রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: ইনপুট-আউটপুট বিশ্লেষণ/সমাধান

সমাধান

ইঙ্গিত: এই ব্যবস্থাগুলো কম্পিউটারে সমাধান করা সবচেয়ে সহজ।

সমস্যা ১

উপরে দেওয়া ইস্পাত-গাড়ি ব্যবস্থা ব্যবহার করে নিচের ক্ষেত্রগুলোতে আগামী বছরের মোট উৎপাদনের পরিমাণ অনুমান করুন।

1. আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদা: ইস্পাতের চাহিদা এই বছরের চেয়ে $200$ বাড়বে এবং গাড়ির চাহিদা অপরিবর্তিত থাকবে।
2. আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদা: ইস্পাতের চাহিদা $100$ বাড়বে এবং গাড়ির চাহিদা $200$ বাড়বে।
3. আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদা: ইস্পাতের চাহিদা $200$ বাড়বে এবং গাড়ির চাহিদা $200$ বাড়বে।

উত্তর

এই উত্তরগুলো অক্টেভ দ্বারা দেওয়া হয়েছে।

1. ইস্পাতের বাহ্যিক ব্যবহার $17\,789$ এবং গাড়ির বাহ্যিক ব্যবহার $21\,243$ ধরে আমরা পাই $s=25\,952$, $a=30\,312$।
2. $s=25\,857$, $a=30\,596$
3. $s=25\,984$, $a=30\,597$

সমস্যা ২

ইস্পাত-গাড়ি ব্যবস্থায়, গাড়ি শিল্পের ইস্পাত ব্যবহারের অনুপাত হলো $2\,664/30\,346$ বা প্রায় $0.0878$। ধরি, গাড়ি তৈরির একটি নতুন প্রক্রিয়ার ফলে এই অনুপাতটি কমে $.0500$ হয়ে যায়।

1. উপরে আলোচিত প্রথম উদাহরণের তুলনায় আগামী বছরের মোট উৎপাদনের অনুমানে কী পরিবর্তন আসবে? (অর্থাৎ আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদাকে ইস্পাতের জন্য $17,589$ এবং গাড়ির জন্য $21,243$ ধরে)।
2. নতুন গাড়িগুলো সস্তা হওয়ার কারণে যদি গাড়ির বাহ্যিক চাহিদা বেড়ে $21,500$ হয়, তবে আগামী বছরের মোট উৎপাদনের পরিমাণ অনুমান করুন।

উত্তর

অক্টেভ এই উত্তরগুলো প্রদান করে।

1. $s=24\,244$, $a=30\,307$
2. $s=24\,267$, $a=30\,673$

সমস্যা ৩

এই সারণিটি ভিন্ন একটি বছর, ১৯৪৭ সালের গাড়ি-ইস্পাত ব্যবস্থার উপাত্ত প্রদান করে (দেখুন )। এখানে এককটি ১৯৪৭ সালের বিলিয়ন ডলারে দেওয়া হয়েছে।

	ব্যবহারকারী     ইস্পাত	ব্যবহারকারী     গাড়ি	ব্যবহারকারী     অন্যান্য	মোট
ইস্পাতের     মূল্য	৬.৯০	১.২৮		১৮.৬৯
গাড়ির     মূল্য	০	৪.৪০		১৪.২৭

1. আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদাগুলো যদি ইস্পাতের জন্য ১০% এবং গাড়ির জন্য ১৫% বৃদ্ধি পায়, তবে মোট উৎপাদনের পরিমাণ হিসাব করুন।
2. ১৯৫৮ সালের অর্থনীতির আলোচনায় উপরে দেওয়া অনুপাতগুলোর সাথে এই অনুপাতগুলোর তুলনা কেমন?
3. ১৯৫৮ সালের বাহ্যিক চাহিদাগুলো ব্যবহার করে ১৯৪৭ সালের সমীকরণগুলো সমাধান করুন (এককের পার্থক্যটি খেয়াল করুন: ১৯৫৮ সালের ১.৩০ ডলারে যা পাওয়া যেত ১৯৪৭ সালের ১ ডলারে প্রায় তা-ই পাওয়া যেত)। মোট উৎপাদনের অনুমানগুলো কতটা ভুল?

উত্তর

1. সমীকরণগুলো হলো:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}(11.79/18.69)s&-&(1.28/14.27)a&=&11.56\\-(0/18.69)s&+&(9.87/14.27)a&=&11.35\end{array}}$

   অক্টেভ থেকে পাওয়া যায় $s=20.66$ এবং $a=16.41$।
2. অনুপাতগুলো নিচে দেওয়া হলো:

   ১৯৪৭     ইস্পাত দ্বারা     গাড়ি দ্বারা     ইস্পাতের ব্যবহার     ০.৬৩     ০.০৯     গাড়ির ব্যবহার     ০.০০     ০.৬৯

   ১৯৫৮     ইস্পাত দ্বারা     গাড়ি দ্বারা     ইস্পাতের ব্যবহার     ০.৭৯     ০.০৯     গাড়ির ব্যবহার     ০.০০     ০.৭০

3. অক্টেভ থেকে পাওয়া যায় (১৯৪৭ সালের বিলিয়ন ডলারে) $s=24.82$ এবং $a=23.63$। ১৯৫৮ সালের বিলিয়ন ডলারে তা হলো $s=32.26$ এবং $a=30.71$।

সমস্যা ৪

নিচে দেখানো কল্পিত অর্থনীতির তিনটি খাতের প্রতিটির আগামী বছরের মোট উৎপাদন অনুমান করুন।

	ব্যবহারকারী     খামার	ব্যবহারকারী     রেল	ব্যবহারকারী     শিপিং	ব্যবহারকারী     অন্যান্য	মোট
খামারের     মূল্য	২৫	৫০	১০০		৫০০
রেলের     মূল্য	২৫	৫০	৫০		৩০০
শিপিংয়ের     মূল্য	১৫	১০	০		৫০০

এখানে আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদাগুলো নিচে দেওয়া হলো:

1. খামারের জন্য $625$, রেলের জন্য $200$, শিপিংয়ের জন্য $475$
2. খামারের জন্য $650$, রেলের জন্য $150$, শিপিংয়ের জন্য $450$

সমস্যা ৫

এই সারণিটি অর্থনীতির তিনটি খাতের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক প্রদান করে (দেখুন )।

	ব্যবহারকারী     খাদ্য	ব্যবহারকারী     পাইকারি	ব্যবহারকারী     খুচরা	ব্যবহারকারী     অন্যান্য	মোট
খাদ্যের     মূল্য	০	২ ৩১৮	৪ ৬৭৯		১১ ৮৬৯
পাইকারির     মূল্য	৩৯৩	১ ০৮৯	২২ ৪৫৯		১২২ ২৪২
খুচরার     মূল্য	৩	৫৩	৭৫		১১৬ ০৪১

আমরা এই ব্যবস্থার ওপর একটি ইনপুট-আউটপুট বিশ্লেষণ করব।

1. এই বছরের বাহ্যিক চাহিদাগুলোর সংখ্যা পূরণ করুন।
2. রৈখিক ব্যবস্থাটি স্থাপন করুন এবং আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদাগুলোর জায়গা খালি রাখুন।
3. এমন ব্যবস্থাটি সমাধান করুন যেখানে আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদাগুলো এই বছরের বাহ্যিক চাহিদাকে ১০% বাড়িয়ে হিসাব করা হয়েছে। তিনটি খাতই কি তাদের মোট ব্যবসা ১০% বৃদ্ধি করে? এরা কি সবাই একই হারে বৃদ্ধি পায়?
4. এমন ব্যবস্থাটি সমাধান করুন যেখানে আগামী বছরের বাহ্যিক চাহিদাগুলো এই বছরের বাহ্যিক চাহিদাকে ৭% কমিয়ে হিসাব করা হয়েছে। (যে গবেষণা থেকে এই সংখ্যাগুলো নেওয়া হয়েছে, তাতে উপসংহার টানা হয়েছে যে স্থানীয় একটি সামরিক স্থাপনা বন্ধ হওয়ার কারণে এলাকার সামগ্রিক ব্যক্তিগত আয় ৭% কমে যাবে। তাই এটি বাস্তবে কী ঘটতে পারে তার একটি প্রাথমিক অনুমান হতে পারে)।

তথ্যসূত্র

• লিওনটিফ, ওয়াসিলি ডব্লিউ. (১৯৫১), "Input-Output Economics" [ইনপুট-আউটপুট অর্থনীতি], Scientific American, ১৮৫ (৪): ১৫  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

• ক্লার্ক, ডেভিড এইচ.; কুপ, জন ডি. (১৯৬৭), "The Bangor Area Economy Its Present and Future" [ব্যাঙ্গর এলাকার অর্থনীতির বর্তমান ও ভবিষ্যৎ], Report to the City of Bangor, ME  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)