রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: স্ফটিক/সমাধান

সমাধান

সমস্যা ১

লবণের একটি কণার একটি তলে কতগুলো মৌলিক অঞ্চল বা একক কোষ রয়েছে? (একটি স্কেল বা রুলারের সাহায্যে অনুমান করা যায় যে, লবণের ওই তলটি একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $0.1$ সেমি।)

উত্তর

প্রতিটি মৌলিক একক হলো $3.34\times 10^{-10}$ সেমি, সুতরাং সেখানে প্রায় $0.1/(3.34\times 10^{-10})$ সংখ্যক এমন একক রয়েছে। যা থেকে পাওয়া যায় $2.99\times 10^{8}$, অর্থাৎ লবণের ওই তলে প্রায় $300,000,000$ (ত্রিশ কোটি) একক কোষ রয়েছে।

সমস্যা ২

গ্রাফাইটের চিত্রটির ক্ষেত্রে কল্পনা করুন যে, মূলবিন্দু থেকে $5.67$ অ্যাংস্ট্রম(Å) ওপরে এবং $3.14$ অ্যাংস্ট্রম (Å) ডানে অবস্থিত একটি বিন্দুর অবস্থান জাানা ।

1. বিন্দুটিকে গ্রাফাইটের জন্য প্রদত্ত ভিত্তির মাধ্যমে প্রকাশ করুন।
2. মূলবিন্দু থেকে এই বিন্দুটি কতগুলো ষড়ভুজাকার আকৃতি দূরে অবস্থিত?
3. বিন্দুটিকে একটি দ্বিতীয় ভিক্তির মাধ্যমে প্রকাশ করুন, যেখানে প্রথম বেসিস ভেক্টরটি অপরিবর্তিত থাকবে, কিন্তু দ্বিতীয় ভেক্টরটি প্রথম ভেক্টরের ওপর লম্ব হবে (তলের ওপরের দিকে যাবে) এবং এর দৈর্ঘ্য প্রথম ভেক্টরের সমান হবে।

উত্তর

1. সমীকরণটি সমাধান করি —

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1.23\\0.71\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5.67\\3.14\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}1.42c_{1}&+&1.23c_{2}&=&5.67\\&&0.71c_{2}&=&3.14\end{array}}$

   সমাধান করে পাই, $c_{2}\approx 4.42$ এবং $c_{1}\approx 0.16$।
2. নিচে স্ফটিক জালের মধ্যে বিন্দুটির অবস্থান দেখানো হলো। বামদিকের চিত্রে, একক কোষের ওপর দুটি বেসিস ভেক্টর ${\vec {\beta }}_{1}$ ও ${\vec {\beta }}_{2}$ স্থাপন করা হয়েছে, এবং একটি বক্সের মাধ্যমে $0.16{\vec {\beta }}_{1}+4.42{\vec {\beta }}_{2}$-এর অবস্থানগত স্থানান্তর দেখানো হয়েছে। ডানদিকের চিত্রটি দেখায় যে স্ফটিক জালের ভেতরে ঠিক কোথায় এটি দৃশ্যমান হয়, যেখানে একেবারে নিচে-বামে অবস্থিত ষড়ভুজটির নিচের বাম কোণটিকে মূলবিন্দু ধরা হয়েছে।

       

   সুতরাং, এই বিন্দুটি মূলবিন্দু থেকে পরবর্তী কলামের ষড়ভুজগুলোর মধ্যে অবস্থিত। আপনি কীভাবে গণনা করছেন তার ওপর ভিত্তি করে এটি এক ষড়ভুজ ওপরে অথবা দুই ষড়ভুজ ওপরে অবস্থিত হতে পারে।

3. এই দ্বিতীয় বেসিস বা ভিত্তিটি —

   $\langle {\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1.42\end{pmatrix}}\rangle$

   আমাদের গণনাকে আরও সহজ করে দেয়:

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1.42\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5.67\\3.14\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}1.42c_{1}&&&=&5.67\\&&1.42c_{2}&=&3.14\end{array}}$

   (যেখান থেকে পাই $c_{2}\approx 2.21$ এবং $c_{1}\approx 3.99$), তবে এখানে যে ভৌত কাঠামোটি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে, তার সাথে এই কাল্পনিক ভিত্তিটির সরাসরি কোনো সম্পর্ক বা মিল নেই।

সমস্যা ৩

হীরার ঘনকে পরমাণুগুলোর অবস্থান ভিত্তি এবং অ্যাংস্ট্রম(Å) — উভয় এককেই উল্লেখ করুন।

উত্তর

বেসিসের সাপেক্ষে ঘনকের কোণায় অবস্থিত পরমাণুগুলোর অবস্থান হলো $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, ..., $(1,1,1)$। তলের বা পৃষ্ঠের ওপরে অবস্থিত পরমাণুগুলোর অবস্থান হলো $(0.5,0.5,1)$, $(1,0.5,0.5)$, $(0.5,1,0.5)$, $(0,0.5,0.5)$, $(0.5,0,0.5)$, এবং $(0.5,0.5,0)$। ওপর থেকে এক-চতুর্থাংশ নিচে অবস্থিত পরমাণুগুলোর অবস্থান হলো $(0.75,0.75,0.75)$ এবং $(0.25,0.25,0.25)$। নিচ থেকে এক-চতুর্থাংশ ওপরে অবস্থিত পরমাণুগুলোর অবস্থান হলো $(0.75,0.25,0.25)$ এবং $(0.25,0.75,0.25)$। এই মানগুলোকে অ্যাংস্ট্রমে রূপান্তর করা অত্যন্ত সহজ (প্রতিটি স্থানাঙ্ককে ২.১৮ দ্বারা গুণ করলেই তা পাওয়া যাবে)।

সমস্যা ৪

একটি আয়তন যে আকৃতিতে স্ফটিক বা ক্রিস্টাল গঠন করে, তা থেকে কীভাবে এর একক কোষের মাত্রা গণনা করা যায় — এই সমস্যাটি তা প্রদর্শন করে।

1. মনে করে দেখুন যে, ১ মোল পদার্থে $6.022\times 10^{23}$ সংখ্যক পরমাণু থাকে (এটি অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা)। এই তথ্য এবং প্লাটিনামের পারমাণবিক ভর প্রতি মোলে $195.08$ গ্রাম — এই সত্যটি থেকে প্রতিটি পরমাণুর ভর গণনা করুন।
2. প্লাটিনাম একটি তল-কেন্দ্রিক ঘনকাকার ল্যাটিসে স্ফটিক গঠন করে যার প্রতিটি ল্যাটিস বিন্দুতে পরমাণু থাকে; অর্থাৎ, এটি দেখতে হুবহু ওপরে হীরার স্ফটিকের জন্য দেওয়া দ্বিতীয় (মাঝের) চিত্রটির মতো। একটি একক কোষে কতগুলো প্লাটিনাম পরমাণু রয়েছে তা বের করুন (সংকেত: একটি একক কোষের ভেতরে প্লাটিনাম পরমাণুগুলোর যে ভগ্নাংশ অংশ বিদ্যমান, সেগুলোর সমষ্টি নিন)।
3. ওপরের ফলাফল থেকে একটি একক কোষের ভর নির্ণয় করুন।
4. প্লাটিনাম স্ফটিকের ঘনত্ব প্রতি ঘন সেন্টিমিটারে $21.45$ গ্রাম। এই তথ্য এবং একক কোষের ভর থেকে একটি একক কোষের আয়তন গণনা করুন।
5. একক কোষের প্রতিটি ধারের বা কিনারার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।
6. এর একটি স্বাভাবিক ত্রিমাত্রিক বেসিস বা ভিত্তির বর্ণনা দিন।

উত্তর

1. $195.08/6.02\times 10^{23}=3.239\times 10^{-22}$ গ্রাম
2. $4$-টি (কোণার ৮টি পরমাণুর $1/8$ অংশ করে মোট ১টি এবং ৬টি তলের পরমাণুর $1/2$ অংশ করে মোট ৩টি; অর্থাৎ ১ + ৩ = ৪)
3. $4\cdot 3.239\times 10^{-22}=1.296\times 10^{-21}$ গ্রাম
4. $1.296\times 10^{-21}/21.45=6.042\times 10^{-23}$ ঘন সেন্টিমিটার
5. $3.924\times 10^{-8}$ সেন্টিমিটার
6. $\langle {\begin{pmatrix}3.924\times 10^{-8}\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\3.924\times 10^{-8}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\3.924\times 10^{-8}\end{pmatrix}}\rangle$

তথ্যসূত্র

• এবিং, ড্যারেল ডি. (১৯৯৩), জেনারেল কেমিস্ট্রি (চতুর্থ সংস্করণ), হিউস্টন মিপিলিন উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.