রৈখিক বীজগণিত/বিন্যাস বিস্তার/সমাধান

সমাধান

এই বইয়ে ২- এবং ৩- বিন্যাসের জন্য ব্যবহৃত সংকেতগুলো নিচে সংক্ষেপে দেওয়া হলো।

${\begin{array}{c|cc}i&1&2\\\hline \phi _{1}(i)&1&2\\\phi _{2}(i)&2&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}i&1&2&3\\\hline \phi _{1}(i)&1&2&3\\\phi _{2}(i)&1&3&2\\\phi _{3}(i)&2&1&3\\\phi _{4}(i)&2&3&1\\\phi _{5}(i)&3&1&2\\\phi _{6}(i)&3&2&1\end{array}}$

সমস্যা ১

বিন্যাস সম্প্রসারণ ব্যবহার করে নির্ণায়কটি হিসাব করুন।

1. ${\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}$
2. ${\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-1&0\\-2&0&5\end{vmatrix}}$

উত্তর

1. এই ম্যাট্রিক্সটি সিঙ্গুলার।

   ${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&(1)(5)(9)\left|P_{\phi _{1}}\right|+(1)(6)(8)\left|P_{\phi _{2}}\right|+(2)(4)(9)\left|P_{\phi _{3}}\right|\\&\quad +(2)(6)(7)\left|P_{\phi _{4}}\right|+(3)(4)(8)\left|P_{\phi _{5}}\right|+(7)(5)(3)\left|P_{\phi _{6}}\right|\end{aligned}}\\&=0\end{array}}$

2. এই ম্যাট্রিক্সটি ননসিঙ্গুলার।

   ${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-1&0\\-2&0&5\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&(2)(-1)(5)\left|P_{\phi _{1}}\right|+(2)(0)(0)\left|P_{\phi _{2}}\right|+(2)(3)(5)\left|P_{\phi _{3}}\right|\\&\quad +(2)(0)(-2)\left|P_{\phi _{4}}\right|+(1)(3)(0)\left|P_{\phi _{5}}\right|+(-2)(-1)(1)\left|P_{\phi _{6}}\right|\end{aligned}}\\&=-42\end{array}}$

সমস্যা ২

গাউসের পদ্ধতি এবং বিন্যাস সম্প্রসারণ সূত্র—উভয়টি ব্যবহার করে এগুলো হিসাব করুন।

1. ${\begin{vmatrix}2&1\\3&1\end{vmatrix}}$
2. ${\begin{vmatrix}0&1&4\\0&2&3\\1&5&1\end{vmatrix}}$

উত্তর

1. গাউসের পদ্ধতি নিচের ফলাফল প্রদান করে:

   ${\begin{vmatrix}2&1\\3&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&1\\0&-1/2\end{vmatrix}}=-1$

   এবং বিন্যাস সম্প্রসারণ নিচের ফলাফল প্রদান করে:

   ${\begin{vmatrix}2&1\\3&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0\\0&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1\\3&0\end{vmatrix}}=(2)(1){\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+(1)(3){\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}=-1$

2. গাউসের পদ্ধতি নিচের ফলাফল প্রদান করে:

   ${\begin{vmatrix}0&1&4\\0&2&3\\1&5&1\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}1&5&1\\0&2&3\\0&1&4\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}1&5&1\\0&2&3\\0&0&5/2\end{vmatrix}}=-5$

   এবং বিন্যাস সম্প্রসারণ নিচের ফলাফল প্রদান করে:

   ${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}0&1&4\\0&2&3\\1&5&1\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&(0)(2)(1)\left|P_{\phi _{1}}\right|+(0)(3)(5)\left|P_{\phi _{2}}\right|+(1)(0)(1)\left|P_{\phi _{3}}\right|\\&\quad +(1)(3)(1)\left|P_{\phi _{4}}\right|+(4)(0)(5)\left|P_{\phi _{5}}\right|+(1)(2)(0)\left|P_{\phi _{6}}\right|\end{aligned}}\\&=-5\end{array}}$

সমস্যা ৩

বিন্যাস সম্প্রসারণ সূত্রটি ব্যবহার করে $3\!\times \!3$ নির্ণায়কের সূত্র প্রতিপাদন করুন।

উত্তর

উদাহরণ ৩.৬ অনুসরণ করলে এটি পাওয়া যায়।

${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&t_{1,3}\\t_{2,1}&t_{2,2}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,2}&t_{3,3}\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}\left|P_{\phi _{1}}\right|+t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}\left|P_{\phi _{2}}\right|\\&\quad +t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}\left|P_{\phi _{3}}\right|+t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}\left|P_{\phi _{4}}\right|\\&\quad +t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}\left|P_{\phi _{5}}\right|+t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}\left|P_{\phi _{6}}\right|\end{aligned}}\\&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}(+1)+t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}(-1)\\&\quad +t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}(-1)+t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}(+1)\\&\quad +t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}(+1)+t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}(-1)\end{aligned}}\end{array}}$

সমস্যা ৪

সমস্ত ৪-বিন্যাসের একটি তালিকা করুন।

উত্তর

এগুলো হলো সেই সব বিন্যাস যেখানে $\phi (1)=1$

${\begin{array}{rl}&\phi _{1}=\langle 1,2,3,4\rangle \quad \phi _{2}=\langle 1,2,4,3\rangle \quad \phi _{3}=\langle 1,3,2,4\rangle \\&\quad \phi _{4}=\langle 1,3,4,2\rangle \quad \phi _{5}=\langle 1,4,2,3\rangle \quad \phi _{6}=\langle 1,4,3,2\rangle \end{array}}$

যেগুলোতে $\phi (1)=1$

${\begin{array}{rl}&\phi _{7}=\langle 2,1,3,4\rangle \quad \phi _{8}=\langle 2,1,4,3\rangle \quad \phi _{9}=\langle 2,3,1,4\rangle \\&\quad \phi _{10}=\langle 2,3,4,1\rangle \quad \phi _{11}=\langle 2,4,1,3\rangle \quad \phi _{12}=\langle 2,4,3,1\rangle \end{array}}$

যেগুলোতে $\phi (1)=3$

${\begin{array}{rl}&\phi _{13}=\langle 3,1,2,4\rangle \quad \phi _{14}=\langle 3,1,4,2\rangle \quad \phi _{15}=\langle 3,2,1,4\rangle \\&\quad \phi _{16}=\langle 3,2,4,1\rangle \quad \phi _{17}=\langle 3,4,1,2\rangle \quad \phi _{18}=\langle 3,4,2,1\rangle \end{array}}$

এবং যেগুলোতে $\phi (1)=4$।

${\begin{array}{rl}&\phi _{19}=\langle 4,1,2,3\rangle \quad \phi _{20}=\langle 4,1,3,2\rangle \quad \phi _{21}=\langle 4,2,1,3\rangle \\&\quad \phi _{22}=\langle 4,2,3,1\rangle \quad \phi _{23}=\langle 4,3,1,2\rangle \quad \phi _{24}=\langle 4,3,2,1\rangle \end{array}}$

সমস্যা ৫

একটি বিন্যাসকে যখন $\{1,..,n\}$ সেট থেকে একই সেটে একটি ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তখন তা এক-এক এবং সার্বিক হয়। তাই প্রতিটি বিন্যাসের একটি বিপরীত বিন্যাস থাকে।

1. প্রতিটি ২-বিন্যাসের বিপরীত বিন্যাস বের করুন।
2. প্রতিটি ৩-বিন্যাসের বিপরীত বিন্যাস বের করুন।

উত্তর

এগুলোর প্রত্যেকটি খুব সহজেই পরীক্ষা করে দেখা যায়।

1. বিন্যাস	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$
   বিপরীত	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$

2. বিন্যাস	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{4}$	$\phi _{5}$	$\phi _{6}$
   বিপরীত	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{5}$	$\phi _{4}$	$\phi _{6}$

সমস্যা ৬

প্রমাণ করুন যে $f$ বহুরৈখিক হবে যদি এবং কেবল যদি সকল ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ এবং $k_{1},k_{2}\in \mathbb {R}$-এর জন্য নিচের সমীকরণটি সত্য হয়।

$f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k_{1}{\vec {v}}_{1}+k_{2}{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=k_{1}f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+k_{2}f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$

উত্তর

"যদি" অংশের ক্ষেত্রে, $k_{1}=k_{2}=1$ ধরে সংজ্ঞা ৩.২-এর প্রথম শর্তটি পাওয়া যায়। আর $k_{2}=0$ ধরলে দ্বিতীয় শর্তটি পাওয়া যায়।

"কেবল যদি" অংশটিও একটি সাধারণ কাজ। $f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k_{1}{\vec {v}}_{1}+k_{2}{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ থেকে সংজ্ঞা ৩.২-এর প্রথম শর্তটি ব্যবহার করে পাওয়া যায় $=f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k_{1}{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k_{2}{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ এরপর দ্বিতীয় শর্তটি দুইবার প্রয়োগ করলে ফলাফলটি চলে আসে।

সমস্যা ৭

এই ম্যাট্রিক্সটির বিন্যাস সম্প্রসারণে একমাত্র অশূন্য পদটি বের করুন।

${\begin{vmatrix}0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{vmatrix}}$

সংশ্লিষ্ট বিন্যাসটির সিগনাম বের করে নির্ণায়কটি হিসাব করুন।

উত্তর

বিন্যাস সম্প্রসারণে একটি অশূন্য পদ পেতে হলে আমাদের অবশ্যই $1,2$ এবং $4,3$ ভুক্তি দুটি ব্যবহার করতে হবে। এই দুটি নির্দিষ্ট করার পর আমাদের অবশ্যই $2,1$ এবং $3,4$ ভুক্তি দুটিও ব্যবহার করতে হবে। $\langle 2,1,4,3\rangle$-এর সিগনাম হলো $+1$। কারণ

${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

থেকে দুটি সারি অদলবদল ($\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}$ এবং $\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{4}$) করলে অভেদ ম্যাট্রিক্স তৈরি হবে।

সমস্যা ৮

সংজ্ঞার (৪) নং বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন করে $\left|I\right|=2$ লেখা হলে নির্ণায়কের কীরূপ পরিবর্তন হবে?

উত্তর

এগুলো সবগুলো দ্বিগুণ হয়ে যাবে।

সমস্যা ৯

অনুসিদ্ধান্ত ৩.১৩-এর দ্বিতীয় ও তৃতীয় বিবৃতি দুটি যাচাই করুন।

উত্তর

দ্বিতীয় বিবৃতির জন্য: একটি ম্যাট্রিক্স নিয়ে তার ট্রান্সপোজ করুন, সারিগুলো অদলবদল করুন এবং আবার ট্রান্সপোজ করুন। এর ফলে কলামগুলো অদলবদল হবে এবং নির্ণায়কটি $-1$ গুণনীয়ক দ্বারা পরিবর্তিত হবে। তৃতীয় বিবৃতিটিও একই রকম: একটি ম্যাট্রিক্স নিয়ে তার ট্রান্সপোজ করুন। এরপর বর্তমান সারিগুলোর ওপর বহুরৈখিকতা প্রয়োগ করুন এবং প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সগুলোকে পুনরায় ট্রান্সপোজ করুন।

সমস্যা ১০

দেখান যে, কোনো $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক অশূন্য হলে, যেকোনো কলাম ভেক্টর ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$-কে ম্যাট্রিক্সটির কলামগুলোর রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

উত্তর

অশূন্য নির্ণায়কযুক্ত কোনো $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাংক $n$ হয়। তাই এর কলামগুলো $\mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে।

সমস্যা ১১

সত্য নাকি মিথ্যা: শূন্য অথবা এক ভুক্তিযুক্ত কোনো ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য, এক বা ঋণাত্মক এক হয়।

উত্তর

মিথ্যা।

${\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}}=2$

সমস্যা ১২

1. দেখান যে, একটি $5\!\times \!5$ ম্যাট্রিক্সের বিন্যাস সম্প্রসারণ সূত্রে $120$টি পদ থাকে।
2. $1,2$ ভুক্তিটি শূন্য হলে এর কয়টি পদ নিশ্চিতভাবে শূন্য হবে?

উত্তর

1. প্রথম সারির ভুক্তির কলাম সূচকের জন্য পাঁচটি বিকল্প রয়েছে। এরপর দ্বিতীয় সারির ভুক্তির কলাম সূচকের জন্য চারটি বিকল্প রয়েছে (প্রথম সারিতে ব্যবহৃত কলাম সূচকটি এখানে ব্যবহার করা যাবে না)। একইভাবে অগ্রসর হলে আমরা পাই $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$। (পরবর্তী প্রশ্নটিও দেখুন)।
2. প্রথম সারিতে দ্বিতীয় কলামটি নির্বাচন করার পর আমরা অন্যান্য ভুক্তিগুলো $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ উপায়ে নির্বাচন করতে পারি।

সমস্যা ১৩

কতগুলো $n$-বিন্যাস রয়েছে?

উত্তর

$n\cdot (n-1)\cdots 2\cdot 1=n!$

সমস্যা ১৪

কোনো ম্যাট্রিক্স $A$ বক্র-প্রতিসম হবে যদি ${{A}^{\rm {trans}}}=-A$ হয়। নিচের ম্যাট্রিক্সটি এর একটি উদাহরণ।

$A={\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}}$

দেখান যে, অশূন্য নির্ণায়কযুক্ত $n\!\times \!n$ আকারের বক্র-প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব কেবল জোড় $n$-এর জন্যই সম্ভব।

উত্তর

এখানে $\left|A\right|=\left|{{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|-A\right|=(-1)^{n}\left|A\right|$ সমীকরণে সূচক $n$-কে অবশ্যই জোড় হতে হবে।

সমস্যা ১৫

একটি $4\!\times \!4$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য নিশ্চিত করতে কমপক্ষে কয়টি শূন্য প্রয়োজন এবং সেগুলো কোথায় বসাতে হবে?

উত্তর

তিনটি শূন্যের কোনো অবস্থানই যে যথেষ্ট নয় তা দেখানো একটি সাধারণ কাজ। তবে চারটি শূন্যই যথেষ্ট। এদের সবগুলোকে একই সারি বা কলামে বসিয়ে দিলেই হবে।

সমস্যা ১৬

আমাদের কাছে যদি $n$ সংখ্যক ডেটা বিন্দু $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots \,,(x_{n},y_{n})$ থাকে এবং আমরা এই বিন্দুগুলো দিয়ে অতিক্রমকারী একটি বহুপদী $p(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ নির্ণয় করতে চাই, তবে বিন্দুগুলো বসিয়ে আমরা $n$ সমীকরণ/$n$ চলকবিশিষ্ট একটি রৈখিক ব্যবস্থা পেতে পারি। সেই ব্যবস্থার সহগগুলোর ম্যাট্রিক্সকে ভ্যানডারমন্ড ম্যাট্রিক্স বলা হয়। প্রমাণ করুন যে, সহগগুলোর উক্ত ম্যাট্রিক্সটির ট্রান্সপোজের নির্ণায়ক

${\begin{vmatrix}1&1&\ldots &1\\x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{n}\\{x_{1}}^{2}&{x_{2}}^{2}&\ldots &{x_{n}}^{2}\\&\vdots \\{x_{1}}^{n-1}&{x_{2}}^{n-1}&\ldots &{x_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}}$

$i<j$ শর্তযুক্ত সকল $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ সূচকের জন্য $x_{j}-x_{i}$ আকারের পদগুলোর গুণফলের সমান। (এটি প্রমাণ করে যে নির্ণায়কটি শূন্য হবে এবং রৈখিক ব্যবস্থাটির কোনো সমাধান থাকবে না যদি এবং কেবল যদি উপাত্তের $x_{i}$-গুলো স্বতন্ত্র না হয়)।

উত্তর

$n=3$ ক্ষেত্রটি কী করতে হবে তা দেখায়। $-x_{1}\rho _{2}+\rho _{3}$ এবং $-x_{1}\rho _{1}+\rho _{2}$ পিভট অপারেশনগুলো থেকে এটি পাওয়া যায়:

${\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\0&(-x_{1}+x_{2})x_{2}&(-x_{1}+x_{3})x_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-x_{1}+x_{2}&-x_{1}+x_{3}\\0&(-x_{1}+x_{2})x_{2}&(-x_{1}+x_{3})x_{3}\end{vmatrix}}$

এরপর $x_{2}\rho _{2}+\rho _{3}$ পিভট অপারেশনটি কাঙ্ক্ষিত ফলাফল প্রদান করে:

$={\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-x_{1}+x_{2}&-x_{1}+x_{3}\\0&0&(-x_{1}+x_{3})(-x_{2}+x_{3})\end{vmatrix}}=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})$

সমস্যা ১৭

একটি ম্যাট্রিক্সকে ব্লকে ভাগ করা যায়। যেমন এখানে,

$\left({\begin{array}{cc|c}1&2&0\\3&4&0\\\hline 0&0&-2\end{array}}\right)$

চারটি ব্লক দেখানো হয়েছে। উপরে বামে এবং নিচে ডানে যথাক্রমে $2\!\times \!2$ ও $1\!\times \!1$ আকারের বর্গাকার ব্লক রয়েছে। এছাড়া উপরে ডানে এবং নিচে বামে শূন্য ব্লক রয়েছে। দেখান যে, যদি একটি ম্যাট্রিক্সকে নিচের মতো করে ভাগ করা যায়

$T=\left({\begin{array}{c|c}J&Z_{2}\\\hline Z_{1}&K\end{array}}\right)$

যেখানে $J$ এবং $K$ হলো বর্গাকার ব্লক এবং $Z_{1}$ ও $Z_{2}$ হলো শূন্য ব্লক, তবে $\left|T\right|=\left|J\right|\cdot \left|K\right|$ হবে।

উত্তর

ধরি, $T$ হলো $n\!\times \!n$, $J$ হলো $p\!\times \!p$ এবং $K$ হলো $q\!\times \!q$ ম্যাট্রিক্স। বিন্যাস সম্প্রসারণ সূত্রটি প্রয়োগ করি।

$\sum _{{\text{বিন্যাস }}\phi }$

$\left|T\right|=\sum _{{\text{বিন্যাস }}\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\dots t_{n,\phi (n)}\left|P_{\phi }\right|$

$T$-এর উপরের ডান অংশটি পুরোটাই শূন্য। তাই যদি কোনো বিন্যাস $\phi$-এর প্রথম $p$ সংখ্যক কলাম সংখ্যা $\phi (1),\dots ,\phi (p)$-এর মধ্যে অন্তত একটি $p+1,\dots ,n$ হয়, তবে $\phi$ থেকে উৎপন্ন পদটি $0$ হবে (যেমন: যদি $\phi (1)=n$ হয়, তবে $t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\dots t_{n,\phi (n)}$ পদটি $0$ হবে)। তাই উপরের সূত্রটি দুটি অংশবিশিষ্ট সকল বিন্যাসের যোগফলে পরিণত হয়: প্রথমে $1,\dots ,p$ পুনর্বিন্যাস করা হয় এবং এরপর $p+1,\dots ,p+q$-এর একটি বিন্যাস আসে। এটি যে $\left|J\right|\cdot \left|K\right|$ প্রদান করে তা দেখতে পদগুলো বিতরণ করুন।

${\bigg [}\sum _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{বিন্যাস }}\phi _{1}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{থেকে }}1,\dots ,p\end{array}}t_{1,\phi _{1}(1)}\cdots t_{p,\phi _{1}(p)}\left|P_{\phi _{1}}\right|{\bigg ]}\cdot {\bigg [}\sum _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{বিন্যাস }}\phi _{2}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{থেকে }}p+1,\dots ,p+q\end{array}}t_{p+1,\phi _{2}(p+1)}\cdots t_{p+q,\phi _{2}(p+q)}\left|P_{\phi _{2}}\right|{\bigg ]}$

সমস্যা ১৮

প্রমাণ করুন যে যেকোনো $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্স $T$-এর জন্য সর্বোচ্চ $n$ সংখ্যক স্বতন্ত্র বাস্তব সংখ্যা $r$ থাকতে পারে, যার জন্য $T-rI$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হয়। (আমরা পঞ্চম অধ্যায়ে এই ফলাফলটি ব্যবহার করব)।

উত্তর

$n=3$ ক্ষেত্রটি কী ঘটে তা দেখায়।

$\left|T-rI\right|={\begin{vmatrix}t_{1,1}-x&t_{1,2}&t_{1,3}\\t_{2,1}&t_{2,2}-x&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,2}&t_{3,3}-x\end{vmatrix}}$

বিন্যাস সম্প্রসারণের প্রতিটি পদে ম্যাট্রিক্সটির ভুক্তি থেকে নেওয়া তিনটি গুণনীয়ক থাকে (যেমন: $(t_{1,1}-x)(t_{2,2}-x)(t_{3,3}-x)$ এবং $(t_{1,1}-x)(t_{2,3})(t_{3,2})$)। তাই নির্ণায়কটিকে $x$ চলকের ৩ মাত্রার একটি বহুপদী হিসেবে প্রকাশ করা যায়। এ ধরনের বহুপদীর সর্বোচ্চ $3$টি মূল থাকে।

সাধারণভাবে, বিন্যাস সম্প্রসারণ দেখায় যে নির্ণায়কটিকে এমন সব পদের যোগফল হিসেবে লেখা যায় যাদের প্রতিটিতে $n$ সংখ্যক গুণনীয়ক থাকে। এটি $n$ মাত্রার একটি বহুপদী গঠন করে। একটি $n$ মাত্রার বহুপদীর সর্বোচ্চ $n$ সংখ্যক মূল থাকতে পারে।

? সমস্যা ১৯

নয়টি ধনাত্মক অঙ্ককে $3\!\times \!3$ অ্যারেতে $9!$ উপায়ে সাজানো যায়। এই অ্যারেগুলোর নির্ণায়কের যোগফল বের করুন।

উত্তর

উদ্ধৃত সূত্রে উত্তরটি এভাবেই দেওয়া হয়েছিল।

কোনো নির্ণায়কের দুটি সারি অদলবদল করা হলে নির্ণায়কটির চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। তিন-বাই-তিন আকারের কোনো নির্ণায়কের সারিগুলো বিন্যস্ত করা হলে পরম মানের দিক থেকে সমান $3$টি ধনাত্মক এবং $3$টি ঋণাত্মক নির্ণায়ক পাওয়া যায়। তাই $9!$ সংখ্যক নির্ণায়ক $9!/6$ টি দলে বিভক্ত হয়। এদের প্রতিটি দলের যোগফল শূন্য হয়।

সমস্যা ২০

দেখান যে

${\begin{vmatrix}x-2&x-3&x-4\\x+1&x-1&x-3\\x-4&x-7&x-10\end{vmatrix}}=0.$

উত্তর

উদ্ধৃত সূত্রে উত্তরটি এভাবেই দেওয়া হয়েছিল।

যেকোনো কলামের উপাদানগুলোকে অন্য দুটি কলামের প্রত্যেকটির উপাদান থেকে বিয়োগ করা হলে, প্রাপ্ত নির্ণায়কের দুটি কলামের উপাদানগুলো সমানুপাতিক হয়। ফলে নির্ণায়কটি শূন্য হয়ে যায়। অর্থাৎ,

${\begin{vmatrix}2&1&x-4\\4&2&x-3\\6&3&x-10\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&x-3&-1\\2&x-1&-2\\3&x-7&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-2&-1&-2\\x+1&-2&-4\\x-4&-3&-6\end{vmatrix}}=0.$

? সমস্যা ২১

ধরি, ৩ মাত্রার একটি ম্যাজিক বর্গের পূর্ণসংখ্যা উপাদানগুলোর যোগফল হলো $S$ এবং বর্গটিকে নির্ণায়ক হিসেবে বিবেচনা করলে তার মান হয় $D$। দেখান যে, $D/S$ একটি পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর

উদ্ধৃত সূত্রে উত্তরটি এভাবেই দেওয়া হয়েছিল।

ধরি,

${\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}}$

-এর ম্যাজিক যোগফল $N=S/3$। তাহলে

${\begin{array}{rl}N&=(a+e+i)+(d+e+f)+(g+e+c)\\&\quad -(a+d+g)-(c+f+i)=3e\end{array}}$

এবং $S=9e$। সুতরাং, সারি ও কলাম যোগ করে পাই,

$D={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\3e&3e&3e\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&3e\\d&e&3e\\3e&3e&9e\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&e\\d&e&e\\1&1&1\end{vmatrix}}S.$

? সমস্যা ২২

দেখান যে প্যাসকেলের ত্রিভুজের উপরের বাম দিকের কোণায় থাকা $n^{2}$ সংখ্যক উপাদানের নির্ণায়কের

${\begin{array}{cccccc}1&1&1&1&.&.\\1&2&3&.&.\\1&3&.&.&&\\1&.&.&&&\\.\\.\end{array}}$

মান এক।

উত্তর

উদ্ধৃত সূত্রে উত্তরটি এভাবেই দেওয়া হয়েছিল। ধরি, প্রশ্নে উল্লেখিত নির্ণায়কটি $D_{n}$ এবং $i$-তম সারি ও $j$-তম কলামের উপাদানটি হলো $a_{i,j}$। তাহলে উপাদানগুলো গঠনের নিয়ম অনুযায়ী আমরা পাই,

$a_{i,j}=a_{i,j-1}+a_{i-1,j},\qquad a_{1,j}=a_{i,1}=1.$

$D_{n}$-এর প্রতিটি সারিকে তার ঠিক পরের সারিটি থেকে বিয়োগ করুন। এই প্রক্রিয়াটি সারির শেষ জোড়া থেকে শুরু করুন। $n-1$ বার বিয়োগ করার পর উপরের সমীকরণটি দেখায় যে, $a_{i,j}$ উপাদানটি $a_{i,j-1}$ উপাদান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। আর প্রথম কলামের সকল উপাদান (কেবল $a_{1,1}=1$ বাদে) শূন্য হয়ে যায়। এবার প্রতিটি কলামকে তার ঠিক পরের কলামটি থেকে বিয়োগ করুন। কলামের শেষ জোড়া থেকে এটি শুরু করুন। এই প্রক্রিয়ার পর উপরের সম্পর্ক অনুযায়ী $a_{i,j-1}$ উপাদানটি $a_{i-1,j-1}$ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এই দুটি অপারেশনের ফলে মূলত $a_{i,j}$ উপাদানটি $a_{i-1,j-1}$ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এছাড়া প্রথম সারি ও প্রথম কলামের প্রতিটি উপাদান শূন্য হয়ে যায়। ফলে $D_{n}=D_{n+i}$ হয় এবং ফলস্বরূপ

$D_{n}=D_{n-1}=D_{n-2}=\dots =D_{2}=1.$

তথ্যসূত্র

• সিলভারম্যান, ডি. এল. (প্রস্তাবক); ট্রিগ, সি. ডব্লিউ. (সমাধানকারী) (১৯৬৩), "Quickie 237" [কুইকি ২৩৭], Mathematics Magazine, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, ৩৬ (১)  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• স্ট্র্যাং, গিলবার্ট (১৯৮০), Linear Algebra and its Applications [রৈখিক বীজগণিত ও এর প্রয়োগ] (২য় সংস্করণ), হারকোর্ট ব্রেস জোভানোভিচ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

• ট্রিগ, সি. ডব্লিউ. (প্রস্তাবক) (১৯৬৩), "Quickie 307" [কুইকি ৩০৭], Mathematics Magazine, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, ৩৬ (১): ৭৭  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• ট্রিগ, সি. ডব্লিউ. (প্রস্তাবক); ওয়াকার, আর. জে. (সমাধানকারী) (১৯৪৯), "Elementary Problem 813" [প্রাথমিক সমস্যা ৮১৩], American Mathematical Monthly, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, ৫৬ (১)  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• রুপ, সি. এ. (প্রস্তাবক); অড, এইচ. টি. আর. (সমাধানকারী) (১৯৩১), "Problem 3468" [সমস্যা ৩৪৬৮], American Mathematical Monthly, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, ৩৭ (৬): ৩৫৫  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.