রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: স্থিতিশীল জনসংখ্যা

ধরি, একটি সংরক্ষিত পার্কে এমন কিছু প্রাণী আছে যাদের আমরা রক্ষা করতে চাই। পার্কটিতে কোনো সীমানা প্রাচীর নেই। তাই প্রাণীরা সহজেই ভেতরে-বাইরে যাতায়াত করতে পারে।

প্রতি বছর পার্কের ভেতরের ১০% প্রাণী বাইরে চলে যায় এবং বাইরের ১% প্রাণী ভেতরে প্রবেশ করে।

আমরা পার্কটির জন্য একটি স্থিতিশীল জনসংখ্যার মাত্রা খোঁজার চেষ্টা করতে পারি। এমন কি কোনো নির্দিষ্ট জনসংখ্যা আছে যা একবার অর্জিত হলে সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকবে? অর্থাৎ, যতগুলো প্রাণী বাইরে যাবে ঠিক ততগুলোই ভেতরে আসবে?

এই প্রশ্নের উত্তর দিতে আমাদের প্রথমে সমীকরণ তৈরি করতে হবে।

ধরি, $n$-তম বছরে পার্কের ভেতরের জনসংখ্যা $p_{n}$ এবং পৃথিবীর বাকি অংশের জনসংখ্যা $r_{n}$।

${\begin{array}{rl}p_{n+1}&=.90p_{n}+.01r_{n}\\r_{n+1}&=.10p_{n}+.99r_{n}\end{array}}$

আমরা এই ব্যবস্থাকে একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হিসেবে সাজাতে পারি (মার্কভ চেইন প্রসঙ্গটি দেখুন)।

${\begin{pmatrix}p_{n+1}\\r_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}.90&.01\\.10&.99\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{n}\\r_{n}\end{pmatrix}}$

এখানে "স্থিতিশীল মাত্রা" বলতে বোঝায় $p_{n+1}=p_{n}$ এবং $r_{n+1}=r_{n}$। ফলে ম্যাট্রিক্স সমীকরণ ${\vec {v}}_{n+1}=T{\vec {v}}_{n}$ পরিবর্তিত হয়ে ${\vec {v}}=T{\vec {v}}$ রূপ ধারণ করে। তাই আমরা $T$-এর এমন আইগেনভেক্টর খুঁজছি যার আইগেনমান $1$ হবে। সমীকরণটি হলো $(I-T){\vec {v}}={\vec {0}}$ :

${\begin{pmatrix}.10&-.01\\-.10&.01\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

এটি একটি আইগেনস্পেস বা আইগেনজগত প্রদান করে। এখানকার ভেক্টরগুলোর শর্ত হলো $p=.1r$। এর সাথে একটি অতিরিক্ত তথ্য যুক্ত করা হলো যে, পৃথিবীতে এই প্রজাতির মোট জনসংখ্যা $p+r=110\,000$। এটি ব্যবহার করে আমরা স্থিতিশীল অবস্থাটি পাই $p=10,000$ এবং $r=100,000$।

আমরা যদি পার্কের দশ হাজার জনসংখ্যা দিয়ে শুরু করি (ফলে বিশ্বের বাকি অংশে এক লক্ষ জনসংখ্যা থাকবে), তবে প্রতি বছর ভেতরের দশ শতাংশ (এক হাজার প্রাণী) পার্ক ছেড়ে চলে যাবে। অন্যদিকে বাইরের বিশ্বের এক শতাংশ (এক হাজার প্রাণী) প্রতি বছর পার্কে প্রবেশ করবে। এটি একটি স্থিতিশীল ও স্বয়ংসম্পূর্ণ অবস্থা।

এখন ধরি, আমরা ধীরে ধীরে এই প্রজাতির মোট বৈশ্বিক জনসংখ্যা বাড়ানোর চেষ্টা করছি। উদাহরণস্বরূপ, আমরা বিশ্বের জনসংখ্যা বার্ষিক ১% হারে বাড়ানোর চেষ্টা করতে পারি। এক্ষেত্রে আমরা পার্কের জনসংখ্যার একটি "স্থিতিশীল" অবস্থা ধরতে পারি, যেখানে পার্কের জনসংখ্যাও বার্ষিক ১% হারে বৃদ্ধি পাবে। সমীকরণ ${\vec {v}}_{n+1}=1.01\cdot {\vec {v}}_{n}=T{\vec {v}}_{n}$ থেকে আমরা পাই $((1.01\cdot I)-T){\vec {v}}={\vec {0}}$। এটি নিচের সমীকরণ ব্যবস্থাটি তৈরি করে।

${\begin{pmatrix}.11&-.01\\-.10&.02\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার। তাই এর একমাত্র সমাধান হলো $p=0$ এবং $r=0$। সুতরাং, পার্কের জন্য এমন কোনো কার্যকরী প্রাথমিক জনসংখ্যা নেই, যা বাকি বিশ্বের সমান হারে বৃদ্ধি পাবে।

আমরা দেখলাম যে, বার্ষিক ১% বৈশ্বিক জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার পার্কের জনসংখ্যাকে অস্থিতিশীল করে তোলে। এখন আমরা জানতে চাইতে পারি, কোন বৃদ্ধির হারের জন্য পার্কের একটি প্রাথমিক জনসংখ্যা স্বয়ংসম্পূর্ণ হতে পারবে। আমরা $\lambda {\vec {v}}=T{\vec {v}}$ বিবেচনা করে $\lambda$-এর মান বের করি।

$0={\begin{vmatrix}\lambda -.9&-.01\\-.10&\lambda -.99\end{vmatrix}}=(\lambda -.9)(\lambda -.99)-(.10)(.01)=\lambda ^{2}-1.89\lambda +.89$

এই দ্বিঘাত সমীকরণটির উৎপাদকে বিশ্লেষণের একটি সহজ উপায় হলো আমাদের পূর্বজ্ঞান। আমরা জানি $\lambda =1$ হলো $T$-এর একটি আইগেনমান। তাই অন্য আইগেনমানটি হবে $.89$। সুতরাং, পার্কের একটি স্থিতিশীল জনসংখ্যা পাওয়ার দুটি উপায় রয়েছে। (অরক্ষিত সীমানা থাকা সত্ত্বেও এই জনসংখ্যা বাকি বিশ্বের জনসংখ্যার সমান হারে বৃদ্ধি পাবে)। প্রথমটি হলো বৈশ্বিক জনসংখ্যা বৃদ্ধি বা হ্রাস না পাওয়া। দ্বিতীয়টি হলো বৈশ্বিক জনসংখ্যা প্রতি বছর ১১% হারে হ্রাস পাওয়া।

আইগেনমান এবং আইগেনভেক্টরের এটি একটি তাৎপর্য। এরা কোনো একটি ব্যবস্থার জন্য স্থিতিশীল অবস্থা প্রদান করে। আইগেনমান $1$ হলে ব্যবস্থাটি স্থির থাকে। আইগেনমান $1$ না হলে ব্যবস্থাটি বৃদ্ধি পেতে বা হ্রাস পেতে থাকে। তবে সেটি একটি গতিশীল-স্থিতিশীল উপায়ে ঘটে।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

বৈশ্বিক জনসংখ্যা প্রতি বছর ১১% হারে হ্রাস পেলে উপরে আলোচিত পার্কের প্রাথমিক জনসংখ্যা কত নির্ধারণ করতে হবে?

সমস্যা ২

বৈশ্বিক জনসংখ্যা প্রতি বছর ১% হারে বৃদ্ধি পেলে পার্কের জনসংখ্যার কী হবে? এটি কি বিশ্বের প্রবৃদ্ধির চেয়ে পিছিয়ে পড়বে, নাকি এগিয়ে যাবে? ধরি, পার্কের জনসংখ্যা দশ হাজার এবং বিশ্বের জনসংখ্যা এক লক্ষ। এর ভিত্তিতে দশ বছরের একটি হিসাব করুন।

সমস্যা ৩

উপরে আলোচিত পার্কটিকে আংশিক বেড়া দেওয়া হলো। এর ফলে প্রতি বছর পার্কের ভেতরের প্রাণীদের মাত্র ৫% বাইরে চলে যায়। (তবে এখনও বাইরের প্রায় ১% প্রাণী ভেতরে প্রবেশ করে)। এখন পার্কটি কী শর্তে একটি স্থিতিশীল জনসংখ্যা বজায় রাখতে পারবে?

সমস্যা ৪

ধরি, এক প্রজাতির পাখি কেবল কানাডা, যুক্তরাষ্ট্র বা মেক্সিকোতে বাস করে। প্রতি বছর কানাডার পাখিদের ৪% যুক্তরাষ্ট্রে এবং ১% মেক্সিকোতে যায়। প্রতি বছর যুক্তরাষ্ট্রের পাখিদের ৬% কানাডায় এবং ৪% মেক্সিকোতে যায়। মেক্সিকো থেকে প্রতি বছর ১০% পাখি যুক্তরাষ্ট্রে যায় এবং কোনো পাখিই কানাডায় যায় না।

1. ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সটি লিখুন।
2. তিনটি দেশের জনসংখ্যা স্থির থাকার কি কোনো উপায় আছে?
3. সমস্ত স্থিতিশীল অবস্থা বের করুন।

সমাধান