রৈখিক বীজগণিত/বিপরীত/সমাধান

সমাধান

সমস্যা ১

উদাহরণ ৪.১০-এর মধ্যবর্তী ধাপগুলো সম্পন্ন করো।

উত্তর

সমাধানের একটি উপায় নিচে দেওয়া হলো:

${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\1&-1&0&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\0&-1&-1&0&-1&1\end{array}}\right)$

${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{}]{(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\0&0&-4/3&1/3&-1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-(3/4)\rho _{3}}]{(1/3)\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&-1/3&1/3&0&0\\0&0&1&-1/4&3/4&-3/4\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{-\rho _{3}+\rho _{1}}]{(1/3)\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1/4&1/4&3/4\\0&1&0&1/4&1/4&-1/4\\0&0&1&-1/4&3/4&-3/4\end{array}}\right)\end{aligned}}$

সমস্যা ২

প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে কিনা তা যাচাই করতে অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২ ব্যবহার করো।

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&4\\1&-3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&-3\\-4&6\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. হ্যাঁ, এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে: $ad-bc=2\cdot 1-1\cdot (-1)\neq 0$।
2. হ্যাঁ।
3. না।

সমস্যা ৩

আগের সমস্যার বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্সগুলোর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করতে অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২ ব্যবহার করো।

উত্তর

1. $\displaystyle {\frac {1}{2\cdot 1-1\cdot (-1)}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/3&-1/3\\1/3&2/3\end{pmatrix}}$
2. $\displaystyle {\frac {1}{0\cdot (-3)-4\cdot 1}}\cdot {\begin{pmatrix}-3&-4\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3/4&1\\1/4&0\end{pmatrix}}$
3. আগের প্রশ্নে দেখানো হয়েছে যে এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।

সমস্যা ৪

গাউস-জর্ডান পদ্ধতি ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো (যদি অস্তিত্ব থাকে)। $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সগুলোর ক্ষেত্রে অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২ এর সাহায্যে উত্তর যাচাই করো।

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1/2\\3&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&2&4\\-1&1&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}0&1&5\\0&-2&4\\2&3&-2\end{pmatrix}}$
6. ${\begin{pmatrix}2&2&3\\1&-2&-3\\4&-2&-3\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. রিডাকশন বা রূপান্তর প্রক্রিয়াটি সাধারণ নিয়মানুসারেই হবে।

   $\left({\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\0&2&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{(1/2)\rho _{2}}]{(1/3)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&1/3&1/3&0\\0&1&0&1/2\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&1/3&-1/6\\0&1&0&1/2\end{array}}\right)$

   এই উত্তরটি যাচাইকৃত উত্তরের সাথে মিলে যায়।

   ${\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{3\cdot 2-0\cdot 1}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}={\frac {1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}$

2. এই রূপান্তরটি সহজ। $\left({\begin{array}{cc|cc}2&1/2&1&0\\3&1&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}2&1/2&1&0\\0&1/4&-3/2&1\end{array}}\right)$

   $\;{\xrightarrow[{4\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&1/4&1/2&0\\0&1&-6&4\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/4)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&2&-1\\0&1&-6&4\end{array}}\right)$

   যাচাই করার পর দেখা যায় এটি সঠিক।

   ${\frac {1}{2\cdot 1-3\cdot (1/2)}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1/2\\-3&2\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1&-1/2\\-3&2\end{pmatrix}}$

3. গাউস-জর্ডান রিডাকশন চেষ্টা করলে দেখা যায়:

   $\left({\begin{array}{cc|cc}2&-4&1&0\\-1&2&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}2&-4&1&0\\0&0&1/2&1\end{array}}\right)$

   এখানে বাম দিকটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা সম্ভব নয়, তাই এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই। $ad-bc=2\cdot 2-(-4)\cdot (-1)=0$ দ্বারা যাচাই করলেও একই ফলাফল পাওয়া যায়।
4. এটি একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স তৈরি করে।

   $\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\-1&1&0&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\0&0&-1&1&-1&1\end{array}}\right)$

   ${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{-\rho _{3}}]{(1/2)\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&1&2&0&1/2&0\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-3\rho _{3}+\rho _{1}}]{-2\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&4&-3&3\\0&1&0&2&-3/2&2\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&-3/2&1\\0&1&0&2&-3/2&2\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\end{aligned}}$

5. রিডাকশন করার একটি উপায় নিচে দেওয়া হলো।

   $\left({\begin{array}{ccc|ccc}0&1&5&1&0&0\\0&-2&4&0&1&0\\2&3&-2&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&3&-2&0&0&1\\0&-2&4&0&1&0\\0&1&5&1&0&0\end{array}}\right)$

   ${\begin{aligned}&\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&3&-2&0&0&1\\0&-2&4&0&1&0\\0&0&7&1&1/2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -(1/2)\rho _{2}\\[-5pt]\scriptstyle (1/7)\rho _{3}\end{array}}]{(1/2)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&-1&0&0&1/2\\0&1&-2&0&-1/2&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right)\\&\;{\xrightarrow[{\rho _{3}+\rho _{1}}]{2\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&0&1/7&1/14&1/2\\0&1&0&2/7&-5/14&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2/7&17/28&1/2\\0&1&0&2/7&-5/14&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right)\end{aligned}}$

6. এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।

   ${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\1&-2&-3&0&1&0\\4&-2&-3&0&0&1\end{array}}\right)&\;{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\0&-3&-9/2&-1/2&1&0\\0&-6&-9&-2&0&1\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\0&-3&-9/2&-1/2&1&0\\0&0&0&-1&-2&1\end{array}}\right)\end{array}}$

   যাচাই করার জন্য লক্ষ্য করুন যে, আদি ম্যাট্রিক্সের তৃতীয় কলামটি দ্বিতীয় কলামের $3/2$ গুণ, তাই এটি একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স এবং এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।

সমস্যা ৫

নিচের ম্যাট্রিক্সটি কোন ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স?

${\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}$

উত্তর

আমরা এক্ষেত্রে অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২ ব্যবহার করতে পারি।

${\frac {1}{1\cdot 5-2\cdot 3}}\cdot {\begin{pmatrix}5&-3\\-2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৬

ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণন এবং যোগের সাথে বিপরীত প্রক্রিয়ার সম্পর্ক কেমন?

1. $rH$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কী?
2. $(H+G)^{-1}=H^{-1}+G^{-1}$—এটি কি সঠিক?

উত্তর

1. বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি যে $r^{-1}H^{-1}=(1/r)\cdot H^{-1}$ হবে (অবশ্যই যদি ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য হয়), তার প্রমাণ অত্যন্ত সহজ।
2. না। প্রথমত, $H+G$ এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকার অর্থ এই নয় যে, $H$ অথবা $G$ এরও বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকতে হবে। নিচের ম্যাট্রিক্স দুটির কোনোটিই বিপরীতযোগ্য নয়, কিন্তু তাদের যোগফল বিপরীতযোগ্য:

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$

   দ্বিতীয়ত, $H$ এবং $G$ প্রত্যেকের বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকার মানে এই নয় যে $H+G$ এরও বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকবে; এখানে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো:

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

   তৃতীয়ত, যদি দুটি ম্যাট্রিক্সেরই বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকে এবং তাদের যোগফলেরও বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকে, তবুও সমীকরণটি সঠিক হওয়ার কোনো নিশ্চয়তা নেই:

   ${\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/3&0\\0&1/3\end{pmatrix}}$

   কিন্তু

   ${\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/5&0\\0&1/5\end{pmatrix}}$

   এবং এখানে দেখা যাচ্ছে যে, $1/2+1/3$ এর মান $1/5$ এর সমান নয়।

সমস্যা ৭

$(T^{k})^{-1}=(T^{-1})^{k}$ — এটি কি সঠিক?

উত্তর

হ্যাঁ: $T^{k}(T^{-1})^{k}=(TT\cdots T)\cdot (T^{-1}T^{-1}\cdots T^{-1})=T^{k-1}(TT^{-1})(T^{-1})^{k-1}=\dots =I$।

সমস্যা ৮

$H^{-1}$ কি বিপরীতযোগ্য?

উত্তর

হ্যাঁ, $H^{-1}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো $H$।

সমস্যা ৯

ধরি, প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা $\theta$ এর জন্য $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ম্যাপিংটি আদর্শ বেসিসের সাপেক্ষে এই ম্যাট্রিক্সটি দ্বারা উপস্থাপিত হয়:

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

দেখাও যে, $t_{\theta _{1}+\theta _{2}}=t_{\theta _{1}}\cdot t_{\theta _{2}}$। আরও দেখাও যে, ${t_{\theta }}^{-1}=t_{-\theta }$।

উত্তর

প্রথমটি প্রমাণের একটি উপায় হলো ত্রিকোণমিতির কোণের সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করা।

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}&-\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\\\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\\\sin \theta _{1}&\cos \theta _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta _{2}&-\sin \theta _{2}\\\sin \theta _{2}&\cos \theta _{2}\end{pmatrix}}\end{array}}$

একইভাবে দ্বিতীয় সমীকরণটিও পরীক্ষা করা যায়।

অবশ্যই, এই সমীকরণগুলো কেবল গাণিতিকভাবে পরীক্ষা করাই নয়, বরং এভাবেও বোঝা যায় যে— $t_{\theta }$ হলো এমন একটি চিত্রণ যা ভেক্টরগুলোকে মূলবিন্দুর সাপেক্ষে $\theta$ রেডিয়ান কোণে আবর্তন করে।

সমস্যা ১০

অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২-এর প্রমাণের গণনাগুলো সম্পন্ন করো।

উত্তর

এখানে দুটি ক্ষেত্র রয়েছে। প্রথম ক্ষেত্রে আমরা ধরে নিই যে, $a$ এর মান শূন্য নয়। সেক্ষেত্রে:

${\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{cc|cc}a&b&1&0\\0&-(bc/a)+d&-c/a&1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc|cc}a&b&1&0\\0&(ad-bc)/a&-c/a&1\end{array}}\right)$

এটি দেখায় যে, ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য (এই $a\neq 0$ ক্ষেত্রে) হবে যদি এবং কেবল যদি $ad-bc\neq 0$ হয়। বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি বের করতে, আমরা রূপান্তরের জর্ডান অংশটি সম্পন্ন করি।

${\xrightarrow[{(a/ad-bc)\rho _{2}}]{(1/a)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{cc|cc}1&b/a&1/a&0\\0&1&-c/(ad-bc)&a/(ad-bc)\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(b/a)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&d/(ad-bc)&-b/(ad-bc)\\0&1&-c/(ad-bc)&a/(ad-bc)\end{array}}\right)$

অন্য ক্ষেত্রটি হলো যখন $a=0$। আমরা সারি অদলবদল করে $c$-কে $1,1$ অবস্থানে নিয়ে আসি।

${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}c&d&0&1\\0&b&1&0\end{array}}\right)$

এই ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি $b$ এবং $c$ উভয়ই শূন্য না হয় (যা $a=0$ শর্তাধীনে তখনই সম্ভব যদি এবং কেবল যদি $ad-bc\neq 0$ হয়)। বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি বের করতে আমরা জর্ডান অংশটি করি।

${\xrightarrow[{(1/b)\rho _{2}}]{(1/c)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&d/c&0&1/c\\0&1&1/b&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(d/c)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&-d/bc&1/c\\0&1&1/b&0\end{array}}\right)$

(লক্ষ্য করুন যে এটিই কাঙ্ক্ষিত ফলাফল, যেহেতু $a=0$ হলে $ad-bc=-bc$ হয়)।

সমস্যা ১১

দেখাও যে নিচের এই ম্যাট্রিক্সটির—

$H={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$

অসংখ্য 'ডান বিপরীত' বিদ্যমান। আরও দেখাও যে এটির কোনো 'বাম বিপরীত' নেই।

উত্তর

যেহেতু $H$ একটি $2\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্স, তাই এমন একটি ম্যাট্রিক্স $G$ খোঁজার জন্য (যাতে $HG$ গুণফলটি একটি $2\!\times \!2$ আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হিসেবে কাজ করে) আমাদের $G$-কে একটি $3\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্স হতে হবে। সমীকরণটি সাজালে পাই:

${\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m&n\\p&q\\r&s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

এবং এর ফলে প্রাপ্ত রৈখিক সমীকরণ জোটটি সমাধান করলে:

${\begin{array}{*{6}{rc}r}m&&&&+r&&=&1\\&n&&&&+s&=&0\\&&p&&&&=&0\\&&&q&&&=&1\end{array}}$

এটি আমাদের অসংখ্য সমাধান প্রদান করে।

$\{{\begin{pmatrix}m\\n\\p\\q\\r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$

অতএব, $H$-এর অসংখ্য ডান বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে।

বাম বিপরীতের ক্ষেত্রে, সমীকরণটি হবে:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

এটি থেকে একটি রৈখিক সমীকরণ জোট পাওয়া যায় যেখানে নয়টি সমীকরণ এবং ছয়টি অজানা রাশি থাকে।

${\begin{array}{*{6}{rc}r}a&&&&&&&&&&&=&1\\&&b&&&&&&&&&=&0\\a&&&&&&&&&&&=&0\\&&&&c&&&&&&&=&0\\&&&&&&d&&&&&=&1\\&&&&c&&&&&&&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&0\\&&&&&&&&&&f&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&1\end{array}}$

এই সমীকরণ জোটটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ বা ইনকনসিস্টেন্ট (প্রথম সমীকরণটি তৃতীয়টির সাথে এবং সপ্তমটি নবমটির সাথে সাংঘর্ষিক) এবং তাই এর কোনো বাম বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।

সমস্যা ১২

উদাহরণ ৪.১-এ, $\eta$-এর কয়টি বাম বিপরীত আছে?

উত্তর

আদর্শ বেসিসের সাপেক্ষে আমরা পাই:

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{3}}(\eta )={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

এবং ম্যাট্রিক্স বিপরীত নির্ণয়ের জন্য সমীকরণটি সাজালে পাই:

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$

যা একটি রৈখিক সমীকরণ জোট তৈরি করে।

${\begin{array}{*{6}{rc}r}a&&&&&&&&&&&=&1\\&&b&&&&&&&&&=&0\\&&&&&&d&&&&&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&1\end{array}}$

এই সিস্টেমে $a,\ldots ,f$ চলকগুলোর অসংখ্য সমাধান রয়েছে কারণ এর মধ্যে দুটি চলকের ওপর কোনো সীমাবদ্ধতা নেই:

$\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+c\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+f\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,f\in \mathbb {R} \}$

এবং তাই ম্যাট্রিক্স সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান রয়েছে।

$\{{\begin{pmatrix}1&0&c\\0&1&f\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,f\in \mathbb {R} \}$

বেসিস ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ অপরিবর্তিত রেখে, উদাহরণস্বরূপ $c=2$ এবং $f=3$ ধরলে আমরা এই ম্যাপটিকে উপস্থাপনকারী একটি ম্যাট্রিক্স পাই।

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\;{\stackrel {f_{2,3}}{\longmapsto }}\;{\begin{pmatrix}x+2z\\y+3z\end{pmatrix}}$

$f_{2,3}\circ \eta$ যে $\mathbb {R} ^{2}$-এর ওপর একটি অভেদ বা আইডেন্টিটি ম্যাপ, তা সহজেই যাচাই করা যায়।

সমস্যা ১৩

যদি একটি ম্যাট্রিক্সের অসংখ্য ডান-বিপরীত থাকে, তবে কি তার অসংখ্য বাম-বিপরীত থাকতে পারে? অসংখ্য কি থাকতেই হবে?

উত্তর

লেমা ৪.৩ অনুযায়ী, এর অসংখ্য বাম-বিপরীত থাকতে পারবে না। কারণ একটি ম্যাট্রিক্সের যদি বাম এবং ডান উভয় বিপরীত বিদ্যমান থাকে, তবে প্রত্যেকটির কেবল একটি করেই অস্তিত্ব থাকে (এবং সেই একক বিপরীতটি উভয় ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য—অর্থাৎ বাম এবং ডান বিপরীত ম্যাট্রিক্স দুটি সমান হয়)।

সমস্যা ১৪

ধরি $H$ একটি বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স এবং $HG$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। দেখাও যে $G$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।

উত্তর

ম্যাট্রিক্স গুণনের অ্যাসোসিয়েটিভিটি বৈশিষ্ট্য থেকে আমরা পাই: একদিকে, $H^{-1}(HG)=H^{-1}Z=Z$ (যেখানে Z শূন্য ম্যাট্রিক্স), এবং অন্যদিকে, $H^{-1}(HG)=(H^{-1}H)G=IG=G$।

সমস্যা ১৫

প্রমাণ করো যে, যদি $H$ বিপরীতযোগ্য হয়, তবে এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি অন্য একটি ম্যাট্রিক্সের সাথে বিনিময়যোগ্য বা কমিউট করবে, অর্থাৎ $GH^{-1}=H^{-1}G$ হবে, যদি এবং কেবল যদি $H$ নিজে ওই ম্যাট্রিক্সের সাথে বিনিময়যোগ্য হয় অর্থাৎ $GH=HG$ হয়।

উত্তর

প্রথম সমীকরণটির উভয় পক্ষকে $H$ দ্বারা গুণ করলেই এটি প্রমাণিত হয়।

সমস্যা ১৬

দেখাও যে, যদি $T$ একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয় এবং $T^{4}$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $(I-T)^{-1}=I+T+T^{2}+T^{3}$ হবে। এটিকে সাধারণীকরণ করো।

উত্তর

যদি $I-T$-কে ওই রাশিটি দ্বারা উভয় পাশে গুণ করা হয় (যেখানে $T^{4}$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স), তবে ফলাফল হিসেবে অভেদ বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় যা সহজেই যাচাইযোগ্য। এর স্বাভাবিক সাধারণীকরণ হলো—যদি $T^{n}$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $(I-T)^{-1}=I+T+T^{2}+\cdots +T^{n-1}$; এক্ষেত্রেও যাচাইকরণ প্রক্রিয়াটি সহজ।

সমস্যা ১৭

ধরি $D$ একটি ডায়াগনাল বা কর্ণ ম্যাট্রিক্স। $D^{2}$, $D^{3}$, ... ইত্যাদির বর্ণনা দাও। $D^{-1}$, $D^{-2}$, ... ইত্যাদির বর্ণনা দাও। $D^{0}$-কে যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত করো।

উত্তর

ম্যাট্রিক্সের ঘাত বা পাওয়ারগুলো এর ডায়াগনাল এন্ট্রি বা ভুক্তিগুলোর ঘাত নেওয়ার মাধ্যমে গঠিত হয়। অর্থাৎ, $D^{2}$-এর ক্ষেত্রে ডায়াগনাল এন্ট্রি ${d_{1,1}}^{2}$, ${d_{2,2}}^{2}$, ইত্যাদি ব্যতীত বাকি সব ভুক্তি শূন্য হবে। এটি $D^{0}$-কে অভেদ বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত করার পরামর্শ দেয়।

সমস্যা ১৮

প্রমাণ করো যে, কোনো বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি-সমতুল্য যেকোনো ম্যাট্রিক্সও বিপরীতযোগ্য।

উত্তর

ধরি, $B$ ম্যাট্রিক্সটি $A$-এর সারি-সমতুল্য এবং $A$ বিপরীতযোগ্য। যেহেতু তারা সারি-সমতুল্য, তাই একটিকে অন্যটিতে রূপান্তরিত করার জন্য কতগুলো সারি-অপারেশন বা ধাপের ক্রম বিদ্যমান। এই রূপান্তরটি ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে করা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, সারি-অপারেশনের মাধ্যমে $A$-কে $B$-তে পরিবর্তন করাকে $B=R_{n}\cdots R_{1}A$ হিসেবে লেখা যায়। এই সমীকরণটি $B$-কে কতগুলো বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করে এবং লেমা ৪.৫ অনুযায়ী, $B$ নিজেও বিপরীতযোগ্য।

সমস্যা ১৯

নিচের প্রথম প্রশ্নটি ম্যাট্রিক্স গুণন উপবিভাগের সমস্যা ১৫ হিসেবে ছিল।

1. দেখাও যে, দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের র‍্যাঙ্ক ম্যাট্রিক্স দুটির প্রত্যেকের পৃথক র‍্যাঙ্কের ন্যূনতম মানের চেয়ে কম বা সমান।
2. দেখাও যে, যদি $T$ এবং $S$ বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $TS=I$ হবে যদি এবং কেবল যদি $ST=I$ হয়।

উত্তর

1. ম্যাট্রিক্স গুণন উপবিভাগের সমস্যা ১৫-এর উত্তরটি দেখুন।
2. আমরা দেখাব যে, উভয় শর্তই ম্যাট্রিক্স দুটি নন-সিঙ্গুলার হওয়ার শর্তের সমতুল্য। যেহেতু $T$ এবং $S$ বর্গাকার এবং তাদের গুণফল সংজ্ঞায়িত, তাই তারা সমআকারের, ধরা যাক $n\!\times \!n$। প্রথমে $TS=I$ অংশটি বিবেচনা করি। পূর্ববর্তী আইটেম অনুযায়ী, $I$-এর র‍্যাঙ্ক $T$ এবং $S$-এর র‍্যাঙ্কের ন্যূনতম মানের চেয়ে কম বা সমান। কিন্তু $I$-এর র‍্যাঙ্ক হলো $n$, তাই $T$ এবং $S$ প্রত্যেকের র‍্যাঙ্ক অবশ্যই $n$ হতে হবে। সুতরাং তারা প্রত্যেকেই নন-সিঙ্গুলার। একই যুক্তি দেখায় যে, $ST=I$ হওয়ার অর্থও হলো ম্যাট্রিক্স দুটি প্রত্যেকে নন-সিঙ্গুলার।

সমস্যা ২০

দেখাও যে, একটি পারমুটেশন ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো এর ট্রান্সপোজ।

উত্তর

যেহেতু বিপরীত ম্যাট্রিক্স অনন্য, তাই এটি যে কার্যকর তা দেখানোই যথেষ্ট। এই যাচাইকরণটি উপরে ম্যাট্রিক্স গুণন প্রক্রিয়ার উপবিভাগের সমস্যা ৯ হিসেবে দেওয়া হয়েছে।

সমস্যা ২১

এই প্রশ্নের প্রথম দুটি অংশ ম্যাট্রিক্স গুণন উপবিভাগের সমস্যা ১২ হিসেবে ছিল।

1. দেখাও যে, ${{(GH)}^{\rm {trans}}}={{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$।
2. একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সকে প্রতিসম বলা হয় যদি এর প্রতিটি $i,j$ ভুক্তি এর $j,i$ ভুক্তির সমান হয় (অর্থাৎ, যদি ম্যাট্রিক্সটি তার ট্রান্সপোজের সমান হয়)। দেখাও যে, $H{{H}^{\rm {trans}}}$ এবং ${{H}^{\rm {trans}}}H$ ম্যাট্রিক্স দুটি প্রতিসম।
3. দেখাও যে, ট্রান্সপোজের বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ।
4. দেখাও যে, একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সও প্রতিসম হয়।

উত্তর

1. ম্যাট্রিক্স গুণন উপবিভাগের সমস্যা ১২-এর উত্তরটি দেখুন।
2. ম্যাট্রিক্স গুণন উপবিভাগের সমস্যা ১২-এর উত্তরটি দেখুন।
3. প্রথম অংশটি $I=AA^{-1}$-এর ওপর প্রয়োগ করলে আমরা পাই: $I={{I}^{\rm {trans}}}={{(AA^{-1})}^{\rm {trans}}}={{(A^{-1})}^{\rm {trans}}}{{A}^{\rm {trans}}}$।
4. পূর্ববর্তী আইটেমটি ${{A}^{\rm {trans}}}=A$ ধরে প্রয়োগ করুন, কারণ $A$ এখানে প্রতিসম।

সমস্যা ২২

এই প্রশ্নের শুরুর অংশগুলো ম্যাট্রিক্স গুণন উপবিভাগের সমস্যা ১৭ হিসেবে ছিল।

1. প্রমাণ করো যে, প্রজেকশন $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$-এর কম্পোজিশন একটি শূন্য ম্যাপ, যদিও এদের কোনটিই শূন্য ম্যাপ নয়।
2. প্রমাণ করো যে, ডেরিভেটিভ $d^{2}/dx^{2},\,d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$-এর কম্পোজিশন একটি শূন্য ম্যাপ, যদিও এদের কোনটিই শূন্য ম্যাপ নয়।
3. উপরের দুটি আইটেমকে উপস্থাপনকারী ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলো প্রদান করো।

যখন দুটি জিনিসের গুণফল শূন্য হয় অথচ তাদের কোনটিই শূন্য নয়, তখন তাদের প্রত্যেককে শূন্য ভাজক বলা হয়। প্রমাণ করো যে, কোনো শূন্য ভাজকই বিপরীতযোগ্য নয়।

উত্তর

প্রথম অর্ধাংশের আইটেমগুলোর উত্তরের জন্য ম্যাট্রিক্স গুণন উপবিভাগের সমস্যা ১৭ দেখুন। দ্বিতীয় অর্ধাংশের প্রমাণের জন্য ধরুন $A$ একটি শূন্য ভাজক, সুতরাং একটি অশূন্য ম্যাট্রিক্স $B$ বিদ্যমান যাতে $AB=Z$ (অথবা $BA=Z$; এই ক্ষেত্রটিও অনুরূপ)। যদি $A$ বিপরীতযোগ্য হয়, তবে $A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=IB=B$; কিন্তু আবার $A^{-1}(AB)=A^{-1}Z=Z$, যা $B$-এর অশূন্য হওয়ার তথ্যের সাথে সাংঘর্ষিক।

সমস্যা ২৩

বাস্তব সংখ্যার বীজগণিতে ঠিক দুটি সংখ্যা রয়েছে, $1$ এবং $-1$, যারা নিজেরাই নিজেদের গুণাত্মক বিপরীত। $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে কি $H^{2}=I$ সমীকরণটির ঠিক দুটি সমাধান রয়েছে?

উত্তর

না, অন্তত চারটি সমাধান রয়েছে:

${\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২৪

"উভয়মুখী বিপরীত" সম্পর্কটি কি ট্রানজিটিভ বা সংক্রামক? রিফ্লেক্সিভ বা স্বসম? সিমেট্রিক বা প্রতিসম?

উত্তর

এটি রিফ্লেক্সিভ নয় কারণ, উদাহরণস্বরূপ:

$H={\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}$

ম্যাট্রিক্সটি নিজেই নিজের উভয়মুখী বিপরীত নয়। একই উদাহরণটি দেখায় যে এটি ট্রানজিটিভও নয়। উক্ত ম্যাট্রিক্সটির উভয়মুখী বিপরীত হলো:

$G={\begin{pmatrix}1&0\\0&1/2\end{pmatrix}}$

এবং যদিও $H$ হলো $G$-এর উভয়মুখী বিপরীত এবং $G$ হলো $H$-এর উভয়মুখী বিপরীত, আমরা জানি যে $H$ নিজেই নিজের উভয়মুখী বিপরীত নয়। তবে, সম্পর্কটি সিমেট্রিক বা প্রতিসম: যদি $G$ ম্যাট্রিক্সটি $H$-এর উভয়মুখী বিপরীত হয়, তবে $GH=I=HG$ এবং ফলস্বরূপ $H$-ও $G$-এর একটি উভয়মুখী বিপরীত।

সমস্যা ২৫

প্রমাণ করো: যদি একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারির উপাদানগুলোর সমষ্টি $k$ হয়, তবে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারির উপাদানগুলোর সমষ্টি হবে $1/k$।

উত্তর

উল্লিখিত উৎসটিতে উত্তরটি যেভাবে দেওয়া হয়েছিল তা নিচে দেওয়া হলো।

ধরি $A$ একটি $m\!\times \!m$ আকারের নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স এবং এতে বর্ণিত বৈশিষ্ট্যটি বিদ্যমান। ধরি $B$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স। তাহলে $n\leq m$ এর জন্য:

$1=\sum _{r=1}^{m}\delta _{nr}=\sum _{r=1}^{m}\sum _{s=1}^{m}b_{ns}a_{sr}=\sum _{s=1}^{m}\sum _{r=1}^{m}b_{ns}a_{sr}=k\sum _{s=1}^{m}b_{ns}$

(যদি $k=0$ হয় তবে $A$ একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স)।

তথ্যসূত্র

উইলাঙ্কি, অ্যালবার্ট (১৯৫১), "দ্যা রো-সাম অফ দ্যা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স", আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি, আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল সোসাইটি, ৫৮ (৯): ৬১৪ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) ।