রৈখিক বীজগণিত/বিপরীত ম্যাট্রিক্স

একটি n-বাই-n আকারের ম্যাট্রিক্স A-কে অপর একটি n-বাই-n আকারের ম্যাট্রিক্স B-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হবে (এবং একইভাবে B-কে A-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হবে) যদি BA = AB = I হয়, যেখানে I হলো একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

একটি n-বাই-n ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করার জন্য প্রথমে একটি n-বাই-2n আকারের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করা হয়, যার বাম পাশে মূল ম্যাট্রিক্সটি এবং ডান পাশে একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স থাকে। এরপর এই ম্যাট্রিক্সটিকে সারি-হ্রাস করা হয়; সম্পূর্ণ প্রক্রিয়া শেষে ডান পাশের অর্ধাংশটিই হবে মূল ম্যাট্রিক্সের বিপরীতক। যদি ম্যাট্রিক্সটিকে সম্পূর্ণভাবে সারি-হ্রাস করা না যায়, তবে তার কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকবে না।

উদাহরণ

ধরি, $\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}1&4&4\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}$

আমরা প্রথমে অভেদক ম্যাট্রিক্স যুক্ত করে A-কে বর্ধিত ও বিভক্ত করব, এবং তারপর বাম পাশে একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স না পাওয়া পর্যন্ত A-কে সারি-হ্রাস করতে থাকব।

${\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\2&5&8&{\big |}&0&1&0\\3&6&9&{\big |}&0&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&-3&0&{\big |}&-2&1&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow$

${\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&-3&{\big |}&1&-2&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&0&{\big |}&-1/3&-4/3&4/3\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$

সুতরাং, $\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}-1/3&-4/3&4/3\\2/3&-1/3&0\\-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$ ম্যাট্রিক্সটিই হলো আদি ম্যাট্রিক্স A-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স।