রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: পাওয়ার মেথড/সমাধান

সমাধান

সমস্যা ১

$1$ এবং $2$ উপাংশবিশিষ্ট ভেক্টর থেকে শুরু করে দশটি পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর বৃহত্তম আইগেনমান অনুমান করুন। বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ সমাধান করে প্রাপ্ত উত্তরের সাথে আপনার উত্তরের তুলনা করুন।

1. ${\begin{pmatrix}1&5\\0&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. বৃহত্তম আইগেনমান হলো $4$।
2. বৃহত্তম আইগেনমান হলো $2$।

সমস্যা ২

$|{\vec {v}}_{k}|-|{\vec {v}}_{k-1}|$-এর পরম মান $0.01$-এর কম না হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি চালিয়ে পূর্ববর্তী সমস্যাটি পুনরায় করুন। প্রতিটি ধাপে প্রতিটি ভেক্টরকে তার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করে নরমালাইজ করুন। কতগুলো পুনরাবৃত্তির প্রয়োজন? উত্তরগুলো কি উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা?

সমস্যা ৩

$1$, $2$ এবং $3$ উপাংশবিশিষ্ট ভেক্টর থেকে শুরু করে দশটি পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর বৃহত্তম আইগেনমান অনুমান করুন। বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ সমাধান করে প্রাপ্ত উত্তরের সাথে আপনার উত্তরের তুলনা করুন।

1. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\-2&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&2&2\\-3&-6&-6\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. বৃহত্তম আইগেনমান হলো $3$।
2. বৃহত্তম আইগেনমান হলো $-3$।

সমস্যা ৪

$|{\vec {v}}_{k}|-|{\vec {v}}_{k-1}|$-এর পরম মান $0.01$-এর কম না হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি চালিয়ে পূর্ববর্তী সমস্যাটি পুনরায় করুন। প্রতিটি ধাপে প্রতিটি ভেক্টরকে তার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করে নরমালাইজ করুন। কতগুলো পুনরাবৃত্তির প্রয়োজন হয়? উত্তরগুলো কি উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা?

সমস্যা ৫

যদি $c_{1}=0$ হয় তবে কী ঘটবে? অর্থাৎ, যদি প্রাথমিক ভেক্টরের প্রাসঙ্গিক আইগেনভেক্টরের দিকে কোনো উপাংশ না থাকে, তবে কী হবে?

উত্তর

তাত্ত্বিকভাবে, এই পদ্ধতিটি $\lambda _{2}$ তৈরি করবে। তবে বাস্তবে গণনায় পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তরের ভুলের কারণে ${\vec {v}}_{1}$-এর দিকে উপাংশ চলে আসে। তাই পদ্ধতিটি শেষ পর্যন্ত $\lambda _{1}$-ই তৈরি করবে, যদিও প্রাথমিক ভেক্টর ভালোভাবে নির্বাচন করলে এটি আরও দ্রুত হতে পারত।

সমস্যা ৬

ক্ষুদ্রতম আইগেনমান খোঁজার জন্য ঘাতের পদ্ধতিকে কীভাবে মানিয়ে নেওয়া যেতে পারে?

উত্তর

${\vec {v}}_{k}=T{\vec {v}}_{k-1}$ ব্যবহার করার বদলে $T^{-1}{\vec {v}}_{k}={\vec {v}}_{k-1}$ ব্যবহার করুন।