রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: ক্র্যামারের নিয়ম/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে প্রতিটি চলকের মান নির্ণয় করুন।

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&4\\-x&+&2y&=&-7\end{array}}$
${\begin{array}{*{2}{rc}r}-2x&+&y&=&-2\\x&-&2y&=&-2\end{array}}$

উত্তর

$x=1$ , $y=-3$
$x=-2$ , $y=-2$

সমস্যা ২

ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে নিচের সিস্টেমটি থেকে $z$ -এর মান নির্ণয় করুন।

{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&+&y&+&z&=&1\\3x&&&+&z&=&4\\x&-&y&-&z&=&2\end{array}}

উত্তর

$z=1$

সমস্যা ৩: ক্রেমারের নিয়মটি প্রমাণ করুন।
উত্তর

কলাম পিভটসহ যেকোনো পিভট অপারেশনের ফলেও নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে, তাই $\det(B_{i})=\det({\vec {a}}_{1},\dots ,x_{1}{\vec {a}}_{1}+\dots +x_{i}{\vec {a}}_{i}+\dots +x_{n}{\vec {a}}_{n},\dots ,{\vec {a}}_{n})$ এর মান $\det({\vec {a}}_{1},\dots ,x_{i}{\vec {a}}_{i},\dots ,{\vec {a}}_{n})$ এর সমান হবে (এখানে প্রথম কলামের $-x_{1}$ গুণ $i$ -তম কলামের সাথে যোগ করা, ইত্যাদি অপারেশন ব্যবহার করা হয়েছে)। এটি আবার $x_{i}\cdot \det({\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{i},\dots ,{\vec {a}}_{n})=x_{i}\cdot \det(A)$ এর সমান, যা আমাদের প্রমাণ করতে বলা হয়েছিল।

সমস্যা ৪

ধরা যাক, একটি রৈখিক সিস্টেমে অজানা চলক এবং সমীকরণের সংখ্যা সমান, এর সমস্ত সহগ ও ধ্রুবকগুলো পূর্ণসংখ্যা এবং এর সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বা ডিটারমিন্যান্ট হলো $1$ । প্রমাণ করুন যে, এর সমাধানের ভুক্তিগুলো সবগুলোই পূর্ণসংখ্যা হবে। (মন্তব্য। এটি প্রায়শই অনুশীলনী তৈরির জন্য রৈখিক সিস্টেম উদ্ভাবনে ব্যবহৃত হয়। যদি কোনো শিক্ষক এই বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন একটি রৈখিক সিস্টেম তৈরি করেন, তবে এর সমাধান কোনো জটিল বা অপ্রীতিকর ভগ্নাংশ হয় না।)

উত্তর

যেহেতু $A$ -এর নির্ণায়কটি অ-শূন্য, তাই এখানে ক্রেমারের নিয়মটি প্রযোজ্য এবং এটি দেখায় যে $x_{i}=\left|B_{i}\right|/1$ । যেহেতু $B_{i}$ একটি পূর্ণসংখ্যাবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স, তাই এর নির্ণায়কও একটি পূর্ণসংখ্যা হবে।

সমস্যা ৫

দুটি সমীকরণ/দুটি অজানা চলকবিশিষ্ট রৈখিক সিস্টেমের সমাধানের সূত্র তৈরি করতে ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করুন।

উত্তর

নিচের সিস্টেমটির সমাধান—

{\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+by&=&e\\cx&+dy&=&f\end{array}}

হলো—

x={\frac {ed-fb}{ad-bc}}\qquad y={\frac {af-ec}{ad-bc}}

অবশ্যই শর্ত থাকে যে, হর বা ডিনোমিনেটরের মান যেন শূন্য না হয়।

সমস্যা ৬

ক্রেমারের নিয়ম কি কোনো সমাধান না থাকা সিস্টেম এবং অসীম সংখ্যক সমাধান থাকা সিস্টেমের মধ্যকার পার্থক্য নির্ধারণ করতে পারে?

উত্তর

অবশ্যই পারে; ব্যতিক্রমী সিস্টেমগুলোর ক্ষেত্রে $\left|A\right|$ এর মান শূন্য হয়, তবে অসীম সংখ্যক সমাধানের ক্ষেত্রটি এই বৈশিষ্ট্য দ্বারা চিহ্নিত করা যায় যে, সেখানে সবগুলো $\left|B_{i}\right|$ -এর মানও শূন্য হয়।

সমস্যা ৭

এই বিষয়ের প্রথম চিত্রটি (যেটিতে নির্ণায়ক ব্যবহার করা হয়নি) একটি অনন্য বা ইউনিক সমাধানের ক্ষেত্র দেখায়। অসীম সংখ্যক সমাধান এবং কোনো সমাধান না থাকার ক্ষেত্রের জন্য অনুরূপ চিত্র তৈরি করুন।

উত্তর

আমরা এই সিস্টেমটির সাহায্যে নন-সিঙ্গুলার দুটি ক্ষেত্রকে একসাথে বিবেচনা করতে পারি—

{\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&=&6\\x_{1}&+&2x_{2}&=&c\end{array}}

যেখানে $c=6$ হলে অবশ্যই অসীম সংখ্যক সমাধান পাওয়া যায়, এবং $c$ -এর অন্য যেকোনো মানের জন্য কোনো সমাধান পাওয়া যায় না। এর সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর সমীকরণটি হলো—

x_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+x_{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\c\end{pmatrix}}

যা দুটি ওভারল্যাপিং বা একটির ওপর আরেকটি আপতিত ভেক্টরের চিত্র প্রদর্শন করে। উভয় ভেক্টরই $y=x$ রেখার ওপর অবস্থিত। $c=6$ হওয়ার ক্ষেত্রে ডানদিকের ভেক্টরটিও $y=x$ রেখার ওপর অবস্থান করে, কিন্তু অন্য যেকোনো মানের ক্ষেত্রে তা ঘটে না।