রৈখিক বীজগণিত/বিষয়: অর্থোনরমাল ম্যাট্রিক্স/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

নিচের প্রতিটি ম্যাট্রিক্স অর্থোনরমাল কি না তা নির্ধারণ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\\-1/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}&-{\sqrt {2}}/{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {2}}/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. হ্যাঁ।
2. না, কলামগুলোর দৈর্ঘ্য এক (১) নয়।
3. হ্যাঁ।

সমস্যা ২

নিচের প্রতিটি দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপের জন্য সূত্রটি লিখুন।

1. যে ম্যাপটি $\pi /6$ রেডিয়ান কোণে আবর্তন করে এবং তারপর ${\vec {e}}_{2}$ দ্বারা স্থানান্তরিত করে
2. যে ম্যাপটি $y=2x$ রেখা সাপেক্ষে প্রতিফলন ঘটায়
3. যে ম্যাপটি $y=-2x$ রেখা সাপেক্ষে প্রতিফলন ঘটায় এবং ডানে $1$ একক ও উপরে $1$ একক স্থানান্তরিত করে

উত্তর

এদের মধ্যে কয়েকটি অশূন্য স্থানান্তরের সাথে জড়িত থাকার কারণে নন-লিনিয়ার।

1. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\cdot \cos(\pi /6)-y\cdot \sin(\pi /6)\\x\cdot \sin(\pi /6)+y\cdot \cos(\pi /6)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cdot ({\sqrt {3}}/2)-y\cdot (1/2)+0\\x\cdot (1/2)+y\cdot \cos({\sqrt {3}}/2)+1\end{pmatrix}}$
2. $y=2x$ রেখাটি $x$-অক্ষের সাথে $\arctan(2/1)$ কোণ উৎপন্ন করে। অতএব, $\sin \theta =2/{\sqrt {5}}$ এবং $\cos \theta =1/{\sqrt {5}}$।

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\cdot (1/{\sqrt {5}})-y\cdot (2/{\sqrt {5}})\\x\cdot (2/{\sqrt {5}})+y\cdot (1/{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}$

3. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\cdot (1/{\sqrt {5}})-y\cdot (-2/{\sqrt {5}})\\x\cdot (-2/{\sqrt {5}})+y\cdot (1/{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/{\sqrt {5}}+2y/{\sqrt {5}}+1\\-2x/{\sqrt {5}}+y/{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

যে ম্যাপটি দূরত্বসংরক্ষক এবং শূন্য ভেক্টরকে নিজের ওপর ম্যাপ করে, সেটি যে একই সাথে এক-এক এবং সার্বিক বা অনটু হয়—তা প্রাসঙ্গিকভাবেই এর প্রমাণে প্রদর্শিত হয়েছে (ডোমেনের যে বিন্দুটি $d_{0}$, $d_{1}$, এবং $d_{2}$ দ্বারা নির্ধারিত হয়, তা কোডোমেনের সেই বিন্দুর সাথে মিলে যায় যা ওই তিনটি দ্বারা নির্ধারিত)। অতএব, যেকোনো দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপের একটি বিপরীত ম্যাপ থাকে। দেখান যে, এই বিপরীত ম্যাপটিও দূরত্বসংরক্ষক হবে।

প্রমাণ করুন যে, সমতলীয় জ্যামিতিক চিত্রগুলোর মধ্যে সর্বসমতা একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক।

উত্তর

1. ধরা যাক $f$ একটি দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপ এবং এর বিপরীত ম্যাপ $f^{-1}$ বিবেচনা করুন। কোডোমেনের যেকোনো দুটি বিন্দুকে $f(P_{1})$ এবং $f(P_{2})$ হিসেবে লেখা যেতে পারে। যেহেতু $f$ দূরত্বসংরক্ষক, তাই $f(P_{1})$ থেকে $f(P_{2})$-এর দূরত্ব, $P_{1}$ থেকে $P_{2}$-এর দূরত্বের সমান হবে। আর $f^{-1}$ ম্যাপটি দূরত্বসংরক্ষক হওয়ার জন্য ঠিক এই শর্তটিই প্রয়োজন।
2. যেকোনো সমতলীয় চিত্র $F$, অভেদ ম্যাপ বা আইডেন্টিটি ম্যাপ ${\mbox{id}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$-এর মাধ্যমে নিজের সাথে সর্বসম হয়, যা স্পষ্টতই একটি দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপ। যদি $F_{1}$ চিত্রটি $F_{2}$-এর সাথে সর্বসম হয় (কোনো একটি ম্যাপ $f$-এর মাধ্যমে), তবে পূর্ববর্তী সমস্যা অনুযায়ী $f^{-1}$ দূরত্বসংরক্ষক হওয়ার কারণে $F_{2}$-ও $F_{1}$-এর সাথে সর্বসম হবে। সবশেষে, যদি $F_{1}$ চিত্রটি $F_{2}$-এর সাথে সর্বসম হয় (কোনো $f$-এর মাধ্যমে) এবং $F_{2}$ চিত্রটি $F_{3}$-এর সাথে সর্বসম হয় (কোনো $g$-এর মাধ্যমে), তবে তারা $g\circ f$ সংযোজিত ম্যাপের মাধ্যমে সর্বসম হবে; যা খুব সহজেই দূরত্বসংরক্ষক হিসেবে যাচাই করা যায়।

সমস্যা ৪

বাস্তব প্রয়োগের ক্ষেত্রে, দূরত্বসংরক্ষক রৈখিক রূপান্তর এবং স্থানান্তরের ম্যাট্রিক্স দুটিকে প্রায়শই একটি একক ম্যাট্রিক্সে রূপ দেওয়া হয়।

যাচাই করুন যে, নিচের এই দুটি হিসাব প্রক্রিয়াই প্রথম দুটি উপাদানের জন্য একই ফলাফল প্রদান করে:

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}a&c&e\\b&d&f\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$

(এগুলোকে সমজাতীয় স্থানাঙ্ক বা হোমোজিনিয়াস কোঅর্ডিনেটস বলা হয়; এই বিষয়ে জানতে প্রজেক্টিভ জিওমেট্রি বা অভিক্ষেপ জ্যামিতির অধ্যায়টি দেখুন)।

উত্তর

উভয় ক্ষেত্রেরই প্রথম দুটি উপাদান হলো যথাক্রমে $ax+cy+e$ এবং $bx+dy+f$।

সমস্যা ৫

এই বিষয়ের দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে যেসব বৈশিষ্ট্যকে দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপের অধীনে নিশ্চল বা অপরিবর্তিত হিসেবে বর্ণনা করা হয়েছে, সেগুলো যে আসলেই তাই—তা যাচাই করুন।

আপনার পূর্ব অভিজ্ঞতা থেকে ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে গুরুত্বপূর্ণ এমন আরও দুটি বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করুন, যা দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে।

এমন একটি বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করুন যা ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে গুরুত্বপূর্ণ নয় এবং দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে না।

উত্তর

1. পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, তিনটি বিন্দু সমরেখ বা এক-লাইনস্থ হবে যদি এবং কেবল যদি— (বিন্দুগুলোকে $P_{1}$, $P_{2}$, এবং $P_{3}$ ক্রমে সাজালে) ${\text{dist}}\,(P_{1},P_{2})+{\text{dist}}\,(P_{2},P_{3})={\text{dist}}\,(P_{1},P_{3})$ হয়। স্বভাবতই, যেখানে $f$ একটি দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপ, সেখানে এই শর্তটি সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি— ${\text{dist}}\,(f(P_{1}),f(P_{2}))+{\text{dist}}\,(f(P_{2}),f(P_{3}))={\text{dist}}\,(f(P_{1}),f(P_{3}))$ হয়। পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী এটি আবার তখন এবং কেবল তখনই সত্য হবে, যখন $f(P_{1})$, $f(P_{2})$, এবং $f(P_{3})$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে। মধ্যবর্তীতার যুক্তিটিও একই রকম (উপরে, $P_{2}$ বিন্দুটি $P_{1}$ এবং $P_{3}$-এর মধ্যবর্তী)। যদি জ্যামিতিক চিত্র $F$ একটি ত্রিভুজ হয়, তবে এটি তিনটি রেখাংশ $P_{1}P_{2}$, $P_{2}P_{3}$, এবং $P_{1}P_{3}$ এর সংযোগ বা ইউনিয়ন। পূর্ববর্তী দুটি অনুচ্ছেদ একসাথে নির্দেশ করে যে, একটি জ্যামিতিক রূপ রেখাংশ হওয়ার বৈশিষ্ট্যটি অপরিবর্তিত বা ইনভ্যারিয়েন্ট থাকে। সুতরাং $f(F)$-ও তিনটি রেখাংশের ইউনিয়ন হবে, এবং ফলস্বরূপ এটিও একটি ত্রিভুজ হবে। $P$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে গঠিত $r$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত $C$ হলো এমন সব $Q$ বিন্দুর সেট, যেন ${\text{dist}}\,(P,Q)=r$ হয়। এর ওপর দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপ $f$ প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে, এর প্রতিচ্ছবি $f(C)$ হবে এমন সব $f(Q)$ বিন্দুর সেট যা ${\text{dist}}\,(P,Q)=r$ শর্তটি মেনে চলে। যেহেতু ${\text{dist}}\,(P,Q)={\text{dist}}\,(f(P),f(Q))$, তাই $f(C)$ সেটটিও একটি বৃত্ত হবে, যার কেন্দ্র হবে $f(P)$ এবং ব্যাসার্ধ হবে $r$।
2. এখানে সহজে যাচাই করা যায় এমন দুটি বৈশিষ্ট্য দেওয়া হলো: (i) সমকোণী ত্রিভুজ হওয়ার বৈশিষ্ট্য, এবং (ii) দুটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার বৈশিষ্ট্য।
3. এই অনুচ্ছেদে উল্লেখ করা হয়েছে এমন একটি বৈশিষ্ট্য হলো চিত্রের "দিকমুখিতা"। একটি ত্রিভুজ যার শীর্ষবিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার দিকে $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ হিসেবে রয়েছে, তা একটি দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপের অধীনে রূপান্তরিত হয়ে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ পড়া যায় এমন একটি ত্রিভুজে পরিণত হতে পারে (যেমন- প্রতিফলনের মাধ্যমে)।