রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: গণনার নির্ভুলতা/সমাধান

সমাধান

সমস্যা ১

দশমিকের পর দুই ঘর ব্যবহার করে $253$ এবং $2/3$ যোগ করুন।

উত্তর

দুই-ঘরের এই সীমাবদ্ধতা প্রকাশের জন্য বৈজ্ঞানিক নোটেশন সুবিধাজনক। আমরা পাই $.25\times 10^{2}+.67\times 10^{0}=.25\times 10^{2}$ । এখানে $2/3$ -এর কোনো দৃশ্যমান প্রভাব নেই।

সমস্যা ২

রেখা ছেদ করার এই সমস্যাটি উপরে আলোচিত উদাহরণের বিপরীত।

$\displaystyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\3x&-&2y&=&1\end{array}}$

নিচের সমীকরণটির ধ্রুবককে $1.008$ -এ পরিবর্তন করে সমাধান করার মাধ্যমে দেখান যে, এই ব্যবস্থায় সংখ্যাগুলোর সামান্য পরিবর্তনের কারণে সমাধানেও কেবল সামান্যই পরিবর্তন আসে। অপরিবর্তিত ব্যবস্থার সমাধানের সাথে এর তুলনা করুন।

উত্তর

কমানোর পর

{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\&&-8&=&-7.992\end{array}}

এটি $(x,y)=(1.002,0.999)$ সমাধান প্রদান করে।

সমস্যা ৩

এই ব্যবস্থাটি হাতে-কলমে সমাধান করুন Script error: The module returned a nil value. It is supposed to return an export table.।

{\begin{array}{*{2}{rc}r}0.000\,3x&+&1.556y&=&1.569\\0.345\,4x&-&2.346y&=&1.018\end{array}}

হাতে-কলমে নিখুঁতভাবে এর সমাধান করুন।
প্রতিটি ধাপে চার সার্থক অঙ্ক পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যায় নিয়ে সমাধান করুন।

উত্তর

সম্পূর্ণ নিখুঁত সমাধানটি হলো $x=10$ এবং $y=0$ ।
চার-অঙ্কের উপসংহারটি বেশ আলাদা।
${\xrightarrow[{}]{-(.3454/.0003)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}.0003&1.556&1.569\\0&1789&-1805\end{array}}\right)\Longrightarrow x=10460,\,y=-1.009$

সমস্যা ৪

কম্পিউটারের ভেতরে পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তরের ফলে প্রায়ই ফলাফলে প্রভাব পড়ে। ধরে নিন, আপনার মেশিনে আটটি সার্থক অঙ্ক রয়েছে।

দেখান যে মেশিনটি $(2/3)+((2/3)-(1/3))$ -কে $((2/3)+(2/3))-(1/3)$ -এর অসমান হিসেবে হিসাব করবে। সুতরাং, কম্পিউটারের পাটিগণিত সংযোগ বিধি মেনে চলে না।
$(1/3)x+y=0$ এবং $(2/3)x+2y=0$ সমীকরণ দুটির কম্পিউটার সংস্করণের তুলনা করুন। প্রথম সমীকরণের দ্বিগুণ কি দ্বিতীয় সমীকরণের সমান?

উত্তর

প্রথমটির ক্ষেত্রে প্রথমে, $(2/3)-(1/3)$ হলো $.666\,666\,67-.333\,333\,33=.333\,333\,34$ এবং তাই $(2/3)+((2/3)-(1/3))=.666\,666\,67+.333\,333\,34=1.000\,000\,0$ । অন্যটির ক্ষেত্রে প্রথমে, $((2/3)+(2/3))=.666\,666\,67+.666\,666\,67=1.333\,333\,3$ এবং তাই $((2/3)+(2/3))-(1/3)=1.333\,333\,3-.333\,333\,33=.999\,999\,97$ ।
প্রথম সমীকরণটি হলো $.333\,333\,33\cdot x+1.000\,000\,0\cdot y=0$ যেখানে দ্বিতীয়টি হলো $.666\,666\,67\cdot x+2.000\,000\,0\cdot y=0$ ।

সমস্যা ৫

ইল-কন্ডিশনিং কেবল সহগের ম্যাট্রিক্সের ওপর নির্ভর করে না। এই উদাহরণটি Script error: The module returned a nil value. It is supposed to return an export table. দেখায় যে, ব্যবস্থার বাম ও ডান দিকের মিথস্ক্রিয়ার ফলেও এর উদ্ভব হতে পারে। ধরি, $\varepsilon$ একটি ছোট বাস্তব সংখ্যা।

{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&z&=&6\\2x&+&2\varepsilon y&+&2\varepsilon z&=&2+4\varepsilon \\x&+&2\varepsilon y&-&\varepsilon z&=&1+\varepsilon \end{array}}

ব্যবস্থাটি হাতে-কলমে সমাধান করুন। খেয়াল করুন, ডান ও বাম উভয় দিকের পূর্ণসংখ্যা অংশগুলো একে অপরকে পুরোপুরি বাতিল করে দেওয়ার কারণেই কেবল $\varepsilon$ -গুলো ভাগ হয়ে যায়।
$\varepsilon =0.001$ ধরে এবং দশমিকের পর দুই ঘর পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যায় নিয়ে ব্যবস্থাটি হাতে-কলমে সমাধান করুন।

উত্তর

এই হিসাবটি
${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&2&1&6\\0&-(4/3)+2\varepsilon &-(2/3)+2\varepsilon &-2+4\varepsilon \\0&-(2/3)+2\varepsilon &-(1/3)-\varepsilon &-1+\varepsilon \end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&2&1&6\\0&-(4/3)+2\varepsilon &-(2/3)+2\varepsilon &-2+4\varepsilon \\0&\varepsilon &-2\varepsilon &-\varepsilon \end{array}}\right)\end{array}}$
$y-2z=-1$ -এর একটি তৃতীয় সমীকরণ প্রদান করে। দ্বিতীয় সমীকরণে মানগুলো বসালে পাওয়া যায় $((-10/3)+6\varepsilon )\cdot z=(-10/3)+6\varepsilon$ তাই $z=1$ এবং এর ফলে $y=1$ হয়। এই মানগুলো ব্যবহার করলে প্রথম সমীকরণ থেকে পাই $x=1$ ।
দুই ঘর নিয়ে করা সমাধানটি
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\.10\times 10^{1}&.20\times 10^{-3}&.20\times 10^{-3}&.20\times 10^{1}\\.30\times 10^{1}&.20\times 10^{-3}&-.10\times 10^{-3}&.10\times 10^{1}\end{array}}\right)$
${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\0&-.13\times 10^{1}&-.67\times 10^{0}&-.20\times 10^{1}\\0&-.67\times 10^{0}&-.33\times 10^{0}&-.10\times 10^{1}\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-(.67/1.3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\0&-.13\times 10^{1}&-.67\times 10^{0}&-.20\times 10^{1}\\0&0&.15\times 10^{-2}&.31\times 10^{-2}\end{array}}\right)\end{aligned}}$
শেষে $z=2.1$ , $y=2.6$ এবং $x=-.43$ হিসেবে পাওয়া যায়।