রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: ফিল্ড/সমাধান
সমাধান
[সম্পাদনা]- সমস্যা ১
বাস্তব সংখ্যাসমূহ যে একটি ফিল্ড বা ক্ষেত্র গঠন করে, তা দেখাও।
- উত্তর
এই যাচাইকরণগুলো খুবই সাধারণ বা রুটিনমাফিক; এর বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই শুধুমাত্র এটি উল্লেখ করাই যথেষ্ট যে, এই বৈশিষ্ট্যগুলো আমাদের এতই পরিচিত যে এগুলো আলাদাভাবে প্রমাণ করার কোনো প্রয়োজন নেই।
- সমস্যা ২
প্রমাণ কর যে নিচের সেটগুলো এক একটি ফিল্ড:
- মূলদ সংখ্যার সেট
- জটিল সংখ্যার সেট
- উত্তর
এই দুটি কাঠামোর জন্যই যাচাইকরণগুলো খুবই সাধারণ বা রুটিনমাফিক। আগের প্রশ্নের মতোই, বেশিরভাগ যাচাইকরণের ক্ষেত্রে শুধুমাত্র এটি উল্লেখ করাই যথেষ্ট যে, এই বৈশিষ্ট্যগুলো আমাদের এতই পরিচিত যে এগুলো আলাদাভাবে প্রমাণ করার কোনো প্রয়োজন নেই।
- সমস্যা ৩
একটি উদাহরণ দেও যা প্রমাণ করে যে পূর্ণসংখ্যা পদ্ধতি কোনো ফিল্ড বা ক্ষেত্র নয়।
- উত্তর
পূর্ণসংখ্যা পদ্ধতিতে -এর কোনো গুণাত্মক বিপরীত উপাদান নেই (কারণ কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়)। সুতরাং, পূর্ণসংখ্যাসমূহ ফিল্ড হওয়ার ৫ নম্বর শর্তটি পূরণ করে না।
- সমস্যা ৪
ওপরে প্রদত্ত প্রক্রিয়া বা অপারেশনগুলোর সাপেক্ষে সেটটি বিবেচনা কর। দেখাও যে এটি একটি ফিল্ড।
- উত্তর
সবগুলো সম্ভাব্য কেস বা জোড়া তালিকাভুক্ত করে এই যাচাইকরণগুলো সম্পন্ন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যোগের বিনিময় বিধি অর্থাৎ সত্য কিনা তা যাচাই করতে আমরা সম্ভাব্য সব জোড়া এবং -এর জন্য এটি সহজে পরীক্ষা করতে পারি, কারণ এখানে মাত্র চারটি জোড়া সম্ভব। একইভাবে, সংযোগ বিধির জন্য মাত্র আটটি ত্রয়ী , , সম্ভব, এবং তাই এই পরীক্ষাটি করতে খুব বেশি সময় লাগবে না। (এই যাচাইকরণগুলো করার অন্যান্য উপায়ও রয়েছে; বিশেষ করে, কোনো পাঠক এই প্রক্রিয়াগুলোকে "মডুলা " -এর পাটিগণিত হিসেবে চিনে নিতে পারেন।)
- সমস্যা ৫
সেটটিকে একটি ফিল্ডে পরিণত করার জন্য উপযুক্ত গাণিতিক প্রক্রিয়া বা অপারেশনগুলো প্রদান কর।
- উত্তর
নিচের প্রক্রিয়াগুলো এই শর্ত পূরণ করবে:
আগের সমস্যার মতোই, এগুলো যে ফিল্ডের শর্তসমূহ পূরণ করে তা সম্ভাব্য সব কেস তালিকাভুক্ত করে যাচাই করা যেতে পারে, যদিও এই পদ্ধতিতে পরীক্ষা করা কিছুটা দীর্ঘ বা সময়সাপেক্ষ (তবে বিনিময় বিধি ব্যবহার করলে খাটুনি কিছুটা কমানো সম্ভব)।