রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেম/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই বিষয়ের উত্তরগুলোতে কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেম হিসেবে মেপল ব্যবহার করা হয়েছে। বিশেষ করে, এই সবকটি সমাধান এমএস-ডস এনটি সংস্করণ ৪.০-এর অধীনে চলমান মেপল ভিতে পরীক্ষা করা হয়েছে। (প্রতিটি ক্ষেত্রেই লিনিয়ার অ্যালজেব্রা প্যাকেজ লোড করার প্রাথমিক কমান্ড এবং এন্টার কী চাপার পর মেপলের দেওয়া রেসপন্স বা প্রতিক্রিয়াগুলো বাদ দেওয়া হয়েছে।) অন্যান্য সিস্টেমেও একই ধরণের কমান্ড রয়েছে।

ওল্ফরাম ম্যাথমেটিকা ১৩.০-এর জন্য অন্যান্য উত্তরগুলো পরবর্তীতে যুক্ত করা হবে।

সমস্যা ১

এই অধ্যায়ের শুরুতে দেওয়া সমস্যা দুটি সমাধান করতে কম্পিউটারের সাহায্য নিন।

এটি হলো স্থিতিবিদ্যার সমস্যা:
$\begin{matrix} 40 h + 15 c & = 100 \\ 25 c & = 50 + 50 h \end{matrix}$
এটি হলো রসায়নের সমস্যা:
$\begin{matrix} 7 h & = 7 j \\ 8 h + 1 i & = 5 j + 2 k \\ 1 i & = 3 j \\ 3 i & = 6 j + 1 k \end{matrix}$

উত্তর

মেপল কমান্ডসমূহ—
> A:=array( [[40,15], [-50,25]] ); > u:=array([100,50]); > linsolve(A,u); এর ফলে উত্তর পাওয়া যায় [1,4]। ম্যাথমেটিকার উত্তর:
```
eqns = {40 h + 15 c == 100, 25 c == 50 + 50 h};
{b, m} = CoefficientArrays[eqns, {c, h}]
LinearSolve[m, -b]
{c, h} /. Solve[eqns, {c, h}]
```
এটি {c,h}-এর জন্য {1,4} ভেক্টর রিটার্ন বা প্রদর্শন করে।
এখানে একটি স্বাধীন চলক বা ফ্রি ভ্যারিয়েবল রয়েছে:
> A:=array( [[7,0,-7,0], [8,1,-5,2], [0,1,-3,0], [0,3,-6,-1]] ); > u:=array([0,0,0,0]); > linsolve(A,u); এর জবাবে মেপল প্রদর্শন করে [_t1,3_t1,_t1,3_t1]। ম্যাথমেটিকা কোড:
```
eqns = {7 h == 7 j, 8 h + i == 5 j + 2 k, 1 i == 3 j, 
   3 i == 6 j + 1 k};
{b, m} = CoefficientArrays[eqns, {h, i, j, k}]
LinearSolve[m, -b]
{h, i, j, k} /. Solve[eqns, {h, i, j, k}]
```
এটি LinearSolve-এর জন্য {0,0,0,0} এবং শেষ লাইনের জন্য {{h,3h,3h,3h}} রিটার্ন বা প্রদর্শন করে।

সমস্যা ২

কম্পিউটার ব্যবহার করে প্রথম উপ-অনুচ্ছেদের এই সমীকরণ জোটগুলো সমাধান করুন, অথবা "অনেক সমাধান" বা "কোনো সমাধান নেই" এই সিদ্ধান্তে উপনীত হোন।

$\begin{matrix} 2 x & + & 2 y & = & 5 \\ x & - & 4 y & = & 0 \end{matrix}$
$\begin{matrix} - x & + & y & = & 1 \\ x & + & y & = & 2 \end{matrix}$
$\begin{matrix} x & - & 3 y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & + & 2 z & = & 14 \end{matrix}$
$\begin{matrix} - x & - & y & = & 1 \\ - 3 x & - & 3 y & = & 2 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 4 y & + & z & = & 20 \\ 2 x & - & 2 y & + & z & = & 0 \\ x & + & z & = & 5 \\ x & + & y & - & z & = & 10 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 2 x & + & z & + & w & = & 5 \\ y & - & w & = & - 1 \\ 3 x & - & z & - & w & = & 0 \\ 4 x & + & y & + & 2 z & + & w & = & 9 \end{matrix}$

মেপলে উত্তর

এগুলো ইনপুট বা টাইপ করা বেশ সহজ। যেমন—প্রথমটির ক্ষেত্রে:

> A:=array( [[2,2], [1,-4]] ); > u:=array([5,0]); > linsolve(A,u);

এটি প্রত্যাশিত উত্তর $[2, 1 / 2]$ প্রদর্শন করে। অন্যান্যগুলোও একইভাবে ইনপুট করতে হবে।

উত্তরটি হলো $x = 2$ এবং $y = 1 / 2$ ।
উত্তরটি হলো $x = 1 / 2$ এবং $y = 3 / 2$ ।
এই সমীকরণ জোটের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। প্রথম উপ-অনুচ্ছেদে, $z$ -কে প্যারামিটার বা চলক ধরে আমরা পেয়েছিলাম $x = (43 - 7 z) / 4$ এবং $y = (13 - z) / 4$ । মেপল এর জবাবে $[- 12 + 7_t_{1},_t_{1}, 13 - 4_t_{1}]$ প্রদর্শন করে, কোনো এক কারণে এটি $y$ -কে প্যারামিটার হিসেবে বেশি পছন্দ করেছে।
এই সমীকরণ জোটের কোনো সমাধান নেই। যখন মেপল-এ $A$ অ্যারে এবং $u$ ভেক্টর প্রদান করে linsolve(A,u) কমান্ড দেওয়া হয়, তখন এটি কোনো ফলাফল প্রদর্শন করে না; অর্থাৎ, এটি নির্দেশ করে যে এর কোনো সমাধান নেই।
সমাধানটি হলো $(x, y, z) = (5, 5, 0)$ ।
এর অনেকগুলো সমাধান রয়েছে। মেপল এর সমাধান প্রদর্শন করে $[1, - 1 +_t_{1}, 3 -_t_{1},_t_{1}]$ ।

ম্যাথমেটিকা উত্তর:

RowReduceAugmentedMatrix[matrix_] := MatrixForm[RowReduce[matrix]]

এই ফাংশনটি ব্যবহার করে

(\begin{matrix} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix})

ম্যাট্রিক্সকে RowReduce করলে MatrixForm-এ ফলাফল পাওয়া যায়

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 / 2 \\ 0 & 1 & 3 / 2 \end{matrix})

।

সমস্যা ৩

কম্পিউটার ব্যবহার করে দ্বিতীয় উপ-অনুচ্ছেদের এই সমীকরণ জোটগুলো সমাধান করুন।

$\begin{matrix} 3 x & + & 6 y & = & 18 \\ x & + & 2 y & = & 6 \end{matrix}$
$\begin{matrix} x & + & y & = & 1 \\ x & - & y & = & - 1 \end{matrix}$
$\begin{matrix} x_{1} & + & x_{3} & = & 4 \\ x_{1} & - & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 5 \\ 4 x_{1} & - & x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 17 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 2 a & + & b & - & c & = & 2 \\ 2 a & + & c & = & 3 \\ a & - & b & = & 0 \end{matrix}$
$\begin{matrix} x & + & 2 y & - & z & = & 3 \\ 2 x & + & y & + & w & = & 4 \\ x & - & y & + & z & + & w & = & 1 \end{matrix}$
$\begin{matrix} x & + & z & + & w & = & 4 \\ 2 x & + & y & - & w & = & 2 \\ 3 x & + & y & + & z & = & 7 \end{matrix}$

উত্তর

পূর্ববর্তী প্রশ্নের মতোই, এগুলো ইনপুট বা টাইপ করা বেশ সহজ।

এই সমীকরণ জোটের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। দ্বিতীয় উপ-অনুচ্ছেদে আমরা সমাধান সেটটি নিম্নরূপভাবে প্রকাশ করেছিলাম—
${(\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) y | y \in ℝ}$
এবং মেপল এর জবাবে $[6 - 2_t_{1},_t_{1}]$ প্রদর্শন করে।
এই সমাধান সেটের কেবল একটিমাত্র উপাদান রয়েছে—
${(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}$
এবং মেপল খুব সহজেই এটি খুঁজে পায় $[0, 1]$ ।
এই সমীকরণ জোটের সমাধান সেটটি অসীম—
${(\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) x_{3} | x_{3} \in ℝ}$
এবং মেপল এর সমাধান প্রদর্শন করে $[_t_{1}, -_t_{1} + 3, -_t_{1} + 4]$ ।
এর একটি অনন্য বা একক সমাধান রয়েছে—
${(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}$
এবং মেপল এর উত্তর দেয় $[1, 1, 1]$ ।
এই সমীকরণ জোটের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে; দ্বিতীয় উপ-অনুচ্ছেদে আমরা দুটি প্যারামিটার বা চলকের মাধ্যমে সমাধান সেটটিকে বর্ণনা করেছিলাম-
${(\begin{matrix} 5 / 3 \\ 2 / 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 / 3 \\ 2 / 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) z + (\begin{matrix} - 2 / 3 \\ 1 / 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) w | z, w \in ℝ}$
এবং মেপলও একইভাবে সমাধান প্রদর্শন করে $[3 - 2_t_{1} +_t_{2},_t_{1},_t_{2}, - 2 + 3_t_{1} - 2_t_{2}]$ ।
এর সমাধান সেটটি ফাঁকা বা শূন্য এবং linsolve(A,u) কমান্ডের জবাবে মেপল কোনো সমাধান প্রদর্শন করে না।

সমস্যা ৪

একটি সাধারণ বা জেনারেলাইজড $2 \times 2$ সমীকরণ জোটের সমাধানের জন্য কম্পিউটার কী ফলাফল প্রদর্শন করে?

\begin{matrix} a x & + & c y & = & p \\ b x & + & d y & = & q \end{matrix}

উত্তর

এই কমান্ডটি প্রদান করার পর—

> A:=array( [[a,c], [b,d]] ); > u:=array([p,q]); > linsolve(A,u);

মেপল প্রায় বিশ সেকেন্ড গণনা করার পর এই উত্তরটি প্রদান করে:

[- \frac{- d p + q c}{- b c + a d}, \frac{- b p + a q}{- b c + a d}]

ম্যাথমেটিকা সমাধান

RowReduce[( {
    {a, c, p},
    {b, d, q}
   } )] // MatrixForm

এটি মাত্র ২ মিলিসেকেন্ডের মধ্যে

(\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{d p - c q}{- b c + a d} \\ 0 & 1 & \frac{b p - a q}{b c - a d} \end{matrix})

ফলাফল প্রদর্শন করে।