রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টরের উপস্থাপনা পরিবর্তন

যখন আমরা কোনো ভেক্টর ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ এর গাণিতিক উপস্থাপনাকে ভিত্তি ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ থেকে ভিত্তি ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$) এ রূপান্তরিত করি, তখন মূল ভেক্টর ${\vec {v}}$-এর কোনো পরিবর্তন ঘটে না। বস্তুত, এই রূপান্তর প্রক্রিয়াটি সংশ্লিষ্ট ভেক্টরের ওপর একটি অভেদ চিত্রায়ন বা আইডেন্টিটি ম্যাপ (identity map) হিসেবে কাজ করে। এই প্রক্রিয়াটি এমনভাবে বর্ণনা করা হয় যাতে ডোমেইন স্পেসের ভেক্টরগুলোকে ভিত্তি $B$-এর সাপেক্ষে এবং কোডোমেইন স্পেসের ভেক্টরগুলোকে ভিত্তি $D$-এর সাপেক্ষে উপস্থাপন করা যায়।

(পরবর্তী উপ-পরিচ্ছেদে ব্যবহৃত চিত্রগুলোর সাথে কাঠামোগত সামঞ্জস্য বজায় রাখার জন্য এই চিত্রটিকে এখানে উল্লম্বভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে।)

সংজ্ঞা ১.১

ভেক্টরের দুটি ভিত্তি $B,D\subset V$-এর জন্য ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্স (change of basis matrix) হলো ওই ভিত্তিগুলোর সাপেক্ষে অভেদ চিত্রায়ন ${\mbox{id}}:V\to V$-এর একটি গাণিতিক উপস্থাপনা।

${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})&\;\cdots \;&{\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{n})\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)$

লেমা ১.২

ভিত্তি $B$ এবং $D$-এর জন্য নির্ধারিত ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্স দ্বারা বাম-গুণন (left-multiplication) প্রক্রিয়াটি ভিত্তি $B$-এর সাপেক্ষে কোনো উপস্থাপনাকে ভিত্তি $D$-এর সাপেক্ষে উপস্থাপনায় রূপান্তরিত করে। বিপরীতভাবে, যদি কোনো ম্যাট্রিক্স দ্বারা বাম-গুণনের ফলে ভিত্তি পরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ $M\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$ হয়, তবে সেই $M$ ম্যাট্রিক্সটিই হলো একটি ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্স।

প্রমাণ

প্রথম বাক্যটির ক্ষেত্রে লক্ষ্যণীয় যে, যেহেতু ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণন একটি চিত্রায়ন বা ম্যাপের প্রয়োগকে নির্দেশ করে, তাই প্রতিটি ${\vec {v}}$-এর জন্য আমরা পাই: ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\vec {v}})\,)={\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$। দ্বিতীয় বাক্যটির ক্ষেত্রে, $B,D$ ভিত্তির সাপেক্ষে $M$ ম্যাট্রিক্সটি এমন একটি রৈখিক চিত্রায়নকে উপস্থাপন করে যার ক্রিয়া হলো ${\vec {v}}\mapsto {\vec {v}}$; সুতরাং এটি নিশ্চিতভাবেই একটি অভেদ চিত্রায়ন বা আইডেন্টিটি ম্যাপ।

উদাহরণ ১.৩

ধরা যাক, $\mathbb {R} ^{2}$ ভেক্টরের জন্য দুটি ভিত্তি নিম্নরূপ:

$B=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

যেহেতু,

${\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1/2\\3/2\end{pmatrix}}_{D}\qquad {\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1/2\\1/2\end{pmatrix}}_{D}$

তাই ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সটি হবে নিম্নরূপ:

${\rm {Rep}}_{B,D}({\rm {id)={\begin{pmatrix}-1/2&-1/2\\3/2&1/2\end{pmatrix}}}}$

আমরা ${\vec {e}}_{2}$ ভেক্টরের দুটি ভিন্ন উপস্থাপনা খুঁজে বের করার মাধ্যমে এই ম্যাট্রিক্সটির কার্যকারিতা সরাসরি পর্যবেক্ষণ করতে পারি।

${\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}$

উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয়ের মাধ্যমে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ভিত্তি $B$-এর সাপেক্ষে ভেক্টরটির উপস্থাপনা এবং ভিত্তি $D$-এর সাপেক্ষে এর রূপান্তর কীভাবে কাজ করে। এখন গাণিতিক যাচাইকরণের মাধ্যমে এটি নিশ্চিত করা সম্ভব যে এই রূপান্তর প্রক্রিয়াটি প্রত্যাশিত ফলাফল প্রদান করছে কি না।

${\begin{pmatrix}-1/2&-1/2\\3/2&1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}$

}}

এই উপ-অনুচ্ছেদটি সমাপ্ত করার পূর্বে আমরা একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় লক্ষ্য করব। লিনিয়ার অ্যালজেব্রার প্রেক্ষাপটে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সগুলো (change of basis matrices) আমাদের কাছে অত্যন্ত পরিচিত একটি গাণিতিক কাঠামোর প্রতিফলন ঘটায়।

লেমা ১.৪

একটি ম্যাট্রিক্স তখনই ভিত্তি পরিবর্তন করতে সক্ষম হবে যদি এবং কেবল যদি সেটি একটি ইনভার্টিবল বা নন-সিঙ্গুলার (nonsingular) ম্যাট্রিক্স হয়।

প্রমাণ

প্রমাণের প্রথম দিকটি বিবেচনা করলে দেখা যায় যে, যদি কোনো ম্যাট্রিক্স দ্বারা বাম-গুণন (left-multiplication) প্রক্রিয়ায় ভিত্তি পরিবর্তিত হয়, তবে সেই ম্যাট্রিক্সটি মূলত একটি বিপরীতযোগ্য বা ইনভার্টিবল ফাংশনকে (invertible function) নির্দেশ করে। এর কারণ অত্যন্ত সহজ; ভিত্তি পরিবর্তনের প্রক্রিয়াটিকে পুনরায় আগের অবস্থায় ফিরিয়ে নেওয়ার মাধ্যমে ফাংশনটিকে বিপরীতমুখী করা সম্ভব। যেহেতু ফাংশনটি বিপরীতযোগ্য, তাই সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটিও অবশ্যই ইনভার্টিবল হবে এবং ফলস্বরূপ এটি একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হিসেবে গণ্য হবে।

প্রমাণের দ্বিতীয় অংশটি সম্পন্ন করতে আমরা এখন দেখাব যে, যেকোনো নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $M$ একটি নির্দিষ্ট প্রারম্ভিক ভিত্তি $B$ থেকে অন্য কোনো অন্তিম ভিত্তিতে রূপান্তরের কাজ সম্পন্ন করতে পারে। যেহেতু ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার, তাই গাউস-জর্ডান অপনয়ন (Gauss-Jordan reduction) পদ্ধতির মাধ্যমে এটিকে একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স বা অভেদক ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত করা সম্ভব। এর অর্থ হলো, এমন কিছু প্রাথমিক বা এলিমেন্টারি রিডাকশন ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান রয়েছে যাদের গুণফল হিসেবে আমরা $R_{r}\cdots R_{1}\cdot M=I$ সমীকরণটি পাই।

এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্সগুলো স্বভাবতই ইনভার্টিবল এবং তাদের বিপরীত ম্যাট্রিক্সগুলোও এলিমেন্টারি প্রকৃতির হয়ে থাকে। সুতরাং, সমীকরণটির বাম দিকে প্রথমে ${R_{r}}^{-1}$ দ্বারা, এরপর ${R_{r-1}}^{-1}$ দ্বারা এবং ধারাবাহিকভাবে অন্যান্য বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করলে আমরা $M$-কে এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্সসমূহের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করতে পারি, অর্থাৎ: $M={R_{1}}^{-1}\cdots {R_{r}}^{-1}$। অতএব, আমরা যদি প্রমাণ করতে পারি যে এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্সগুলো একটি প্রদত্ত ভিত্তিকে অন্য একটি ভিত্তিতে রূপান্তরিত করে, তবেই আমাদের উদ্দেশ্য সফল হবে। কারণ সেক্ষেত্রে ${R_{r}}^{-1}$ ম্যাট্রিক্সটি $B$ ভিত্তিকে অন্য একটি ভিত্তি $B_{r}$-এ পরিবর্তন করবে, আবার ${R_{r-1}}^{-1}$ ম্যাট্রিক্সটি $B_{r}$-কে $B_{r-1}$-এ পরিবর্তন করবে এবং এই প্রক্রিয়ার চূড়ান্ত ফলাফল হিসেবে $M$ ম্যাট্রিক্সটি $B$ ভিত্তিকে $B_{1}$ ভিত্তিতে রূপান্তরিত করবে।

আমরা এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্সের এই বৈশিষ্ট্যটি তিনটি ভিন্ন ভিন্ন ক্ষেত্র বা কেস আলোচনার মাধ্যমে প্রমাণ করব। প্রথমেই একটি সারি-গুণন ম্যাট্রিক্স (row-multiplication matrix) প্রয়োগের বিষয়টি বিবেচনা করা যাক।

$M_{i}(k){\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{i}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\kc_{i}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$

এই প্রক্রিয়ায় $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে কোনো ভেক্টরের উপস্থাপনা পরিবর্তিত হয়ে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,(1/k){\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে নতুন একটি উপস্থাপনা তৈরি করে। গাণিতিকভাবে একে নিচের পদ্ধতিতে দেখানো যায়:

${\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}$

$\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +kc_{i}\cdot (1/k){\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$

একইভাবে, একটি সারি-বিনিময় ম্যাট্রিক্স (row-swap matrix) $P_{i,j}$ দ্বারা বাম-গুণন করার ফলে একটি নির্দিষ্ট ভিত্তির (basis) সাপেক্ষে কোনো ভেক্টরের উপস্থাপনা বা রিপ্রেজেন্টেশন পরিবর্তিত হয়। এক্ষেত্রে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তিটির সাপেক্ষে থাকা উপস্থাপনাটি রূপান্তরিত হয়ে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে নতুন একটি উপস্থাপনায় রূপ নেয়। এই প্রক্রিয়াটি নিচে গাণিতিকভাবে দেখানো হলো:

${\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}$

$\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{j}\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$

আবার, একটি সারি-সংযোজন ম্যাট্রিক্স (row-combination matrix) $C_{i,j}(k)$ দ্বারা বাম-গুণন করার মাধ্যমে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে থাকা উপস্থাপনাটি পরিবর্তিত হয়ে $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}-k{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে একটি নতুন উপস্থাপনায় রূপান্তরিত হয়। গাণিতিক রূপটি নিম্নরূপ:

${\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}$

$\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot ({\vec {\beta }}_{i}-k{\vec {\beta }}_{j})+\dots +(kc_{i}+c_{j})\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$

(উল্লেখ্য যে, রিডাকশন ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা অনুযায়ী $i\neq k$ এবং $k\neq 0$ হওয়া আবশ্যক, যার ফলে এই সর্বশেষ কাঠামোটিও একটি বৈধ ভিত্তি হিসেবে গণ্য হয়)।

অনুসিদ্ধান্ত ১.৫

একটি ম্যাট্রিক্স তখনই নন-সিঙ্গুলার বা অননন্য হবে যদি এবং কেবল যদি এটি কোনো এক জোড়া ভিত্তির সাপেক্ষে অভেদ চিত্রায়ন বা আইডেন্টিটি ম্যাপকে (identity map) উপস্থাপন করে।

পরবর্তী উপ-পরিচ্ছেদে আমরা বিস্তারিতভাবে দেখব কীভাবে বিভিন্ন চিত্রায়নের উপস্থাপনাগুলোর মধ্যে রূপান্তর বা অনুবাদ ঘটানো যায়; অর্থাৎ, কীভাবে ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ থেকে ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$-এ পরিবর্তন করা সম্ভব। উপরের অনুসিদ্ধান্তটি মূলত এই সাধারণ প্রক্রিয়ারই একটি বিশেষ ক্ষেত্র, যেখানে ডোমেইন এবং রেঞ্জ উভয়ই একই জগত বা স্পেস এবং সংশ্লিষ্ট চিত্রায়নটি হলো একটি অভেদ চিত্রায়ন।

অনুশীলনী

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১

$\mathbb {R} ^{2}$ ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে, যেখানে

$D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}\rangle$

$D$ ভিত্তি থেকে ${\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তিতে এবং ${\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তি থেকে $D$ ভিত্তিতে রূপান্তরের জন্য প্রয়োজনীয় ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সসমূহ (change of basis matrices) নির্ণয় করুন। এরপর প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স দুটিকে নিজেদের মধ্যে গুণ করুন।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ২

প্রদত্ত $B,D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ এর জন্য ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সটি খুঁজে বের করুন।

1. $B={\mathcal {E}}_{2}$, $D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$
2. $B={\mathcal {E}}_{2}$, $D=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
3. $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$, $D={\mathcal {E}}_{2}$
4. $B=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle$, $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\rangle$

সমস্যা ৩

উপরে উল্লিখিত সমস্যা ২-এ বর্ণিত ভিত্তিগুলোর ক্ষেত্রে বিপরীত অভিমুখে অর্থাৎ $D$ ভিত্তি থেকে $B$ ভিত্তিতে রূপান্তরের জন্য ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় করুন।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ৪

নিচে বর্ণিত প্রতিটি $B,D\subseteq {\mathcal {P}}_{2}$ এর জন্য ভিত্তি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় করুন।

1. $B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle x^{2},1,x\rangle$
2. $B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$
3. $B=\langle 2,2x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1+x^{2},1-x^{2},x+x^{2}\rangle$

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ৫

নিচের প্রতিটি ম্যাট্রিক্স $\mathbb {R} ^{2}$ এর ওপর ভিত্তি পরিবর্তন করে কি না তা যাচাই করে সিদ্ধান্ত নিন। এক্ষেত্রে ${\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তিটি কোন ভিত্তিতে পরিবর্তিত হচ্ছে তা উল্লেখ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1&4\\2&-8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৬

এমন কিছু ভিত্তি খুঁজে বের করুন যাতে করে এই ম্যাট্রিক্সটি ওই ভিত্তিগুলোর সাপেক্ষে একটি অভেদ চিত্রায়ন বা আইডেন্টিটি ম্যাপ (identity map) হিসেবে উপস্থাপিত হয়।

${\begin{pmatrix}3&1&4\\2&-1&1\\0&0&4\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৭

$\langle \sin(x),\cos(x)\rangle$ ভিত্তি বিশিষ্ট বাস্তব-মান সম্পন্ন ফাংশনগুলোর ভেক্টর স্পেসটি বিবেচনা করুন। প্রমাণ করুন যে, $\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ সেটটিও এই স্পেসের জন্য একটি ভিত্তি হিসেবে কাজ করে। উভয় অভিমুখে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সগুলো নির্ণয় করুন।

সমস্যা ৮

এই ম্যাট্রিক্সটি কোথায়

${\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}$

$\mathbb {R} ^{2}$-এর আদর্শ ভিত্তিকে (standard basis) প্রেরণ করে? অন্য কোনো ভিত্তি কি এক্ষেত্রে সম্ভব? ইঙ্গিত: বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স (inverse) বিবেচনা করে সমাধানটি খোঁজার চেষ্টা করুন।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ৯

ভিত্তি $B,B$-এর সাপেক্ষে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সটি (change of basis matrix) আসলে কী হবে? অর্থাৎ, যখন আদি ভিত্তি এবং লক্ষ্য ভিত্তি উভয়ই অভিন্ন হয়, তখন ম্যাট্রিক্সটির স্বরূপ কেমন দাঁড়ায় তা ব্যাখ্যা করুন।

সমস্যা ১০

প্রমাণ করুন যে, একটি ম্যাট্রিক্স তখনই ভিত্তি পরিবর্তন করতে সক্ষম হবে যদি এবং কেবল যদি (if and only if) ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য বা ইনভার্টিবল (invertible) হয়।

সমস্যা ১১

লেমা ১.৪ (Lemma 1.4) এর অসম্পূর্ণ প্রমাণটি যৌক্তিকভাবে সম্পন্ন করুন।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১২

ধরা যাক, $H$ হলো একটি $n\!\times \!n$ আকারের নন-সিঙ্গুলার বা অননন্য ম্যাট্রিক্স। $\mathbb {R} ^{n}$ জগতের কোন ভিত্তিটিকে এই $H$ ম্যাট্রিক্সটি আদর্শ ভিত্তিতে (standard basis) রূপান্তরিত করবে?

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১৩

1. ${\mathcal {P}}_{3}$ ভেক্টর স্পেসের ক্ষেত্রে যেখানে ভিত্তি হলো $B=\langle 1+x,1-x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$, সেখানে আমাদের কাছে একটি বহুপদী রাশির নিচের উপস্থাপনটি বিদ্যমান রয়েছে:

   ${\rm {Rep}}_{B}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\2\end{pmatrix}}_{B}$

   এখন এমন একটি নতুন ভিত্তি $D$ খুঁজে বের করুন, যা একই বহুপদী রাশির জন্য নিচের এই ভিন্ন উপস্থাপনটি প্রদান করবে:

   ${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}$

2. এই সাধারণ সত্যটি বিবৃত করুন এবং প্রমাণ করুন যে, যেকোনো অশূন্য (nonzero) ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট উপস্থাপনকে অন্য যেকোনো উপস্থাপনে পরিবর্তন করা সম্ভব।

ইঙ্গিত: লেমা ১.৪-এর প্রমাণটি গঠনমূলক (constructive)—এটি কেবল ভিত্তি পরিবর্তনের সম্ভাব্যতাকেই নির্দেশ করে না, বরং সেই পরিবর্তনগুলো কীভাবে ঘটে তার সুনির্দিষ্ট পদ্ধতিও প্রদর্শন করে।

সমস্যা ১৪

ধরা যাক $V,W$ হলো দুটি ভেক্টর স্পেস, এবং $B,{\hat {B}}$ হলো $V$-এর জন্য দুটি ভিত্তি এবং $D,{\hat {D}}$ হলো $W$-এর জন্য দুটি ভিত্তি। যেখানে $h:V\to W$ একটি রৈখিক রূপান্তর, সেখানে ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ এবং ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$-এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপনকারী একটি গাণিতিক সূত্র নির্ণয় করুন।

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১৫

দেখিয়ে দিন যে, একটি $n\!\times \!n$ আকারের ভিত্তি পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্সের কলাম বা স্তম্ভগুলো $\mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে। সব ভিত্তিই কি এই পদ্ধতিতে আবির্ভূত হয়: অর্থাৎ, $\mathbb {R} ^{n}$-এর যেকোনো ভিত্তির ভেক্টরগুলো কি একটি ভিত্তি পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্সের কলাম হিসেবে ব্যবহৃত হতে পারে?

সকল পাঠকেরই এই অনুশীলনটি করা উচিত।

সমস্যা ১৬

এমন একটি ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করুন যা প্রয়োগ করলে নিচের ভেক্টর রূপান্তরটি সম্পন্ন হয়:

${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$

অর্থাৎ, গাণিতিক পরিভাষায় আমাদের এমন একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স $M$ অনুসন্ধান করতে হবে, যা কোনো প্রারম্ভিক ভেক্টরের বাম পার্শ্বে গুণ করার (left-multiplies) মাধ্যমে ফলাফল হিসেবে একটি নির্দিষ্ট গন্তব্য বা শেষ ভেক্টর প্রদান করবে। বাস্তবিক অর্থে, এমন কোনো একক ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব কি সম্ভব যা একই সাথে নিচে বর্ণিত এই দুটি বিশেষ রূপান্তর বা প্রভাব সৃষ্টি করতে সক্ষম?

1. ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

এমন একটি ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকার জন্য গাণিতিকভাবে প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তাবলি (necessary and sufficient condition) উল্লেখ করুন, যার অধীনে ${\vec {v}}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1}$ এবং ${\vec {v}}_{2}\mapsto {\vec {w}}_{2}$ এই উভয় রূপান্তরই যথাযথভাবে সম্পন্ন করা সম্ভব হয়।

সমাধান