রৈখিক বীজগণিত/বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ

আইগেনভ্যালুর ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞাটি অত্যন্ত উপযোগী, কারণ এটি নিচের উপপাদ্যটি ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু খুঁজে পেতে সাহায্য করে:

$\lambda$ হলো $A$ এর একটি আইগেনভ্যালু হবে যদি এবং কেবল যদি ${\text{det}}(A-\lambda I_{n})=0$ হয়।

প্রমাণ:

যদি $Av=\lambda v$ হয়, তবে:

$\Rightarrow Av=\lambda I_{n}v$

$\Rightarrow Av-\lambda I_{n}v=0$

$\Rightarrow (A-\lambda I_{n})v=0$

যেহেতু $v$ একটি অশূন্য ভেক্টর তাই আমরা জানি যে $(A-\lambda I_{n})$ অবশ্যই একটি একক ম্যাট্রিক্স হবে। অর্থাৎ, এর নির্ণায়ক হবে শূন্য। সুতরাং, $A$-এর একটি আইগেনভ্যালু নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ করবে:

${\text{det}}(A-\lambda I_{n})=0.$

যাকে ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন বা বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ বলা হয়। (বিপরীত দিকটি এখানে প্রমাণ করা হয়নি তবে আইগেনভ্যালু গণনার সময় সাধারণত সেটির প্রয়োজন পড়ে না)

যদি $A$ একটি $2\times 2$ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে এই সমীকরণটি থেকে নিচের ক্যারেক্টারিস্টিক পলিনোমিয়াল বা বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদী পাওয়া যায়:

${\text{det}}({\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}})=0$

$\Rightarrow {\text{det}}({\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{bmatrix}})=0$

$\Rightarrow {\text{det}}{\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda \end{bmatrix}}=0$

$\Rightarrow (a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )-a_{21}a_{12}=0$

$\Rightarrow \lambda ^{2}-(a_{11}+a_{22})\lambda +a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$

এটি মূলত একটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং এর মূলগুলোই হলো ম্যাট্রিক্স $A$ এর আইগেনভ্যালু।

এর সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টরগুলো খুঁজে পেতে আমাদের কেবল $Av=\lambda v$ সমীকরণটি সমাধান করতে হয়, যা মূলত দুটি যুগপৎ সমীকরণ। প্রকৃতপক্ষে, এই সমীকরণের অসংখ্য সমাধান থাকবে কারণ একটি আইগেনভেক্টরের যেকোনো স্কেলার গুণিতকও একটি আইগেনভেক্টর।