $S$-এর যোগজ অভেদক (additive identity) হিসেবে কাজ করে। পঞ্চম শর্তটিও এখানে সন্তোষজনকভাবে পূরণ হয়, কারণ যেকোনো ${\vec {s}}\in S$-এর জন্য রৈখিক বিন্যাসের অধীনে আবদ্ধতা ধর্মটি দেখায় যে $0\cdot {\vec {0}}+(-1)\cdot {\vec {s}}$ ভেক্টরটি $S$-এর মধ্যেই অবস্থান করছে। এটি যে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়ার অধীনে ${\vec {s}}$-এর যোগজ বিপরীত, তা প্রমাণ করা একটি সাধারণ গাণিতিক রুটিন কাজ মাত্র। অবশিষ্ট শর্তগুলোর প্রমাণ পদ্ধতিও একইভাবে সম্পন্ন করা সম্ভব।