রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর

ভেক্টর হলো এমন গাণিতিক ভাষা যা মান এবং দিক উভয়ই আছে এমন রাশিকে প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়। পদার্থবিজ্ঞান এবং জ্যামিতিতে স্বাভাবিকভাবেই এদের উৎপত্তি ঘটে যখন কোনো পরিস্থিতি বর্ণনা করার জন্য একটিমাত্র বাস্তব সংখ্যা (একটি স্কেলার) যথেষ্ট হয় না।

স্কেলার হলো $\mathbb {R}$-এর একটি উপাদান, যা কেবল মান প্রকাশ করে এবং এর কোনো দিকনির্দেশক অংশ থাকে না। এর সাধারণ উদাহরণের মধ্যে রয়েছে ভর, সময় এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব। উদাহরণস্বরূপ, একটি কণা ৫ কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করেছে—এই উক্তিটি কেবল একটি দৈর্ঘ্যকে প্রকাশ করে এবং তাই এটি স্কেলার উপাত্তকে নির্দেশ করে।

তবে, অনেক জ্যামিতিক এবং ভৌত পরিস্থিতির জন্য অতিরিক্ত কাঠামোর প্রয়োজন হয়। উদাহরণস্বরূপ, ৫ কিলোমিটারের একটি সরণ নির্দিষ্ট করে বলাটা অসম্পূর্ণ, যতক্ষণ না এর সাথে একটি দিক প্রদান করা হচ্ছে। "ঠিক পূর্ব দিকে ৫ কিলোমিটার"—এমন একটি উক্তি মান এবং অভিমুখ (দিক) উভয়ই নির্ধারণ করে। একটি নির্দিষ্ট মূলবিন্দু দেওয়া থাকলে, এই তথ্যটি স্থানে একটি বিন্দুকে অনন্যভাবে নির্দিষ্ট করে।

আনুষ্ঠানিকভাবে, এই বিষয়টিই ভেক্টরের ধারণাকে প্রবর্তন করতে অনুপ্রাণিত করে এমন একটি বস্তু হিসেবে যা মান এবং দিক উভয়কেই ধারণ করে। এর ফলে সরণ, বেগ, বল এবং এই সম্পর্কিত ভৌত রাশিগুলোকে বর্ণনা করার জন্য একটি সুসংগত বীজগণিতীয় কাঠামো পাওয়া যায়।

সংজ্ঞা

ত্রিকোণমিতি ব্যবহারের মাধ্যমে ভেক্টরকে গাণিতিকভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে।

আমরা একটি ভেক্টরকে একটি মান এবং একটি দিক দ্বারা গঠিত একটি ক্রমজোড় হিসেবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এই চিত্রে, r হলো এই ভেক্টরের মান এবং θ হলো এর দিক। এবার লক্ষ্য করুন, আমরা অনুভূমিকভাবে r cos(θ) এবং উলম্বভাবে r sin(θ) দূরত্ব অতিক্রম করেছি। এগুলোকে যথাক্রমে x-অক্ষ এবং y-অক্ষ বলা হয়।

আমরা x এবং y উপাংশের মাধ্যমেও সুবিধাজনকভাবে একটি ভেক্টর লিখতে পারি। ভেক্টরের জন্য আমরা ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ লিখি। কিছু পাঠ্যবইতে আপনি ভেক্টরকে পাশাপাশি লেখা দেখতে পারেন, যেমন (x, y), কিন্তু যখন আপনি নিজে লিখবেন, তখন এদের কলাম আকারে নিচের দিকে লেখা প্রচণ্ড সহায়ক হবে। ছাপার অক্ষরে আমরা সাধারণত বোল্ড (গাঢ়) হরফে ভেক্টর লিখে থাকি, তবে যেহেতু আপনার কাছে সম্ভবত বোল্ড অক্ষরে লেখার মতো কোনো কলম নেই, তাই আপনার ভেক্টরগুলোর নিচে দাগ দিন, অর্থাৎ v লিখুন, অথবা আপনার ভেক্টরগুলোর নিচে একটি টিল্ডা চিহ্ন দিন। মাঝেমধ্যে পদার্থবিজ্ঞানে, আপনি ভেক্টরগুলোকে ডানদিকে নির্দেশকারী একটি তীর চিহ্ন দিয়ে লিখতে দেখতে পারেন।

লক্ষ্য করুন যে ভেক্টরের কেবল দুটি উপাংশই থাকতে হবে এমন কোনো কথা নেই। আমাদের ২, ৩, n বা অসীম সংখ্যক উপাংশ থাকতে পারে।

আমরা ২টি বাস্তব সংখ্যার উপাংশবিশিষ্ট সমস্ত ভেক্টরের সেটকে R² হিসেবে লিখি; একইভাবে ৩, n বা অসীম সংখ্যক উপাংশের জন্যও লেখা হয়। জটিল সংখ্যাবিশিষ্ট উপাংশের জন্য আমরা C লিখি। বহুপদীগুলোও এক ধরণের "ভেক্টর" - আমরা পরে বহুপদীর সেটের প্রকাশপদ্ধতি দেখব। আমরা কেন এমনটা করি তার কারণ জানতে, ব্যাখ্যার জন্য সেট তত্ত্ব দেখুন।

সম্প্রসারণ ও সংকোচন

আমরা ভেক্টরের ওপর কিছু ক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করতে পারি। আমরা যদি ভেক্টরটিকে প্রসারিত করি তবে কী ঘটবে? অথবা যদি আমরা ভেক্টরটিকে সংকুচিত করি তবে কী ঘটবে? ভেক্টরের দিক পরিবর্তিত হয় না, কেবল এর দৈর্ঘ্য—অর্থাৎ এর মান পরিবর্তিত হয়। কোনো ভেক্টরকে প্রসারিত বা সংকুচিত করার জন্য আমরা যে ক্রিয়াটি সম্পাদন করি তা হলো এর মানকে কোনো একটি পরিমাণ দিয়ে গুণ করা। এই কাজটিকে আমরা স্কেলার গুণন বলে থাকি: আমরা ভেক্টরটিকে একটি স্কেলার বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণ করি।

স্কেলার গুণন

স্কেলার গুণনের ক্ষেত্রে, আমরা কেবল প্রতিটি উপাংশকে স্কেলারটি দ্বারা গুণ করি। আমরা সাধারণত স্কেলারের জন্য গ্রিক অক্ষর এবং ভেক্টরের জন্য ইংরেজি অক্ষর ব্যবহার করে থাকি। সুতরাং λ মানের একটি স্কেলার এবং r ও θ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি ভেক্টর v এর জন্য, নতুন ভেক্টরটি হবে λr এবং θ। লক্ষ্য করুন কীভাবে দিকটি অপরিবর্তিত থাকছে।

উদাহরণ

ধরুন আমাদের কাছে ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ আছে এবং আমরা এর মান দ্বিগুণ করতে চাই। সুতরাং, $2{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$।

ভেক্টরের যোগ

সহজ কথায়, দুটি ভেক্টর যোগ করার জন্য, নতুন x-অক্ষ পেতে আপনাকে তাদের নিজ নিজ x-অক্ষ দুটি একসাথে যোগ করতে হবে এবং একইভাবে নতুন y-অক্ষ পেতে y-অক্ষ দুটি একসাথে যোগ করতে হবে।

উদাহরণ

ধরুন আমাদের কাছে $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$ আছে এবং আমরা এগুলো যোগ করতে চাই। সুতরাং, $\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}$।

ভেক্টরের বিয়োগ

দুটি ভেক্টর, a এবং b-এর বিয়োগের প্রক্রিয়া, a-b-কে a+(-1)b হিসেবেও লেখা যেতে পারে। অতএব, আমরা (-1)b এর মান নির্ণয় করতে স্কেলার গুণন ব্যবহার করতে পারি এবং এরপর আমাদের সমাধান বের করতে ভেক্টরের যোগ ব্যবহার করতে পারি।

ভেক্টর হিসেবে জটিল সংখ্যা

^ জটিল সংখ্যাকে $r(cos(\theta )+isin(\theta ))$ বা সমতুল্যভাবে $re^{i\theta }$ আকারে প্রকাশ করা যায়, অথবা অন্য কথায়, একে $r$ মান এবং $\theta$ দিকবিশিষ্ট একটি ভেক্টর হিসেবেও প্রকাশ করা যায়। জটিল সমতলে, এই ভেক্টরের একটি বাস্তব x-অক্ষ এবং একটি কাল্পনিক y-অক্ষ থাকে। আরও তথ্যের জন্য জটিল সংখ্যা দেখুন।

রেখা এবং সমতল

আমরা ভেক্টর ব্যবহার করে রেখা এবং সমতলের সমীকরণ গঠন করতে পারি। চলুন দেখি কীভাবে আমরা এটি করতে পারি।

রেখার ভেক্টর সমীকরণ

ধরা যাক একটি ভেক্টর $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$। নিচের বিষয়গুলো বিবেচনা করা যাক:

$2\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

$-\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

$3\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$

যদি আমাদের কাছে সমীকরণ λv থাকে, তবে এটি স্পষ্ট যে λ-এর প্রতিটি বাছাইকৃত মানের জন্য আমরা y=2x রেখার ওপর একটি ভিন্ন বিন্দু পাই। আমরা এখন এই ধারণাটিকে রেখার ভেক্টর সমীকরণে সাধারণীকরণ করতে পারি (এবং এটি কেবল মাত্র ২ মাত্রার মধ্যেই সীমাবদ্ধ নয়)। কোনো রেখার ভেক্টর সমীকরণটি নিচে দেওয়া হলো:

x=λv (একটি স্কেলার λ-এর জন্য)

যেখানে v হলো রেখাটির সমান্তরাল (যা রেখাটির উপরেও অবস্থান করতে পারে) একটি ভেক্টর। তখন সমীকরণে λ হলো অজানা রাশি। আর x হলো নির্ভরশীল ভেক্টর চলক।

সমতলের ভেক্টর সমীকরণ

এখন একটি সমতল বিবেচনা করুন। সমতলের ওপর অবস্থিত দুটি অসমান্তরাল ভেক্টর থাকলে এবং আমরা সেগুলো যোগ করলে, অন্য কোনো ভেক্টর বেছে নেওয়ার জন্য আমরা তাদের একটি রৈখিক সমাবেশ যোগ করতে পারি (অর্থাৎ, কেবল স্কেলার দ্বারা গুণিত দুটি ভেক্টর যোগ করা)। এই দুটি ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশের অধীনে থাকা সমস্ত ভেক্টরের সেট একটি সমতল গঠন করে। আরও সহজভাবে বললে, যদি আমাদের দুটি অসমান্তরাল ভেক্টর a এবং b থাকে তবে আমরা নিম্নোক্ত উপায়ে a এবং b-এর সমান্তরাল অন্য যেকোনো ভেক্টর গঠন করতে পারি:

λ₁a+λ₂b=x

যেখানে λ₁ এবং λ₂ উভয়ই স্কেলার।

ভেক্টরের আরও কিছু বীজগণিত এবং জ্যামিতি

ভেক্টরের ওপর আমরা আরও কিছু প্রক্রিয়া প্রয়োগ করতে পারি। আমরা যে প্রক্রিয়াগুলো নিয়ে আলোচনা করব, সেগুলোর খুব বাস্তব এবং তাৎপর্যপূর্ণ জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে।

মান

কোনো ভেক্টরের মান হলো R⁺ এ এর দৈর্ঘ্য।

ডট গুণন

দুটি ভেক্টরের ডট গুণন-কে তাদের উপাংশগুলোর গুণফলের যোগফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রতীকের সাহায্যে আমরা লিখি:

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}$

উদাহরণস্বরূপ,

${\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}=3-10=-7$

ডট গুণনের বৈশিষ্ট্য

যদি আমাদের কাছে দুটি ভেক্টর a এবং b থাকে,

a · b = b · a

c(a · b) = ca·b = a·cb

যেখানে c হলো একটি স্কেলার।

ডট গুণনের জ্যামিতি

দুটি ভেক্টরের ডট গুণনের একটি বিকল্প রূপ রয়েছে:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos {\theta }$

আমরা যদি একটি ত্রিভুজ গঠন করার জন্য c=a-b ভেক্টরটি নিই, তবে ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে আমরা দেখাতে পারি যে এই দুটি রূপ আসলেই সমতুল্য। এখানে θ কোণটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি দেখায় যে দুটি ভেক্টরের ডট গুণন তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাথে সম্পর্কিত। আরও নির্দিষ্টভাবে বললে, আমরা দুটি ভেক্টরের ডট গুণন গণনা করতে পারি—যদি ডট গুণনটি শূন্য হয়, তবে আমরা বলতে পারি যে ভেক্টর দুটি পরস্পরের ওপর লম্ব। উদাহরণস্বরূপ, সহজভাবে বিবেচনা করুন:

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\ -1\end{pmatrix}}=1-1=0$

এই ভেক্টরগুলোকে সমতলে স্থাপন করুন এবং নিজে যাচাই করে দেখুন যে এরা পরস্পর লম্ব।

আড় গুণন

আড় গুণন সংজ্ঞায়িত করা তুলনামূলকভাবে কিছুটা জটিল, তবে এর একটি চমৎকার জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। আমরা কেবল ত্রিমাত্রিক স্থানে ক্রস গুণন নিয়ে আলোচনা করব, কারণ এটি সাধারণত ত্রিমাত্রিক স্থানেই বেশি ব্যবহৃত হয় এবং উচ্চতর মাত্রায় একে সংজ্ঞায়িত করা কঠিন। তিনটি উপাংশবিশিষ্ট দুটি ভেক্টরের জন্য, ক্রস গুণনকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

যেখানে

$\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

আপনি যদি আগে ম্যাট্রিক্সের কাজ না করে থাকেন, তবে ওপরের অংশ থেকে বের করার জন্য এখানে একটি সূত্র দেওয়া হলো... = i $(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})$ - j$(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})$+ k $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

ক্রস গুণনের বৈশিষ্ট্য

ক্রস গুণনের কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

a×b = -b×a

যা ওপরের সংজ্ঞা থেকে সহজেই যাচাই করা যায়, এবং

c×(a+b) = c×a+c×b

ক্রস গুণনের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য

ক্রস গুণনের বেশ কিছু কৌতূহলোদ্দীপক জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যদি a এবং b দুটি ভেক্টর হয়, তবে a×b হলো এমন একটি ভেক্টর যা এদের উভয়ের ওপর লম্ব। এখন যদি আমাদের কাছে দুটি ভেক্টর থাকে, তবে a এবং b-এর ওপর লম্ব এমন ভেক্টর বেছে নেওয়ার জন্য আমাদের কাছে দুটি বিকল্প থাকে—যদি আমরা ক্রস গুণনের ক্রম পরিবর্তন করি, তবে আমরা অন্য ভেক্টরটি পাই। দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণনের মান হলো এই দুটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল। স্কেলার ত্রিগুণন, a·(b×c) হলো এই তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমান্তরালকের আয়তন।

আরও দেখুন

• উইকিপিডিয়ায় ভেক্টর