রৈখিক বীজগণিত/বিপরীত

এখন আমরা আলোচনা করব কীভাবে একটি রৈখিক প্রতিচিত্রের(বা লিনিয়ার ম্যাপ) বিপরীত প্রতিচিত্রকে (বা ইনভার্স) প্রকাশ করা যায়।

শুরুতে আমরা ফাংশনের বিপরীত সম্পর্কে কিছু পরিচিত বিষয় স্মরণ করি। কিছু ফাংশনের কোনো বিপরীত থাকে না, আবার কিছু ফাংশনের কেবল বামদিকের বা ডানদিকের বিপরীত থাকতে পারে।

উদাহরণ ৪.১

ধরা যাক, $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ হলো একটি অভিক্ষেপ প্রতিচিত্র

${\begin{pmatrix}x\ y\ z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\ y\end{pmatrix}}$

এবং $\eta :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ হলো একটি অন্তর্ভুক্তিমূলক প্রতিচিত্র

${\begin{pmatrix}x\ y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\ y\ 0\end{pmatrix}}$

তাহলে $\pi \circ \eta$ যৌগিক প্রতিচিত্রটি $\mathbb {R} ^{2}$-এর উপর একক প্রতিচিত্র হয়।

${\begin{pmatrix}x\ y\end{pmatrix}}{\stackrel {\eta }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\ y\ 0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\ y\end{pmatrix}}$

আমরা বলি, $\pi$ হলো $\eta$-এর একটি বাম বিপরীত প্রতিচিত্র। একইভাবে, $\eta$ হলো $\pi$-এর একটি ডান বিপরীত প্রতিচিত্র।

কিন্তু বিপরীত ক্রমে $\eta \circ \pi$ নিলে একক প্রতিচিত্র পাওয়া যায় না। উদাহরণস্বরূপ,

${\begin{pmatrix}0\ 0\ 1\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\ 0\end{pmatrix}}{\stackrel {\eta }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\ 0\ 0\end{pmatrix}}$

অর্থাৎ ভেক্টরটি নিজেই ফিরে আসে না। প্রকৃতপক্ষে, অভিক্ষেপ প্রতিচিত্র $\pi$-এর কোনো বাম বিপরীত প্রতিচিত্র নেই। কারণ যদি $f$ তার বাম বিপরীত হতো, তাহলে একই $(x,y)$ এর জন্য অসংখ্য $z$ মানকে ভিন্ন ভিন্ন ভেক্টরে পাঠাতে হতো, যা কোনো ফাংশনের পক্ষে সম্ভব নয়।

($\mathbb {R} ^{2}$-এর শূন্য প্রতিচিত্র এমন একটি উদাহরণ, যার কোনো দিক থেকেই বিপরীত নেই।)

কিছু ফাংশনের আবার দ্বিপার্শ্বীয় বিপরীত প্রতিচিত্র থাকে—অর্থাৎ এমন একটি প্রতিচিত্র, যা বাম ও ডান উভয় দিক থেকেই বিপরীত হিসেবে কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ,

${\vec {v}}\mapsto 2{\vec {v}}$

প্রতিচিত্রটির দ্বিপার্শ্বীয় বিপরীত হলো

${\vec {v}}\mapsto {\frac {1}{2}}{\vec {v}}$।

এই উপ-অনুচ্ছেদে আমরা মূলত দ্বিপার্শ্বীয় বিপরীত নিয়েই আলোচনা করব। পরিশিষ্টে দেখানো হয়েছে যে, একটি ফাংশনের দ্বিপার্শ্বীয় বিপরীত তখনই থাকে, যখন সেটি একই সঙ্গে এক-এক এবং উপরিত হয়।

এছাড়াও সেখানে দেখানো হয়েছে যে, যদি কোনো ফাংশনের দ্বিপার্শ্বীয় বিপরীত থাকে তবে সেটি একটিই হয়। তাই একে “বিপরীত প্রতিচিত্র” বলা হয় এবং $f^{-1}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

অতএব, যদি কোনো রৈখিক প্রতিচিত্র $h$-এর বিপরীত থাকে, তবে আমাদের উদ্দেশ্য হলো

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$

এবং

${\rm {Rep}}_{D,B}(h^{-1})$

—এর মধ্যকার সম্পর্ক নির্ণয় করা।

সংজ্ঞা ৪.২

একটি ম্যাট্রিক্স $G$ কে ম্যাট্রিক্স $H$-এর বাম বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি

$GH$

একক ম্যাট্রিক্স হয়।

একইভাবে, যদি

$HG$

একক ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $G$ কে $H$-এর ডান বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

যে ম্যাট্রিক্সের একটি দ্বিপার্শ্বীয় বিপরীত রয়েছে তাকে উল্টানোযোগ্য ম্যাট্রিক্স বলা হয়। সেই বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে $H^{-1}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

রৈখিক প্রতিচিত্র ও ম্যাট্রিক্সের মধ্যকার সম্পর্কের কারণে, প্রতিচিত্রের বিপরীত সম্পর্কে যেসব বক্তব্য সত্য, ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও সেগুলো সত্য।

সহায়ক উপপাদ্য ৪.৩

যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের একটি বাম বিপরীত এবং একটি ডান বিপরীত থাকে, তবে এ দুটি সমান হবে।

উপপাদ্য ৪.৪

একটি ম্যাট্রিক্স তখনই উল্টানোযোগ্য হবে যখন সেটি অসিঙ্গুলার হবে।

সহায়ক উপপাদ্য ৪.৫

দুটি উল্টানোযোগ্য ম্যাট্রিক্সের গুণফলও উল্টানোযোগ্য। যদি $G$ এবং $H$ উল্টানোযোগ্য হয়, তবে $GH$ উল্টানোযোগ্য এবং

$(GH)^{-1}=H^{-1}G^{-1}$

হবে।

বিপরীত প্রতিচিত্র ও বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সম্পর্ক বোঝাতে একটি তীরচিত্র ব্যবহার করা হয়। এটি ফাংশনের যৌগিকরণ এবং ম্যাট্রিক্স গুণনের সম্পর্কের একটি বিশেষ উদাহরণ।

রৈখিক সমীকরণতন্ত্র সমাধানের ক্ষেত্রেও বিপরীত অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। যেমন নিচের সমীকরণতন্ত্রটি একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের সমতুল্য:

${\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

যদি ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত জানা থাকে, তাহলে সমীকরণতন্ত্রটির সমাধান সহজেই নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ৪.৬

ধরা যাক আমরা নিচের ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত নির্ণয় করতে চাই: ${\begin{pmatrix}m&n\\p&q\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করলে পাই

$m={\frac {1}{3}},\quad n={\frac {1}{3}},\quad p={\frac {2}{3}},\quad q=-{\frac {1}{3}}$

অতএব বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি হলো

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$

এখন এই বিপরীত ব্যবহার করে মূল সমীকরণতন্ত্রটির সমাধান করা যায়:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {5}{3}}\\{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$

অতএব,

$x={\frac {5}{3}}$ এবং $y={\frac {4}{3}}$।

মন্তব্য ৪.৭

যখন গাউসীয় পদ্ধতিতে কম গাণিতিক ধাপ লাগে, তখন এভাবে সমীকরণতন্ত্র সমাধান করার প্রয়োজন কী? (কম্পিউটার অ্যালগরিদম নির্মাতারা যেমন করেন, তেমনি গাণিতিক ক্রিয়ার সংখ্যা গুনে এই বিষয়টি নির্দিষ্টভাবে দেখানো যায়।)

বিভিন্ন প্রতিচিত্র ক্রিয়াকে কীভাবে প্রকাশ করা যায়—এই ধারণাগত দিকটি ছাড়াও, বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণতন্ত্র সমাধানের অন্তত দুটি সুবিধা রয়েছে।

প্রথমত, একবার বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা হয়ে গেলে, একই সহগবিশিষ্ট কিন্তু ভিন্ন ধ্রুবকবিশিষ্ট সমীকরণতন্ত্র সমাধান করা সহজ ও দ্রুত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আগের সমীকরণতন্ত্রটির ডান পাশ পরিবর্তন করে আমরা পাই

${\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$

তাহলে এর সমাধান হবে

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/3&1/3\\2/3&-1/3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$

বাস্তব প্রয়োগে একই সহগ ম্যাট্রিক্সবিশিষ্ট বহু সমীকরণতন্ত্র সমাধান করার প্রয়োজন প্রায়ই দেখা যায়।

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের আরেকটি সুবিধা হলো, ধ্রুবকগুলোর সামান্য পরিবর্তনের ফলে সমাধান কতটা পরিবর্তিত হয় তা বিশ্লেষণ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণতন্ত্রটির ডান পাশে থাকা $3$ সংখ্যাটিকে পরিবর্তন করে $3.01$ করা হয়, তবে পাই

${\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3.01\\2\end{pmatrix}}$

এখন বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে পাই

${\begin{pmatrix}1/3&1/3\\2/3&-1/3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3.01\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1/3)(3.01)+(1/3)(2)\\(2/3)(3.01)-(1/3)(2)\end{pmatrix}}$

এখান থেকে দেখা যায়, $x_{1}$ পরিবর্তিত হয় পরিবর্তনের $1/3$ অংশ পরিমাণ এবং $x_{2}$ পরিবর্তিত হয় $2/3$ অংশ পরিমাণ। এই ধরনের বিশ্লেষণ ব্যবহার করা হয় কোনো রৈখিক মডেলে তথ্য কতটা নির্ভুল হওয়া দরকার তা নির্ধারণ করতে, যাতে সমাধান কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতা বজায় রাখে।

শেষে আমরা সেই গণনাপদ্ধতিটি বর্ণনা করব, যা সাধারণত বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

সহায়ক উপপাদ্য ৪.৮

একটি ম্যাট্রিক্স তখনই উল্টানোযোগ্য হবে যখন সেটিকে প্রাথমিক সারি-রিডাকশন ম্যাট্রিক্সগুলোর গুণফল হিসেবে লেখা যায়। বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায় একক ম্যাট্রিক্সের উপর ঠিক একই সারি-ক্রিয়াগুলো, একই ক্রমে প্রয়োগ করে, যেগুলো ব্যবহার করে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সকে গাউস-জর্ডান পদ্ধতিতে একক ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা হয়।

প্রমাণ

একটি ম্যাট্রিক্স $H$ তখনই উল্টানোযোগ্য যখন সেটি অসিঙ্গুলার হয়, অর্থাৎ গাউস-জর্ডান পদ্ধতিতে সেটিকে একক ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা যায়।

করোলারি ৩.২২ অনুসারে, এই রূপান্তর প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে করা যায়:

$R_{r}\cdot R_{r-1}\dots R_{1}\cdot H=I$

এই সমীকরণ থেকেই ফলাফলের উভয় অংশ পাওয়া যায়।

প্রথমত, প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সগুলো উল্টানোযোগ্য এবং তাদের বিপরীতও প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স। সমীকরণটির উভয় পাশে ধারাবাহিকভাবে $R_{r}^{-1}$, $R_{r-1}^{-1}$ ইত্যাদি প্রয়োগ করলে পাই

$H=R_{1}^{-1}\cdots R_{r}^{-1}\cdot I$

দ্বিতীয়ত, বিপরীত ম্যাট্রিক্স একটিই হয়। তাই উপরের সমীকরণকে

$H^{-1}H=I$

এর সাথে তুলনা করলে পাই

$H^{-1}=R_{r}\cdot R_{r-1}\dots R_{1}\cdot I$

অতএব, একক ম্যাট্রিক্সের উপর ধারাবাহিকভাবে একই সারি-ক্রিয়াগুলো প্রয়োগ করলে $H$-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।

উদাহরণ ৪.৯

নিচের ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত নির্ণয়ের জন্য

${\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}$

আমরা গাউস-জর্ডান রিডাকশন ব্যবহার করি এবং একই সঙ্গে একক ম্যাট্রিক্সের উপরও একই সারি-ক্রিয়াগুলো প্রয়োগ করি। সুবিধার জন্য দুটি ম্যাট্রিক্স পাশাপাশি লেখা হয়।

$\left({\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\2&-1&0&1\end{array}}\right)\xrightarrow {-2\rho _{1}+\rho _{2}} \left({\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\0&-3&-2&1\end{array}}\right)$

$\xrightarrow {-{\frac {1}{3}}\rho _{2}} \left({\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\0&1&2/3&-1/3\end{array}}\right)$

$\xrightarrow {-\rho _{2}+\rho _{1}} \left({\begin{array}{cc|cc}1&0&1/3&1/3\\0&1&2/3&-1/3\end{array}}\right)$

এই গণনার মাধ্যমে বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি পাওয়া যায়:

${\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/3&1/3\\2/3&-1/3\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৪.১০

এই উদাহরণটি একটি সারি-বিনিময় দিয়ে শুরু হয়।

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}0&3&-1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\1&-1&0&0&0&1\end{array}}\right)\xrightarrow {\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}} \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\1&-1&0&0&0&1\end{array}}\right)$

$\xrightarrow {-\rho _{1}+\rho _{3}} \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\0&-1&-1&0&-1&1\end{array}}\right)$

$\vdots$

$\xrightarrow {} \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1/4&1/4&3/4\\0&1&0&1/4&1/4&-1/4\\0&0&1&-1/4&3/4&-3/4\end{array}}\right)$

উদাহরণ ৪.১১

যদি কোনো ম্যাট্রিক্স উল্টানোযোগ্য না হয়, তবে তার বাম পাশকে গাউস-জর্ডান রিডাকশন করে একক ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা যাবে না।

$\left({\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\2&2&0&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\0&0&-2&1\end{array}}\right)$

এই পদ্ধতিতে সাধারণ $n\times n$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা যায়। তবে $2\times 2$ ক্ষেত্রে এটি বিশেষভাবে সুবিধাজনক।

অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২

একটি $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত তখনই থাকবে যখন

$ad-bc\neq 0$

এবং সেক্ষেত্রে বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি হবে

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

প্রমাণ

এই প্রমাণটি সমস্যা ১০-এ করা হয়েছে।

ম্যাট্রিক্স গুণনের প্রক্রিয়া উপ-অনুচ্ছেদের মতো এখানেও আমরা দেখলাম যে, রৈখিক প্রতিচিত্র ও ম্যাট্রিক্সের মধ্যকার সম্পর্ককে কার্যকরভাবে ব্যবহার করা যায়। তাই প্রতিচিত্র ও ম্যাট্রিক্স—উভয়কেই একসঙ্গে অধ্যয়ন করা সুবিধাজনক, এবং প্রয়োজনে একটিকে অন্যটিতে রূপান্তর করা যায়।

এই অনুচ্ছেদের চারটি উপ-অনুচ্ছেদ জুড়ে আমরা ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি বীজগাণিতিক ব্যবস্থা গড়ে তুলেছি। একে বাস্তব সংখ্যার পরিচিত বীজগাণিতিক ব্যবস্থার সঙ্গে তুলনা করা যায়। এখানে আমরা সংখ্যা নয়, বরং ম্যাট্রিক্স নিয়ে কাজ করছি।

এখানে ম্যাট্রিক্স যোগ ও বিয়োগের ক্রিয়া রয়েছে, এবং সেগুলো বাস্তব সংখ্যার মতোই কাজ করে—তবে কেবল একই আকারের ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে। এছাড়া ম্যাট্রিক্স গুণন এবং গুণনের বিপরীত ক্রিয়াও রয়েছে। এগুলোর কিছু বৈশিষ্ট্য বাস্তব সংখ্যার মতো (যেমন: সমবায়ধর্ম ও যোগের উপর বণ্টনধর্ম), আবার কিছু পার্থক্যও রয়েছে (যেমন: বিনিময়ধর্ম সবসময় সত্য নয়)।

এছাড়াও স্কেলার গুণন রয়েছে, যা বাস্তব সংখ্যার গুণনের আরেকটি সম্প্রসারণ হিসেবে দেখা যায়। সব মিলিয়ে, এই ম্যাট্রিক্স ব্যবস্থা দেখায় যে প্রাথমিক বীজগাণিতিক ব্যবস্থার বাইরেও আরও অনেক আকর্ষণীয় ও কার্যকর বীজগাণিতিক ব্যবস্থা থাকতে পারে।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

উদাহরণ ৪.১০-এর মধ্যবর্তী ধাপগুলো পূরণ করো।

সমস্যা ২

অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২ ব্যবহার করে নির্ণয় করো নিচের কোন ম্যাট্রিক্সগুলোর বিপরীত রয়েছে।

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&4\\1&-3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&-3\\-4&6\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

পূর্ববর্তী সমস্যার যেসব ম্যাট্রিক্স উল্টানোযোগ্য, তাদের বিপরীত অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২ ব্যবহার করে নির্ণয় করো।

সমস্যা ৪

গাউস-জর্ডান পদ্ধতি ব্যবহার করে বিপরীত নির্ণয় করো, যদি তা বিদ্যমান থাকে। $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সগুলোর উত্তর অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২ ব্যবহার করে যাচাই করো।

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1/2\\3&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&2&4\\-1&1&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}0&1&5\\0&-2&4\\2&3&-2\end{pmatrix}}$
6. ${\begin{pmatrix}2&2&3\\1&-2&-3\\4&-2&-3\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৫

কোন ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নিচের ম্যাট্রিক্সটি?

${\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৬

বিপরীত ক্রিয়াটি স্কেলার গুণন ও ম্যাট্রিক্স যোগের সঙ্গে কীভাবে সম্পর্কিত?

1. $rH$-এর বিপরীত কী?
2. $(H+G)^{-1}=H^{-1}+G^{-1}$ কি সত্য?

সমস্যা ৭

$(T^{k})^{-1}=(T^{-1})^{k}$ কি সত্য?

সমস্যা ৮

$H^{-1}$ কি উল্টানোযোগ্য?

সমস্যা ৯

প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা $\theta$-এর জন্য ধরা যাক

$t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তির সাপেক্ষে নিচের ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশিত হয়:

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

দেখাও যে,

$t_{\theta _{1}+\theta _{2}}=t_{\theta _{1}}\cdot t_{\theta _{2}}$

এবং আরও দেখাও যে,

${t_{\theta }}^{-1}=t_{-\theta }$

সমস্যা ১০

অনুসিদ্ধান্ত ৪.১২-এর প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় গণনাগুলো সম্পন্ন করো।

সমস্যা ১১

দেখাও যে নিচের ম্যাট্রিক্সটির অসীমসংখ্যক ডান বিপরীত রয়েছে।

$H={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$

এছাড়াও দেখাও যে এর কোনো বাম বিপরীত নেই।

সমস্যা ১২

উদাহরণ ৪.১-এ, $\eta$-এর কয়টি বাম বিপরীত রয়েছে?

সমস্যা ১৩

যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের অসীমসংখ্যক ডান বিপরীত থাকে, তবে কি তার অসীমসংখ্যক বাম বিপরীতও থাকতে পারে? অবশ্যই থাকতে হবে কি?

সমস্যা ১৪

ধরা যাক $H$ উল্টানোযোগ্য এবং $HG$ শূন্য ম্যাট্রিক্স। দেখাও যে $G$ অবশ্যই শূন্য ম্যাট্রিক্স।

সমস্যা ১৫

প্রমাণ করো যে যদি $H$ উল্টানোযোগ্য হয়, তবে

$GH^{-1}=H^{-1}G$

তখনই সত্য হবে যখন

$GH=HG$

সত্য হবে।

সমস্যা ১৬

দেখাও যে যদি $T$ একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয় এবং $T^{4}$ শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়, তবে

$(I-T)^{-1}=I+T+T^{2}+T^{3}$

হবে। সাধারণীকরণ করো।

সমস্যা ১৭

ধরা যাক $D$ একটি কর্ণিক ম্যাট্রিক্স।

$D^{2},D^{3},\dots$ বর্ণনা করো।

এছাড়া $D^{-1},D^{-2},\dots$ বর্ণনা করো।

উপযুক্তভাবে $D^{0}$ সংজ্ঞায়িত করো।

সমস্যা ১৮

প্রমাণ করো যে কোনো উল্টানোযোগ্য ম্যাট্রিক্সের সঙ্গে সারি-সমতুল্য যেকোনো ম্যাট্রিক্সও উল্টানোযোগ্য।

সমস্যা ১৯

1. দেখাও যে দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের র‍্যাঙ্ক তাদের প্রত্যেকটির র‍্যাঙ্কের ক্ষুদ্রতরটির সমান বা তার চেয়ে কম।
2. দেখাও যে যদি $T$ এবং $S$ বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয়, তবে

$TS=I$ তখনই হবে যখন $ST=I$ হবে।

সমস্যা ২০

দেখাও যে একটি বিন্যাস ম্যাট্রিক্সের বিপরীত তার ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স।

সমস্যা ২১

1. দেখাও যে

$(GH)^{\rm {trans}}=H^{\rm {trans}}G^{\rm {trans}}$

1. একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সকে প্রতিসম বলা হয় যদি এর $i,j$ উপাদান $j,i$ উপাদানের সমান হয়। দেখাও যে

$HH^{\rm {trans}}$ এবং $H^{\rm {trans}}H$ প্রতিসম।

1. দেখাও যে ট্রান্সপোজের বিপরীত হলো বিপরীতের ট্রান্সপোজ।

1. দেখাও যে প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের বিপরীতও প্রতিসম।

সমস্যা ২২

1. প্রমাণ করো যে

$\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ অভিক্ষেপদ্বয়ের যৌগিকরণ শূন্য প্রতিচিত্র, যদিও কোনোটিই শূন্য প্রতিচিত্র নয়।

1. প্রমাণ করো যে

$d^{2}/dx^{2},d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$ অন্তরকদ্বয়ের যৌগিকরণ শূন্য প্রতিচিত্র, যদিও কোনোটিই শূন্য প্রতিচিত্র নয়।

1. উপরের দুটি বিষয়ের জন্য ম্যাট্রিক্স সমীকরণ লিখো।

যখন দুটি অশূন্য বস্তুর গুণফল শূন্য হয়, তখন প্রত্যেকটিকে শূন্য গুণনীয়ক বলা হয়। প্রমাণ করো যে কোনো শূন্য গুণনীয়ক উল্টানোযোগ্য নয়।

সমস্যা ২৩

বাস্তব সংখ্যার বীজগণিতে কেবল দুটি সংখ্যা, $1$ ও $-1$, নিজেদের গুণনীয় বিপরীত। $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে $H^{2}=I$ সমীকরণেরও কি ঠিক দুটি সমাধান আছে?

সমস্যা ২৪

“দ্বিপার্শ্বীয় বিপরীত” সম্পর্কটি কি ট্রানজিটিভ? রিফ্লেক্সিভ? সিমেট্রিক?

সমস্যা ২৫

প্রমাণ করো: যদি একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারির উপাদানসমষ্টি $k$ হয়, তবে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারির উপাদানসমষ্টি $1/k$ হবে।

তথ্যসূত্র

• উইলানস্কি, আলবার্ট (১৯৫১), "বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সারি-সমষ্টি", আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি, ম্যাথমেটিক্যাল অ্যাসোসিয়েশন অব আমেরিকা, ৫৮ (৯): ৬১৪ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)