রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগত

প্রথম অধ্যায়টি শুরু হয়েছিল গাউসের পদ্ধতি (Gauss' method) পরিচিত করানোর মাধ্যমে এবং শেষ হয়েছিল লিনিয়ার কম্বিনেশন লেমা-র (Linear Combination Lemma) ওপর ভিত্তি করে একটি লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান সেট কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়, সে সম্পর্কে একটি স্বচ্ছ ধারণা প্রদানের মাধ্যমে। গাউসের পদ্ধতিটি মূলত সারিগুলোর (rows) লিনিয়ার কম্বিনেশনগুলোকে সুশৃঙ্খলভাবে সাজায়। সেই অন্তর্দৃষ্টিকে পুঁজি করে এখন আমরা লিনিয়ার কম্বিনেশনের একটি সাধারণ গবেষণার দিকে অগ্রসর হচ্ছি। এই গবেষণার জন্য আমাদের একটি নির্দিষ্ট পটভূমি প্রয়োজন। প্রথম অধ্যায়ে আমরা কখনো R^2 থেকে আসা ভেক্টরগুলোকে যুক্ত করেছি, কখনো R^3 এর ভেক্টর, আবার কখনো এর চেয়েও উচ্চ-মাত্রিক স্থানের ভেক্টর ব্যবহার করেছি। ফলে আমাদের প্রাথমিক ইচ্ছা হতে পারে R^n নিয়ে কাজ করা, যেখানে n-কে অনির্দিষ্ট রাখা হবে। এর সুবিধা হলো, যেকোনো ফলাফল একই সাথে R^2, R^3 এবং অন্যান্য অনেক স্পেসের জন্য প্রযোজ্য হবে। কিন্তু, ফলাফলগুলো যদি একসাথে অনেকগুলো স্পেসের ওপর প্রয়োগ করা সুবিধাজনক হয়, তবে শুধুমাত্র R^n-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকাটা হবে অতিরিক্ত সংকীর্ণতা। আমরা চাই আমাদের ফলাফলগুলো যেন রো-ভেক্টরগুলোর (row vectors) কম্বিনেশনের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হয়, যেমনটি আমরা প্রথম অধ্যায়ের শেষ অংশে দেখেছি। এমনকি আমরা এমন কিছু স্পেসও দেখেছি যা কেবল একই আকারের কলাম ভেক্টর বা রো-ভেক্টরের সংগ্রহ নয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি হোমোজেনিয়াস সিস্টেমের (homogeneous system) সমাধান সেট দেখেছি যা R^3 এর ভেতরে অবস্থিত একটি সমতল (plane)। এই সমাধান সেটটি একটি 'ক্লোজড সিস্টেম' (closed system), এই অর্থে যে—এই সমাধানগুলোর একটি লিনিয়ার কম্বিনেশনও একটি সমাধান। কিন্তু এটি কেবল তিন-সারি বিশিষ্ট সব কলাম ভেক্টরের সংগ্রহ নয়; কেবল তাদের মধ্যে কিছু এই সমাধান সেটের অন্তর্ভুক্ত। আমরা চাই লিনিয়ার কম্বিনেশন সংক্রান্ত ফলাফলগুলো সেই সব জায়গায় প্রয়োগ করতে যেখানে লিনিয়ার কম্বিনেশন অর্থবহ। আমরা এই ধরনের যেকোনো সেটকে **ভেক্টর স্পেস (vector space)** বলব। আমাদের ফলাফলগুলো "যখনই আমাদের কাছে এমন একটি সংগ্রহ থাকবে যেখানে আমরা অর্থবহভাবে লিনিয়ার কম্বিনেশন নিতে পারি..."—এভাবে বলার পরিবর্তে বলা হবে "যেকোনো ভেক্টর স্পেসে..."। এই ধরনের একটি বিবৃতি একসাথে অনেকগুলো স্পেসে কী ঘটে তা বর্ণনা করে। একবারে একটি স্পেস নিয়ে পড়ার বদলে এক শ্রেণির স্পেস (class of spaces) নিয়ে পড়ার এই বিমূর্ত স্তরে উন্নীত হওয়াটা কিছুটা কঠিন হতে পারে। এর সুবিধা বোঝার জন্য এই উপমাটি বিবেচনা করুন। কল্পনা করুন যে সরকার প্রতিবার একজন ব্যক্তির জন্য একটি করে আইন তৈরি করছে: "লেসলি জোন্স রাস্তা পারাপারের আইন অমান্য করতে পারবে না।" এটি একটি খারাপ ধারণা হবে; কোনো বিবৃতি তখনই সাশ্রয়ী ও কার্যকর হয় যখন তা একসাথে অনেকগুলো ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয়। অথবা ধরুন তারা শাসন জারি করল, "কিম কে-কে অবশ্যই কোনো দুর্ঘটনাস্থল অতিক্রম করার সময় থামতে হবে।" এর বিপরীতে বিবেচনা করুন, "যেকোনো ডাক্তারকে অবশ্যই কোনো দুর্ঘটনাস্থল অতিক্রম করার সময় থামতে হবে।" অধিকতর সাধারণ বিবৃতিগুলো কিছু দিক থেকে অনেক বেশি স্পষ্ট হয়।