রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টরের উপস্থাপনা পরিবর্তন/সমাধান

সমাধানসমূহ

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১

দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা $\mathbb {R} ^{2}$ ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে, যেখানে একটি ভিত্তি নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত:

$D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}\rangle$

ভিত্তি $D$ থেকে আদর্শ ভিত্তি (standard basis) ${\mathcal {E}}_{2}$-এ রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স এবং বিপরীতক্রমে ${\mathcal {E}}_{2}$ থেকে $D$ ভিত্তিতে রূপান্তরের ম্যাট্রিক্সসমূহ নির্ণয় করুন। এরপর প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স দুটিকে পরস্পরের সাথে গুণ করে ফলাফলটি পর্যবেক্ষণ করুন।

উত্তর

ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সটি $D$ থেকে ${\mathcal {E}}_{2}$-এ রূপান্তরের জন্য আমাদের এটি নিশ্চিত করতে হবে যে, অভেদ রূপান্তর বা আইডেন্টিটি ট্রান্সফরমেশনের অধীনে ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}({\vec {\delta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})$ এবং ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}({\vec {\delta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})$ শর্তসমূহ পালিত হচ্ছে। স্বভাবতই, আদর্শ ভিত্তির (standard basis) সাপেক্ষে $\mathbb {R} ^{2}$ স্থানের যেকোনো ভেক্টরের উপস্থাপন বা রিপ্রেজেন্টেশন নির্ণয় করা গাণিতিকভাবে অত্যন্ত সহজ একটি কাজ।

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})={\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}$

এই দুটি ভেক্টরকে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ বা কলাম হিসেবে ক্রমানুসারে সাজালে আমরা নিম্নোক্ত ম্যাট্রিক্সটি লাভ করি।

${\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&-2\\1&4\end{pmatrix}}$

বিপরীত অভিমুখে অর্থাৎ অন্য দিকের ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সটি ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{1})$ এবং ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{2})$ হিসাব করার মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে (যদিও এই কাজটি অত্যন্ত সাধারণ একটি গাণিতিক প্রক্রিয়া), অথবা এটি পূর্বোক্ত ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স নির্ণয় করার মাধ্যমেও খুঁজে পাওয়া সম্ভব। যেহেতু একটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের জন্য একটি সুনির্দিষ্ট ও সহজ গাণিতিক সূত্র রয়েছে, তাই এই গণনাটি অত্যন্ত সহজতর।

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},D}({\mbox{id}})={\frac {1}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}4&2\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4/10&2/10\\-1/10&2/10\end{pmatrix}}$

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ২

নিচে প্রদত্ত $B,D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ভিত্তিগুলোর জন্য ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স (Change of basis matrix) নির্ণয় করুন।

1. $B={\mathcal {E}}_{2}$, $D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$
2. $B={\mathcal {E}}_{2}$, $D=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
3. $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$, $D={\mathcal {E}}_{2}$
4. $B=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle$, $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\rangle$

উত্তর

প্রতিটি ক্ষেত্রেই, ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ গঠন করার জন্য ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})$ এবং ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{2})$ কলাম দুটিকে পর্যায়ক্রমে একত্রিত বা সংযুক্ত করা হয়েছে। মূলত, একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি থেকে অন্য ভিত্তিতে রূপান্তরের ক্ষেত্রে এই কলাম ভেক্টরগুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে এবং এদের সমন্বয়েই কাঙ্ক্ষিত ম্যাট্রিক্সটি তৈরি হয়।

1. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&-1/2\\-1&1/2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

ইতিপূর্বে আলোচিত ২ নম্বর সমস্যায় যে ভিত্তিগুলো (bases) প্রদান করা হয়েছিল, সেগুলোর ওপর ভিত্তি করে বিপরীত অভিমুখে অর্থাৎ $D$ ভিত্তি থেকে $B$ ভিত্তিতে রূপান্তরের জন্য প্রয়োজনীয় ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় করুন।

সমাধান

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য মূলত দুটি কার্যকর পদ্ধতি অবলম্বন করা যেতে পারে। প্রথম পদ্ধতিটি হলো, ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\delta }}_{1})$ এবং ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\delta }}_{2})$ এর মানগুলো পৃথকভাবে নির্ণয় করা এবং পরবর্তীতে কাঙ্ক্ষিত ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সের কলাম হিসেবে সেগুলোকে ধারাবাহিকভাবে সাজানো। বিকল্প আরেকটি সহজ পদ্ধতি হলো, ২ নম্বর সমস্যার উত্তরে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সগুলোর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স (inverse) নির্ণয় করা। রৈখিক বীজগণিতের নিয়মানুযায়ী, একদিকের রূপান্তর ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি অন্যদিকের রূপান্তর নির্দেশ করে।

1. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&-1/2\\-1&1/2\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ৪

নিচে বর্ণিত প্রতিটি $B,D\subseteq {\mathcal {P}}_{2}$ এর ক্ষেত্রে ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সটি খুঁজে বের করুন। এখানে ${\mathcal {P}}_{2}$ বলতে সাধারণত দ্বিতীয় ঘাতের বহুপদী রাশির ভেক্টর জগতকে বোঝানো হয়েছে।

1. $B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle x^{2},1,x\rangle$
2. $B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$
3. $B=\langle 2,2x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1+x^{2},1-x^{2},x+x^{2}\rangle$

সমাধান

এখানে কলাম ভেক্টরগুলোর উপস্থাপনা তথা ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})$, এবং ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{2})$, এবং ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{3}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{3})$ একত্রে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স (change of basis matrix) ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ গঠন করে। রৈখিক বীজগণিতের এই প্রক্রিয়ায় একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি থেকে অন্য ভিত্তিতে রূপান্তরের ক্ষেত্রে এই ভেক্টরগুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

1. ${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&-1&1/2\\1&1&-1/2\\0&2&0\end{pmatrix}}$

উদাহরণস্বরূপ বলা যেতে পারে যে, প্রথম ম্যাট্রিক্সটির প্রথম কলামের ক্ষেত্রে আমরা পাই, $1=0\cdot x^{2}+1\cdot 1+0\cdot x$। এটি মূলত বহুপদী রাশির সহগগুলোর একটি সুনির্দিষ্ট বিন্যাসকে নির্দেশ করছে।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ৫

নিচে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সগুলোর প্রতিটি $\mathbb {R} ^{2}$ ভেক্টর জগতের ভিত্তি পরিবর্তন করে কি না তা নির্ধারণ করুন। যদি পরিবর্তন করে থাকে, তবে প্রমিত ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{2}$ কোন নতুন ভিত্তিতে রূপান্তরিত হচ্ছে তা খুঁজে বের করুন।

1. ${\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1&4\\2&-8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

উত্তর

রৈখিক বীজগণিতের নিয়ম অনুযায়ী, একটি ম্যাট্রিক্স তখনই ভিত্তি পরিবর্তন করতে সক্ষম হয় যদি এবং কেবল যদি ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার বা অ-ব্যতিক্রমী (nonsingular) হয়। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান শূন্য হওয়া চলবে না।

1. এই ম্যাট্রিক্সটি একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স এবং ফলশ্রুতিতে এটি ভিত্তি পরিবর্তন করতে সক্ষম। এখন ${\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তিটি কোন ভিত্তিতে পরিবর্তিত হয়েছে তা নির্ণয় করার অর্থ হলো এমন একটি ভিত্তি $D$ খুঁজে বের করা যাতে নিচের শর্তটি পূরণ হয়:

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$

   এবং একটি ম্যাট্রিক্স যেভাবে একটি রৈখিক মানচিত্র বা লিনিয়ার ম্যাপকে উপস্থাপন করে, তার গাণিতিক সংজ্ঞা অনুসরণ করে আমরা নিম্নোক্ত সমীকরণগুলো পাই।

   ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$

   যেখানে,

   $D=\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\rangle$

   আমরা হয় এই সমীকরণ ব্যবস্থাটি সমাধান করতে পারি:

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=5{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+0{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}$

   অথবা সরাসরি উত্তরটি অনুমান করে নিতে পারি (এক্ষেত্রে লেমা ১.৪-এর প্রমাণের কথা বিবেচনা করা যেতে পারে)।

   $D=\langle {\begin{pmatrix}1/5\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1/4\end{pmatrix}}\rangle$

2. হ্যাঁ, এই ম্যাট্রিক্সটিও নন-সিঙ্গুলার এবং এটি ভিত্তি পরিবর্তন করে। নতুন ভিত্তি $D$ গণনা করার জন্য আমরা পূর্বের পদ্ধতি অনুসরণ করব যেখানে:

   $D=\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\rangle$

   এর মান সমাধান করার জন্য অগ্রসর হতে হবে।

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}$

   উপরোক্ত সমীকরণগুলো সমাধান করার মাধ্যমে আমরা নিম্নোক্ত ফলাফলটি লাভ করি।

   $D=\langle {\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\rangle$

3. না, এই ম্যাট্রিক্সটি ভিত্তি পরিবর্তন করে না কারণ এটি একটি নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স।
4. হ্যাঁ, এই ম্যাট্রিক্সটি ভিত্তি পরিবর্তন করে কারণ এটি একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স। পরিবর্তিত ভিত্তির গণনা পদ্ধতি উপরে বিস্তারিতভাবে প্রদর্শন করা হয়েছে।

   $D=\langle {\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}\rangle$

সমস্যা ৬

এমন কিছু ভিত্তি (bases) নির্ণয় করুন যাতে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি সেই ভিত্তিগুলোর সাপেক্ষে একটি অভেদ চিত্রণ বা আইডেন্টিটি ম্যাপ (identity map) হিসেবে উপস্থাপিত হয়।

${\begin{pmatrix}3&1&4\\2&-1&1\\0&0&4\end{pmatrix}}$

উত্তর

এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান করার জন্য অনেকগুলো ভিন্ন ভিন্ন পথ বা সমাধান থাকতে পারে। সমাধানের একটি সম্ভাব্য উপায় হলো যেকোনো ভেক্টর জগতের জন্য যেকোনো একটি ভিত্তি $B$ ধরে নেওয়া এবং তারপর সেই অনুযায়ী উপযুক্ত ভিত্তি $D$ গণনা করা (অবশ্যই এটি একই ভেক্টর জগতের জন্য হতে হবে)। অন্য একটি অপেক্ষাকৃত সহজ পদ্ধতি হলো কো-ডোমেইন হিসেবে $\mathbb {R} ^{3}$-কে নির্ধারণ করা এবং কো-ডোমেইনের ভিত্তি হিসেবে আদর্শ ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{3}$-কে স্থির করা। এই পদ্ধতিতে (স্মরণ করুন যে, আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে যেকোনো ভেক্টরের উপস্থাপনা মূলত সেই ভেক্টরটি নিজেই), আমরা নিম্নোক্ত ফলাফলটি পাই।

$B=\langle {\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}}\rangle \qquad D={\mathcal {E}}_{3}$

সমস্যা ৭

বাস্তব-মান বিশিষ্ট ফাংশন বা অপেক্ষকের একটি ভেক্টর জগৎ বিবেচনা করুন যার ভিত্তি হলো $\langle \sin(x),\cos(x)\rangle$। প্রমাণ করুন যে, $\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ সেটটিও এই ভেক্টর জগতের জন্য একটি ভিত্তি হিসেবে কাজ করে। উভয় দিকের জন্য ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স (change of basis matrix) নির্ণয় করুন।

উত্তর

$B=\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ একটি ভিত্তি কি না তা যাচাই করা একটি সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়া। এখানে স্বাভাবিক বা প্রাকৃতিক ভিত্তিটিকে $D$ হিসেবে অভিহিত করা যাক। ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ গণনা করার জন্য আমাদের অবশ্যই ${\rm {Rep}}_{D}(2\sin(x)+\cos(x))$ এবং ${\rm {Rep}}_{D}(3\cos(x))$ নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ, আমাদের এমন $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}$ এর মান খুঁজে বের করতে হবে যাতে নিচের সমীকরণগুলো সিদ্ধ হয়।

${\begin{array}{rl}x_{1}\cdot \sin(x)+y_{1}\cdot \cos(x)&=2\sin(x)+\cos(x)\\x_{2}\cdot \sin(x)+y_{2}\cdot \cos(x)&=3\cos(x)\end{array}}$

অত্যন্ত স্পষ্টভাবে, এটিই হলো কাঙ্ক্ষিত উত্তর।

${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}$

বিপরীত দিকের ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় করার জন্য আমরা নিচের সমীকরণগুলো সমাধান করে ${\rm {Rep}}_{B}(\sin(x))$ এবং ${\rm {Rep}}_{B}(\cos(x))$ এর মান খুঁজতে পারি।

${\begin{array}{rl}w_{1}\cdot (2\sin(x)+\cos(x))+z_{1}\cdot (3\cos(x))&=\sin(x)\\w_{2}\cdot (2\sin(x)+\cos(x))+z_{2}\cdot (3\cos(x))&=\cos(x)\end{array}}$

তবে এর চেয়েও একটি সহজ পদ্ধতি হলো উপরে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স (inverse) নির্ণয় করা।

${\rm {Rep}}_{D,B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}3&0\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2&0\\-1/6&1/3\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৮

নিচে প্রদত্ত এই ম্যাট্রিক্সটি

${\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}$

$\mathbb {R} ^{2}$-এর আদর্শ ভিত্তি বা স্ট্যান্ডার্ড বেসিসকে (standard basis) ঠিক কোন অবস্থানে স্থানান্তরিত করে? অন্য যেকোনো ভিত্তির ক্ষেত্রে এর ফলাফল কী হতে পারে? ইঙ্গিত: ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করে দেখুন।

উত্তর

আমরা প্রথমেই প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স নির্ণয় করার মাধ্যমে আমাদের গাণিতিক বিশ্লেষণ শুরু করব। অর্থাৎ, আমরা এটি নির্ধারণ করার চেষ্টা করব যে আমাদের কাঙ্ক্ষিত মানচিত্র বা ম্যাপটির বিপরীত ফাংশনটি আসলে কী হতে পারে।

${\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}){\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}={\frac {1}{-\cos ^{2}(2\theta )-\sin ^{2}(2\theta )}}\cdot {\begin{pmatrix}-\cos(2\theta )&-\sin(2\theta )\\-\sin(2\theta )&\cos(2\theta )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}$

বিপরীত দিক থেকে উপস্থাপনা করার চেয়ে এই পদ্ধতিটি অনেক বেশি সহজবোধ্য এবং গাণিতিকভাবে কার্যকর। এর প্রধান কারণ হলো, এই ম্যাট্রিক্সটি মূলত নিচের দুটি কলাম ভেক্টরের একটি সমন্বিত রূপ বা কনক্যাটেনেশন (concatenation) হিসেবে কাজ করে:

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )\\\sin(2\theta )\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})={\begin{pmatrix}\sin(2\theta )\\-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}$

এবং ${\mathcal {E}}_{2}$-এর সাপেক্ষে এই ধরনের উপস্থাপনাগুলো অত্যন্ত স্বচ্ছ এবং গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা সহজ।

${\vec {\delta }}_{1}={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )\\\sin(2\theta )\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\delta }}_{2}={\begin{pmatrix}\sin(2\theta )\\-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}$

এই চিত্রটি মূলত সেই মানচিত্র বা ম্যাপের কার্যকারিতা প্রদর্শন করে যা $D$ ভিত্তিকে ${\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তিতে রূপান্তরিত করে। প্রকৃতপক্ষে, এটি পুনরায় সেই ম্যাপেরই বিপরীত রূপ যা আমাদের এই প্রশ্নের মূল উত্তর হিসেবে বিবেচিত হবে। এখানে রেখাটি $x$ অক্ষের সাথে $\theta$ কোণে অবস্থান করছে।

এই ম্যাপটি মূলত ভেক্টরগুলোকে ওই নির্দিষ্ট রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলিত বা রিফ্লেক্ট করে। যেহেতু প্রতিফলন বা রিফ্লেকশন প্রক্রিয়াটি নিজেই নিজের বিপরীত (self-inverse), তাই আমাদের প্রশ্নের উত্তরটি হবে: মূল ম্যাপটি মূলবিন্দুগামী এবং $\theta$ উন্নতি কোণে অবস্থিত রেখাটির সাপেক্ষে প্রতিফলন ঘটায়। (স্বাভাবিকভাবেই, এটি যেকোনো ভিত্তির ক্ষেত্রেই একইভাবে কাজ করবে।)

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ৯

$B,B$-এর সাপেক্ষে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স বা চেঞ্জ অফ বেসিস ম্যাট্রিক্সটি আসলে কী হবে?

উত্তর

এটি হবে সঠিক মাত্রার বা যথাযথ আকারের একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (identity matrix)।

সমস্যা ১০

এটি প্রমাণ করুন যে, একটি ম্যাট্রিক্স তখনই ভিত্তি পরিবর্তন করতে পারে যদি এবং কেবল যদি সেটি বিপরীতযোগ্য বা ইনভার্টিবল (invertible) হয়।

উত্তর

এই শর্তগুলোর প্রতিটিই সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি একটি নন-সিঙ্গুলার (nonsingular) বা অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয়।

সমস্যা ১১

লেমা ১.৪-এর (Lemma 1.4) প্রমাণটি সম্পন্ন করুন।

উত্তর

এখানে যা দেখানো বাকি রয়েছে তা হলো—একটি রিডাকশন ম্যাট্রিক্স দ্বারা বাম দিক থেকে গুণ করার প্রক্রিয়াটি অন্য একটি ভিত্তি থেকে $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তিতে পরিবর্তনের প্রতিনিধিত্ব করে।

একটি সারি-গুণন ম্যাট্রিক্স (row-multiplication matrix) $M_{i}(k)$ প্রয়োগ করার প্রক্রিয়াটি মূলত $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,k{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে কোনো ভেক্টরের উপস্থাপনাকে (representation) $B$ ভিত্তির সাপেক্ষে উপস্থাপনায় রূপান্তরিত বা অনুবাদ করে, যা এখানে প্রদর্শিত হয়েছে:

${\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot (k{\vec {\beta }}_{i})+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}\;\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +(kc_{i})\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$

একইভাবে, একটি সারি-বিনিময় ম্যাট্রিক্স (row-swap matrix) $P_{i,j}$ প্রয়োগ করার মাধ্যমে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে থাকা একটি উপস্থাপনাকে পরিবর্তিত করে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে উপস্থাপনায় রূপান্তর করা হয়। সবশেষে, একটি সারি-সংযোজন ম্যাট্রিক্স (row-combination matrix) $C_{i,j}(k)$ প্রয়োগ করলে তা $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}+k{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে থাকা উপস্থাপনাকে $B$ ভিত্তির সাপেক্ষে উপস্থাপনায় পরিবর্তিত করে দেয়।

${\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot ({\vec {\beta }}_{i}+k{\vec {\beta }}_{j})+\dots +c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}$

$\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +(kc_{i}+c_{j})\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$

(এই উপ-অনুচ্ছেদের মূল অংশে বর্ণিত প্রমাণের মতোই, সারি অপারেশন বা প্রক্রিয়াসমূহের ওপর আরোপিত বিভিন্ন শর্তাবলি—যেমন স্কেলার $k$ এর মান অবশ্যই অশূন্য হতে হবে—এটি নিশ্চিত করে যে এই প্রতিটি সেটই প্রকৃতপক্ষে এক একটি ভিত্তি বা বেসিস গঠন করে।) }}

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১২

ধরি, $H$ হলো একটি $n\!\times \!n$ আকারের নন-সিঙ্গুলার বা ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্স। $\mathbb {R} ^{n}$ জগতের কোন ভিত্তিটিকে $H$ ম্যাট্রিক্সটি আদর্শ ভিত্তিতে (standard basis) রূপান্তরিত করে?

উত্তর

এখানে $H$-কে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স (change of basis matrix) হিসেবে বিবেচনা করলে আমরা পাই $H={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{n}}({\mbox{id}})$, যার কলাম বা স্তম্ভগুলো হলো:

${\begin{pmatrix}h_{1,i}\\\vdots \\h_{n,i}\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{i}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\vec {\beta }}_{i})$

এবং যেহেতু আদর্শ ভিত্তির (standard basis) সাপেক্ষে কোনো ভেক্টরের উপস্থাপনা বা রিপ্রেজেন্টেশন অত্যন্ত স্বচ্ছ এবং সরাসরি নির্ণয়যোগ্য, তাই আমরা গাণিতিকভাবে এটি পাই:

${\begin{pmatrix}h_{1,i}\\\vdots \\h_{n,i}\end{pmatrix}}={\vec {\beta }}_{i}$

অর্থাৎ, কাঙ্ক্ষিত ভিত্তিটি হলো সেই ভিত্তি যা মূলত $H$ ম্যাট্রিক্সের কলাম বা স্তম্ভগুলোর সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১৩

1. বহুপদী রাশিমালা বা পলিনোমিয়াল জগৎ ${\mathcal {P}}_{3}$-এর ক্ষেত্রে, যেখানে ভিত্তি হিসেবে $B=\langle 1+x,1-x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$ নির্ধারিত রয়েছে, সেখানে আমাদের কাছে একটি নির্দিষ্ট উপস্থাপনা বা রিপ্রেজেন্টেশন রয়েছে।

   ${\rm {Rep}}_{B}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\2\end{pmatrix}}_{B}$

   একই বহুপদী রাশির জন্য এই ভিন্ন উপস্থাপনাটি প্রদান করতে পারে এমন একটি নতুন ভিত্তি $D$ খুঁজে বের করুন।

   ${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}$

2. যেকোনো অশূন্য ভেক্টর উপস্থাপনাকে (nonzero vector representation) অন্য যেকোনো ভেক্টর উপস্থাপনায় রূপান্তর করা সম্ভব—এই গাণিতিক বক্তব্যটি বিবৃত করুন এবং এর সত্যতা প্রমাণ করুন।

ইঙ্গিত: লেমা ১.৪-এর প্রমাণটি মূলত গঠনমূলক (constructive) প্রকৃতির। এটি কেবল ভিত্তি বা বেসিস পরিবর্তনের সম্ভাবনার কথাই বলে না, বরং সেই পরিবর্তনগুলো ঠিক কীভাবে সম্পন্ন হয় তাও বিস্তারিতভাবে প্রদর্শন করে।

উত্তর

1. আমরা সারিবদ্ধ প্রক্রিয়ার (row operations) একটি নির্দিষ্ট পর্যায়ক্রম অনুসরণ করে প্রারম্ভিক ভেক্টর উপস্থাপনাটিকে চূড়ান্ত উপস্থাপনায় রূপান্তরিত করতে পারি। এই গাণিতিক প্রমাণটি আমাদের স্পষ্টভাবে দেখিয়ে দেয় যে ভিত্তিগুলো ঠিক কীভাবে পরিবর্তিত হয়। শুরুতে, আমরা $B$ ভিত্তির সাপেক্ষে ভেক্টর উপস্থাপনাটির প্রথম এবং দ্বিতীয় সারির মধ্যে স্থান পরিবর্তন (swap) করি, যার ফলে আমরা একটি নতুন ভিত্তি $B_{1}$-এর সাপেক্ষে নতুন একটি উপস্থাপনা লাভ করি।

   ${\rm {Rep}}_{B_{1}}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}}_{B_{1}}\qquad B_{1}=\langle 1-x,1+x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$

   পরবর্তী ধাপে, আমরা ভেক্টর উপস্থাপনাটির তৃতীয় সারির $-2$ গুণ চতুর্থ সারির সাথে যোগ করি। এর ফলে উপস্থাপনাটি আরও পরিবর্তিত হয়।

   ${\rm {Rep}}_{B_{3}}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}_{B_{2}}\qquad B_{2}=\langle 1-x,1+x,3x^{2}-x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$

   (এখানে লক্ষ্যণীয় যে, $B_{2}$-এর তৃতীয় উপাদানটি হলো $B_{1}$-এর তৃতীয় উপাদান থেকে $B_{1}$-এর চতুর্থ উপাদানের $-2$ গুণ বিয়োগ করার ফল।) এখন আমরা তৃতীয় সারিটিকে দ্বিগুণ করার মাধ্যমে এই রূপান্তর প্রক্রিয়াটি সফলভাবে সম্পন্ন করতে পারি।

   ${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}\qquad D=\langle 1-x,1+x,(3x^{2}-x^{3})/2,x^{2}-x^{3}\rangle$

2. এই ধরনের ফলাফল বা গাণিতিক সিদ্ধান্ত বিবৃত করার জন্য এখানে তিনটি ভিন্ন ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি বা পদ্ধতি তুলে ধরা হলো। প্রথম পদ্ধতিটি হলো একটি সুনির্দিষ্ট দাবি: ধরা যাক, $V$ একটি ভেক্টর স্পেস যার ভিত্তি হলো $B$ এবং ${\vec {v}}\in V$ একটি অশূন্য ভেক্টর। এখন যেকোনো অশূন্য কলাম ভেক্টর ${\vec {z}}$-এর জন্য (যার উপাদানের সংখ্যা $V$-এর মাত্রার সমান), এমন একটি ভিত্তি পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্স (change of basis matrix) $M$ বিদ্যমান থাকবে যাতে $M\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\vec {z}}$ সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। দ্বিতীয় সম্ভাব্য বিবৃতিটি হলো: যেকোনো ($n$-মাত্রিক) ভেক্টর স্পেস $V$ এবং যেকোনো অশূন্য ভেক্টর ${\vec {v}}\in V$-এর ক্ষেত্রে, যেখানে ${\vec {z}}_{1},{\vec {z}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ হলো দুটি অশূন্য ভেক্টর, সেখানে এমন দুটি ভিত্তি $B,D\subset V$ খুঁজে পাওয়া সম্ভব যাতে ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\vec {z}}_{1}$ এবং ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})={\vec {z}}_{2}$ শর্ত দুটি পূরণ হয়। তৃতীয় দৃষ্টিভঙ্গিটি হলো: যেকোনো ভেক্টর স্পেসের (যার মাত্রা $n$) যেকোনো অশূন্য সদস্য ${\vec {v}}$ এবং যেকোনো অশূন্য কলাম ভেক্টরের (যার উপাদান সংখ্যা $n$) জন্য এমন একটি ভিত্তি বা বেসিস বিদ্যমান থাকে, যার সাপেক্ষে ${\vec {v}}$-কে ওই নির্দিষ্ট কলাম ভেক্টরটি দ্বারা উপস্থাপন করা সম্ভব। বস্তুত, প্রথম এবং দ্বিতীয় বিবৃতি দুটি মূলত তৃতীয় বিবৃতিটি থেকেই খুব সহজে অনুমিত বা উদ্ভূত হয়। প্রথম বিবৃতিটি যৌক্তিকভাবে প্রমাণিত হয় কারণ তৃতীয় বিবৃতিটি আমাদের এমন একটি ভিত্তি $D$ প্রদান করে যেখানে ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})={\vec {z}}$ হয়; এবং এর ফলে ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ ম্যাট্রিক্সটিই আমাদের কাঙ্ক্ষিত $M$ হিসেবে কাজ করে। আবার, দ্বিতীয় বিবৃতিটি তৃতীয়টির ওপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত কারণ এটি মূলত তৃতীয় বিবৃতিরই একটি দ্বিমুখী বা দ্বিগুণ প্রয়োগ মাত্র। তৃতীয় অংশটি প্রমাণ করার একটি কার্যকর পদ্ধতি হলো এই প্রশ্নের প্রথম অংশের উত্তরের অনুরূপ কৌশল অবলম্বন করা। নিচে এর একটি সংক্ষিপ্ত রূপরেখা বা খসড়া প্রদান করা হলো। ধরা যাক, $V$ ভেক্টর জগতের যেকোনো একটি ভিত্তি $B$-এর সাপেক্ষে ${\vec {v}}$ ভেক্টরটিকে একটি কলাম ভেক্টর ${\vec {z}}_{1}$ হিসেবে উপস্থাপন করা হয়েছে। যেহেতু ${\vec {v}}$ একটি অশূন্য (nonzero) ভেক্টর, তাই গাণিতিক নিয়মানুযায়ী এই কলাম ভেক্টরটির অন্তত একটি উপাদান অবশ্যই অশূন্য হতে হবে। এরপর, সেই নির্দিষ্ট অশূন্য উপাদানটিকে ব্যবহার করে ধারাবাহিকভাবে কিছু সারি অপারেশন (row operations) প্রয়োগের মাধ্যমে ${\vec {z}}_{1}$ ভেক্টরটিকে ${\vec {z}}$ ভেক্টরে রূপান্তরিত করা সম্ভব। (উল্লেখ্য যে, এই সংক্ষিপ্ত রূপরেখাটিকে $V$ ভেক্টর জগতের মাত্রার ওপর ভিত্তি করে একটি গাণিতিক আরোহ বিধি বা ইনডাকশন আর্গুমেন্ট হিসেবে বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।)

সমস্যা ১৪

ধরি, $V,W$ হলো দুটি পৃথক ভেক্টর জগত। ধরা যাক, $V$ জগতের জন্য $B,{\hat {B}}$ দুটি ভিত্তি এবং $W$ জগতের জন্য $D,{\hat {D}}$ হলো দুটি ভিত্তি। এখন, যেখানে $h:V\to W$ একটি রৈখিক রূপান্তর (linear transformation), সেখানে ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ এবং ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$-এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপনকারী একটি গাণিতিক সূত্র নির্ণয় করুন।

উত্তর

এই বিষয়টি মূলত পরবর্তী উপ-পরিচ্ছেদে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১৫

প্রমাণ করুন যে, একটি $n\!\times \!n$ আকারের ভিত্তি পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্সের (change of basis matrix) কলামগুলো $\mathbb {R} ^{n}$ জগতের জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে। সকল ভিত্তি কি একইভাবে আবির্ভূত হয়? অর্থাৎ, $\mathbb {R} ^{n}$-এর যেকোনো ভিত্তি থেকে প্রাপ্ত ভেক্টরগুলো কি একটি ভিত্তি পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্সের কলাম হিসেবে ব্যবহৃত হতে পারে?

উত্তর

একটি ভিত্তি পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্স সর্বদা নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট হয়ে থাকে এবং এর ফলে এর র‍্যাঙ্ক বা মাত্রা এর কলাম সংখ্যার সমান হয়। ফলশ্রুতিতে, এর কলামগুলোর সেটটি $\mathbb {R} ^{n}$ জগতে $n$ সংখ্যক উপাদানের একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) উপসেট গঠন করে এবং এ কারণেই এটি একটি ভিত্তি হিসেবে গণ্য হয়। প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশের উত্তরও হলো "হ্যাঁ"; পূর্ববর্তী বাক্যের সমস্ত অনুমিতি বা ইমপ্লিকেশনগুলো বিপরীতভাবেও সত্য (অর্থাৎ, পূর্ববর্তী বাক্যের সকল "যদি... তবে..." অংশগুলো "যদি এবং কেবল যদি" অংশে রূপান্তরিত হয়)।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১৬

এমন একটি ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করুন যা নিচের প্রভাবটি তৈরি করে:

${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$

অর্থাৎ, এমন একটি ম্যাট্রিক্স $M$ খুঁজে বের করুন যা প্রারম্ভিক ভেক্টরটির বাম পাশে গুণ করলে ফলাফল হিসেবে অন্তিম ভেক্টরটি প্রদান করে। এমন কোনো ম্যাট্রিক্স কি বিদ্যমান যা নিচের দুটি প্রভাবই একসাথে প্রদর্শন করতে পারে?

1. ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

এমন একটি ম্যাট্রিক্স থাকার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত (necessary and sufficient condition) উল্লেখ করুন যাতে ${\vec {v}}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1}$ এবং ${\vec {v}}_{2}\mapsto {\vec {w}}_{2}$ সম্পর্কটি বজায় থাকে।

উত্তর

প্রশ্নের প্রথম অংশের উত্তরে বলা যায় যে, এই ধরনের অসংখ্য বা অসীম সংখ্যক ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান রয়েছে। তাদের মধ্যে একটি ম্যাট্রিক্স ${\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তির সাপেক্ষে $\mathbb {R} ^{2}$ জগতের সেই রূপান্তরটিকে উপস্থাপন করে যা এই নির্দিষ্ট ক্রিয়াটি সম্পন্ন করে।

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\-1/3\end{pmatrix}}$

দুটি ভিন্ন ইনপুট এবং আউটপুট জোড়াকে সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করার সমস্যাটি গাণিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে কিছুটা জটিল বা সূক্ষ্ম হতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, ম্যাট্রিক্সের রৈখিক ক্রিয়ার (linear action) যে সহজাত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তা অনেক ক্ষেত্রেই কিছু নির্দিষ্ট সম্ভাবনাকে সরাসরি নাকচ করে দেয়।

1. হ্যাঁ, গাণিতিক যুক্তি অনুসারে এই ধরনের একটি ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব অবশ্যই রয়েছে। নিচে বর্ণিত এই শর্তাবলিগুলো:

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

   সহজেই সমাধান করা সম্ভব:

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}a&+&3b&&&&&=&1\\&&&&c&+&3d&=&1\\2a&-&b&&&&&=&-1\\&&&&2c&-&d&=&-1\end{array}}$

   এবং এই সমীকরণগুলো সমাধানের মাধ্যমে আমরা কাঙ্ক্ষিত ম্যাট্রিক্সটি লাভ করি।

   ${\begin{pmatrix}-2/7&3/7\\-2/7&3/7\end{pmatrix}}$

2. না, এটি সম্ভব নয়, কারণ গাণিতিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে:

   $2\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\quad {\text{কিন্তু}}\quad 2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

   বস্তুত, কোনো ধরনের রৈখিক ক্রিয়াই এই বিশেষ প্রভাব বা ফলাফলটি তৈরি করতে সক্ষম নয়।
3. এক্ষেত্রে একটি পর্যাপ্ত শর্ত (sufficient condition) হলো এই যে, ভেক্টর সেট $\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}$-কে অবশ্যই রৈখিকভাবে স্বাধীন বা লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট হতে হবে। তবে এটি কোনো অপরিহার্য বা প্রয়োজনীয় শর্ত (necessary condition) নয়। একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হলো এই যে, প্রারম্ভিক ভেক্টরগুলোর মধ্যে যদি কোনো রৈখিক নির্ভরশীলতা (linear dependence) বিদ্যমান থাকে, তবে সেই একই নির্ভরশীলতা অবশ্যই চূড়ান্ত বা আউটপুট ভেক্টরগুলোর মধ্যেও উপস্থিত থাকতে হবে। অর্থাৎ, গাণিতিক ভাষায়:

   $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}\quad {\text{এর অর্থ হলো}}\quad c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2}={\vec {0}}.$

   এই শর্তটির গাণিতিক প্রমাণ অত্যন্ত সাধারণ এবং এটি রৈখিক বীজগণিতের প্রচলিত নিয়ম অনুসারেই সম্পন্ন করা যায়।