রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগতের সংজ্ঞা ও উদাহরণ

সংজ্ঞা ১.১

একটি ভেক্টর স্পেস (বা ভেক্টর জগৎ, যা $\mathbb {R}$-এর ওপর সংজ্ঞায়িত) একটি সেট $V$ এবং দুটি প্রক্রিয়া "$+$" ও "$\cdot$"-এর সমন্বয়ে গঠিত হয়, যা নিচের শর্তগুলো মেনে চলে:

1. যেকোনো ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$-এর জন্য: ${\vec {v}}+{\vec {w}}\in V$ হবে।
2. যেকোনো ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$-এর জন্য: ${\vec {v}}+{\vec {w}}={\vec {w}}+{\vec {v}}$ হবে।
3. যেকোনো ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V$-এর জন্য: $({\vec {v}}+{\vec {w}})+{\vec {u}}={\vec {v}}+({\vec {w}}+{\vec {u}})$ হবে।
4. সেখানে একটি শূন্য ভেক্টর ${\vec {0}}\in V$ থাকবে, যাতে সকল ${\vec {v}}\in V$-এর জন্য ${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$ হয়।
5. প্রত্যেক ${\vec {v}}\in V$-এর একটি যোগজ বিপরীত ${\vec {w}}\in V$ থাকবে, যাতে ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$ হয়।
6. যদি $r$ একটি স্কেলার হয়, অর্থাৎ $\mathbb {R}$-এর একটি সদস্য এবং ${\vec {v}}\in V$ হয়, তবে তাদের স্কেলার গুণিতক $r\cdot {\vec {v}}$ অবশ্যই $V$-এর অন্তর্ভুক্ত হবে।
7. যদি $r,s\in \mathbb {R}$ এবং ${\vec {v}}\in V$ হয়, তবে $(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {v}}$ হবে।
8. যদি $r\in \mathbb {R}$ এবং ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ হয়, তবে $r\cdot ({\vec {v}}+{\vec {w}})=r\cdot {\vec {v}}+r\cdot {\vec {w}}$ হবে।
9. যদি $r,s\in \mathbb {R}$ এবং ${\vec {v}}\in V$ হয়, তবে $(rs)\cdot {\vec {v}}=r\cdot (s\cdot {\vec {v}})$ হবে।
10. যেকোনো ${\vec {v}}\in V$-এর জন্য, $1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$ হবে।

মন্তব্য ১.২

যেহেতু এই সংজ্ঞায় দুই ধরনের যোগ এবং দুই ধরনের গুণন প্রক্রিয়া জড়িত, তাই এটি প্রথম দেখায় কিছুটা বিভ্রান্তিকর মনে হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ৭ নম্বর শর্তে "$(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {v}}$", প্রথম "$+$" চিহ্নটি বাস্তব সংখ্যার যোগ প্রক্রিয়া নির্দেশ করে। অন্যদিকে, সমান চিহ্নের ডানদিকের "$+$" চিহ্নটি $V$ কাঠামোর মধ্যে ভেক্টর যোগকে নির্দেশ করে। এই প্রকাশভঙ্গিগুলো অস্পষ্ট নয়, কারণ $r$ এবং $s$ বাস্তব সংখ্যা হওয়ায় "$r+s$" বলতে কেবল বাস্তব সংখ্যার যোগফলকেই বোঝানো সম্ভব।

নিচের উদাহরণগুলো বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সংজ্ঞায় দেওয়া ১০টি শর্তের প্রতিটি মিলিয়ে দেখা। প্রথম উদাহরণে এই যাচাইকরণ প্রক্রিয়াটি বিস্তারিতভাবে করে দেখানো হয়েছে। বাকি উদাহরণগুলোর ক্ষেত্রেও আপনারা একইভাবে হিসাব করে দেখতে পারেন। এখানে প্রথম শর্ত "${\vec {v}}+{\vec {w}}$ হলো $V$-এর অন্তর্ভুক্ত" এবং ষষ্ঠ শর্ত "$r\cdot {\vec {v}}$ হলো $V$-এর অন্তর্ভুক্ত" বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। এগুলোকে বলা হয় আবদ্ধতা সংক্রান্ত শর্ত। এই শর্তগুলো নিশ্চিত করে যে যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়াগুলো সর্বদা অর্থবহ—অর্থাৎ প্রতিটি ভেক্টর জোড়ার জন্য এবং প্রতিটি স্কেলার ও ভেক্টরের জন্য এগুলো সংজ্ঞায়িত, এবং এই প্রক্রিয়ার ফলাফলটিও ওই সেটেরই একটি সদস্য হবে (দেখুন উদাহরণ ১.৪)।

উদাহরণ ১.৩

যদি "$+$" এবং "$\cdot$" প্রক্রিয়াগুলো তাদের প্রচলিত অর্থ বহন করে, তবে $\mathbb {R} ^{2}$ সেটটি একটি ভেক্টর স্পেস হবে।

${\binom {x_{1}}{x_{2}}}+{\binom {y_{1}}{y_{2}}}={\binom {x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}}}\qquad r\cdot {\binom {x_{1}}{x_{2}}}={\binom {rx_{1}}{rx_{2}}}$

আমরা এখন এর সবগুলো শর্ত যাচাই করে দেখব।

প্রথম অংশে পাঁচটি শর্ত রয়েছে। ১ নম্বর শর্ত অর্থাৎ যোগের আবদ্ধতার ক্ষেত্রে লক্ষ্য করুন যে, যেকোনো $v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in \mathbb {R}$-এর জন্য যোগফলের ফলাফলটি

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}={\binom {v_{1}+w_{1}}{v_{2}+w_{2}}}$

একটি কলাম অ্যারে যার দুটি উপাদানই বাস্তব সংখ্যা, এবং তাই এটি $\mathbb {R} ^{2}$-এর অন্তর্ভুক্ত। ২ নম্বর শর্ত অর্থাৎ ভেক্টরের যোগফল বিনিময়যোগ্য কি না তা যাচাই করতে, সবগুলোকে বাস্তব সংখ্যা হিসেবে ধরে নিয়ে নিচের হিসাবটি করি

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}={\binom {v_{1}+w_{1}}{v_{2}+w_{2}}}={\binom {w_{1}+v_{1}}{w_{2}+v_{2}}}={\binom {w_{1}}{w_{2}}}+{\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

(এখানে দ্বিতীয় সমতাটি এই কারণে এসেছে যে ভেক্টরের উপাদানগুলো বাস্তব সংখ্যা, আর বাস্তব সংখ্যার যোগফল বিনিময়যোগ্য)। ৩ নম্বর শর্ত অর্থাৎ ভেক্টর যোগের সংযোগ বিধিও একইভাবে কাজ করে।

${\begin{aligned}{\Bigg (}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}{\Bigg )}+{\binom {u_{1}}{u_{2}}}&={\binom {(v_{1}+w_{1})+u_{1}}{(v_{2}+w_{2})+u_{2}}}\\&={\binom {v_{1}+(w_{1}+u_{1})}{v_{2}+(w_{2}+u_{2})}}\\&={\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\Bigg (}{\binom {w_{1}}{w_{2}}}+{\binom {u_{1}}{u_{2}}}{\Bigg )}\end{aligned}}$

চতুর্থ শর্তের জন্য আমাদের একটি শূন্য উপাদান দেখাতে হবে—শূন্যের ভেক্টরটিই হলো সেই উপাদান।

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {0}{0}}={\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

৫ নম্বর শর্তে যোগজ বিপরীতক দেখানোর জন্য লক্ষ্য করুন যে, যেকোনো $v_{1},v_{2}\in \mathbb {R}$-এর জন্য আমাদের কাছে আছে

${\binom {-v_{1}}{-v_{2}}}+{\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {0}{0}}$

সুতরাং প্রথম ভেক্টরটি হলো দ্বিতীয় ভেক্টরটির কাঙ্ক্ষিত যোগজ বিপরীত।

স্কেলার গুণন সংক্রান্ত পাঁচটি শর্ত যাচাই করার প্রক্রিয়াটিও একইভাবে অত্যন্ত সহজ ও সাধারণ। ৬ নম্বর শর্তটি হলো স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধতা, যেখানে $r,v_{1},v_{2}\in \mathbb {R}$ ,

$r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {rv_{1}}{rv_{2}}}$

এটি হলো দুটি বাস্তব ভুক্তি বিশিষ্ট একটি কলাম অ্যারে, এবং তাই এটি $\mathbb {R} ^{2}$-এর অন্তর্ভুক্ত। এরপর, এটি ৭ নম্বর শর্তটি যাচাই করে।

$(r+s)\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {(r+s)v_{1}}{(r+s)v_{2}}}={\binom {rv_{1}+sv_{1}}{rv_{2}+sv_{2}}}=r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}+s\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

৮ নম্বর শর্তের ক্ষেত্রে, যেখানে স্কেলার গুণন বাম দিক থেকে ভেক্টর যোগের ওপর বণ্টিত হয়, আমরা পাই:

$r\cdot {\Bigg (}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}{\Bigg )}={\binom {r(v_{1}+w_{1})}{r(v_{2}+w_{2})}}={\binom {rv_{1}+rw_{1}}{rv_{2}+rw_{2}}}=r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}+r\cdot {\binom {w_{1}}{w_{2}}}$

নবম

$(rs)\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {(rs)v_{1}}{(rs)v_{2}}}={\binom {r(sv_{1})}{r(sv_{2})}}=r\cdot \left(s\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}\right)$

এবং দশম শর্ত দুটিও একইভাবে অত্যন্ত সহজবোধ্য।

$1\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {1v_{1}}{1v_{2}}}={\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

একইভাবে, ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণনের সাধারণ প্রক্রিয়াসমূহ ব্যবহার করে প্রতিটি $\mathbb {R} ^{n}$ একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগত হিসেবে গণ্য হয়। ($\mathbb {R} ^{1}$-এর ক্ষেত্রে, আমরা সাধারণত এর উপাদানগুলোকে কলাম ভেক্টর হিসেবে লিখি না, অর্থাৎ আমরা সাধারণত "$(\pi )$" লিখি না। এর পরিবর্তে আমরা কেবল "$\pi$" লিখি।)

উদাহরণ ১.৪

$\mathbb {R} ^{3}$-এর এই উপসেটটি হলো মূলবিন্দুগামী একটি সমতল:

$P=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=0\}$

যদি "+" এবং "$\cdot$"-কে নিচের পদ্ধতিতে ব্যাখ্যা করা হয়, তবে এটি একটি ভেক্টর স্পেস হবে।

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

এখানে যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়াগুলো মূলত $\mathbb {R} ^{3}$-এরই প্রক্রিয়া, যা এর উপসেট $P$-এর ওপর পুনরায় ব্যবহার করা হয়েছে। আমরা বলতে পারি যে, $P$ এই প্রক্রিয়াগুলোকে $\mathbb {R} ^{3}$ থেকে পেয়েছে। $P$-এর মধ্যে যোগের এই উদাহরণটি—

${\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

উপরের উদাহরণটি দেখায় যে $P$ যোগের অধীনে আবদ্ধ। এখানে আমরা $P$ সেট থেকে দুটি ভেক্টর যোগ করেছি—অর্থাৎ, এমন দুটি ভেক্টর যাদের তিনটি উপাদানের সমষ্টি শূন্য—এবং দেখা যাচ্ছে যে এদের যোগফল হিসেবে প্রাপ্ত ভেক্টরটিও $P$ সেটের অন্তর্ভুক্ত। অবশ্য, আবদ্ধতার এই উদাহরণটি কোনো গাণিতিক প্রমাণ নয়। $P$ যে যোগের অধীনে আবদ্ধ, তা প্রমাণ করার জন্য আমাদের $P$ সেটের যেকোনো দুটি উপাদান নিতে হবে:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$

(এখানে $P$ সেটের সদস্য হওয়ার অর্থ হলো $x_{1}+y_{1}+z_{1}=0$ এবং $x_{2}+y_{2}+z_{2}=0$ হতে হবে)। এখন লক্ষ্য করুন যে এদের যোগফল:

${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}$

এই যোগফলটিও $P$ সেটের অন্তর্ভুক্ত হবে। কারণ এর উপাদানগুলোর সমষ্টি হলো $(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+y_{1}+z_{1})+(x_{2}+y_{2}+z_{2})$, যা শেষ পর্যন্ত $0$ এর সমান হয়। একইভাবে, $P$ যে স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধ তা দেখানোর জন্য, প্রথমে $P$ থেকে একটি ভেক্টর নিন:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

(যেখানে $x+y+z=0$)। এখন যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $r\in \mathbb {R}$ এর জন্য স্কেলার গুণফলটি লক্ষ্য করুন:

$r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

এটি $rx+ry+rz=r(x+y+z)=0$ শর্তটি পূরণ করে। সুতরাং, আবদ্ধতার এই দুটি শর্তই এখানে পালিত হয়েছে। ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞায় থাকা অন্যান্য শর্তগুলো যাচাই করাও একইভাবে সহজ ও সরল।

উদাহরণ ১.৫

উদাহরণ ১.৩ থেকে দেখা যায় যে, বাস্তব সংখ্যা বিশিষ্ট সকল 'টু-টল' ভেক্টরের সেট একটি ভেক্টর স্পেস। উদাহরণ ১.৪-এ $\mathbb {R} ^{n}$ এর এমন একটি উপসেট দেখানো হয়েছে যা নিজেও একটি ভেক্টর স্পেস। এই দুটির বিপরীতে, পূর্ণসংখ্যা বিশিষ্ট 'টু-টল' কলামগুলোর সেটের কথা বিবেচনা করুন। এটি একটি ভেক্টর স্পেসের উপসেট হওয়া সত্ত্বেও নিজে কোনো ভেক্টর স্পেস নয়। এর কারণ হলো, এই সেটটি স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধ নয়, অর্থাৎ এটি ৬ নম্বর শর্তটি পূরণ করে না। নিচে পূর্ণসংখ্যা বিশিষ্ট একটি কলাম এবং একটি স্কেলারের গুণফল দেখানো হলো, যেখানে অপারেশনের ফলাফলটি লক্ষ্য করুন:

$0.5\cdot {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1.5\end{pmatrix}}$

সেটটির সদস্য নয়, কারণ এর ভুক্তিগুলো সব পূর্ণসংখ্যা নয়।

উদাহরণ ১.৬

একক উপাদানবিশিষ্ট সেট

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\}$

নিচের প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে, যা এটি $\mathbb {R} ^{4}$ থেকে পেয়েছে:

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

একটি ভেক্টর স্পেসে অন্তত একটি উপাদান থাকতে হয়, যা হলো এর শূন্য ভেক্টর। সুতরাং, একটি মাত্র উপাদানবিশিষ্ট ভেক্টর স্পেসই হলো সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম ভেক্টর স্পেস।

সংজ্ঞা ১.৭

একটি মাত্র উপাদানবিশিষ্ট ভেক্টর স্পেসকে একটি ট্রিভিয়াল বা নগণ্য স্পেস বলা হয়।

সতর্কবার্তা!

এখন পর্যন্ত উদাহরণগুলোতে আমরা সাধারণ প্রক্রিয়ার অধীনে কলাম ভেক্টরের সেটগুলো দেখেছি। কিন্তু ভেক্টর স্পেস মানেই যে কেবল কলাম ভেক্টরের সংগ্রহ হতে হবে, এমনকি রো ভেক্টরের সংগ্রহ হতে হবে—এমন কোনো কথা নেই। নিচে অন্যান্য ধরনের কিছু ভেক্টর স্পেসের উদাহরণ দেওয়া হলো। "ভেক্টর স্পেস" শব্দটির অর্থ কেবল "বাস্তব সংখ্যার কলামের সংগ্রহ" নয়। বরং এর অর্থ এমন একটি "সংগ্রহ" যেখানে যেকোনো লিনিয়ার কম্বিনেশন বা রৈখিক সমাবেশ অর্থবহ হয়।

উদাহরণসমূহ

উদাহরণ ১.৮

ধরা যাক, ${\mathcal {P}}_{3}=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{0},\ldots ,a_{3}\in \mathbb {R} \}$ হলো তিন বা তার কম ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী বা পলিনোমিয়ালের একটি সেট (এই বইতে আমরা শূন্য পলিনোমিয়ালসহ ধ্রুবক পলিনোমিয়ালগুলোকে শূন্য ঘাতবিশিষ্ট হিসেবে গণ্য করব)। এটি নিচের প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস:

$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3})$

$=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+(a_{3}+b_{3})x^{3}$

এবং

$r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}+(ra_{3})x^{3}$

(এটি যাচাই করা বেশ সহজ)। এই ভেক্টর স্পেসটি বিশেষভাবে লক্ষ্যণীয় কারণ এখানে ব্যবহৃত পলিনোমিয়াল প্রক্রিয়াগুলো উচ্চমাধ্যমিক বীজগণিতের পরিচিত নিয়মের মতোই। উদাহরণস্বরূপ, $3\cdot (1-2x+3x^{2}-4x^{3})-2\cdot (2-3x+x^{2}-(1/2)x^{3})=-1+7x^{2}-11x^{3}$।

যদিও এই স্পেসটি কোনো $\mathbb {R} ^{n}$-এর উপসেট নয়, তবুও এক অর্থে আমরা ${\mathcal {P}}_{3}$-কে $\mathbb {R} ^{4}$-এর "অনুরূপ" বা "একই রকম" হিসেবে বিবেচনা করতে পারি। যদি আমরা এই দুটি স্পেসের উপাদানগুলোকে নিচের উপায়ে চিহ্নিত করি:

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\quad {\text{এর অনুরূপ}}\quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$

তখন এই গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলোও একে অপরের সাথে সংগতিপূর্ণ হয়। নিচে অনুরূপ যোগের একটি উদাহরণ দেওয়া হলো।

${\begin{array}{lr}&1-2x+0x^{2}+1x^{3}\\+&2+3x+7x^{2}-4x^{3}\\\hline &3+1x+7x^{2}-3x^{3}\end{array}}\quad {\text{এর অনুরূপ}}\quad {\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\3\\7\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\1\\7\\-3\end{pmatrix}}$

আমরা যে বিষয়গুলোকে "একই" বলে মনে করছি, তাদের যোগফলও "একই" হয়। তৃতীয় অধ্যায়ে ভেক্টর জগতের এই সংগতি বা মিলের ধারণাটি আরও সুনির্দিষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। আপাতত আমরা এটিকে কেবল একটি প্রাথমিক ধারণা বা অন্তর্দৃষ্টি হিসেবেই গ্রহণ করব।

উদাহরণ ১.৯

বাস্তব সংখ্যার ভুক্তি বিশিষ্ট $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সেট ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ একটি ভেক্টর জগত গঠন করে। এখানে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি ভুক্তির জন্য স্বাভাবিক গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো প্রযোজ্য হয়।

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+w&b+x\\c+y&d+z\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra&rb\\rc&rd\end{pmatrix}}$

আগের উদাহরণের মতোই, আমরা এই জগতটিকে $\mathbb {R} ^{4}$-এর "অনুরূপ" বা "একই" হিসেবে বিবেচনা করতে পারি।

উদাহরণ ১.১০

একটি স্বাভাবিক সংখ্যা চলকের সকল বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশনের সেট $\{f\,{\big |}\,f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \}$ একটি ভেক্টর জগত। এই জগতের গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো নিম্নরূপ:

$(f_{1}+f_{2})\,(n)=f_{1}(n)+f_{2}(n)\qquad (r\cdot f)\,(n)=r\,f(n)$

উদাহরণস্বরূপ, যদি $f_{1}(n)=n^{2}+2\sin(n)$ এবং $f_{2}(n)=-\sin(n)+0.5$ হয়, তবে $(f_{1}+2f_{2})\,(n)=n^{2}+1$ হবে।

আমরা এই জগতটিকে উদাহরণ ১.৩-এর একটি সাধারণ রূপ বা সম্প্রসারণ হিসেবে দেখতে পারি। এখানে ২-সারি বিশিষ্ট ভেক্টরের পরিবর্তে, এই ফাংশনগুলো অসীম-সারি বিশিষ্ট ভেক্টরের মতো কাজ করে।

${\begin{array}{c|c}n&f(n)=n^{2}+1\\\hline 0&1\\1&2\\2&5\\3&10\\\vdots &\vdots \\\end{array}}\quad {\text{এর অনুরূপ}}\quad {\begin{pmatrix}1\\2\\5\\10\\\vdots \end{pmatrix}}$

উদাহরণ ১.৩-এর মতোই এখানে যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রতিটি উপাদানের ভিত্তিতে (component-wise) সম্পন্ন হয়। (আমরা "অসীম-সারি বিশিষ্ট" কথাটিকে আরও কেতাবি ভাষায় বলতে পারি যে, এটি একটি অসীম অনুক্রম বা ধারাকে বোঝায়, অথবা এটি $\mathbb {N}$ থেকে $\mathbb {R}$-এ একটি ফাংশনকে নির্দেশ করে।)

উদাহরণ ১.১১

বাস্তব সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমূহের সেট

$\{a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,n\in \mathbb {N} {\text{ and }}a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} \}$

স্বাভাবিক যোগ প্রক্রিয়া "$+$"

$(a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n})+(b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n})$

$=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}$

এবং গুণ প্রক্রিয়া "$\cdot$" এর সাপেক্ষে একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে।

$r\cdot (a_{0}+a_{1}x+\ldots a_{n}x^{n})=(ra_{0})+(ra_{1})x+\ldots (ra_{n})x^{n}$

এই স্পেসটি উদাহরণ ১.৮-এ বর্ণিত ${\mathcal {P}}_{3}$ স্পেস থেকে ভিন্ন। এই স্পেসটিতে শুধুমাত্র তিন ঘাতের বহুপদীই নেই, বরং এতে ত্রিশ ঘাতের বা তিনশ ঘাতের বহুপদীও অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে। প্রতিটি পৃথক বহুপদী অবশ্যই একটি সসীম ঘাতের হয়, তবে এই সেটের সকল সদস্যের ঘাতের ওপর কোনো নির্দিষ্ট একক ঊর্ধ্বসীমা নেই।

আগের উদাহরণটির মতো এই উদাহরণটিকেও অসীম-টুপল হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা $1+3x+5x^{2}$-কে $(1,3,5,0,0,\ldots )$ এর অনুরূপ হিসেবে ভাবতে পারি। তবে, এই স্পেসটিকে উদাহরণ ১.১০-এর স্পেসের সাথে গুলিয়ে ফেলবেন না। এই সেটের প্রতিটি সদস্যের একটি নির্দিষ্ট ঘাত রয়েছে, তাই আমাদের এই মিলকরণের অধীনে এমন কোনো উপাদান নেই যা $(1,2,5,10,\,\ldots \,)$ এর সাথে মিলে যায়। এই স্পেসের ভেক্টরগুলো এমন সব অসীম-টুপলের অনুরূপ যেগুলোর শেষ অংশ শূন্য দিয়ে শেষ হয়।

উদাহরণ ১.১২

একটি বাস্তব চলকের সকল বাস্তব-মানবিশিষ্ট ফাংশনের সেট $\{f\,{\big |}\,f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ নিচের প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস।

$(f_{1}+f_{2})\,(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\qquad (r\cdot f)\,(x)=r\,f(x)$

এই উদাহরণ এবং উদাহরণ ১.১০-এর মধ্যে মূল পার্থক্য হলো ফাংশনগুলোর ডোমেইন বা সংজ্ঞার অঞ্চল।

উদাহরণ ১.১৩

বাস্তব চলক $\theta$-এর বাস্তব-মানবিশিষ্ট ফাংশনগুলোর সেট $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ নিচের অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস:

$(a_{1}\cos \theta +b_{1}\sin \theta )+(a_{2}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )=(a_{1}+a_{2})\cos \theta +(b_{1}+b_{2})\sin \theta$

এবং

$r\cdot (a\cos \theta +b\sin \theta )=(ra)\cos \theta +(rb)\sin \theta$

পূর্ববর্তী উদাহরণের জগত (space) থেকে প্রাপ্ত। (আমরা $F$-কে $\mathbb {R} ^{2}$-এর "অনুরূপ" হিসেবে চিন্তা করতে পারি, কারণ এখানে $a\cos \theta +b\sin \theta$ রাশিটি $a$ এবং $b$ উপাংশবিশিষ্ট ভেক্টরের সাথে সংগতিপূর্ণ।) }}

উদাহরণ ১.১৪

নিচের সেটটি

$\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f=0\}$

এখন পর্যন্ত আমাদের কাছে স্বাভাবিক মনে হওয়া ব্যাখ্যার অধীনে একটি ভেক্টর জগত।

$(f+g)\,(x)=f(x)+g(x)\qquad (r\cdot f)\,(x)=r\,f(x)$

বিশেষভাবে লক্ষ্য করুন যে, আবদ্ধতা হলো ক্যালকুলাসের মৌলিক নিয়মের একটি ফলাফল:

${\frac {d^{2}(f+g)}{dx^{2}}}+(f+g)=({\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f)+({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+g)$

এবং

${\frac {d^{2}(rf)}{dx^{2}}}+(rf)=r({\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f)$

এটি ক্যালকুলাসের মৌলিক নিয়ম থেকে পাওয়া যায়। এটি পূর্ববর্তী উদাহরণের জগতের সমান বলে প্রমাণিত হয়— কারণ এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধানকারী ফাংশনগুলোর আকার হলো $a\cos \theta +b\sin \theta$। তবে এই বর্ণনাটি অন্যান্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান সেটের ক্ষেত্রেও এর প্রয়োগের ইঙ্গিত দেয়।

উদাহরণ ১.১৫

$n$-সংখ্যক চলকবিশিষ্ট একটি সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেমের সমাধান সেট হলো একটি ভেক্টর জগত, যা $\mathbb {R} ^{n}$ থেকে প্রাপ্ত অপারেশনগুলোর মাধ্যমে গঠিত। যোগের অধীনে আবদ্ধতার ক্ষেত্রে, যদি

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$

উভয়ই এই শর্ত পূরণ করে যে তাদের ভুক্তিগুলোর যোগফল $0$, তবে ${\vec {v}}+{\vec {w}}$-ও সেই শর্ত পূরণ করবে: $c_{1}(v_{1}+w_{1})+\cdots +c_{n}(v_{n}+w_{n})=(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n})+(c_{1}w_{1}+\cdots +c_{n}w_{n})=0$। অন্যান্য শর্তগুলো যাচাই করাও একইভাবে সহজ ও নিয়মিত একটি প্রক্রিয়া।

উপরের সমীকরণগুলোতে আমরা যেমনটি করেছি, আমরা প্রায়ই গুণ চিহ্ন "$\cdot$" বাদ দিয়ে থাকি। আমরা "$c_{1}v_{1}$"-এর গুণকে "$r{\vec {v}}\,$"-এর গুণ থেকে আলাদা করতে পারি। কারণ যদি গুণক দুটিই বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে সেটি বাস্তব সংখ্যার গুণ বোঝাবে। অন্যদিকে, যদি একটি ভেক্টর হয়, তবে সেটি স্কেলার-ভেক্টর গুণকে নির্দেশ করবে।

পূর্ববর্তী উদাহরণটি আমাদের আলোচনার শুরুতে ফিরিয়ে নিয়ে এসেছে, কারণ এটি আমাদের অন্যতম অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ ছিল।

মন্তব্য ১.১৬

ভেক্টর জগতের সংজ্ঞা পূরণ করে এমন কিছু কাঠামো সম্পর্কে ধারণা পাওয়ার পর, এখন আমরা সেই সংজ্ঞাটি নিয়ে পুনরায় চিন্তা করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, সংজ্ঞায় কেন $1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$ শর্তটি উল্লেখ করা হয়েছে, কিন্তু $0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ শর্তটি কেন দেওয়া হয়নি?

একটি উত্তর হতে পারে এই যে, এটি কেবল একটি সংজ্ঞা মাত্র—এটি এখান থেকে পরবর্তী ধাপগুলোর জন্য খেলার নিয়মগুলো নির্ধারণ করে দেয়। আর যদি আপনার এটি পছন্দ না হয়, তবে আপনি বইটি বন্ধ করে চলে যেতে পারেন।

অন্য একটি উত্তর সম্ভবত আরও বেশি সন্তোষজনক হতে পারে। এই ক্ষেত্রের গবেষকরা গাণিতিক ক্ষমতা এবং সাধারণীকরণের মধ্যে একটি সঠিক ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য কঠোর পরিশ্রম করেছেন। এই সংজ্ঞাটিকে এমনভাবে সাজানো হয়েছে যাতে রৈখিক সমাবেশের জগতের সমস্ত আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলো প্রমাণ করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলো এতে বিদ্যমান থাকে। আমরা যত সামনের দিকে এগোব, সংজ্ঞায় দেওয়া শর্তগুলো থেকে রৈখিক সমাবেশের সংগ্রহগুলোর জন্য স্বাভাবিক এমন সমস্ত বৈশিষ্ট্য আমরা বের করে আনব।

পরবর্তী ফলাফলটি একটি উদাহরণ হিসেবে কাজ করবে। ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞায় এই বৈশিষ্ট্যগুলো আলাদাভাবে অন্তর্ভুক্ত করার প্রয়োজন নেই, কারণ এগুলো সেখানে ইতিমধ্যে তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলো থেকেই সরাসরি চলে আসে।

লেমা ১.১৭

যেকোনো ভেক্টর স্পেস $V$-এর ক্ষেত্রে, যেকোনো ${\vec {v}}\in V$ এবং $r\in \mathbb {R}$-এর জন্য আমরা পাই:

1. $0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$, এবং
2. $(-1\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}={\vec {0}}$, এবং
3. $r\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$।

প্রমাণ

১ নম্বরটির জন্য লক্ষ্য করুন যে, ${\vec {v}}=(1+0)\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}+(0\cdot {\vec {v}})$। এখন উভয় পাশে ${\vec {v}}$-এর যোগজ বিপরীত ভেক্টর ${\vec {w}}$ যোগ করি, যেখানে ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$।

${\begin{array}{rl}{\vec {w}}+{\vec {v}}&={\vec {w}}+{\vec {v}}+0\cdot {\vec {v}}\\{\vec {0}}&={\vec {0}}+0\cdot {\vec {v}}\\{\vec {0}}&=0\cdot {\vec {v}}\end{array}}$

দ্বিতীয় বিষয়টি সহজ: $(-1\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}=(-1+1)\cdot {\vec {v}}=0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$। এটি দেখায় যে, আমরা ${\vec {v}}$-এর যোগজ বিপরীতের জন্য "$-{\vec {v}}\,$" লিখতে পারি এবং এতে $(-1)\cdot {\vec {v}}$-এর সাথে কোনো বিভ্রান্তি তৈরি হওয়ার ভয় নেই।

৩ নম্বরটির জন্য, $r\cdot {\vec {0}}=r\cdot (0\cdot {\vec {0}})=(r\cdot 0)\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ এটিই যথেষ্ট হবে।

সারসংক্ষেপ

আমরা একটি পুনরালোচনার মাধ্যমে শেষ করব।

প্রথম অধ্যায়ে গাউসীয় অপনয়ন নিয়ে আমাদের অধ্যয়ন আমাদের রৈখিক সমাবেশের সংগ্রহগুলো বিবেচনা করতে পরিচালিত করেছিল। তাই এই অধ্যায়ে আমরা ভেক্টর স্পেসকে এমন একটি কাঠামো হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি যেখানে আমরা এই ধরনের সমাবেশগুলো তৈরি করতে পারি, যা মূলত $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ আকারের রাশি (যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার সাধারণ শর্ত সাপেক্ষে)। এক কথায় বলতে গেলে: রৈখিকতা অধ্যয়নের জন্য ভেক্টর স্পেস হলো সবচেয়ে উপযুক্ত প্রেক্ষাপট।

পরিশেষে একটি মন্তব্য করা প্রয়োজন। যেহেতু এটি একটি সম্পূর্ণ অধ্যায় জুড়ে রয়েছে এবং বিশেষ করে এটি প্রথম অধ্যায়, তাই একজন পাঠকের মনে হতে পারে যে রৈখিক ব্যবস্থাঅধ্যয়ন করাই আমাদের মূল লক্ষ্য। কিন্তু প্রকৃত সত্য হলো, আমরা রৈখিক ব্যবস্থা অধ্যয়নের জন্য ভেক্টর স্পেসকে খুব একটা ব্যবহার করব না; বরং রৈখিক ব্যবস্থার মাধ্যমেই আমরা ভেক্টর স্পেসের অধ্যয়ন শুরু করব। এই উপবিভাগের বিভিন্ন ধরনের উদাহরণগুলো দেখায় যে, রৈখিক ব্যবস্থা বুঝতে সাহায্য করার পাশাপাশি ভেক্টর স্পেসের অধ্যয়ন নিজস্ব গুণেই অত্যন্ত আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ। রৈখিক ব্যবস্থার আলোচনা এখানেই শেষ হয়ে যাচ্ছে না। তবে এখন থেকে আমাদের অধ্যয়নের প্রধান বিষয়বস্তু হবে ভেক্টর স্পেস।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

নিচের প্রতিটি ভেক্টর স্পেসের জন্য শূন্য ভেক্টরটি উল্লেখ করুন।

1. স্বাভাবিক গাণিতিক প্রক্রিয়ার অধীনে তিন ঘাতবিশিষ্ট বহুপদীর স্পেস।
2. $2\!\times \!4$ আকারের ম্যাট্রিক্সের স্পেস।
3. $\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \,{\big |}\,f{\text{ অবিচ্ছিন্ন}}\}$ স্পেসটি।
4. একটি স্বাভাবিক সংখ্যা চলকবিশিষ্ট বাস্তব-মানসম্পন্ন ফাংশনের স্পেস।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

ভেক্টর স্পেসে নিচের ভেক্টরগুলোর যোগজ বিপরীত নির্ণয় করুন।

1. ${\mathcal {P}}_{3}$-এ, $-3-2x+x^{2}$ ভেক্টরটি।
2. $2\!\times \!2$ স্পেসে,

   ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}}.$

3. স্বাভাবিক প্রক্রিয়ার অধীনে বাস্তব চলক $x$-এর ফাংশনগুলোর স্পেস $\{ae^{x}+be^{-x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$-এ, $3e^{x}-2e^{-x}$ ভেক্টরটি।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৩

দেখান যে নিচের প্রতিটিই একটি ভেক্টর স্পেস।

1. সাধারণ বহুপদী যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার অধীনে রৈখিক বহুপদীর সেট ${\mathcal {P}}_{1}=\{a_{0}+a_{1}x\,{\big |}\,a_{0},a_{1}\in \mathbb {R} \}$।
2. সাধারণ ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়ার অধীনে বাস্তব এন্ট্রিবিশিষ্ট $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের সেট।
3. সাধারণ প্রক্রিয়ার অধীনে তিনটি উপাদানবিশিষ্ট সারি ভেক্টরের সেট।
4. নিচের সেটটি:

   $L=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y-z+w=0\}$

$\mathbb {R} ^{4}$ থেকে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

দেখাও যে নিচের সেটগুলোর প্রতিটিই ভেক্টর স্পেস নয়। (ইঙ্গিত: প্রতিটি সেটের দুটি করে সদস্য তালিকাভুক্ত করার মাধ্যমে সমাধান শুরু করো।)

1. $\mathbb {R} ^{3}$ থেকে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে, এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

2. $\mathbb {R} ^{3}$ থেকে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে, এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

3. সাধারণ ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে,

   $\{{\begin{pmatrix}a&1\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. সাধারণ বহুপদী (polynomial) প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে,

   $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}\}$

   যেখানে $\mathbb {R} ^{+}$ হলো শূন্য অপেক্ষা বড় বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট।
5. উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে,

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,x+3y=4{\text{ এবং }}2x-y=3{\text{ এবং }}6x+4y=10\}$

সমস্যা ৫

$\mathbb {R}$ ফিল্ডের ওপর জটিল সংখ্যাসমূহকে একটি ভেক্টর স্পেস হিসেবে গঠন করার জন্য যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করো।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৬

সাধারণ যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার অধীনে মূলদ সংখ্যাসমূহের সেট কি $\mathbb {R}$ ফিল্ডের ওপর একটি ভেক্টর স্পেস?

সমস্যা ৭

দেখাও যে, $x,y,z$ চলকসমূহের রৈখিক সমাবেশের সেটটি স্বাভাবিক যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার অধীনে একটি ভেক্টর স্পেস।

সমস্যা ৮

প্রমাণ করো যে এটি একটি ভেক্টর স্পেস নয়: বাস্তব সংখ্যা বিশিষ্ট দুই-সারি বিশিষ্ট কলাম ভেক্টরসমূহের সেট যা নিচের প্রক্রিয়াসমূহ মেনে চলে।

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৯

নিচের প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে $\mathbb {R} ^{3}$ একটি ভেক্টর স্পেস কি না, তা প্রমাণ করুন অথবা যুক্তি দিয়ে ভুল প্রমাণ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১০

নিচের প্রতিটি সেটের ক্ষেত্রে সেগুলো ভেক্টর স্পেস কি না তা নির্ধারণ করুন; এখানে স্বাভাবিক গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো বিবেচনা করতে হবে।

1. কর্ণ (diagonal) $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সসমূহ

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

2. $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের এই সেটটি

   $\{{\begin{pmatrix}x&x+y\\x+y&y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

3. এই সেটটি

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y+w=1\}$

ফাংশনসমূহের সেট $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=0\}$

ফাংশনসমূহের সেট $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=1\}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১১

যাচাই করুন: একটি বাস্তব চলকের বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশন $f$ এর সেট, যেখানে $f(7)=0$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১২

দেখান যে ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R} ^{+}$ একটি ভেক্টর স্পেস হবে, যখন "$x+y$" বলতে $x$ এবং $y$ এর গুণফল বোঝানো হয় (যাতে $2+3$ এর ফলাফল হয় $6$), এবং "$r\cdot x$" বলতে $x$ এর $r$-তম ঘাত বা শক্তি বোঝানো হয়।

সমস্যা ১৩

নিচের অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলোর অধীনে $\{(x,y)\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$ কি একটি ভেক্টর স্পেস?

1. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ এবং $r\cdot (x,y)=(rx,y)$
2. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ এবং $r\cdot (x,y)=(rx,0)$

সমস্যা ১৪

দুই বা তার বেশি ঘাতের সব বহুপদী (পলিনোমিয়াল) এবং শূন্য বহুপদী মিলে যে সেটটি তৈরি হয়, সেটি কি একটি ভেক্টর স্পেস হবে?-যাচাই করুন।

সমস্যা ১৫

এই পর্যায়ে "একই রকম" ধারণাটি কেবল একটি গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি বা ইনটুইশন মাত্র, তবুও নিচের প্রতিটি ভেক্টর স্পেসের জন্য এমন একটি $k$ শনাক্ত করুন যার জন্য স্পেসটি $\mathbb {R} ^{k}$ এর "একই রকম" হয়।

1. সাধারণ অপারেশন বা প্রক্রিয়ার অধীনে $2\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহ
2. $n\!\times \!m$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহ (তাদের সাধারণ প্রক্রিয়ার অধীনে)
3. $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহের এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সসমূহের এই সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

}}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৬

ভেক্টর যোগ বোঝাতে ${\vec {+}}$ এবং স্কেলার গুণন বোঝাতে $\,{\vec {\cdot }}\,$ ব্যবহার করে ভেক্টর জগতের সংজ্ঞাটি পুনরায় লিখুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৭

নিচের বিষয়গুলো প্রমাণ করুন।

1. যেকোনো ভেক্টর হলো তার নিজের যোগজ বিপরীতের যোগজ বিপরীত।
2. ভেক্টর যোগের ক্ষেত্রে বাম-বর্জন নীতি কাজ করে: যদি ${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$ হয়, তবে ${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}\,$ থেকে প্রমাণিত হয় যে ${\vec {s}}={\vec {t}}$।

সমস্যা ১৮

ভেক্টর জগতের সংজ্ঞায় সরাসরি বলা নেই যে ${\vec {0}}+{\vec {v}}={\vec {v}}$ (এর পরিবর্তে সেখানে বলা হয়েছে যে ${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$)। দেখান যে, তা সত্ত্বেও যেকোনো ভেক্টর জগতের ক্ষেত্রে এই শর্তটি অবশ্যই সত্য হবে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৯

সাধারণ যোগ এবং গুণ করার নিয়মগুলো মেনে সব ধরণের ম্যাট্রিক্সের সেট কি একটি ভেক্টর জগৎ হবে? যাচাই করে দেখান।

সমস্যা ২০

একটি ভেক্টর জগতে প্রতিটি উপাদানের একটি যোগজ বিপরীত থাকে। কোনো উপাদানের কি দুই বা ততোধিক যোগজ বিপরীত থাকতে পারে?

সমস্যা ২১

1. প্রমাণ করুন যে, $\mathbb {R} ^{3}$-এ মূলবিন্দুগামী প্রতিটি বিন্দু, রেখা বা সমতল তাদের উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়াসমূহের অধীনে একটি ভেক্টর জগৎ।
2. যদি এটি মূলবিন্দু ধারণ না করে, তবে কী হবে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২২

ভেক্টর জগতের ধারণা ব্যবহার করে আমরা সহজেই পুনরায় প্রমাণ করতে পারি যে, একটি সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেমের সমাধান সেটে হয় একটি উপাদান থাকে অথবা অসীম সংখ্যক উপাদান থাকে। ধরে নিন যে, ${\vec {v}}\in V$ ভেক্টরটি ${\vec {0}}$ নয়।

1. প্রমাণ করুন যে, $r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ হবে যদি এবং কেবল যদি $r=0$ হয়।
2. প্রমাণ করুন যে, $r_{1}\cdot {\vec {v}}=r_{2}\cdot {\vec {v}}$ হবে যদি এবং কেবল যদি $r_{1}=r_{2}$ হয়।
3. প্রমাণ করুন যে, যেকোনো শূন্য নয় এমন ভেক্টর জগৎ অসীম হবে।
4. একটি সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেমের অশূন্য সমাধান সেট একটি ভেক্টর জগৎ—এই তথ্যটি ব্যবহার করে মূল সিদ্ধান্তে উপনীত হোন।

সমস্যা ২৩

সাধারণ যোগ ও গুণের নিয়ম মেনে সকল অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশনের সেট কি একটি ভেক্টর জগৎ হবে? এটি যাচাই করে দেখান।

সমস্যা ২৪

জটিল সংখ্যার ওপর ভিত্তি করে গঠিত একটি ভেক্টর জগতের ($\mathbb {C}$-এর ওপর ভেক্টর জগৎ) সংজ্ঞা বাস্তব সংখ্যার ওপর ভিত্তি করে গঠিত ভেক্টর জগতের মতোই, কেবল পার্থক্য হলো এখানে স্কেলারগুলো $\mathbb {R}$-এর পরিবর্তে $\mathbb {C}$ থেকে নেওয়া হয়। দেখান যে, নিচের প্রতিটি সেট জটিল সংখ্যার ওপর একটি ভেক্টর জগৎ। (জটিল সংখ্যার যোগ এবং গুণ কীভাবে হয় তা স্মরণ করুন: $(a_{0}+a_{1}i)+(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})i$ এবং $(a_{0}+a_{1}i)(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})i$।)

1. জটিল সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদীর সেট।
2. এই সেটটি।

   $\{{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ এবং }}a+b=0+0i\}$

সমস্যা ২৫

এমন একটি বৈশিষ্ট্যের নাম উল্লেখ করুন যা সকল $\mathbb {R} ^{n}$-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, কিন্তু ভেক্টর জগতের প্রয়োজনীয় শর্ত হিসেবে তালিকাভুক্ত নয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২৬

1. প্রমাণ করুন যে, চারটি ভেক্টর ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{4}\in V$-এর যোগফলকে যেকোনোভাবে দলবদ্ধ (associate) করা হোক না কেন, এর ফলাফলের কোনো পরিবর্তন হয় না।

   ${\begin{array}{rl}(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}&=({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\end{array}}$

   এর ফলে আমরা কোনো প্রকার অস্পষ্টতা ছাড়াই সরাসরি "${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}$" লিখতে পারি।
2. প্রমাণ করুন যে, যেকোনো সংখ্যক ভেক্টরের যোগফলকে যেকোনো দুইভাবে দলবদ্ধ করা হলে একই যোগফল পাওয়া যায়। (ইঙ্গিত: ভেক্টরের সংখ্যার ওপর গাণিতিক আরোহ বিধি বা induction ব্যবহার করুন।)

সমস্যা ২৭

যেকোনো ভেক্টর জগতের ভেতর যদি এমন কোনো ছোট অংশ বা উপসেট থাকে, যা মূল জগতের সাধারণ প্রক্রিয়াগুলো (যোগ ও গুণ) মেনেই নিজে একটি ভেক্টর জগৎ হিসেবে কাজ করে, তবে তাকে উপজগৎ বলা হয়। যেমন: ত্রিমাত্রিক স্থান বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর ভেতরে মূলবিন্দুগামী একটি সমতল হলো একটি উপজগৎ।

1. দেখান যে, $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}+a_{2}=0\}$ সেটটি দ্বিতীয় ঘাতের বহুপদী ভেক্টর জগতের একটি উপজগত।
2. দেখান যে, নিচের সেটটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সসমূহের একটি উপজগত।

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$

3. দেখান যে, একটি বাস্তব ভেক্টর জগতের একটি অশূন্য উপসেট $S$ একটি উপজগত হবে যদি এবং কেবল যদি এটি ভেক্টর জোড়ার রৈখিক সমাবেশের অধীনে আবদ্ধ থাকে: অর্থাৎ যখনই $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ এবং ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ হবে, তখন তাদের সমাবেশ $c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}$-ও $S$-এর অন্তর্ভুক্ত হবে।

সমাধান