রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: ক্র্যামারের নিয়ম
কোনো ম্যাট্রিক্স ননসিঙ্গুলার কি না তা নির্ধারণের সূত্র খোঁজার মাধ্যমে আমরা বীজগণিতীয়ভাবে নির্ণায়ক ফাংশনগুলোর পরিচয় দিয়েছি। এই পরিচয়ের পর আমরা একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেখেছি। সেটি হলো, ম্যাট্রিক্সের কলামগুলো দ্বারা গঠিত বাক্সটির আকার নির্ণায়ক ফাংশন থেকেই পাওয়া যায়। এই প্রসঙ্গটি দুটি দৃষ্টিভঙ্গির মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করে।
প্রথমত, একটি রৈখিক ব্যবস্থা
ভেক্টরগুলোর মধ্যকার একটি রৈখিক সম্পর্কের সমতুল্য।
নিচের চিত্রে এবং দিয়ে গঠিত একটি সামান্তরিক দেখানো হয়েছে। এটি এবং দিয়ে গঠিত একটি বড় সামান্তরিকের ভেতরে অবস্থিত।
সুতরাং নির্ণায়ক ছাড়াই আমরা এই বইয়ের শুরুতে থাকা বীজগণিতীয় সমস্যাটিকে জ্যামিতিক ভাষায় প্রকাশ করতে পারি। রৈখিক ব্যবস্থার সমাধান খোঁজার সেই সমস্যাটি হলো: ছোট সামান্তরিকটিকে প্রসারিত করে বড়টি দিয়ে পূরণ করতে হলে আমাদের ভেক্টরগুলোকে এবং গুণক দ্বারা কতটুকু বড় করতে হবে?
যাই হোক, নির্ণায়কের জ্যামিতিক তাৎপর্য ব্যবহার করে আমরা এমন কিছু পেতে পারি যা কেবল কথার পুনরাবৃত্তি নয়, বরং এটি আমাদের নতুন অন্তর্দৃষ্টি দেয়। এমনকি কখনও কখনও দ্রুত উত্তর হিসাব করতেও সাহায্য করে। এই ছায়াযুক্ত বাক্সগুলোর আকারের তুলনা করুন।
দ্বিতীয়টি এবং থেকে গঠিত। আকার ফাংশন বা নির্ণায়কের অন্যতম একটি বৈশিষ্ট্য হলো, এর আকার প্রথম বাক্সের আকারের গুণের সমান হবে। যেহেতু তৃতীয় বাক্সটি এবং দিয়ে গঠিত, এবং প্রথম কলামের সাথে দ্বিতীয় কলামের গুণ যোগ করলেও নির্ণায়ক অপরিবর্তিত থাকে, তাই তৃতীয় বাক্সের আকার দ্বিতীয়টির সমান হয়। আমরা পাই:
সমাধান করলে চলকগুলোর একটির মান পাওয়া যায়।
যে উপপাদ্যটি এই উদাহরণটিকে সাধারণ রূপ দেয় তা হলো ক্র্যামারের নিয়ম। নিয়মটি হলো: যদি হয়, তবে ব্যবস্থার একটি অনন্য সমাধান থাকবে। এখানে ম্যাট্রিক্সটি ম্যাট্রিক্সের কলামকে ভেক্টর দ্বারা প্রতিস্থাপন করে তৈরি করা হয়। সমস্যা ৩-এ এর প্রমাণ চাওয়া হয়েছে।
উদাহরণস্বরূপ, -এর জন্য এই ব্যবস্থাটি সমাধান করতে
আমরা এই হিসাবটি করি:
ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে আমরা দুটি সমীকরণ/দুটি চলকবিশিষ্ট অনেক ব্যবস্থা এক দেখাতেই সমাধান করতে পারি। এটি কখনও কখনও তিনটি সমীকরণ/তিনটি চলকবিশিষ্ট ব্যবস্থার ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়। তবে বড় আকারের নির্ণায়ক হিসাব করতে অনেক সময় লাগে। তাই বড় ব্যবস্থা সমাধানের ক্ষেত্রে ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করা বাস্তবসম্মত নয়।
অনুশীলনী
[সম্পাদনা]- সমস্যা ১
প্রতিটি চলকের জন্য ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে নিচের ব্যবস্থাগুলোর সমাধান করুন।
- সমস্যা ২
-এর জন্য এই ব্যবস্থাটি সমাধান করতে ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করুন।
- সমস্যা ৩
ক্র্যামারের নিয়মটি প্রমাণ করুন।
- সমস্যা ৪
ধরি, একটি রৈখিক ব্যবস্থায় চলকের সমান সংখ্যক সমীকরণ রয়েছে। এর সমস্ত সহগ এবং ধ্রুবক হলো পূর্ণসংখ্যা। এর সহগের ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হলো । প্রমাণ করুন যে, সমাধানের ভুক্তিগুলোও সবাই পূর্ণসংখ্যা হবে। (মন্তব্য: অনুশীলনের জন্য রৈখিক ব্যবস্থা তৈরি করতে প্রায়শই এটি ব্যবহৃত হয়। কোনো শিক্ষক যদি এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত রৈখিক ব্যবস্থা তৈরি করেন, তবে এর সমাধান কোনো জটিল ভগ্নাংশ হবে না)।
- সমস্যা ৫
দুটি সমীকরণ/দুটি চলকবিশিষ্ট রৈখিক ব্যবস্থার সমাধানের সূত্র বের করতে ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করুন।
- সমস্যা ৬
ক্র্যামারের নিয়ম কি এমন কোনো ব্যবস্থার মধ্যে পার্থক্য করতে পারে যার কোনো সমাধান নেই এবং যার অসংখ্য সমাধান আছে?
- সমস্যা ৭
এই প্রসঙ্গের প্রথম চিত্রে (যেটিতে নির্ণায়ক ব্যবহার করা হয়নি) অনন্য সমাধানের ক্ষেত্র দেখানো হয়েছে। অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে এবং কোনো সমাধান না থাকার ক্ষেত্রে অনুরূপ একটি চিত্র তৈরি করুন।