রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: রৈখিক পৌনঃপুনিকতা/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

নিচের প্রতিটি সমজাতীয় বা সমমাত্রিক রৈখিক পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক সমাধান করুন।

1. $f(n+1)=5f(n)-6f(n-1)$
2. $f(n+1)=4f(n)$
3. $f(n+1)=6f(n)+7f(n-1)+6f(n-2)$

উত্তর

1. আমরা সম্পর্কটিকে ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করি:

   ${\begin{pmatrix}5&-6\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f(n)\\f(n-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f(n+1)\\f(n)\end{pmatrix}}$

   ম্যাট্রিক্সটির বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ—

   ${\begin{vmatrix}5-\lambda &-6\\1&-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-5\lambda +6$

   এর মূল বা বীজগুলো হলো $2$ এবং $3$। $f(n)=c_{1}2^{n}+c_{2}3^{n}$ আকারের যেকোনো ফাংশন এই পুনরাবৃত্তি সম্পর্কটিকে সিদ্ধ করে।
2. এটি পূর্ববর্তী অংশের মতোই, তবে আরও সহজ। সম্পর্কটির ম্যাট্রিক্স প্রকাশ হলো—

   ${\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f(n)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f(n+1)\end{pmatrix}}$

   এবং ম্যাট্রিক্সটির বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ—

   ${\begin{vmatrix}4-\lambda \end{vmatrix}}=4-\lambda$

   এর একটি মাত্র মূল রয়েছে, যা হলো $4$। $f(n)=c4^{n}$ আকারের যেকোনো ফাংশন এই পুনরাবৃত্তি সম্পর্কটিকে সিদ্ধ করে।
3. ম্যাট্রিক্স আকারে সম্পর্কটি—

   ${\begin{pmatrix}6&7&6\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f(n)\\f(n-1)\\f(n-2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f(n+1)\\f(n)\\f(n-1)\end{pmatrix}}$

   নিচের বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণটি প্রদান করে:

   ${\begin{vmatrix}6-\lambda &7&6\\1&-\lambda &0\\0&1&-\lambda \end{vmatrix}}=-\lambda ^{3}+6\lambda ^{2}+7\lambda +6$

সমস্যা ২

নিচের প্রাথমিক শর্তাবলী সাপেক্ষে পূর্ববর্তী অনুশীলনীর সম্পর্কগুলোর জন্য সূত্র তৈরি করুন।

1. $f(0)=1$, $f(1)=1$
2. $f(0)=0$, $f(1)=1$
3. $f(0)=1$, $f(1)=1$, $f(2)=3$।

সমস্যা ৩

যাচাই করুন যে, $S$ এবং $\mathbb {R} ^{k}$ এর মধ্যে প্রদত্ত আইসোমরফিজম একটি রৈখিক ম্যাপ।

উপরে যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে এই ম্যাপটি এক-এক। এর বিপরীত ম্যাপটি কী?

সমস্যা ৪

দেখান যে, ম্যাট্রিক্সটির বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণটি যেভাবে উল্লেখ করা হয়েছে তেমনই হয়, অর্থাৎ এটি সম্পর্কটির সাথে যুক্ত বহুপদী।

(ইঙ্গিত: শেষ কলাম বরাবর বিস্তার করে গাণিতিক আরোহী পদ্ধতি ব্যবহার করলে সমাধান পাওয়া যাবে।)

সমস্যা ৫

একটি সমজাতীয় রৈখিক পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক $f(n+1)=a_{n}f(n)+\dots +a_{n-k}f(n-k)$ দেওয়া আছে। ধরা যাক, এর সাথে যুক্ত বহুপদীর মূল বা বীজগুলো হলো $r_{1}$, ..., $r_{k}$।

1. প্রমাণ করুন যে, প্রতিটি ফাংশন— $f_{r_{i}}(n)=r_{k}^{n}$ (প্রাথমিক শর্ত ছাড়াই) এই পুনরাবৃত্তি সম্পর্কটিকে সিদ্ধ করে।
2. প্রমাণ করুন যে, কোনো $r_{i}$-এর মানই $0$ নয়।
3. প্রমাণ করুন যে, এই সেটটি— $\{f_{r_{1}},\dots ,f_{r_{k}}\}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন।

সমস্যা ৬

(এটি নিচের কম্পিউটার কোডে প্রদত্ত মান $T(64)=18,446,744,073,709,551,615$ এর সূত্র নির্দেশ করে।) প্রতি সেকেন্ডে একটি করে ডিস্ক স্থানান্তর করলে, টাওয়ার অব হ্যানয়ের পুরোহিতদের কাজটি শেষ করতে কত বছর সময় লাগবে?