রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: ভোটিং প্যারাডক্স/সমাধান

সমাধান

সমস্যা ১

একজন ভোটারের কীভাবে চক্রাকার পছন্দ থাকতে পারে, তার একটি যুক্তিসঙ্গত উপায় এখানে দেওয়া হলো। ধরুন, এই ভোটার তিনজন প্রার্থীর প্রত্যেককে তিনটি মানদণ্ডের ভিত্তিতে মূল্যায়ন করেন।

1. একটি সারণি আঁকুন, যার সারিগুলোর নাম "ডেমোক্র্যাট", "রিপাবলিকান", ও "থার্ড" এবং কলামগুলোর নাম "চরিত্র", "অভিজ্ঞতা", ও "নীতি"। প্রতিটি কলামের ভেতরে একজন প্রার্থীকে সবচেয়ে পছন্দের হিসেবে রেটিং দিন, অন্য একজনকে মাঝামাঝি স্থানে রাখুন এবং বাকি একজনকে সবচেয়ে কম পছন্দের হিসেবে রেটিং দিন।
2. এই রেটিংয়ে ডেমোক্র্যাট কি রিপাবলিকানের চেয়ে তিনটির মধ্যে (অন্তত) দুটি মানদণ্ডে বেশি পছন্দের, নাকি এর বিপরীত? রিপাবলিকান কি থার্ডের চেয়ে বেশি পছন্দের?
3. মাত্র তৈরি করা সারণিটিতে কি চক্রাকার পছন্দের ক্রম রয়েছে? যদি না থাকে, তবে এমন একটি তৈরি করুন।

সুতরাং, প্রার্থীদের মধ্যে একজন ভোটারের চক্রাকার পছন্দ থাকা সম্ভব। তবে, উপরে বর্ণিত প্যারাডক্সটি হলো, প্রতিটি ভোটারের পছন্দের তালিকা সরলরৈখিক হলেও পুরো দলের জন্য একটি চক্রাকার পছন্দ উদ্ভূত হতে পারে।

উত্তর

এটি এমন একটি উদাহরণ যা একক ভোটারের জন্য একটি অযৌক্তিক পছন্দের ক্রম প্রদান করে।

	চরিত্র	অভিজ্ঞতা	নীতি
ডেমোক্র্যাট	সবচেয়ে বেশি	মাঝামাঝি	সবচেয়ে কম
রিপাবলিকান	মাঝামাঝি	সবচেয়ে কম	সবচেয়ে বেশি
থার্ড	সবচেয়ে কম	সবচেয়ে বেশি	মাঝামাঝি

চরিত্র ও অভিজ্ঞতার দিক থেকে রিপাবলিকানের চেয়ে ডেমোক্র্যাট বেশি পছন্দের। চরিত্র ও নীতির দিক থেকে থার্ডের চেয়ে রিপাবলিকান বেশি পছন্দের। এবং, অভিজ্ঞতা ও নীতির দিক থেকে ডেমোক্র্যাটের চেয়ে থার্ড বেশি পছন্দের।

সমস্যা ২

বিশ্লেষণ সারণির মানগুলো হিসাব করুন।

উত্তর

প্রথমে, এই প্রসঙ্গে করা $D>R>T$ বিশ্লেষণের সাথে বিপরীত $T>R>D$ ভোটারের বিশ্লেষণের তুলনা করুন।

${\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad {\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}}=d_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+d_{2}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}+d_{3}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}$

স্পষ্টতই, দ্বিতীয়টি প্রথমটির ঋণাত্মক, তাই $d_{1}=-1/3$, $d_{2}=-2/3$, এবং $d_{3}=-2/3$। এই নীতি যেকোনো একজোড়া বিপরীত ভোটারের জন্য প্রযোজ্য। তাই আমাদের কেবল দ্বিতীয় সারির একজন ভোটার এবং তৃতীয় সারির একজন ভোটারের জন্য হিসাব করতে হবে। দ্বিতীয় সারির একজন ধনাত্মক স্পিন ভোটারের জন্য,

${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&-&c_{3}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&&&=&1\\c_{1}&&&+&c_{3}&=&-1\end{array}}\;{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(-1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&-&c_{3}&=&1\\&&2c_{2}&+&c_{3}&=&0\\&&&&(3/2)c_{3}&=&-2\end{array}}$

যা $c_{3}=-4/3$, $c_{2}=2/3$, এবং $c_{1}=1/3$ প্রদান করে। তৃতীয় সারির একজন ধনাত্মক স্পিন ভোটারের জন্য,

${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&-&c_{3}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&&&=&-1\\c_{1}&&&+&c_{3}&=&1\end{array}}\;{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(-1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&-&c_{3}&=&1\\&&2c_{2}&+&c_{3}&=&-2\\&&&&(3/2)c_{3}&=&1\end{array}}$

যা $c_{3}=2/3$, $c_{2}=-4/3$, এবং $c_{1}=1/3$ প্রদান করে।

সমস্যা ৩

রাষ্ট্রবিজ্ঞান ক্লাসের প্রতীকী নির্বাচনের জন্য বিপরীত পছন্দের ক্রমগুলো বাতিল করুন। বাকি থাকা সমস্ত পছন্দ কি সারণির বাম দিকের তিনটি সারি থেকে এসেছে, নাকি ডান দিকের?

উত্তর

প্রতীকী নির্বাচনটি উপরের ভোটিং পছন্দের সারণির অনুরূপ, যা প্রথম সারণিতে দেখানো হয়েছে। বাতিল করার পর ফলাফলটি হলো দ্বিতীয় সারণি।

ধনাত্মক স্পিন      ঋণাত্মক স্পিন      $D>R>T$   ৫ জন ভোটার   $T>R>D$   ২ জন ভোটার   $R>T>D$   ৮ জন ভোটার   $D>T>R$   ৪ জন ভোটার   $T>D>R$   ৮ জন ভোটার   $R>D>T$   ২ জন ভোটার

ধনাত্মক স্পিন      ঋণাত্মক স্পিন      $D>R>T$   ৩ জন ভোটার   $T>R>D$   –   $R>T>D$   ৪ জন ভোটার   $D>T>R$   –   $T>D>R$   ৬ জন ভোটার   $R>D>T$   –

এই প্রসঙ্গের ফলাফল অনুযায়ী তিনটিই সারণির একই দিক (বাম) থেকে এসেছে। এখন বাতিল করা সংখ্যাগুলো ব্যবহার করে নির্বাচনের ফলাফল গণনা করা যেতে পারে

$3\cdot \,$ $+4\cdot \,$$+6\cdot$$\,=\,$

যাতে একই ফলাফল পাওয়া যায়।

সমস্যা ৪

উপরে প্রমাণিত প্রয়োজনীয় শর্তটি হলো: ভোটিং প্যারাডক্স কেবল তখনই ঘটতে পারে, যখন বাতিলের পর বাকি থাকা তিনটি পছন্দের তালিকার স্পিন একই হয়। তবে, এই শর্তটি যথেষ্ট নয়।

1. প্রমাণে বিবেচিত ধনাত্মক চক্রের ক্ষেত্রটি চালিয়ে গিয়ে, $|a-b|\leq c$ দেখাতে $0\leq a-b+c$ এবং $0\leq -a+b+c$ অসমতা দুটি ব্যবহার করুন।
2. আরও দেখান যে $c\leq a+b$, এবং ফলস্বরূপ $|a-b|\leq c\leq a+b$।
3. এমন একটি ভোটের উদাহরণ দিন যেখানে একটি সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র রয়েছে এবং একই স্পিনের আরও একজন ভোটার যোগ করার ফলে চক্রটি দূর হয়ে যায়।
4. এর বিপরীত কি ঘটতে পারে? একটি "ভুল" স্পিনের ভোটার যোগ করার ফলে কি একটি চক্র তৈরি হতে পারে?
5. সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় ও যথেষ্ট, এমন একটি শর্ত প্রদান করুন।

উত্তর

1. অসমতা দুটিকে $-c\leq a-b$ এবং $-c\leq b-a$ হিসেবে পুনরায় লেখা যেতে পারে। $a-b$ বা $b-a$ যেকোনো একটি অঋণাত্মক, তাই প্রত্যাশা অনুযায়ী $-c\leq -|a-b|$ হয়।
2. $0\leq a+b-c$ অনুমান থেকে এটি সরাসরি পাওয়া যায়।
3. শূন্য-ভোটারের নির্বাচন থেকে শুরু করে যেকোনো একজন ভোটার যোগ করা একটি সাধারণ উদাহরণ। আরও আকর্ষণীয় উদাহরণ হলো রাষ্ট্রবিজ্ঞান ক্লাসের প্রতীকী নির্বাচন নেওয়া এবং দুজন $T>D>R$ ভোটার যোগ করা (প্রশ্নের "আরও একজন ভোটার যোগ করা" মানদণ্ড পূরণের জন্য এদের একে একে যোগ করা যেতে পারে)। খেয়াল করুন যে, অতিরিক্ত ভোটারদের স্পিন ধনাত্মক, যা মূল প্রতীকী নির্বাচনে বাতিলের পর বাকি থাকা ভোটের স্পিনের সমান। এটি হলো ভোটারদের ফলস্বরূপ সারণি এবং এর পাশে বাতিলের ফলাফল দেওয়া হলো।

   ধনাত্মক স্পিন      ঋণাত্মক স্পিন      $D>R>T$   ৫ জন ভোটার   $T>R>D$   ২ জন ভোটার   $R>T>D$   ৮ জন ভোটার   $D>T>R$   ৪ জন ভোটার   $T>D>R$   ১০ জন ভোটার   $R>D>T$   ২ জন ভোটার

   ধনাত্মক স্পিন      ঋণাত্মক স্পিন      $D>R>T$   ৩ জন ভোটার   $T>R>D$   –   $R>T>D$   ৪ জন ভোটার   $D>T>R$   –   $T>D>R$   ৮ জন ভোটার   $R>D>T$   –

   বাতিল করা সংখ্যাগুলো ব্যবহার করে নির্বাচনটি হলো:

   $3\cdot \,$$\,+4\cdot \,$$\,+8\cdot \,$$\,=\,$

   সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্রটি আসলেই অদৃশ্য হয়ে গেছে।

4. এমন একটি শর্ত হলো: বাতিলের পর তিনটিই অঋণাত্মক বা তিনটিই অঋণাত্মক হতে হবে এবং $|c|<|a+b|$, $|b|<|a+c|$ ও $|a|<|b+c|$ হতে হবে। এটি নিচের চিত্র থেকে পাওয়া যায়।

   $\,+\,$$\,+\,$$\,=\,$

সমস্যা ৫

ভোটারের তালিকা যৌক্তিক হওয়ার শর্ত আরোপ করার কারণে এক-ভোটারের নির্বাচনে কোনো সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র থাকতে পারে না।

1. দেখান যে দুই-ভোটারের নির্বাচনে একটি সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র থাকতে পারে। (আমরা দলীয় পছন্দকে সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র হিসেবে বিবেচনা করি যদি তিনটি দলীয় মোটই অঋণাত্মক হয় বা তিনটিই অঋণাত্মক হয়—অর্থাৎ, আমরা দলীয় পছন্দে কিছু শূন্যের অনুমতি দিই)।
2. দেখান যে একের অধিক যেকোনো সংখ্যক ভোটারের জন্য, সেই সংখ্যক ভোটার নিয়ে এমন একটি নির্বাচন সম্ভব যার ফলে একটি সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র তৈরি হয়।

উত্তর

1. দুই-ভোটারের নির্বাচনে একটি সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র দুটি উপায়ে তৈরি হতে পারে। প্রথমত, দুই ভোটার বিপরীত হতে পারেন, যার ফলে বাতিলের পর সাধারণ নির্বাচন (সমস্ত শূন্যের সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্রসহ) পাওয়া যায়। দ্বিতীয়ত, দুই ভোটারের একই স্পিন থাকতে পারে, কিন্তু তারা ভিন্ন ভিন্ন সারি থেকে আসতে পারেন, যেমনটি নিচে দেখানো হয়েছে।

   $1\cdot \,$$\,+1\cdot \,$$\,+0\cdot \,$$\,=\,$

2. এখানে দুটি ক্ষেত্র রয়েছে। জোড় সংখ্যক ভোটার অর্ধেক অর্ধেক করে বিপরীতে বিভক্ত হতে পারেন, যেমন: অর্ধেক ভোটার $D>R>T$ এবং অর্ধেক $T>R>D$। তখন বাতিলের পর সাধারণ নির্বাচন পাওয়া যায়। যদি ভোটারের সংখ্যা একের চেয়ে বড় এবং বিজোড় হয় (অর্থাৎ $2k+1$ আকারের যেখানে $k>0$), তবে প্রমাণ থেকে চক্র চিত্রটি ব্যবহার করে পাই,

   $\,+\,$$\,+\,$$\,=\,$

   আমরা $a=k$, $b=k$ এবং $c=1$ ধরতে পারি। যেহেতু $k>0$, তাই এটি একটি সংখ্যাগরিষ্ঠ চক্র।

সমস্যা ৬

ধরি, $U$ হলো $\mathbb {R} ^{3}$-এর একটি সাবস্পেস। প্রমাণ করুন যে $U$-এর প্রতিটি ভেক্টরের সাথে লম্বভাবে থাকা ভেক্টরগুলোর সেট $U^{\perp }=\{{\vec {v}}\,{\big |}\,{\text{সকল }}{\vec {u}}\in U{\text{-এর জন্য }}{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0\}$-ও $\mathbb {R} ^{3}$-এর একটি সাবস্পেস।

উত্তর

এটি অশূন্য, কারণ এতে শূন্য ভেক্টর রয়েছে। এটি এর দুটি সদস্যের রৈখিক সমাবেশের অধীনে আবদ্ধ কি না তা দেখতে, ধরি ${\vec {v}}_{1}$ এবং ${\vec {v}}_{2}$ ভেক্টর দুটি $U^{\perp }$-এ রয়েছে এবং $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}$ বিবেচনা করুন। যেকোনো ${\vec {u}}\in U$-এর জন্য,

$(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\cdot {\vec {u}}=c_{1}({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {u}})+c_{2}({\vec {v}}_{2}\cdot {\vec {u}})=c_{1}\cdot 0+c_{2}\cdot 0=0$

সুতরাং $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}\in U^{\perp }$।