রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: আইগেনমানের জ্যামিতি
রৈখিক রূপান্তরের জ্যামিতি বিষয়টি দ্রষ্টব্য
[সম্পাদনা]মৌলিক প্রক্রিয়াসমূহের মাধ্যমে রৈখিক রূপান্তরকে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত করার পদ্ধতিটি কিছু দিক থেকে বেশ চমৎকার। উদাহরণস্বরূপ, আমরা সহজেই দেখতে পাই যে এই পদ্ধতিতে সরলরেখাগুলো সরলরেখাতেই রূপান্তরিত হয়; কারণ প্রক্ষেপণ, প্রসারণ, প্রতিফলন এবং স্কিউ-এর প্রতিটি প্রক্রিয়াই সরলরেখাকে সরলরেখায় রূপান্তর করে। কিন্তু যখন কোনো রূপান্তরকে অনেকগুলো ছোট ছোট প্রক্রিয়ার সংযোজন হিসেবে প্রকাশ করা হয়—তা যতই সরল হোক না কেন—তখনকার বিবরণটি খুব একটা আদর্শ হয় না। আমরা -এর রূপান্তরসমূহের জ্যামিতিক প্রভাবকে চিত্রায়িত করার জন্য আরেকটি কিছুটা সামগ্রিক পদ্ধতি আলোচনার মাধ্যমে এই অংশটি শেষ করব।
ওই বিষয়ের চিত্রগুলোতে সাধারণত ডোমেইনের মাত্র এক বা দুটি উপাদানের ওপর রূপান্তরের প্রভাব দেখানো হয়। যদিও আমরা জানি যে একটি রূপান্তরকে তার বেসিসের ওপর কৃত ক্রিয়ার মাধ্যমেই সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করা যায়, এবং তাত্ত্বিকভাবে বলতে গেলে -এর একটি রূপান্তরকে বর্ণনা করার জন্য যেকোনো বেসিসের মাত্র দুটি ভেক্টর কোথায় স্থানান্তরিত হচ্ছে তা দেখানোই যথেষ্ট; তবুও সেই চিত্রগুলো খুব একটা জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি প্রকাশ করে বলে মনে হয় না। চিত্রটিকে অগোছালো না করে, আরও কিছুটা তথ্য যুক্ত করার মাধ্যমে আমরা কি একটি রৈখিক রূপান্তরের জ্যামিতিকে আরও স্পষ্ট করে তুলতে পারি?
-এর একটি রূপান্তর মূলবিন্দুগামী সরলরেখাগুলোকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখাতেই স্থানান্তরিত করে। সুতরাং, ধরা যাক রেখার ওপর অবস্থিত দুটি বিন্দুই রূপান্তরিত হয়ে রেখায় স্থানান্তরিত হবে। এমন দুটি বিন্দু বিবেচনা করা যাক।
যেহেতু একটি বিন্দু অন্য বিন্দুর গুণিতক, তাই আমরা দ্বিতীয় বিন্দুটিকে কোনো একটি স্কেলার -এর সাপেক্ষে প্রথম বিন্দুর গুণ হিসেবে লিখতে পারি:
তাদের প্রতিচ্ছবিগুলোর তুলনা করা যাক:
এখানে দ্বিতীয় ভেক্টরটি প্রথম ভেক্টরের গুণ, এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রতিচ্ছবিটিও প্রথম ভেক্টরের প্রতিচ্ছবির গুণ। রূপান্তরটি কেবল ভেক্টরগুলোর সমরেখ বা একই রেখায় থাকার বৈশিষ্ট্যই ধরে রাখে না, বরং তাদের আপেক্ষিক স্কেল বা অনুপাতকেও অক্ষুণ্ন রাখে। অর্থাৎ, একটি রূপান্তর মূলবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার ওপর অবস্থিত বিন্দুগুলোর সাথে অভিন্ন বা সুষম আচরণ করে। সম্পূর্ণ সরলরেখাটির ওপর এই রূপান্তরের প্রভাব বর্ণনা করতে আমাদের কেবল ওই রেখার যেকোনো একটি অশূন্য বিন্দুর ওপর এর প্রভাব বর্ণনা করাই যথেষ্ট।
যেহেতু এই জগতের প্রতিটি বিন্দুই মূলবিন্দুগামী কোনো না কোনো সরলরেখার ওপর অবস্থিত, তাই -এর একটি রৈখিক রূপান্তরের ক্রিয়া বোঝার জন্য মূলবিন্দুগামী প্রতিটি সরলরেখা থেকে একটি করে বিন্দু বেছে নেওয়াই যথেষ্ট (ধরা যাক একক বৃত্তের ওপরের অর্ধাংশে অবস্থিত বিন্দুগুলো) এবং বিন্দুগুলোর সেই সেটের ওপর রূপান্তরটির প্রভাব কেমন তা দেখানোই যথেষ্ট।
নিচে একটি সাধারণ প্রসারণের চিত্র দেওয়া হলো:
নিচে একই রূপান্তরটি একক বৃত্ত এবং এর রূপান্তরিত প্রতিচ্ছবিকে একসাথে উপরিপাতিত করে দেখানো হলো:
নিশ্চিতভাবেই এখানকার জ্যামিতিক রূপটি অনেক বেশি স্পষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে মূলবিন্দুগামী কিছু সরলরেখা আসলে রূপান্তরিত হয়ে নিজেদের ওপরেই আপতিত হচ্ছে: যেমন -অক্ষ রূপান্তরিত হয়ে -অক্ষেই থাকছে এবং -অক্ষ রূপান্তরিত হয়ে -অক্ষেই থাকছে।
এটি পূর্বে দেখানো প্রতিফলনের চিত্র, যেখানে একক বৃত্ত এবং এর রূপান্তরিত প্রতিচ্ছবিকে উপরিপাতিত করে দেখানো হয়েছে:
এবং এটি পূর্বে দেখানো স্কিউের চিত্র:
একক বর্গক্ষেত্রের ওপর এই রূপান্তরের প্রভাবের সাথে এই চিত্রটির তুলনা করুন।
এখানে কিছুটা জটিল একটি রূপান্তরের চিত্র দেওয়া হলো (এর দ্বিতীয় স্থানাঙ্ক ফাংশনটি আগের চিত্রের রূপান্তরের মতোই, তবে প্রথম স্থানাঙ্ক ফাংশনটি ভিন্ন):
লক্ষ্য করুন যে, কিছু ভেক্টর একই সাথে প্রসারিত হচ্ছে এবং একটি নির্দিষ্ট কোণে আবর্তিত বা ঘূর্ণিত হচ্ছে—
অথচ অন্য কিছু ভেক্টর কোনো রকম আবর্তন ছাড়াই কেবল প্রসারিত হচ্ছে—
অনুশীলনী
[সম্পাদনা]- সমস্যা ১
- একক বৃত্তের ওপরের অর্ধাংশের ওপর নিচের প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের প্রভাব দেখান।
কোন ভেক্টরগুলো মূলবিন্দুগামী একই সরলরেখার ওপর অবস্থান করে?