রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: ফিল্ড

বাস্তব সংখ্যার রৈখিক সমাবেশের তুলনায় শুধুমাত্র ভগ্নাংশ বা শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা বিশিষ্ট রৈখিক সমাবেশগুলো গণনার জন্য অনেক বেশি সহজ, কারণ অমূলদ সংখ্যা নিয়ে গণনা করা বেশ জটিল বা অস্বস্তিকর। ভেক্টর জগতের সংজ্ঞায় $\mathbb {R}$-এর পরিবর্তে অন্য কোনো সংখ্যা পদ্ধতি, যেমন মূলদ সংখ্যা বা পূর্ণসংখ্যা কি ব্যবহার করা সম্ভব বা তা কি কাজ করবে?

হ্যাঁ-ও, আবার না-ও। আমরা যদি "কাজ করবে" বলতে এটি বোঝাই যে এই অধ্যায়ের ফলাফল বা উপপাদ্যগুলো সত্য প্রমাণিত হবে, তবে এই অধ্যায়ে আমরা বাস্তব সংখ্যার যে বৈশিষ্ট্যগুলো ব্যবহার করেছি সেগুলোর একটি বিশ্লেষণ আমাদের এমন কিছু শর্তের তালিকা দেয়, যা $\mathbb {R}$-এর জায়গায় অন্য কোনো বীজগাণিতিক কাঠামোর "কাজ করার" জন্য থাকা আবশ্যক।

সংজ্ঞা ১.১

একটি ফিল্ড বা ক্ষেত্র হলো এমন একটি সেট ${\mathcal {F}}$ যা দুটি প্রক্রিয়া বা অপারেশন "$+$" (যোগ) এবং "$\cdot$" (গুণ)-এর সমন্বয়ে গঠিত, যেন—

1. যেকোনো $a,b\in {\mathcal {F}}$-এর জন্য $a+b$-এর ফলাফলটি ${\mathcal {F}}$-এর অন্তর্ভুক্ত হয় এবং
   • $a+b=b+a$
   • যদি $c\in {\mathcal {F}}$ হয়, তবে $a+(b+c)=(a+b)+c$
2. যেকোনো $a,b\in {\mathcal {F}}$-এর জন্য $a\cdot b$-এর ফলাফলটি ${\mathcal {F}}$-এর অন্তর্ভুক্ত হয় এবং
   • $a\cdot b=b\cdot a$
   • যদি $c\in {\mathcal {F}}$ হয়, তবে $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
3. যদি $a,b,c\in {\mathcal {F}}$ হয়, তবে $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
4. সেখানে এমন একটি উপাদান $0\in {\mathcal {F}}$ থাকবে যেন—
   • যদি $a\in {\mathcal {F}}$ হয়, তবে $a+0=a$
   • প্রতিটি $a\in {\mathcal {F}}$-এর জন্য এমন একটি উপাদান $-a\in {\mathcal {F}}$ থাকবে যেন $(-a)+a=0$ হয়।
5. সেখানে এমন একটি উপাদান $1\in {\mathcal {F}}$ থাকবে যেন—
   • যদি $a\in {\mathcal {F}}$ হয়, তবে $a\cdot 1=a$
   • ${\mathcal {F}}$-এর প্রতিটি অশূন্য উপাদান $a\neq 0$-এর জন্য এমন একটি উপাদান $a^{-1}\in {\mathcal {F}}$ থাকবে যেন $a^{-1}\cdot a=1$ হয়।

স্বভাবতই, সাধারণ যোগ ও গুণ প্রক্রিয়াসহ বাস্তব সংখ্যার সেট নিয়ে গঠিত সংখ্যা পদ্ধতিটি একটি ফিল্ড বা ক্ষেত্র। আরেকটি ফিল্ডের উদাহরণ হলো সাধারণ যোগ ও গুণ প্রক্রিয়াসহ মূলদ সংখ্যার সেট। ফিল্ড বা ক্ষেত্র নয় এমন একটি বীজগাণিতিক কাঠামোর উদাহরণ হলো পূর্ণসংখ্যা পদ্ধতি — এটি ফিল্ড হওয়ার সর্বশেষ শর্তটি পূরণ করতে ব্যর্থ হয় (কারণ ২ একটি পূর্ণসংখ্যা হলেও এর গুণাত্মক বিপরীত ১/২ পূর্ণসংখ্যা নয়)।

কিছু ফিল্ডের উদাহরণ বেশ চমকপ্রদ। নিচে প্রদত্ত প্রক্রিয়া দুটির অধীনে $\{0,1\}$ সেটটি:

${\begin{array}{c|cc}+&0&1\\\hline 0&0&1\\1&1&0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cc}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\1&0&1\end{array}}$

একটি ফিল্ড বা ক্ষেত্র গঠন করে (দেখুন সমস্যা ৪)। আমরা স্কেলারগুলোকে শুধুমাত্র বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb {R}$ থেকে না নিয়ে, যেকোনো একটি ইচ্ছামাফিক ফিল্ড বা ক্ষেত্র থেকে নিয়ে ভেক্টর জগতের সাধারণ তত্ত্ব হিসেবে রৈখিক বীজগণিতকে গড়ে তুলতে পারতাম। সেক্ষেত্রে, এই বইয়ের প্রায় সমস্ত বিবৃতিতেই "$\mathbb {R}$"-এর জায়গায় "${\mathcal {F}}$" প্রতিস্থাপন করে এবং সহগ, ভেক্টরের উপাদান ও ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোকে ${\mathcal {F}}$-এর সদস্য হিসেবে বিবেচনা করে হুবহু একই রাখা যেত (এখানে "প্রায় সমস্ত" বলা হয়েছে কারণ দূরত্ব বা কোণ সংশ্লিষ্ট বিবৃতিগুলো এর ব্যতিক্রম)। নিচে কিছু উদাহরণ দেওয়া হলো; যার প্রতিটিই কোনো একটি ফিল্ড ${\mathcal {F}}$-এর ওপর গঠিত ভেক্টর জগৎ $V$-এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য:

• যেকোনো ${\vec {v}}\in V$ এবং $a\in {\mathcal {F}}$-এর জন্য:
  1. $0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$,
  2. $-1\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$, এবং
  3. $a\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$।
• $V$-এর যেকোনো উপসেটের স্প্যান বা বিস্তার (রৈখিক সমাবেশসমূহের সেট) হলো $V$-এর একটি উপজগৎ।
• একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের যেকোনো উপসেটও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।
• একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর জগতে যেকোনো দুটি বেসিস বা ভিত্তির উপাদান সংখ্যা সর্বদা সমান হয়।

(এমনকি যে বিবৃতিগুলোতে সরাসরি ${\mathcal {F}}$-এর কথা উল্লেখ নেই, সেগুলোর প্রমাণেও ফিল্ডের বৈশিষ্ট্যসমূহ ব্যবহার করা হয়েছে।)

আমরা এই বইয়ে ভেক্টর জগৎকে এই ধরণের আরও সাধারণ প্রেক্ষাপটে আলোচনা করব না, কারণ অতিরিক্ত বিমূর্ততা মূল বিষয় থেকে মনোযোগ বিঘ্নিত করতে পারে। আমরা যে আইডিয়া বা ধারণাগুলো ফুটিয়ে তুলতে চাই, তা বাস্তব সংখ্যা বা রিয়েল নাম্বারের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলেই চমৎকারভাবে বোঝা যায়।

এর একমাত্র ব্যতিক্রম ঘটবে পঞ্চম অধ্যায়ে। সেই অধ্যায়ে আমাদের বহুপদী বা পলিনোমিয়াল উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে, তাই আমরা জটিল সংখ্যার ফিল্ডের ওপর গঠিত ভেক্টর জগৎ নিয়ে আলোচনা করব। আমরা যখন সেখানে পৌঁছাব, তখন জটিল সংখ্যার পাটিগণিতের একটি সংক্ষিপ্ত পর্যালোচনাসহ এই বিষয়ে আরও বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

বাস্তব সংখ্যাসমূহ যে একটি ফিল্ড বা ক্ষেত্র গঠন করে, তা দেখান।

সমস্যা ২

প্রমাণ করুন যে নিচের সেটগুলো এক একটি ফিল্ড:

1. মূলদ সংখ্যার সেট $\mathbb {Q}$
2. জটিল সংখ্যার সেট $\mathbb {C}$

সমস্যা ৩

একটি উদাহরণ দিন যা প্রমাণ করে যে পূর্ণসংখ্যা পদ্ধতি কোনো ফিল্ড বা ক্ষেত্র নয়।

সমস্যা ৪

ওপরে প্রদত্ত প্রক্রিয়া বা অপারেশনগুলোর সাপেক্ষে $\{0,1\}$ সেটটি বিবেচনা করুন। দেখান যে এটি একটি ফিল্ড।

সমস্যা ৫

$\{0,1,2\}$ সেটটিকে একটি ফিল্ডে পরিণত করার জন্য উপযুক্ত গাণিতিক প্রক্রিয়া বা অপারেশনগুলো প্রদান করুন।

সমাধান